  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\newcommand{\ch}{Chapitre 8}
\newcommand{\Ch}{Dérivation}
\newcommand{\Cl}{1 S}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
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\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
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\lhead{Chapitre 8}
\rhead{Dérivation}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Devoir Surveillé 7}

\Exoi{\hfill (10 points)\\
On considère la fonction $P$ définie sur $\R$ par :
$$ P(x)=x^3-9x-12$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $P'(x)$ pour tout réel $x$.
\item Etudier le signe de $P'$ et en déduire le tableau de variation complet de $P$.
\item Donner le maximum et le minimum de $P$ sur l'intervalle $[-2;2]$.
\item Par lecture du tableau de variation de la fonction $P$, en déduire le nombre de solution de l'équation $P(x)=0$.\\
En donner une valeur approchée à l'aide de votre calculatrice, à $10^{-1}$ près.
\item \textbf{Application} : Un cube a une arête de $x$ cm. Un parallélépipède rectangle a pour dimensions : $1$ cm ; $3$ cm et $(3x+4)$ cm. Trouver la valeur de $x$ pour que ces $2$ solides aient le même volume
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (10 points)\\
$ABCD$ est un carré de côté $10$. $\mathscr C$ est le quart de cercle de centre $A$ et de rayon $AB$ contenu dans le carré $ABCD$. $M$ est un point quelconque de $\mathscr C$. La tangente à $\mathscr C$ en $M$ coupe les segments $[BC]$ et $[CD]$ en $E$ et en $F$.
\\
\textbf{On se propose de trouver la position du point $M$ sur $\mathscr C$ pour que la longueur $EF$ soit minimale.}
\begin{center}
\newrgbcolor{qqzzqq}{0 0.6 0}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.78,-0.46)(5.06,4.72)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.29,3.81)(1.11,3.42)(1.5,3.25)(1.67,3.63)
\psline[linecolor=qqzzqq](0,0)(4,0)
\psline[linecolor=qqzzqq](4,0)(4,4)
\psline[linecolor=qqzzqq](4,4)(0,4)
\psline[linecolor=qqzzqq](0,4)(0,0)
\parametricplot[linecolor=qqqqcc]{0.0}{1.5707963267948966}{1*4*cos(t)+0*4*sin(t)+0|0*4*cos(t)+1*4*sin(t)+0}
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](0,0)(1.67,3.63)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](-0.32,4.55)(0.88,4)
\psline[linecolor=ccqqqq](0.88,4)(4,2.56)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](4,2.56)(4.77,2.2)
\rput[tl](2.98,2.38){$\qqqqcc{\mathscr C}$}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](-0.3,-0.18){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](4,0)
\rput[bl](4.12,-0.1){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](4,4)
\rput[bl](4.08,4.08){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0,4)
\rput[bl](0.08,4.08){$D$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](1.67,3.63)
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0.88,4)
\rput[bl](0.96,4.08){$E$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](4,2.56)
\rput[bl](4.08,2.64){$F$}
\rput[bl](1.76,3.72){$M$}
%\rput[bl](1.38,3.46){\qqwuqq{$90\textrm{\degre}$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
On pose $BF=x$ et $DE=y$. Le réel $x$ appartient à l'intervalle $[0;10]$.
\begin{enumerate}
\item En comparant successivement dans les triangles $AMF $ et $ABF $ justifier que $MF=x$. Procéder de même pour justifier que  $ME=y$. En déduire que $$ EF=x+y$$
\item En considérant le triangle $CEF$, démontrer que :
$$ EF^2=x^2+y^2-20x-20y+200$$
puis, en utilisant le fait que $EF=x+y$, que 
$$ y(2x+20)=-20x+200$$
\item En déduire que $ y=\dfrac{100-10x}{x+10}$
\item En déduire enfin que que $EF=x+y=\dfrac{x^2+100}{x+10}$.
\item On considère la fonction $f$ définie sur $[0;10]$ par :
$$ f(x)=\dfrac{x^2+100}{x+10}$$
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de la fonction $f$.
\item En déduire que la valeur minimum de $EF$ est $20\sqrt{2}-20$ et que dans ce cas, $BE=DF$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}



\end{document}