  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{Trigonométrie}
\newcommand{\Cl}{1 S}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\pagestyle{styleDav}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 2}
\rhead{Trigonométrie}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Devoir Maison 2}

\Exoi{\textit{Angles de vecteurs}\\
$ABCD$ est un polygone tel que :
$$\left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AD}\right)=-\dfrac{\pi}{3}\qquad \left(\overrightarrow{BA}; \overrightarrow{BC}\right)=\dfrac{\pi}{4}\qquad \text{et}\qquad \left(\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DC}\right)=-\dfrac{\pi}{6}$$
\begin{enumerate}
\item Dessiner ce polygone tel que $AB=4$ cm et $AD=6$ cm.
\item Déterminer des mesures de $\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{AB}\right)$ et $\left(\overrightarrow{AD};\overrightarrow{CD}\right)$
\item A l'aide de la relation de Chasles, calculer la mesure principale de $ \left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CD}\right)$
\end{enumerate} }

\Exoi{\textit{Equations trigonométriques}\\
\begin{enumerate}
\item
Résoudre dans $\R$ les équations trigonométriques suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\sin x=\sin \dfrac{\pi}{4}$ ;
\item $\cos \left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)=-\cos \dfrac{\pi}{6}$ ;
\item $\sin 2x=\dfrac{1}{2}$ ;
\item $\cos x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que $\cos \dfrac{\pi}{5}=\sin \dfrac{3\pi}{10}$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation trigonométrique :
$$ \cos x=\sin \dfrac{3\pi}{10}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exoi{\\
Un élève propose deux \og nouvelles \fg formules à ajouter aux formules trigonométriques classiques :
\begin{eqnarray}
 & \cos 2a=2\cos a\\
 & \sin 2a=2\sin a
\end{eqnarray}
Ces deux formules sont-elles :
\begin{enumerate}
\item vraies pour tout nombre réel $a$ ?
\item vraies pour quelques valeurs de $a$ ? Si oui, lesquelles ?
\item fausses pour toute valeur de $a$ ?
\end{enumerate}
}

\Exoi{On se propose de résoudre l'équation $(E)$ :
$$ \cos x+\sin x=\sqrt{2}\qquad \text{pour} x\in \left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$$
\begin{enumerate}
\item $(E)$ admet une \og solution évidente \fg. Laquelle ?
\item \begin{enumerate}
\item Soit $P$ le polynôme du second degré définie sur $\R$ par :
$$ P(x)=2x^2-2\sqrt{2}x+1$$
Déterminer la forme canonique de $P$.
\item A l'aide de la question précédente déterminer l'antécédent de $0$ par $P$.
\item En posant $X=\cos x$ et $Y=\sin x$ et ajoutant une équation supplémentaire toujours vérifiée par $X$ et $Y$, former un système de deux équations à deux inconnues que l'on résoudra (en utilisant le résultat de la question précédente).
\end{enumerate}
\end{enumerate}}
\Exoi{\textit{Sur les pas de Claude Ptolémée}\\
A l'aide du théorème de Ptolémée :
\begin{theo}
Si le quadrilatère convexe $ABCD$ est inscrit dans un cercle, alors :
$$ AB\times CD+BC\times AD=AC\times BD$$
\end{theo}
démontrons que : \og si $0<b<a<\dfrac{\pi}{2}$, alors $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a$\fg.
\\
Sur le demi-cercle de diamètre $AD=1$ et de centre $O$, on place les points $B$ et $C$ tels que :
$$ \left(\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DC}\right)=a\qquad \text{et}\qquad \left(\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DB}\right)=b$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer en fonction de $\sin a$, $\sin b$, $\cos a$ et $\cos b$ les longueurs $AB$, $BD$, $AC$ et $DC$.
\item Montrer que $$ \left(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OC}\right)=2a-2b$$
En déduire que $BC=\sin(a-b)$.
\item Conclure à l'aide du théorème de Ptolémée.
\end{enumerate}}

\Exoi{
\textit{Problème ouvert : un escargot se déplace.}\\Un escargot se déplace dans un potager rectangulaire de dimensions $3$ m $\times 4$ m. \\
Un repère orthonormé $(O; I, J)$ est tracé sur le sol tel que :
\begin{itemize}
\item $O$ est le centre du potager ;
\item $\overrightarrow{OI}$ a pour direction la longueur du potager ;
\item le plan est orienté. 
\end{itemize}
L'escargot par de $O$ et avance à la vitesse de $6$ cm.min$^{-1}$ en suivant l'axe des abscisses dans le sens positif pendant $1$ minute, puis tourne d'un angle de $\dfrac{\pi}{45}$. Il poursuit son chemin pendant $1$ minute, tourne encore et ainsi de suite.\\
Arrivera-t-il sur une des clôtures en moins de $2$ heures ?}

\end{document}