  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macrodwicky.tex
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\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{Trigonométrie}
\newcommand{\Cl}{1 S}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\pagestyle{styleDav}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 2}
\rhead{Trigonométrie}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Devoir Surveillé 2}


\Exoi{\hfill (5 points)\\
\begin{multicols}{2}
Dans la figure ci-contre, $ABC$ est un triangle équilatéral direct, $CBD$, $ACE$ et $AFB$ sont des triangles rectangles isocèles respectivement en $D$, $E$ et $F$. \\
Déterminer la mesure principale, en radians, des angles suivants :
$$ \left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AE}\right),\quad  \left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BF}\right),\quad  \left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{AC}\right)\footnote{On rappelle que quel que soit les points $A$, $B$ et $C$ on a $\left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{AC}\right)=\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)+\pi [2\pi]$ }, \quad  \left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{CA}\right)\text{ et }  \left(\overrightarrow{EA};\overrightarrow{CA}\right)$$
\textit{\underline{Indication} : \\Il pourra être utile d'utiliser la relation de Chasles.}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\newrgbcolor{ttccqq}{0.2 0.8 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.13,0.07)(2.4,5.46)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-2.44,4.81)(-2.12,4.77)(-2.09,5.1)(-2.41,5.13)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.66,3.66)(1.47,3.4)(1.73,3.21)(1.92,3.47)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-1.39,0.68)(-1.52,0.97)(-1.81,0.84)(-1.68,0.55)
\pspolygon[linecolor=ttccqq,fillcolor=ttccqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-2.66,2.74)(-0.02,4.88)(0.51,1.52)
\psline(-2.66,2.74)(0.51,1.52)
\psline(-1.07,2.21)(-1.12,2.08)
\psline(-1.02,2.19)(-1.07,2.06)
\psline(0.51,1.52)(-0.02,4.88)
\psline(0.18,3.16)(0.32,3.19)
\psline(0.17,3.22)(0.31,3.24)
\psline(-2.66,2.74)(-0.02,4.88)
\psline(-1.4,3.85)(-1.32,3.74)
\psline(-1.36,3.88)(-1.28,3.77)
\psline(-2.66,2.74)(-2.41,5.13)
\psline(-2.6,3.94)(-2.47,3.93)
\psline(-2.41,5.13)(-0.02,4.88)
\psline(-1.21,5.07)(-1.22,4.94)
\psline(-2.66,2.74)(-1.68,0.55)
\psline(-2.11,1.67)(-2.23,1.61)
\psline(-1.68,0.55)(0.51,1.52)
\psline(-0.61,1.1)(-0.56,0.97)
\psline(0.51,1.52)(1.92,3.47)
\psline(1.16,2.54)(1.27,2.46)
\psline(1.92,3.47)(-0.02,4.88)
\psline(0.91,4.12)(0.99,4.23)
\psline[linecolor=ttccqq](-2.66,2.74)(-0.02,4.88)
\psline[linecolor=ttccqq](-0.02,4.88)(0.51,1.52)
\psline[linecolor=ttccqq](0.51,1.52)(-2.66,2.74)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=+](-2.66,2.74)
\rput[bl](-2.84,2.58){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=+](-0.02,4.88)
\rput[bl](0.02,4.94){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=+](0.51,1.52)
\rput[bl](0.62,1.36){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=+](-2.41,5.13)
\rput[bl](-2.35,5.17){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=+](1.92,3.47)
\rput[bl](1.99,3.5){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=+](-1.68,0.55)
\rput[bl](-1.77,0.3){$F$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{multicols}}
\Exoi{\hfill (4 points)\\
On prend $3$ cm comme unité graphique. 
 On sait qu'un réel $x$ appartient à l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2} ; \pi \right]$ et que  $\sin(x)=\dfrac13$.
  \begin{enumerate}
         \item Placer $x$ sur le cercle trigonométrique.
         \item Quel est le signe de $\cos x$ ?
         \item Calculer $\cos(x)$ \textbf{(en valeur exacte)}.
         \item Donner une valeur approchée de $x$ à $10^{-2}$ près, à l'aide de la calculatrice.
        \end{enumerate}
}


%\Exoi{\hfill (points)\\
%On donne $\cos\left(-\dfrac{2\pi}{5}\right) = \dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\,$ et 
%on admet que $\sin^2\left(-\dfrac{2\pi}{5}\right)= \dfrac{5+\sqrt{5}}{8}$. 
%\begin{enumerate}
%\item  Déterminer la valeur exacte de 
%$\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right) \, $ et de $\,\cos\left(\dfrac{3\pi}{5}\right) $.
% \item Déterminer la valeur exacte de $\sin\left(-\dfrac{2\pi}{5}\right) \, $ et de $\, \sin\left(\dfrac{8\pi}{5}\right)$.
%\end{enumerate}}


\Exoi{
\hfill (6 points)
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate} 
\item Résoudre l'équation $\sin(x)=\dfrac{1}{2}$ dans :
\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
 \item[\textbullet] $]-\pi ; \pi] $
 \item[\textbullet] $[0 ; 2\pi [$
 \item[\textbullet] $ \R$
\end{itemize}
\end{multicols}
\item Le nombre $\dfrac{65\pi}{6}$ est-il solution de cette équation dans $\R$ ? %et le nombre $\dfrac{-68\pi}{7}$ ?
      \end{enumerate}
% \item \begin{enumerate} 
% \item Résoudre dans l'intervalle $]-\pi ; \pi]$ l'équation $\sin(x)=\dfrac{1}{2}$.
% \item Donner ensuite les solutions de cette équation %sur $\R$, puis les solutions 
%dans $[0 ; 2\pi[$.
%\end{enumerate}
\item \begin{enumerate} 
 \item Résoudre dans l'intervalle $]-\pi ; \pi]$ l'équation $\cos(x)=\dfrac{1}{2}$.
 \item Le nombre $-\dfrac{22\pi}{3}$ est-il solution de cette équation dans $\R$ ?
% \item Donner ensuite les solutions de cette inéquation dans $[-2\pi ; 3\pi[$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate} 
 \item Résoudre dans l'intervalle $]-\pi ; \pi]$ l'équation $\cos(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}2$.
 \item En déduire les solutions de l'inéquation $\cos(x)>-\dfrac{\sqrt{2}}2$ dans $]-\pi ; \pi]$.
% \item Donner ensuite les solutions de cette inéquation dans $[-2\pi ; 3\pi[$.
\end{enumerate}
%\item On a interrogé le logiciel de calcul formel XCAS en entrant la ligne suivante :
%\begin{center}
%\fbox{\texttt{solve(2*sin(x)\^{}2-sin(x)-1=0,x)}} 
%\end{center}
%\begin{enumerate}
%       \item Que demande-t-on au logiciel ?
% \item Trouver les trois nombres réels que le logiciel renvoie.
%      \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\pagebreak
\Exoi{\textit{de la trigonométrie avec $\dfrac{\pi}{8}$}\hfill (10 points)\\
On considère un repère orthonormal $(O;I,J)$. $8$ cm représente $1$ unité graphique. \\
On note $\mathscr C$ le cercle trigonométrique de centre $O$ passant par $I$, soiit $B$ le point de $\mathscr C$ tel que :
$$ \left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OB}\right)=\dfrac{\pi}{4}$$
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Construire la figure en laissant les traits de construction apparent.
\item Placer le point $A\in\mathscr C$ tel que  $\left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OA}\right)=\dfrac{\pi}{8}$
\item Construire le polygone régulier à $16$ côtés dont $A$, $I$ et $J$ sont des sommets.
\item Placer les points $C$, $D$, $E$, $F$ et $G$ de $\mathscr C$ tels que :
$$\left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OC}\right)=-\dfrac{\pi}{8}\qquad  \left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OD}\right)=\dfrac{7\pi}{8}\qquad  \left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OE}\right)=-\dfrac{7\pi}{8}\qquad  \left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OF}\right)=\dfrac{3\pi}{8}\qquad \text{et}\qquad  \left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OG}\right)=\dfrac{5\pi}{8}$$
\end{enumerate}
\item Donner les coordonnées de $B$.
\item Calculer $IB$. On donnera la valeur exacte de $IB$ puis une valeur arrondi au dixième de $IB$ en $cm$.
\item On note $H$ le point d'intersection entre la droite $(OA)$ et la droite $(IB)$. Quelle est la nature du triangle $OHI$ ?
\item Montrer que $IB=2\sin \dfrac{\pi}{8}$. En déduire la valeur exacte de $\sin \dfrac{\pi}{8}$.
\item En déduire la valeur exacte de $\cos \dfrac{\pi}{8}$.
\item Donner les coordonnées des points $C$, $D$, $E$, $F$ et $G$.
\end{enumerate}
}


\Exoi{\hfill\textbf{Question Cactus}\\
A quelle(s) heure(s) exactement les aiguilles des heures et des minutes d'une montre sont-elles superposées ?}

\end{document}