  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\newcommand{\ch}{Chapitre 7}
\newcommand{\Ch}{Loi binomiale}
\newcommand{\Cl}{1 S}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\pagestyle{styleDav}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 7}
\rhead{Loi binomiale}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Devoir Surveillé 6}


\Exoi{\hfill (3 points)\\
On sait qu'une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètre $n=10$ et $p>\dfrac{1}{2}$. On sait aussi que :
$$ V(X)=2$$
\begin{enumerate}
\item Rappeler la formule donnant l'espérance et la variance d'un loi binomiale.
\item Déterminer la valeur de $p$.
\item En déduire $E(X)$.
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (8 points)\\
Un homme se présente dans un village Syldave et se déclare devin. Les habitants sceptiques le soumettent à une série de test, il se trouve que dans $8$ cas sur $10$ notre homme devine la bonne réponse.\\
On lance $15$ fois de suite une pièce de monnaie Syldave bien équilibrée, on admet que l'homme \og devin \fg{} a $8$ chance sur $10$ de prévoir le bon résultat. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de bons résultats donné par l'homme \og devin \fg.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ ; en donner ses paramètres. \textit{Justifier.}
\item Calculer la probabilité pour que l'homme \og devin \fg{} ne donne aucune bonne réponse.
\item Calculer la probabilité pour que l'homme \og devin \fg{} donne exactement $8$ bonnes réponses.
\item Calculer la probabilité pour que l'homme \og devin \fg{} donne au moins une bonne réponse.
\item Finalement, l'homme \og devin \fg{} donne $11$ bonnes réponses, peut-il être satisfait de lui-même ?
\item Parmi les deux diagrammes en barre suivant, lequel peut représenter la loi de probabilité de $X$ ? \textit{Justifier}.
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{hist2.eps}
\includegraphics[scale=0.4]{hist.eps}
\end{center}
\end{multicols}
\item Avant chaque réponse de l'homme \og devin \fg{}, le lanceur (de la pièce de monnaie) paie $3$ pièces Syldave en cas de bonne réponse de l'homme \og devin\fg{}, et en cas de mauvaise réponse l'homme \og devin \fg{} paie $2$ pièce Syldave.
\begin{enumerate}
\item Combien l'homme \og devin \fg peut-il espérer gagner d'argent lors d'une série de $100$ lancers ? \textit{Justifier.}
\item Les hommes \og devin \fg{} Syldave voit leur probabilité divinatoire baisser en vieillissant. A partir de quelle probabilité de réussite ce \og métier \fg{} lui permet-il de gagner plus de $150$ pièces Syldave en $100$ lancers ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\Exoi{ \hfill (8 points)\\
Une compagnie de transports désire optimiser les contrôles afin de limite l'impact des fraudes.
 Cette compagnie effectue une étude basée sur deux trajets par jour pendant les 20 jours ouvrables d'un mois,
 soit au total $40$ trajets. On admet que les contrôles sont indépendants les uns des autres et que la probabilité
 pour tout voyageur d'être contrôlé est égale à $p$.\\
 Un trajet côute $10 \euro$. En cas de fraude, l'amende est de $100\euro$.\\
 Théo fraude systématiquement lors des $40$ trajets étudiés (ce n'est pas bien du tout !).\\
 Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de trajets où Théo a été contrôlé.
\begin{enumerate}
 \item Quelle loi suit $X$. Justifier.
 \item On suppose que $p=0.05$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer à $10^{-4}$ près $P(X=5)$. Interpréter.
  \item Calculer à $10^{-4}$ près la probabilité que Théo soit contrôlé au moins une fois.
  \item Calculer à $10^{-4}$ près la probabilité que Théo soit contrôlé au plus deux fois.
  \end{enumerate}
\item Soit $Z$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique réalisé par le fraudeur.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $Z=400-110X$.
        \item Calculer $E(Z)$.
      \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item La fraude est-elle favorable ou non pour Théo ?
        \item Pour quelles valeurs de $p$ en serait-il autrement ?
       \end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\Exoi{\hfill (8 points)\\
Le druide de Gattaca a besoin pour préparer sa potion magique de champignons syldave. Il envoie $11$ vaillants citoyens les chercher. Parsemé de périls et d'embuche on estime qu'un citoyen (aussi vaillant soit-il) a $2$ chances sur $17$ de périr pour aller dans la forêt et tout autant pour revenir à Gattaca.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'un citoyen revienne vivant de l'excursion. \textit{on pourra s'aider d'un arbre de probabilité.}
\item On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de survivant. 
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $X\hookrightarrow B\left(11; \dfrac{225}{289}\right)$
\item Calculer la probabilité qu'au moins un citoyen ramène des champignons syldave nécessaire à la préparation de la potion magique.
\item Calculer $p(X=0)$ et $p(X=1)$.
\item En déduire la probabilité qu'au moins deux citoyens ramène des champignons syldave.
\item Calculer $E(X)$. Interpréter.
\end{enumerate}
\item Lance, un jeune cycliste Syldave, n'a pas la permission de consommer les champignons préparé par le druide, il décide donc de se débrouiller tout seul. Pendant une semaine tous les matins, Lance part chercher les fameux champignons et revient le soir afin de les préparer et de les manger.
\\
On note $Y$ la variable aléatoire donnant le nombre de jours où Lance a pu manger des champignons syldave.
\begin{enumerate}
\item Donner $p(Y=1)$ et $p(Y=2)$.
\item Recopier et compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
$k$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$\tabularnewline
\hline 
\hline 
$p(Y=k)$ &  &  &  &  &  &  &  & \tabularnewline
\hline 
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\Exoi{\hfill (3 points)\\
Un basketteur effectue une série de $7$ lancers francs. Il réussit chacun des lancers francs avec une probabilité égale à $p$.
\\
Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la plus petite valeur de $p$, à $10{-2}$ près, telle qu'on soit sûr à plus de $99\%$ que le basketteur réussisse au moins un des sept lancers francs.}

\Exoi{\hfill \textbf{Question Cactus}\\
%\begin{multicols}{2}
Le capitaine des pompiers de New-York réside à l’angle de la 7ème rue et de la 33ème avenue. La 
caserne se trouve à l’angle de la 15ème rue et de la 40ème avenue. Il s’y rend tous les jours à pied 
et sans perdre de temps (i.e. dans le sens des numéros croissants aussi bien pour les rues que 
pour les avenues). Sachant qu’il a commencé à travailler le jour de ses 18 ans, et sachant qu’il 
n’est jamais passé deux fois par le même chemin, quel est l’âge maximum du capitaine ?
%\end{multicols}
}

\end{document}