  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macrodwicky.tex
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\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Ch}{Probabilités}
\newcommand{\Cl}{1 S}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\pagestyle{styleDav}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 4}
\rhead{Second degré}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Devoir Maison 4 : Second degré et révisions}
\Exoi{\hfill \textbf{Probabilité et second degré}\\
On considère une urne contenant trois boules jaunes, deux boules bleues, une boule rouge et $m$ boules 
vertes. Ces boules sont indiscernables au toucher. On tire, au hasard, une boule de l’urne. 
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité des événements suivantes :
$ J$ = \og tirer une boule jaune \fg. 
$B$ = \og tirer une boule bleue \fg. 
$R$ = \og tirer une boule rouge \fg. 
$V$ = \og tirer une boule verte \fg. 
\item  En fonction de la couleur tirée, on se voit attribuer une somme d’argent selon la convention suivante, si la boule 
tirée est :  
\begin{itemize}
\item rouge, on gagne 10 \euro.
\item verte, on gagne $5m$ \euro
\item jaune ou bleue, on gagne $-1-2m$ \euro.
\end{itemize}
Soit $X$ la variable aléatoire qui associe, à chaque tirage le gain réalisé. 
\begin{enumerate}
\item Déduire de la question $(1)$ : $p(X = 10)$, $p(X = -1-2m)$ et $P(X = 5m)$.
\item Calculer $m$ pour que le gain moyen espéré soit de $4,5$ \euro. En déduire dans ce cas l'écart-type $\sigma(X)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
  }
  
  
\Exoi{Considérons le dessin suivant, dans laquelle la longueur $OA=1$ :\\
\partieBac{Formule trigonométrique}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.38,-0.66)(3.88,3.53)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.86,1.17)(1.75,1.11)(1.81,1)(1.92,1.06)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.06,0)(1.06,0.13)(0.93,0.13)(0.93,0)
\psline{->}(0,0)(3,0)
\psline{->}(0,0)(0,3)
\parametricplot{-0.2222921184254023}{1.8254209929894383}{1*3*cos(t)+0*3*sin(t)+0|0*3*cos(t)+1*3*sin(t)+0}
\psline(0,0)(2.63,1.45)
\psline(0.93,-0.66)(0.93,3.53)
\psline(0,0)(3,0)
\psplot{-1.38}{3.88}{(-6.58--2.63*x)/-1.45}
\psplot{0}{3.88}{(-0-0*x)/3}
\psline(0,0)(0,3.53)
\pscustom[linecolor=qqwuqq]{\parametricplot{-1.5707963267948966}{-1.065629565009366}{0.44*cos(t)+0.93|0.44*sin(t)+2.85}\lineto(0.93,2.85)\closepath}
%\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0.44,0.44)(0.93,2.85){0}{63.82}
\pscustom[linecolor=qqwuqq]{\parametricplot{0.0}{0.5051667617855304}{0.27*cos(t)+0|0.27*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(0.27,0.27){0}{24.33}
\psline(0,0)(0.93,2.85)
\pscustom[linecolor=qqwuqq]{\parametricplot{0.0}{1.2553087385259223}{0.71*cos(t)+0|0.71*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(0.71,0.71){0}{70.19}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](-0.12,-0.1){$O$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](3,0)
\rput[bl](3.03,0.04){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](2.63,1.45)
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0.93,2.85)
\rput[bl](0.96,2.89){$M$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0.93,0)
\rput[bl](0.78,-0.13){$H$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0.93,0.51)
\rput[bl](0.96,0.55){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](1.92,1.06)
\rput[bl](1.82,0.88){$H'$}
\rput[bl](3.28,-0.11){$x$}
\rput[bl](-0.15,3.06){$y$}
\rput[bl](1,2.34){\qqwuqq{$a$}}
\rput[bl](0.3,0.06){\qqwuqq{$a$}}
\rput[bl](0.65,0.42){\qqwuqq{$b$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
Dans cette partie, les triangles dans lesquels vous raisonnez devront apparaitre clairement.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $$ \cos(a+b)=OI \cos a$$
\item En déduire que :
$$ \cos(a+b)=\left(\cos b-IH'\right)\cos a$$
\item En montrant que $IH'=MH'\tan a$ puis que $MH'=\sin b$, conclure que :
$$ \cos(a+b)=\cos a \cos b-\sin a \sin b$$ 
\item En déduire que :
$$ \cos (2a) = 2\cos^2 a-1$$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\pagebreak
\partieBac{Triangle d'or}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.98,-0.64)(2.84,6.74)
\psline(-2,0)(2,0)
\psline(1.24,2.35)(2,0)
\psline(1.24,2.35)(-2,0)
\psline(0,6.16)(-2,0)
\psline(0,6.16)(1.24,2.35)
\pscustom[linecolor=qqwuqq]{\parametricplot{0.0}{0.6283185307179586}{0.8*cos(t)+-2|0.8*sin(t)+0}\lineto(-2,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(-2,0)(0.8,0.8){0}{32.54}
\pscustom[linecolor=qqwuqq]{\parametricplot{0.6283185307179586}{1.2566370614359172}{1.3*cos(t)+-2|1.3*sin(t)+0}\lineto(-2,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(-2,0)(1.3,1.3){36}{69.87}
\pscustom[linecolor=qqwuqq]{\parametricplot{1.884955592153876}{3.141592653589793}{0.9*cos(t)+2|0.9*sin(t)+0}\lineto(2,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(2,0)(0.9,0.9){108}{176.92}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-2,0)
\rput[bl](-2.38,-0.18){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2,0)
\rput[bl](2.08,0.04){$C$}
\rput[bl](-0.04,-0.6){$2$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.24,2.35)
\rput[bl](1.32,2.4){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,6.16)
\rput[bl](0.08,6.2){$A$}
\rput[bl](-1.12,0.18){\qqwuqq{$\dfrac{\pi}{5}$}}
\rput[bl](-1.16,1.18){\qqwuqq{$\dfrac{\pi}{5}$}}
\rput[bl](0.84,0.62){\qqwuqq{$\dfrac{2\pi}{5}$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
$ABC$ est un triangle isocèle en $A$ avec $BC=2$ et $\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}\right)=\dfrac{2\pi}{5}$ rad. $[BD)$ est la bissectrice de l'angle $\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}\right)$ comme représenté ci-dessous.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $BDC$ et $BDA$ sont des triangles isocèles, en déduire les longueurs $BD$ et $AD$.
\item On trace, dans le triangle $ABC$, la hauteur issue de $A$ qui coupe $[BC]$ en $H$ puis, dans le triangle $BDC$, on trace la hauteur issue de $B$ qui coupe $[DC]$ en $H'$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que : 
$$ \cos \dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{1}{AB}\qquad \text{et} \qquad DC=4\cos \dfrac{2\pi}{5}$$
\item Démontrer que $AB-DC=2$ et en déduire que :
$$ 4\cos^2 \dfrac{2\pi}{5}+2\cos \dfrac{2\pi}{5}-1=0$$
\item Résoudre l'équation $4x^2+2x-1=0$ et en déduire la valeur exacte de $\cos \dfrac{2\pi}{5}$.
\item Déduire de la \textbf{partie A} la valeur exacte de $\cos \dfrac{\pi}{5}$. 
\item En déduire les valeurs exactes de $\sin \dfrac{\pi}{5}$ et $\sin \dfrac{2\pi}{5}$.
\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\end{document}