  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Ch}{Probabilités}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
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\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Devoir Maison 3 : Le paradoxe de Parrondo}
\vspace{1cm}
\Cadre[Histoire]{ Le physicien Juan M.R. Parrondo est l'inventeur du paradoxe du même nom. On trouvera un exposé en anglais sur sa page personnelle. Il s'agit d'un jeu relativement complexe que l'on présente comme une succession de lancers de pièces de monnaies non équilibrées. Il est la combinaison du jeu A, simple lancer d'une pièce n° 1, et du jeu B où on lance soit la pièce n° 2 soit la n° 3 comme décrit dans l'exercice ci-dessous }

\Exoi{\\
Dans tout l'exercice $\epsilon$ désigne un nombre réel tel que $0<\epsilon<\dfrac{1}{10}$.\\
\begin{itemize}
\item \textit{Jeu A} : Le joueur lance une pièce de monnaie où Face est gagnante avec la probabilité $p_1=\dfrac{1}{2}-\epsilon$, le gain est alors d'un euro. Pile est perdante avec la probabilité $1-p_1=\dfrac{1}{2}+\epsilon$ (gain de -1 euro). 
\item  \textit{Jeu B} : B est un peu plus compliqué, si le capital est multiple de 3, alors Face gagne avec la probabilité  $p_3=\dfrac{3}{4}-\epsilon$, sinon Face gagne avec la probabilité $p_2=\dfrac{1}{10}-\epsilon$
\end{itemize}
\partieBac{Le jeu A}
Un joueur joue deux fois de suite au jeu $A$. Soit $X_a$ la variable aléatoire donnant le gain d'un joueur lorsqu'il joue au jeu $A$.
\begin{enumerate}
\item Décrire par un arbre pondéré l'univers de cette expérience aléatoire.
\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X_a$.
\item Calculer $E(X_a)$. Le jeu est-il avantageux pour le joueur ?
\item Calculer $\sigma(X_a)$ puis interpréter.
\end{enumerate}
\partieBac{Le jeu B}
Un joueur joue une fois au jeu $B$. Soit $X_b$ la variable aléatoire donnant le gain d'un joueur lorsqu'il joue au jeu $B$. On admet qu'il a une chance sur trois d'avoir un capital multiple de $3$.
\begin{enumerate}
\item Décrire par un arbre pondéré l'univers de cette expérience aléatoire.
\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X_b$.
\item Calculer $E(X_b)$. Le jeu est-il avantageux pour le joueur ?
\item Calculer $\sigma(X_b)$ puis interpréter.
\end{enumerate}
\partieBac{Etude du jeu B sur plusieurs parties}
Le joueur commence le jeu $B$ avec $10$ \euro. Il joue successivement deux parties au jeu $B$. On note $X_c$ la variable aléatoire donnant le gain du joueur au terme de deux parties.
\begin{enumerate}
\item Décrire par un arbre pondéré l'univers de cette expérience aléatoire.
\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X_c$.
\item Calculer $E(X_c)$. Le jeu est-il avantageux pour le joueur ?
\end{enumerate}
\partieBac{Une alternance entre les jeux $A$ et $B$}
Un joueur joue alternativement aux jeux $A$ et $B$ de la manière suivante ; il joue deux fois de suite au jeu $A$, puis deux fois de suite au jeu $B$.\\
Soit $X_d$ la variable aléatoire donnant le gain du joueur lorsqu'il respecte ce protocole.
\\
Dans cette partie $\epsilon=0,005$. et le joueur commence le jeu avec $10$\euro.
\begin{enumerate}
\item Décrire par un arbre pondéré l'univers de cette expérience aléatoire.
\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X_d$.
\item Calculer $E(X_d)$. Le jeu est-il avantageux pour le joueur ? En quoi ce résultat apparait-il comme paradoxal ?
\end{enumerate}
}

\end{document}