\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}16$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}



\Exoi{\hfill (7 points)\\
Dans un petit hameau de Syldavie, nommé Babylone, une épidémie de grippe s'est propagée et touche $30\%$ de la population.
\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard, $7$ individus de cette population (on assimile le choix des $7$ personnes à un tirage \textbf{avec remise}), on note $X$ le nombre de personnes atteintes par la maladie.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale, en donner ses paramètres.
\item Calculer la probabilité qu'aucun des $7$ individus ne soient malades.
\item Calculer $p(X=3)$.
\item Calculer $E(X)$. Interpréter.
\end{enumerate}
\item Aphex Twin\footnote{Aphex Twin est un compositeur britannique de musique électronique} est un syldave de ce petit hameau. On sait désormais qu'il était atteint de la grippe, puisqu'il en a souffert de longues années durant. Malheureusement pour lui, les médecins syldave détectent la maladie dans un cas sur cinq et dans tous les autres cas ils déclarent sains le patient pourtant malade.
\\
Aphex Twin, connaissant son pays, décide de consulter $4$ médecins Syldave. \\
On note $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre de médecin qui se sont rendus compte de la maladie d'Aphex Twin.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi que suit la variable aléatoire $Y$ ; en donner ses paramètres.
\item Calculer $E(Y)$, interpréter.
\item Aphex Twin décide de se faire soigner dès lors qu'au moins un des quatre médecin le déclare malade. Calculer la probabilité qu'Aphex Twin ait été soigné.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}


\Exoi{\hfill (3 points)\\
%\begin{enumerate}
Un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) est composé de 10 questions numérotées 
de $1$ à $10$. Pour chacune d’elles, quatre réponses possibles sont proposées, dont une seule est exacte. 
La difficulté réside dans le fait que ce QCM Syldave est en chinois, et que notre candidat Fabrice ne lit pas le chinois 
(bien qu’il le parle couramment, évidemment). Il se voit donc obligé de répondre à chaque question au hasard, de façon 
indépendante (Fabrice déteste ne pas répondre du tout, il veut tenter sa chance coûte que coûte). 
\begin{enumerate}
\item $X$ est la variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses du candidat Fabrice. Calculer $p(X\geq 1)$.
\item On désigne par $Y$ la variable aléatoire donnant le numéro de la première question à laquelle Fabrice répond juste. 
On convient que $Y$ prend la valeur 11 si toutes les réponses sont fausses. \\
Compléter le tableau suivant (on explicitera au moins un calcul) :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
$k$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $1\text{0}$ & $11$ & Total\tabularnewline
\hline 
\hline 
$p(Y=k)$ & $\dots$ & $\dots$ & $\frac{9}{64}$ & $\dots\dots$ & $\dots\dots$ & $\dots\dots$ & $\dots\dots$ & $\dots\dots$ & $\dots\dots$ & $\dots\dots$ & $\dots\dots$ & $1$\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}
\end{center}
\item Calculer $E(Y)$. Interpréter.
\end{enumerate}
%\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill \textbf{Poker - Enigme}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{poker.eps}
\end{center}
Une main au poker est constituée de $5$ cartes tirées d’un jeu de $52$ cartes. Combien y a-t- 
il de mains contenant des carrés (XXXXY ) ? des fulls (XXXYY ) ? des brelans (XXXYZ) ? des 
doubles paires (XXYYZ) ? des paires (XXYZA) ? 
Deux lettres identiques (par exemple XX) correspondent à deux cartes de même hauteur 
(par exemple deux dames). 
\end{multicols}
}
\pagebreak
%\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}16$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}

\Exoi{\hfill (7 points)\\
Dans un petit hameau de Syldavie, nommé Babylone, une épidémie de peste s'est propagée et touche $20\%$ de la population.
\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard, $9$ individus de cette population (on assimile le choix des $9$ personnes à un tirage \textbf{avec remise}), on note $X$ le nombre de personnes atteintes par la maladie.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale, en donner ses paramètres.
\item Calculer la probabilité qu'aucun des $9$ individus ne soient malades.
\item Calculer $p(X=3)$.
\item Calculer $E(X)$. Interpréter.
\end{enumerate}
\item Gonjasufi\footnote{Gonjasufi est un artiste américain, composant une musique proche du hip hop, elle se révèle cependant vite marquée par d'autres influences très variées, comme le rock, le forlk ou encore la soul. } est un syldave de ce petit hameau. On sait désormais qu'il était atteint de la peste, puisqu'il en a souffert de longues années durant. Malheureusement pour lui, les médecins syldave détectent la maladie dans un cas sur trois et dans tous les autres cas ils déclarent sains le patient pourtant malade.
\\
Gonjasufi, connaissant son pays, décide de consulter $4$ médecins Syldave. \\
On note $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre de médecin qui se sont rendus compte de la maladie de Gonjasufi.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi que suit la variable aléatoire $Y$ ; en donner ses paramètres.
\item Calculer $E(Y)$, interpréter.
\item Gonjasufi décide de se faire soigner dès lors qu'au moins un des quatre médecin le déclare malade. Calculer la probabilité que Gonjasufi ait été soigné.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}


\Exoi{\hfill (3 points)\\
%\begin{enumerate}
Un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) est composé de 10 questions numérotées 
de $1$ à $10$. Pour chacune d’elles, trois réponses possibles sont proposées, dont une seule est exacte. 
La difficulté réside dans le fait que ce QCM Syldave est en chinois, et que notre candidat Fabrice ne lit pas le chinois 
(bien qu’il le parle couramment, évidemment). Il se voit donc obligé de répondre à chaque question au hasard, de façon 
indépendante (Fabrice déteste ne pas répondre du tout, il veut tenter sa chance coûte que coûte). 
\begin{enumerate}
\item $X$ est la variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses du candidat Fabrice. Calculer $p(X\geq 1)$.
\item On désigne par $Y$ la variable aléatoire donnant le numéro de la première question à laquelle Fabrice répond juste. 
On convient que $Y$ prend la valeur 11 si toutes les réponses sont fausses. \\
Compléter le tableau suivant (on explicitera au moins un calcul) :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
$k$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $1\text{0}$ & $11$ & Total\tabularnewline
\hline 
\hline 
$p(Y=k)$ & $\dots$ & $\dots$ & $\frac{4}{27}$ & $\dots\dots$ & $\dots\dots$ & $\dots\dots$ & $\dots\dots$ & $\dots\dots$ & $\dots\dots$ & $\dots\dots$ & $\dots\dots$ & $1$\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}
\end{center}
\item Calculer $E(Y)$. Interpréter.
\end{enumerate}
%\end{enumerate}
}


\Exoi{\hfill \textbf{Poker - Enigme}\\
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{pompier.eps}
\end{center}
Le capitaine des pompiers de New-York réside à l’angle de la 7ème rue et de la 33ème avenue. La 
caserne se trouve à l’angle de la 15ème rue et de la 40ème avenue. Il s’y rend tous les jours à pied 
et sans perdre de temps (i.e. dans le sens des numéros croissants aussi bien pour les rues que 
pour les avenues). Sachant qu’il a commencé à travailler le jour de ses 18 ans, et sachant qu’il 
n’est jamais passé deux fois par le même chemin, quel est l’âge maximum du capitaine ?
\end{multicols}
}



\end{document}
