  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macrodwicky.tex
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\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Suites}
\newcommand{\Cl}{1 S}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\pagestyle{styleDav}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 6}
\rhead{Suite}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Devoir Maison 6 : Suite}

\Exoi{\hfill \textbf{La suite de Syracuse}\\
On étudie l'algorithme suivant :
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ \\
$u$ est un nombre réel.\\
$p$ est un nombre entier.\\ \\
%\textbf{Début Algo}\\
}
{
$p:=1$\\
Entrer $u$ \\
  \While{$u\neq 1$}
{
\IfThenElse{$u$ est pair}
{$u:=\dfrac{u}{2}$}
{$u:=3u+1$}
$p:=p+1$
}
Afficher $p$
%\textbf{Fin Algo}
}
}
\end{center}
\partieBac{Comprendre un algorithme}
\begin{enumerate}
\item On applique cet algorithme pas à pas avec la valeur $u=12$ lue en entrée. Reproduire et compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
$u$ & $12$ & $6$ & $3$ & $10$ & $5$ & $16 $ & $8$ & $4$ & $2$ & $\dots$\tabularnewline
\hline 
\hline 
$p$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $\dots$ & $\dots$ & $\dots$ & $\dots$\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}
\end{center}
\item Qu'affiche alors l'algorithme pour $u=12$ ?
\item Appliquer également l'algorithme avec $u=14$ puis $u=100$.
\end{enumerate}
\partieBac{Vers la conjecture de Syracuse}
La suite de Syracuse d'un nombre entier $N$ est définie par récurrence, de la manière suivante :
    $$ \left\{\begin{array}{l} u_0=N\\ u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2} \quad \text{lorsque } u_n \quad \text{est pair}.\\ u_{n+1}=3u_n+1\quad \text{lorsque } u_n \quad \text{est impair}.\end{array}\right.$$
\begin{enumerate}
\item Quelle est la suite de syracuse de l'entier $N=12$ ? de l'entier $N=14$ puis $N=100$ ?
\item Selon vous, atteint-on toujours le nombre $1$, quelque soit le nombre entier strictement positif $N$ choisit ? \\
\textbf{Il s'agit de la conjecture de Syracuse}
\item Si vous avez fait de l'erreur de répondre non à la question précédente, trouver un entier $N$ tel que nous n'atteignons jamais $1$.
\end{enumerate}
\textit{Remarque historique} : 
\begin{itemize}
\item En dépit de la simplicité de son énoncé, cette conjecture défie depuis de nombreuses années les mathématiciens. Paul Erdős a dit à propos de la conjecture de Syracuse : \og les mathématiques ne sont pas encore prêtes pour de tels problèmes \fg.
\item Cette conjecture mobilisa tant les mathématiciens durant les années 1960, en pleine guerre froide, qu'une plaisanterie courut selon laquelle ce problème faisait partie d'un complot soviétique visant à ralentir la recherche américaine.
\end{itemize}
\pagebreak
\partieBac{Temps de vol - vol en altitude}
On donne les deux définitions suivantes :
\begin{itemize}
\item \textbf{Temps de vol} : Il s'agit du plus petit entier $n$ tel que $u_n=1$.
\item \textbf{Temps de vol en altitude} : Il s'agit du plus petit entier $n$ tel que $u_{n}<u_0$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Déterminer le temps de vol de l'entier $N=17$, puis de $N=12$, $N=14$ et enfin de $N=100$.
\item Déterminer le temps de vol en altitude des entiers $N=17$, $N=12$, $N=14$ et enfin $N=100$.
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill \textbf{Le flocon de Koch}\\
Le flocon de Koch est une figure géométrique obtenue à partir d'un triangle équilatéral pa réitération d'une transformation appliquée à chaque côté du triangle.\\
\textbf{Description de la transformation} : Pour chacun des côtés du triangle on effectue la transformation suivante :
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{flocon3.eps}
\end{center}
Ce qui donne :
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{flocon1.eps}
\end{center}
\partieBac{Etude du nombre de côtés}
Pour tout entier naturel $n$, $n\geq 0$, on note $C_n$ le nombre de segments qui constituent le flocon à l'étape $n$ (ainsi $C_0=3$, $C_1=12$).
\begin{enumerate}
\item Donner $C_2$, $C_3$ et $C_4$.
\item Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$. 
\item Vérifier, sur les premiers termes, que $C_n=3\times 4^{n}$.
\end{enumerate}
\partieBac{Etude du périmètre}
Pour tout entier naturel $n$, $n\geq 0$, on note $u_n$ la longueur du segment à l'étape $n$ (ainsi $u_0=1$, $u_1=\dfrac{1}{3}$).
\begin{enumerate}
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
\item Vérifier, sur les premiers termes, que $u_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}$
\item Déterminer le périmètre, noté $p_n$, du flocon à l'étape $n$.
\item Donner la limite de la suite $p$.
\end{enumerate}
\partieBac{Etude de l'aire}
Pour tout entier naturel $n$, $n\geq 0$, on note $a_n$ l'aire du flocon à l'étape $n$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $a_0$.
\item De l'étape $n$ à l'étape $n+1$, l'aire est augmentée de celle des $C_n$ triangles équilatéraux de côté $u_{n+1}$.\\
En déduire $a_{n+1}-a_n$ en fonction de $n$.
\item Montrer alors que, pour $n\geq 1$ on a :
$$ a_{n+1}=a_n+\dfrac{\sqrt{3}}{12}\times \left(\dfrac{4}{9}\right)^{n}$$
\item Donner de $a_{2}$, $a_3$, $a_4$ et $a_5$ arrondie au millième.
\item \textbf{On ne demande aucune justification} : Selon vous, la suite $a$ est-elle convergente ou divergente ?
\end{enumerate}
}

\newcommand{\Fin}{	node[xshift=-1.5ex,rotate=-10]{F} 
									node[rotate=-170]{i}
									node[xshift=1.5ex,rotate=30]{n}}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=5,transform shape] 
	\draw (0,0) \Fin; 
	\draw (-1em,-1ex) -- (1em,-1ex); 
	\path[scope fading=south] (-1em,-0.25em) rectangle (1em,-3.75ex); 
	\draw[yscale=-1] (0,2ex) \Fin;
\end{tikzpicture}
\includegraphics[scale=0.3]{koch.eps}
\end{center}
\end{document}