  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Ch}{Probabilité}
\newcommand{\Cl}{1 S}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\pagestyle{styleDav}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 3}
\rhead{Probabilité}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Devoir Surveillé 3}


\Exoi{\hfill (9 points)\\
L'un des jeux les plus importants pour les peuples Syldaves et Grolandais est  un jeu de mémoire, nommé $JM$. Afin de se qualifier pour les championnats du monde, Pssgklm le syldave doit réussir les deux épreuves suivantes :
\begin{itemize}
\item La première épreuve consiste à réciter les $10 000$ premières décimales de $\pi$ sans se tromper.
\item La seconde épreuve consiste à énumérer la liste des $1000$ derniers champions du monde de $JM$.
\end{itemize}
Pssgklm sait qu'il a $75\%$ de chances de réussir la première épreuve pour laquelle il est très entraîné, en revanche il n'a qu'une chance sur trois de réussir la seconde. \\
Le gouvernement Syldave décide de récompenser ses athlètes de la manière suivante :
\begin{itemize}
\item $10000$ bonbons syldaves pour un Syldave réussissant les deux épreuves.
\item $ 1000$ bonbons syldaves pour un Syldave réussissant une seule des deux épreuves.
\item et rien pour un Syldave échouant aux deux épreuves.
\end{itemize}
Chaque Syldave doit payer $5000$ bonbons Syldave pour participer au concours.
\begin{enumerate}
\item Décrire par un arbre pondéré cette expérience aléatoire.
\item Calculer la probabilité que Pssgklm se qualifie pour les championnats du monde.
\item Calculer la probabilité que Pssgklm réussisse une seule des deux épreuves.
\item On note $G$ la variable aléatoire donnant les gains de Pssgklm en bonbons syldaves.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $G$.
\item Déterminer l'espérance de $G$. Pssgklm a-t-il raison de payer $5000$ bonbons syldaves pour tenter de participer au championnat du monde ?
\item Déterminer l'écart-type $\sigma(G)$. Interpréter.
\end{enumerate}
\item Le gouvernement Grolandais propose à notre héros (Pssgklm) la nationalition. En acceptant il multiplierait ses gains en bonbons Syldave par deux, mais devrait donner une participation deux fois plus importante pour s'inscrire aux qualifications.
\\
On note $Y$ la variable aléatoire donnant les gains de Pssgklm en bonbons Syldave offert par le gouvernement Grolandais.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $Y$ en fonction de $G$.
\item Calculer $E(Y)$ puis $\sigma(Y)$.
\item Pssgklm doit-il accepter la nationalisation sachant  qu'il n'a d'intérêt que pour les bonbons syldaves ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\Exoi{\hfill (2 points)\\
Soit $X$ une variable aléatoire prenant les valeurs $2$ ; $5$ ; $7$ et $9$. Soit $a$ un réel appartenant à l'intervalle $[0;1]$. La loi de probabilité de $X$ est résumée dans le tableau ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}\hline 
$x_i$ & 2 & 5 & 7 & 9 \\\hline
$p(X=x_i)$ & $\dfrac{1}{5}$ & $\dfrac{3}{10}$ & $\dfrac{1}{10}$ & $a$\\\hline
\end{tabularx}
\end{center} 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $a$.
\item En utilisant la calculatrice, donner l'espérance et l'écart-type de $X$.
\end{enumerate}
}
\pagebreak

\Exoi{\hfill (5 points)\\
Une usine produit des pièces électroniques. L'ensemble de la production est vendue. Une pièce est vendue $15$ \euro. \\
On sait que :
\begin{itemize}
\item chaque pièce coûte $7$ euros à produire et à tester ;
\item il faut compter $4$ euros supplémentaires pour réparer une pièce.
\end{itemize}
En moyenne on observe, pour un échantillon de $2000$ pièces prélevées au hasard, les proportions données par le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline 
pièce défectueuses & pièces non défectueuses & Total \\\hline
$60$ & $1940$ & $2000$\\\hline
\end{tabular}
\end{center} 
\begin{enumerate}
\item On note $X$ la variable aléatoire donnant le gain par pièce vendue.\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
\item Calculer le gain moyen par pièce vendue.
\item Sachant que les ateliers fabriquent $30000$ pièces par an. Estimer le gain annuel en euros de l'entreprise. 
\end{enumerate}
\item Le PDG de cette entreprise envisage d'éliminier les pièces défectueuses sans les réparer et de vendre $20$ \euro les pièces non défectueuses. Cette stratégie est-elle rentable pour l'entreprise ?
\end{enumerate}
}


\Exoi{\hfill (4 points)\\
Un sac contient $100$ boules. Sur chacune des ces boules est inscrit l'un des numéros $0$, $1$, $2$, $3$ ou $4$. Le tableau ci-dessous donne la répartition de ces boules suivant leur numéro :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Numéro Inscrit & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\\hline
Nombre de boules & 30 & 25 & 20 & 15 & 10\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
Un joueur joue à un jeu dont la règle suit l'algorithme suivant :
\Algo[Tirer une boule]{12.5cm}{
\Entree{ 
 $n$ est un nombre entier compris entre $0$ et $4$\\
$Gain$ est un entier.}
%\Deb{
\\
$n$ prend une valeur entière, au hasard, entre $0$ et $4$.\\
  \IfThenElse{ $n$ est pair }
    {$Gain:=n$ }
      {$Gain:=-n$}\\
      Afficher \og Vous avez gagné \fg{} $Gain$ \og euros \fg.
%}
}
On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque numéro de boule tirée, associe le gain du joueur.
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les valeurs prise par $X$ ?
\item Déterminer la loi de probabilité de $X$. 
\item Calculer l'espérance $E(X)$. Le jeu est-il avantageux pour le joueur ?
\end{enumerate}
}
\Exoi{\hfill\textbf{Question Cactus}\\
Venus en France en $1665$, Christiaan Huygens a étudié des problèmes traités et proposés par Fermat et Pascal.
\\
\textit{Enoncé de l'un des problèmes} : On a un jeu de $40$ cartes contenant $10$ cartes de $4$ couleurs différentes. \\
On tire $4$ cartes de ce jeu.\\
Huygens veut connaître la probabilité d'avoir tiré une carte de chaque couleur.}

\end{document}