\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 8}
\newcommand{\Ch}{Vous saviez d\'ej\`a que les math\'ematiques \linebreak[2] \'etaient complexes !}
\newcommand{\Cl}{TS}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macro_final.tex

\geometry{tmargin=2cm,bmargin=2.4cm,hmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 
\debutSsCadreCha

%\vspace{3cm}

\Act{\\
\textbf{Partie A :} Activité 3 p 225 (recherche historique sur internet)\\
\textbf{Partie B :} Sur la trace des mathématiciens \\
Au début du XVI$^{\text{ème}}$ siècle, le mathématicien Scipione dal Ferro, propose une formule 
donnant une solution aux équations du $3^{\text{ème}}$ degré de la forme $x^3+px=q$ 
\footnote{Vous pouvez 
essayer de le prouver en posant $x=u+v$ et en résolvant un système d'équations d'inconnues $u$ et $v$.} :
$$ x=\sqrt[3]{\dfrac{q-\sqrt{q^2+4p^3/27}}{2} }+\sqrt[3]{\dfrac{q+\sqrt{q^2+4p^3/27}}{2} }$$
Vous avez déjà rencontré et appliqué ces formules dans un devoir maison, pour résoudre l'équation
$$(E)\,  : \, x+x^2+x^3=1$$
On avait effectué le changement de variable $X=x+\dfrac13$ et on avait 
montré que $(E) \iff X^3+\dfrac23X=\dfrac{34}{27}$. \\
La solution ressemblait à ceci :
$X=\dfrac13 \left( ^3\sqrt{17+3\sqrt{33}} +  ^3\sqrt{17-3\sqrt{33}} \right)$\\
Et donc $x = X - \dfrac13 = 
\dfrac13 \left( ^3\sqrt{17+3\sqrt{33}} +  ^3\sqrt{17-3\sqrt{33}} -1 \right)$. \\
Bref, easy ... Et bien on recommence !
\begin{enumerate}
 %\item Utilisez cette formule pour trouver une solution de l'équation $x^3-36=91$
 %\item \begin{enumerate}
 \item Comme Bombelli à la fin de ce siècle, appliquez cette formule à l'équation $x^3-15x=4$.
 \item Quel problème survient ?
 \item Euler (XVIII$^e$) étant passé depuis Bombelli (XVI$^e$), notons nous aussi $i$ 
 le nombre imaginaire tel que $i^2=-1$ (ce qui nous évite d'utiliser le symbole imaginaire
 $\sqrt{-1}$ qui n'a pas de sens, car contraire à la définition de la racine carré d'un nombre).\\
 Admettons désormais comme Bombelli, juste pour voir ce que cela donne, 
 que l'on puisse prolonger les règles usuelles de calcul aux racines carrés 
 de nombres négatifs et calculons $ \left(2+i\right)^3$ et $ \left(2-i\right)^3$
 \item Quelle serait alors une solution réelle de l'équation ? Le vérifier. 
 \item Déterminer $a$, $b$ et $c$ tels que $x^3-15x-4=(x-4)(ax^2+bx+c)$
 \item Déterminer alors toutes les solutions de l'équation $x^3-15x=4$.
%\end{enumerate}
\end{enumerate}
 Une question naturelle s'est alors posée : peut-on légitimement calculer 
avec des symboles imaginaires comme ci-dessus ? C'est ainsi qu'est née la théorie des nombres
complexes, qui a mis bien longtemps à s'imposer et a déchaîné bien des passions $\dots$\\\\
\textbf{Partie C :} A vous de jouer !
\begin{enumerate}
 \item Essayez de compter un peu avec ces nombres, en simplifiant au maximum les expressions suivantes :
$$A=(3+4i)^2 \qquad B=(3-4i)^2 \qquad C=(3+4i)(3-4i) \qquad D=(3+4i)(i-1) $$
$$E=(5-3i)(7-2i) \qquad  F=(i-2)(2+i) \qquad G=(5+7i)(3-i)(2-3i) \qquad H=\dfrac{6-4i}{2+3i}$$
 \item Que constatez-vous ?
\end{enumerate}
}

\newpage

\Act{L'objectif de l'activité est de résoudre dans $\C$ de l'équation $X^2=a$,
avec $a\in\R$.
\begin{enumerate}
 \item Rappeler les solutions de l'équation $X^2=a$ dans le cas où $a \geq 0$.
 \item On cherche ensuite à résoudre dans $\C$ l'équation $x^2=-3$.
 \begin{enumerate}
 \item Vérifier que $i\sqrt{3}$ est solution dans $\C$ de cette équation.
 \item En déduire toutes les solutions dans $\C$ de cette équation.
\end{enumerate}
\item On cherche désormais à généraliser notre raisonnement et à trouver
toutes les solutions dans $\C$ de l'équation $X^2=a$ dans le cas $a<0$.
%On suppose que $a<0$. On cherche à résoudre dans $\C$ l'équation $x^2=a$.
\begin{enumerate}
 \item Vérifier que  $a=\left(i \sqrt{-a}\right)^2$. 
 \item En déduire que l'équation considérée possède deux solutions complexes que 
 l'on précisera.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\vspace{2cm}
\setcounter{Acti}{1}
\Act{L'objectif de l'activité est de résoudre dans $\C$ de l'équation $X^2=a$,
avec $a\in\R$.
\begin{enumerate}
 \item Rappeler les solutions de l'équation $X^2=a$ dans le cas où $a \geq 0$.
 \item On cherche ensuite à résoudre dans $\C$ l'équation $x^2=-3$.
 \begin{enumerate}
 \item Vérifier que $i\sqrt{3}$ est solution dans $\C$ de cette équation.
 \item En déduire toutes les solutions dans $\C$ de cette équation.
\end{enumerate}
\item On cherche désormais à généraliser notre raisonnement et à trouver
toutes les solutions dans $\C$ de l'équation $X^2=a$ dans le cas $a<0$.
%On suppose que $a<0$. On cherche à résoudre dans $\C$ l'équation $x^2=a$.
\begin{enumerate}
 \item Vérifier que  $a=\left(i \sqrt{-a}\right)^2$. 
 \item En déduire que l'équation considérée possède deux solutions complexes que 
 l'on précisera.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\vspace{2cm}

\Act{L'objectif de l'activité est de résoudre dans $\C$ de 
l'équation $ax^2+bx+c=0$, avec $a$, $b$ et $c$ réels tels que $a\neq 0$.
\begin{enumerate}
 \item Rappeler le discriminant $\Delta$ de cette équation, ainsi que 
 les solutions de l'équation $ax^2+b+c=0$ dans le cas où $\Delta \geq 0$.
 \item On cherche ensuite à résoudre dans $\C$ l'équation $2x^2-3x+4=0$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer le discriminant $\Delta$ de cette équation. Quel problème survient ?
  \item Ecrire $\Delta$ sous la forme d'un carré de nombre complexe.
  \item Vérifier que le nombre $x_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ est solution
  de l'équation considérée.
  \item Quelle est alors l'autre solution de l'équation ?
 \end{enumerate}
\item On cherche désormais à généraliser notre raisonnement et à trouver
toutes les solutions dans $\C$ de l'équation $ax^2+bx+c=0$ dans le cas le discriminant 
$\Delta$ est strictement négatif.\\
On rappelle que l'équation $ax^2+bx+c=0$ $(a\neq 0)$ peut s'écrire de manière équivalente 
$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $ \Delta=\left(i \sqrt{-\Delta}\right)^2 $. 
\item En remplaçant $\Delta$ par cette nouvelle écriture, 
résoudre alors l'équation considérée.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\end{document}