  \documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\fancypagestyle{styleDavMu}{%
\fancyhf{} 
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
	\fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ M.Rey-Cadours-\Dav \\ Lycée \LyDav }}}
	\fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ \Annee}}
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}\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
\pagestyle{styleDavMu}

\lhead{Chapitre 1-6}
\rhead{commun}

\newcommand{\Ch}{ds commun}	
\newcommand{\Cl}{1 S}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}
\newcommand{\Profs}{M.Rey-Cadours/D.Zancanaro}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Devoir commun 1S1 et 1S3}


\Exoi{\textbf{Fonctions de références}\hfill (5 points)\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=2|1-x|-|x+3|$$
\begin{enumerate}
%\item Montrer que pour tout réel $x>1$ :
%$$ f(x)=x-5$$
\item Ecrire $f(x)$ sans utiliser les valeurs absolues. \\\textit{On pourra vérifier que pour tout réel $x>1$ on a $f(x)=x-5$}
\item En déduire le tableau de variation de $f$.
\item La fonction $f$ admet-elle un maximum ? un minimum ? Si oui lequel ?
\item Tracer la représentation graphique $\mathscr C_f$ de $f$ dans un repère orthonormé.
\item Déterminer, graphiquement, les solutions  de l'inéquation $f(x)<0$. \\
\textit{On se contentera de valeurs approchées.}
\end{enumerate}}

\Exoi{\textbf{Second degré}\hfill (5 points)\\
%\begin{center}
%\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-1.23,-1.03)(5.88,3.96)
%\pspolygon[linecolor=ccqqqq,fillcolor=ccqqqq,fillstyle=solid,opacity=0.5](3.9,3)(5,3)(5,0)(3.9,0)
%\pscircle[linecolor=ccqqqq,fillcolor=ccqqqq,fillstyle=solid,opacity=0.5](1.95,1.5){1.1}
%\psline(0,0)(5,0)
%\psline(5,0)(5,3)
%\psline(5,3)(0,3)
%\psline(0,3)(0,0)
%\psline(-3.1,5.03)(-1.37,5.03)
%\psline(3.9,0)(3.9,3)
%\psline[linecolor=ccqqqq](3.9,3)(5,3)
%\psline[linecolor=ccqqqq](5,3)(5,0)
%\psline[linecolor=ccqqqq](5,0)(3.9,0)
%\psline[linecolor=ccqqqq](3.9,0)(3.9,3)
%\psline{->}(1.95,1.5)(3.05,1.5)
%\psline{->}(3.05,1.5)(1.95,1.5)
%\rput[tl](2.38,1.39){$x$}
%\psline{->}(3.9,-0.4)(5,-0.4)
%\psline{->}(5,-0.4)(3.9,-0.4)
%\rput[tl](4.46,-0.45){$x$}
%\psline{->}(-0.4,0)(-0.4,3)
%\psline{->}(-0.4,3)(-0.4,0)
%\rput[tl](-0.73,1.88){$3$}
%\psline{->}(0,3.4)(5,3.4)
%\psline{->}(5,3.4)(0,3.4)
%\rput[tl](2.28,3.92){$5$}
%\begin{scriptsize}
%\psdots[dotstyle=*](-2.72,5.03)
%\rput[bl](-2.91,5.22){$e = 1.1$}
%\end{scriptsize}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
Soit $[AB]$ un segment de longueur $4$ cm et soit $M$ un point sur $[AB]$. Considérons les points $P$ et $Q$ tels que les triangles $APM$ et $BQM$ soient isocèles et rectangles respectivement en $P$ et $Q$:
\begin{center}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.52,-0.5)(4.41,1.97)
\pspolygon[fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(0.32,0.32)(0.64,0)
\pspolygon[fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.64,0)(2.32,1.68)(4,0)
\psline(0,0)(4,0)
\psline(0,0)(0.32,0.32)
\psline(0.32,0.32)(0.64,0)
\psline(0.64,0)(0,0)
\psline(0.64,0)(2.32,1.68)
\psline(2.32,1.68)(4,0)
\psline(4,0)(0.64,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0.32,0.32)(2.32,1.68)
\rput[tl](0.29,-0.09){$x$}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](-0.09,-0.18){$A$}
\psdots[dotstyle=*](4,0)
\rput[bl](4.04,-0.2){$B$}
\psdots[dotstyle=*](0.64,0)
\rput[bl](0.65,-0.18){$M$}
\psdots[dotstyle=*](0.32,0.32)
\rput[bl](0.28,0.44){$P$}
\psdots[dotstyle=*](2.32,1.68)
\rput[bl](2.28,1.8){$Q$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Justifier que $$PM^2=\dfrac{x^2}{2}$$
\item De la même façon, exprimer $QM^2$ en fonction de $x$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Justifier que le triangle $PQM$ est rectangle en $M$.
\item En déduire que $$PQ^2=x^2-4x+8$$
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $$x^2-4x+4=0$$
\item Existe-t-il des points $M$ tels que la distance $PQ$ soit égale à $2$ ?
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ définie sur $[0;4]$ par $$f(x)=x^2-4x+8$$
\textit{\underline{Indication} : On pourra déterminer la forme canonique de $f$ puis en déduire son tableau de variation}
\item En déduire la position du point $M$ pour que la distance $PQ$ soit minimale. Préciser alors cette longueur $PQ$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\pagebreak
\Exoi{\textbf{Trigonométrie}\hfill (4 points)
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ les équations trigonométriques suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
%\item $\sin x=\sin \dfrac{\pi}{4}$
\item $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
\item $\sin x=\dfrac{1}{2}$
%\item $\cos x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Donner les solutions des 2 équations précédentes appartenant à l'intervalle $[0;2\pi]$.
%\item Résoudre dans $\R$ :
%$$ \cos(2x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
\end{enumerate}
\item On prend 4 cm comme unité graphique. \\
On sait qu’un réel $x$ appartient à l’intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$ et que $\sin x=\dfrac{1}{4}$.\begin{enumerate}
\item Placer $x$ sur le cercle trigonométrique.
\item Quel est le signe de $\cos x$ ?
\item Calculer $\cos x$ (en donner une valeur exacte).
%\item Donner une valeur approchée de $x$ à $10^{-2}$ près, à l’aide de la calculatrice. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}}


\Exoi{\textbf{Probabilité}\hfill (5 points)\\
Afin de financer son voyage scolaire Sarah  décide d'organiser une tombola.\\
Elle dispose de 50 tickets qu'elle vends $8$ \euro{} chacun ; $15$ d'entre eux sont gagnants et rapportent chacun aux heureux vainqueur la coquette somme de $20$ \euro. Les autres tickets sont perdants.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
 \item Le voyage scolaire coûte à Sarah $120$ \euro{}. En supposant qu'elle vende tous les tickets fabriqués, cette tombola a-t-elle permis de financer son voyage ?
\item Sarah souhaite que cette tombola finance à l'euro près son voyage scolaire. Si elle ne modifie pas le prix du ticket et le nombre de ticket gagnant quelle récompense $m$ doit-elle proposer pour chacun des $15$ tickets gagnants ? 
\end{enumerate}
\item 
 Léo achètent deux tickets à Sarah. 
\\
On note $T_1$ l'événement \og le premier ticket acheté par Léo est gagnant \fg{} et $T_2$ l'événement \og le second ticket acheté par Léo est gagnant\fg{}.
\begin{enumerate}
%\item Donner $p(T_1)$ et $p(T_2)$.
\item Réaliser un arbre pondéré qui modélise cette expérience aléatoire.
\item Soit $A$ l'événement \og les deux tickets de Léo sont gagnants \fg{}, montrer que :
$$p(A)=\dfrac{3}{35}$$
\item Soit $B$ l'événement \og Léo a acheté exactement un ticket gagnant sur les deux \fg{}, déterminer $p(B)$.
\item On note $G$ la variable aléatoire donnant les gains de Léo.\\
Reproduire et compléter le tableau suivant (en détaillant les calculs) :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$G$ & -16 &$\dots$ & $\dots$& Total\\\hline
$p(G=x_i)$ & $\dots$ & $\dots$&$\dots$ & $\dots$\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Calculer l'espérance de $G$. Interpréter.
%\item Calculer $\sigma(G)$. Interpréter.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\pagebreak

\Exoi{\textbf{Vecteurs}\hfill (6 points)\\
$A$, $B$ et $C$ sont trois points non alignés du plan. Les points $G$ et $F$ sont définis par :
$$\overrightarrow{AG}+2\overrightarrow{BG}+3\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{0}\qquad \text{et}\qquad  \overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{BA}+3\overrightarrow{CA}$$
\partieBac{}
\begin{enumerate}
%\item Expliquer pourquoi $\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)$ forme une base du plan.
\item Démontrer que $$ \overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$$
\item Compléter la figure donnée en annexe 1.
\item Exprimer $\overrightarrow{BF}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
\item Que peut-on dire du quadrilatère $AGBF$ ? (justifier).
\end{enumerate}
\partieBac{}
On se place dans le repère $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ est un repère du plan.
\item Donner les coordonnées de $A$, $B$, $C$ et $G$ puis prouver que $F(-1;-3)$ dans le repère $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$.
\item Préciser un vecteur directeur de $(BF)$ puis déterminer l'équation de la droite $(BF)$.
\item La droite d'équation $\mathscr D :\dfrac{3}{2}x+y=0$ que l'on tracera est-elle parallèle à $(BF)$ ?
\item Le point $E\left(2;-\dfrac{3}{2}\right)$ est-il un point de $\mathscr D$ ?
\end{enumerate}
}

\pagebreak



\Exoi{\textbf{Suites Numériques}\hfill (5 points)\\
On considère une suite $(u_n)_{n\geq 0}$ définie par l'algorithme suivant : 
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ \\
$u$ est un nombre réel.\\
$ i$ et $n$ sont des nombres entiers.\\ \\
%\textbf{Début Algo}\\
}
{
$u:=-\dfrac{1}{2}$\\
Entrer $n$ \\
  \For{i allant de 1 à $n$}
{$u:=2u-1$}
Afficher $u$\\
%\textbf{Fin Algo}
}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Qu'affiche l'algorithme si l'utilisateur entre $n=1$ ?  et $n=5$ ?
\item Que fait cet algorithme ?
\end{enumerate}
\item On considère la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$\left\{ \begin{array}{l} u_0=-\dfrac{1}{2} \\ u_{n+1}=2u_n-1 \end{array} \right.  $$
\begin{enumerate}
\item Donner la fonction $f$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$.
\item Dans un repère donnée en annexe, à l’aide de la représentation graphique de la fonction $f$ et de la droite $\mathscr D $ d'équation $ y 
= x$ placer sur l'axe des abscisses les termes de $u_0$ à $u_3$. 
\item Conjecturer le sens de variation de la suite $u$ et sa limite. 
\end{enumerate}
\item On \textbf{admet que} la suite $u$ peut se définir pour tout entier naturel $n$ par :
$$ u_n=-\dfrac{3}{2}\times 2^n+1$$ 
\begin{enumerate}
\item Vérifier cette formule en calculant $u_0$ ; $u_1$ ; $u_2$ et $u_5$.
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a :
$$ u_{n+1}-u_n=-\dfrac{3}{2}\times 2^n$$
\item En déduire le sens de variation de la suite $u$. 
\end{enumerate}
\item \textbf{Bonus} : Modifier l'algorithme de départ afin que pour un tout nombre réel $A>0$ entré par l'utilisateur il renvoie le premier entier $n$ tel que $$ u_n<-A$$
\end{enumerate}
}


\pagebreak

\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\vfill
\begin{center}
\textbf{Annexe 1 : Exercice sur les vecteurs}
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-13.79,-0.08)(3.94,8.08)
\psline(-1.9,2.32)(0.64,1.1)
\psline(0.64,1.1)(1.14,4.52)
\psline(1.14,4.52)(-1.9,2.32)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-1.9,2.32)
\rput[bl](-2,2.44){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](1.14,4.52)
\rput[bl](1.27,4.63){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0.64,1.1)
\rput[bl](0.76,1.21){$C$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{center}
\vfill
\textbf{Annexe 2-Exercice sur les suites}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-12.1,-12.1)(3.1,1.6)
\def\xmin{-12} \def\xmax{3} \def\ymin{-12} \def\ymax{1.5}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-12.1,-12.1)(3.1,1.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-12,-12)(3,1.5)
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-0.5,0)(-0.5,-2)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(-0.5,0)(-0.5,-2)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-0.5,-2)(0,-2)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(-0.5,-2)(0,-2)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,-2)(-2,-2)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0,-2)(-2,-2)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-2,-2)(-2,0)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(-2,-2)(-2,0)
\def\F{2 x mul 1 sub}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-12}{3}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-12}{3}{\F}

\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){ O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){ $\vec{\imath}$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){ $\vec{\jmath}$}
%\uput[-90](-0.5,0){ $u_0$}
%\uput[180](0,-2){ $u_1$}
%\uput[-90](-2,0){ $u_1$}
%\end{pspicture*}


\end{pspicture*}

%\end{pspicture*}
\end{center}




\end{document}