\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{Annales sur les suites}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutExoCha
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Les exos

\begin{ExoF}%2010
\hfill (5 points)\\
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :
\[ f(x) = 6 -  \dfrac{5}{x + 1}.\]
Le but de cet exercice est d'étudier des suites $\left(u_{n}\right)$ définies par un premier terme positif 
ou nul $u_{0}$ et v\'erifiant pour tout entier naturel $n$ :
\[u_{n+1} = f\left(u_{n}\right).\]
\begin{enumerate}
\item  \textbf{Etude de propriétés de la fonction $f$} 
	\begin{enumerate}
		\item Etudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
		\item Résoudre dans l'intervalle $[0~;~+ \infty[$[ l'équation $f(x) = x$.
		 \\
On note $\alpha$ la solution. 
		\item Montrer que si $x$ appartient à l'intervalle $[0~;~\alpha]$, alors $f(x)$ appartient à l'intervalle $[0~;~\alpha]$.
		 \\
De même, montrer que si $x$ appartient à l'intervalle $[\alpha, + \infty[$ alors $f(x)$ appartient à l'intervalle $[\alpha~;~ + \infty[$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Etude de la suite $\left(u_{n}\right)$ pour $u_{0} = 0$}
\\
Dans cette question, on considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 0$ et pour tout entier naturel $n$ :
\[u_{n + 1} = f\left(u_{n}\right) = 6 - \dfrac{5}{u_{n} + 1}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Sur le graphique représenté ci-dessous, sont représentées les courbes d'équations $y = x$ et $y=f(x)$.
Placer le point $A_{0}$ de coordonnées $\left(u_{0}~;~0\right)$, et, en utilisant ces courbes, construire à partir de $A_{0}$ les points $A_{1}$,~$A_{2}$,~$A_{3}$  et $A_{4}$ d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives $u_{1},~u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$.
 \\
Quelles conjectures peut-on mettre quant au sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
		\item Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant u_{n} \leqslant  u_{n+1} \leqslant \alpha$. 
		\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Etude des suites $\left(u_{n}\right)$ selon les valeurs du réel positif ou nul $u_{0}$}\\
\emph{Dans cette question, toute trace d'argumentation, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'eévaluation.}\\
Que peut-on dire du sens de variation et de la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ suivant les valeurs du réel positif ou nul $u_{0}$ ?
\end{enumerate} 
\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(9.5,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(9.5,10)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0}{10}{6 5 x 1 add div sub}
\psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0}{10}{x}
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{ExoF}



\begin{ExoF}%2009
\textit{Les deux questions de cet exercice sont indépendantes. }\hfill (4 points)
\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : 
\[u_{0} = 1 \quad \text{et, pour tout nombre entier naturel} ~ n,~ u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u _{n} + 4.\] 
On pose, pour tout nombre entier naturel $n,~ v_{n} = u_{n} - 6$. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout nombre entier naturel $n$, calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$. Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? 
	\item  Démontrer que pour tout nombre entier naturel $n, u_{n} = -5 \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + 6$. 
	\item  Etudier la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item  On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ dont les termes vérifient, pour tout nombre entier $n \geqslant 1$  :
\[ nw_{n}  = (n + 1)w_{n-1} +1~~ \text{et}~~ w_{0} = 1.\] 
Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite. 
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$w_{0}$&$w_{1}$&$w_{2}$&$w_{3}$&$w_{4}$&$w_{5}$&$w_{6}$&$w_{7}$&$w_{8}$&$w_{9}$\\ \hline
1&3&5&7&9&11&13&15&17&19\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item Détailler le calcul permettant d'obtenir $w_{10}$. 
	\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
	\\
Donner la nature de la suite $\left(w_{n}\right)$. Calculer $w_{\nombre{2009}}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}%2008 
\textit{Certains résultats de la PARTIE A pourront être utiliseés dans la PARTIE B, 
mais les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre. } \hfill (4 points)\\
 \textbf{PARTIE A :} On définit :
\begin{itemize}
\item la suite $\left(u_{n}\right)$ par : $u_{0} = 13$ et, pour tout entier naturel $n,~ u_{n+1}  = \dfrac{1}{5}u_{n} +\dfrac{4}{5}$. 
\item la suite $\left(S_{n}\right)$ par : pour tout entier naturel $n,~ S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_{k} =  u_{0} +u_{1} +u_{2} + \cdots + u_{n}$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, u_{n} =  1 + \dfrac{12}{5^n}$.  
\\
En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le sens de variation de la suite $\left(S_{n}\right)$. 
		\item Calculer $S_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(S_{n}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{PARTIE B : } Etant donné une suite $\left(x_{n}\right)$, de nombres réels, définie pour tout entier 
naturel $n$, on considère la suite $\left(S_{n}\right)$ 
définie par $S_{n} =  \displaystyle\sum_{k=0}^n x_{k}$.
 \\
Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse.  Justifier dans chaque cas. 
\begin{itemize}
\item[] Proposition 1: si la suite $\left(x_{n}\right)$ est convergente, alors la suite $\left(S_{n}\right)$ l'est aussi. 
\item[] Proposition 2 : les suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(S_{n}\right)$ ont le même sens de variation. 
\end{itemize}
\end{ExoF}




\end{document}


