\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}

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\begin{document}

\fancypagestyle{styleDavMu}{%
\fancyhf{} 
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	\fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Dav \\ Lycée \LyDav }}}
	\fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ \Annee}}
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\pagestyle{styleDavMu}

\lhead{Mai 2013}
\rhead{commun}

\newcommand{\Ch}{dm révision}	
\newcommand{\Cl}{1 S}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}
\newcommand{\Profs}{D.Zancanaro}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Devoir maison : préparation au devoir commun}

\Exoi{\\
\partieBac{}
Soit $f$ la fonction définie par $$f(x)=\dfrac{4x-1}{x+2}$$.
On note $\mathscr C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
\begin{enumerate}
\item Préciser l'ensemble de définition $D_f$ de $f$?
\item Déterminer $f'(x)$ puis dresser le tableau de variations de $f$..
\item Résoudre l'équation $f(x)=x$ puis interpréter graphiquement le résultat.
\item Existe-t-il des tangentes à $\mathscr C_f$ parallèles à la droite d'équation $y=x$? Donner leur équation.
\end{enumerate}
}
\partieBac{}
On définit la suite de nombres réels $(u_n)$ par $$ \left \{\begin{array}{l}
u_0=6
\\u_{n+1}=\dfrac{4u_n-1}{u_n+2} \qquad n \in \N
\end{array}
\right.$$
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item Utiliser la courbe de $f$ donnée ci-contre pour construire sur l'axe des abscisses les termes $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
\item Cette suite semble-t-elle convergente? Si oui, préciser sa limite.
\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(8,8)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-1)(8,8)
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-1)(8,8)
\psplot[plotpoints=200]{-1.0}{8.0}{(4*x-1)/(x+2)}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout $n \in \N$ par $$v_n=\dfrac{1}{u_n-1}$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier $n\in\N$, $$v_{n+1}=v_n+\dfrac{1}{3}$$
\item Quelle est la nature de la suite $(v_n)$?
\item Donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer la somme $$v_9+v_{10}+\dots+v_{2013}$$
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $$u_n=\dfrac{18+5n}{3+5n}$$
\item Etudier le sens de variations de la suite $(u_n)$
\end{enumerate}
%\item Soit l'algorithme suivant qui renvoie la valeur de $u_n$ pour un entier $n$ donné.
%\begin{cadrecode}
%\begin{small}
%\begin{verbatim}
%1   VARIABLES
%2     u EST_DU_TYPE NOMBRE
%3     n EST_DU_TYPE NOMBRE
%4   DEBUT_ALGORITHME
%5     LIRE n
%6     u PREND_LA_VALEUR (18+5n)/(3+5n)
%7    AFFICHER u
%8  FIN_ALGORITHME

%\end{verbatim}
%\end{small}
%\end{cadrecode}
%Modifier cet algorithme afin que pour un entier positif $epsilon$ donné, l'algorithme renvoie le plus petit entier $n$ tel que $u_n\in]0.5;0.5+epsilon[$.
\end{enumerate}


\Exoi{
Avant le début des travaux de construction d'une autoroute, une équipe d'archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain.
 \\
Lorsque le $n$-ième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif.
 \\
L'évènement : \og le $n$-ième sondage est positif \fg{} est noté $V_{n}$, on note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $V_{n}$. 
\\
L'expérience acquise au cours de ce type d'investigation permet de prévoir que: 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à $0,6$ d'être aussi positif; 
\item[$\bullet~$] si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à $0,9$ d'être aussi négatif. 
\end{itemize}
On suppose que le premier sondage est positif, c'est-à-dire : $p_{1} = 1$.
\begin{enumerate}
\item Réaliser un arbre pondéré jusqu'au 3\up{e} sondages.
\item Calculer les probabilités des évènements suivants : 
	\begin{enumerate}
		\item A : \og les 2\up{e} et 3\up{e} sondages sont positifs \fg{} ; 
		\item B : \og les 2\up{e} et 3\up{e} sondages sont négatifs \fg.
	\end{enumerate} 
\item Calculer la probabilité $p_{3}$ pour que le 3\up{e} sondage soit positif. 
\item \begin{multicols}{2}
$n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
 \\
Recopier et compléter l'arbre ci-contre en fonction des données de l'énoncé : 
\begin{footnotesize}
\begin{center}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\Tdot\taput{$p_{n}$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$V_{n+1}$}\taput{\psframe(0.7,0.4)}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{V_{n+1}}$}\tbput{\psframe(0.7,-0.4)}
 		}
	\pstree{\Tdot\tbput{$1 - p_{n}$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$V_{n+1}$}\taput{\psframe(0.7,0.4)}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{V_{n+1}}$}\tbput{\psframe(0.7,-0.4)}
 		}
}
\end{center}
\end{footnotesize}
\end{multicols}
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, établir que : $p_{n+1} = 0,5p_{n} + 0,1$. 
\item On note $u$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_{n} = p_{n} - 0,2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $u$ est une suite géométrique, en préciser le premier terme et la raison. 
		\item Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Calculer la limite, quand $n$ tend vers $+ \infty$, de la probabilité $p_{n}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
}

\Exoi{}
Une entreprise fabrique un article qui doit r\'epondre \`a des normes pr\'ecises. On consid\`ere que $8\:\%$ des articles produits ne sont pas conformes aux normes. 
Un test de contr\^ole en fin de fabrication est cens\'e rep\'erer les articles non conformes. Cependant le test comporte une certaine marge d'erreur ; une \'etude a \'etabli que :\par
\noindent $\bullet~5\:\%$ des articles conformes aux normes sont refus\'es par le test ;\par
\noindent $\bullet~10\:\%$ des articles non conformes aux normes sont accept\'es par le test.\par
On consid\`ere un article pris au hasard au moment de passer le test. On note :\par
C l'\'ev\'enement \og l'article est conforme aux normes \fg{} ;\par
T l'\'ev\'enement \og l'article est accept\'e par le test \fg{}.\par
$\overline{\text{C}}$  et $\overline{\text{T}}$ d\'esignent les \'ev\'enements contraires respectifs de C et T.\par
La partie 4 est ind\'ependante des questions pr\'ec\'edentes.
\begin{enumerate}
\item Compl\'eter le tableau \`a double entr\'ee ci-dessous (on donnera les r\'esultats en pourcentages) :
\begin{footnotesize}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
	\hline
	&&&\\	&$~~~~C~~~~~~$&$~~~~~\overline{C}~~~~~~$&$~~~~~$Total$~~~~~$\\
	&&&\\
	\hline
	&&&\\
	$T$&&&\\
	&&&\\
	\hline
	&&&\\
	$\overline T$&&&\\
	&&&\\
	\hline
	&&&\\
	Total&&&100\\
	&&&\\
	\hline
	\end{tabular}
\end{center}
\end{footnotesize}
\item Que signifie l'\'ev\'enement $C\cap T$? Calculer sa probabilit\'e.
\item Calculer la probabilit\'e $p(T)$ que la pi\`ece soit accept\'ee par le test.
\item On suppose pour la suite que la probabilit\'e que l'article soit accept\'e par le test est de 0,882.\par
      On pr\'el\`eve  successivement 20 articles dans la production et on suppose que le nombre d'articles est suffisamment grand pour que le tirage puisse \^etre assimil\'e \`a un tirage avec remise.
      On donnera les r\'esultats arrondis aux milli\`emes si n\'ecessaire.\par
      On note $X$ la variable al\'eatoire donnant le nombre d'articles accept\'es par le test parmi les 20 articles pr\'elev\'es au hasard.
      \begin{enumerate}
	\item Quelle est la loi de probabilit\'e suivie par $X$?  Pr\'eciser ses param\`etres.
	\item D\'eterminer la probabilit\'e que 18 des 20 articles soient  accept\'es par le test.\par On \'ecrira le calcul effectu\'e.\par
	\item Comment peut-on noter la probabilit\'e que au maximum  18 articles soient accept\'es par le test ? Calculer cette probabilit\'e.
	\item Quelle est la probabilit\'e que au moins un articles soient refus\'es par le test?
        \item D\'eterminer l'esp\'erance de la variable al\'eatoire $X$ et en donner une interpr\'etation.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
%}

\Exoi{Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $I=]-4 ; + \infty[$ par :
$f(x)=\dfrac{x^3-2}{x+4}$  et     $g(x)=2(x^3+6x^2+1)$
\begin{enumerate}
 \item Calculer la dérivée de $f$ sur $I$.
 \item  \begin{enumerate}
  \item Etudier les variations de $g$ sur $I$.
 \item En déduire le signe de $g$ sur $I$.
 \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item Utiliser ce qui précède pour établir le tableau de variations de $f$ sur $I$.
\end{enumerate}
 \end{enumerate}}
\end{document}