  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Suites}
\newcommand{\Cl}{1 S}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\pagestyle{styleDav}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 6}
\rhead{Suite}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Devoir Maison 7 : Dérivation}

\Exoi{Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\dfrac{x}{x^2+4}$$
 \begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ pour tout $x\in\R$.
\item Etudier le signe de $f'(x)$ en fonction des valeurs de $x$, puis en déduire les variations de la fonction $f$.
\item Donner, s'ils existent, le minimum et le maximum de $f$ sur $[-4;4]$.
\end{enumerate}}

\Exoi{On considère la fonction $h$ définie et dérivable sur $\R$ par :
$$ h(x)=3x^3+11x^2+5x$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $h'(x)$, etudier le signe de $h'(x)$ en fonction des valeurs de $x$ puis en déduire le sens de variation de $h$.
\item En déduire le nombre de solution de l'équation $h(x)=3$.
\item A l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la plus grande des solutions et les valeurs exactes des autres solutions.
\item Résoudre l'inéquation $h(x)>3$.
\end{enumerate}}

\Exoi{
\begin{multicols}{2}
Dans un tronc d'arbre circulaire, on découpe une poutre de forme parallélépipèdique rectangle. La résistance à la flexion de cette poutre varie comme le produit $\ell \times h^2$ où $\ell$ et $h$ sont les dimensions ci-contre :\\
On prend comme unité de longueur le rayon du tronc d'arbre.
\begin{center}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.85,-2.39)(2.53,2.06)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.73,0.2)(1.55,0.2)(1.55,0)(1.73,0)
\pscircle(0,0){2}
\pscircle(0,0){2}
\psline(-1.73,1)(1.73,1)
\psline(1.73,1)(1.73,-1)
\psline(1.73,-1)(-1.73,-1)
\psline(-1.73,1)(-1.73,-1)
\psline(0,0)(1.73,1)
\psline(0,0)(1.73,0)
\rput[tl](0.66,0.89){$1$}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.52}{0.4*cos(t)+0|0.4*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psline{->}(-2.3,0)(-2.3,1)
\psline{->}(-2.3,0)(-2.3,-1)
\rput[tl](-2.6,0.14){$h$}
\psline{->}(0,-2.3)(-1.73,-2.3)
\psline{->}(0,-2.3)(1.73,-2.3)
\rput[tl](-0.05,-2.04){$\ell$}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](-0.2,-0.2){$O$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](1.73,1)
\rput[bl](1.8,1.03){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-1.73,1)
\rput[bl](-1.9,1.03){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-1.73,-1)
\rput[bl](-1.9,-1.2){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](1.73,-1)
\rput[bl](1.8,-1.1){$D$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](1.73,0)
\rput[bl](0.2,0){\qqwuqq{$\alpha$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $ h^2=4-\ell^2$
\item En déduire que $\ell h^2=-\ell^3+4\ell$.
\item Soit $f(x)=-x^3+4x$ pour $x\geq 0$. 
\begin{enumerate}
\item Etudier le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[0;+\infty[$.
\item Comment choisir $\ell$ et $h$ pour que la poutre résiste au mieux à la flexion ?
\item Quel est l'angle $\alpha$ correspondant à $0,1^\circ $ près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{Un industriel doit fabriquer une boîte fermée de volume $1$ dm$^3$ ayant la forme d'un parallélépipède rectangle de hauteur $y$ et dont la base est un carré de côté $x>0$. L'unité de longeur est le décimètre.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $y=\dfrac{1}{x^2}$
\item En déduire que l'aire totale de la boîte est :
$$ S(x)=2x^2+\dfrac{4}{x}$$
\item Montrer que pour $x>0$ on a :
$$ S'(x)=\dfrac{4(x-1)(x^2+x+1)}{x^2}$$
\item \begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de signe de $S'$ sur $]0;+\infty[$.
\item En déduire le tableau de variation de $S$ sur $]0;+\infty[$.
\item Donner les dimensions de la boîte d'aire minimale.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}
\end{document}