\documentclass[4apaper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\typedoc}{Exercices 2$^e$ feuille}
\newcommand{\Ch}{De la suite dans les id\'ees !}
\newcommand{\ch}{Chapitre 8}
\newcommand{\Cl}{1G6}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}
%\newcommand{\num}{8}	


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.8cm}


%\setcounter{NumLecon}{8}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


\DocCha



\begin{ExoF}
 Dans le pays des merveilles d'Alice, le lapin blanc, depuis le temps, a fait des enfants 
 (enfin des adolescents plutôt, car dans le pays d'Alice, les lapins sont adolescents de $0$ à $4$ ans, 
 ils deviennent enfants par la suite et n'ont jamais été adultes). \\
 Du plus vieux au plus jeune : le lapin bleu, le lapin rouge, 
 le lapin vert et le lapin noir.\\
  A l'adolescence chacun des 4 lapins a réclamé de l'argent de poche la monnaie étant la carotte). 

Le lapin blanc a décidé de donner au lapin bleu dès sa naissance et jusqu'au jour de ses 4 ans des carottes de la manière suivante :
\begin{itemize}
\item $3$ carottes la première semaine ;
\item Chaque semaine deux carottes de plus que la semaine précédente.
\end{itemize} 
\textit{Au pays des merveilles chaque année est constituée d'exactement $52$ semaines et chaque 
mois de $4$ semaines. %Remarquons que les lapins du pays des merveilles ont un treizième mois...
}
\\
On note $u_0=3$ et $u_n$ le nombre de carottes reçues par le lapin bleu le jour où il fête ses $n$ semaines.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ ; $u_2$ et $u_3$. Combien de carottes le lapin bleu a-t-il reçu le premier mois ?
\item Donner la nature de la suite $(u_n)$. 
\item Calculer le nombre de carottes reçues par le lapin bleu le jour de ses $1$ an, de ses $2$ ans, de ses $3$ ans et enfin le jour de ses $4$ ans.
\item Pour leur seule consommation personnelle les lapins du pays des merveilles ont besoin de $300$ carottes par semaine. 
\begin{enumerate}
\item A partir de quel âge le lapin bleu peut-il se nourrir à satiété ? 
\item Déterminer le nombre total de carottes que le lapin blanc a donné au lapin bleu au cours de son adolescence. On devra donc calculer :
$$ S=u_0+u_1+\dots+u_{207}=\sum_{i=0}^{i=207}u_i$$
\item Dès qu'il reçoit plus de $300$ carottes, le lapin bleu (fort économe) met toutes les autres de côté. \\
Déterminer le nombre de carottes économiser par le lapin bleu.
\item Grand amateur de montre, le lapin bleu décide de troquer ses carottes contre des montres au cours suivant, $1$ montre contre $540$ carottes.
Déterminer le nombre de montres que le lapin bleu a pu acquérir grâce aux carottes économisées.
\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Les suites suivantes sont-elles arithmétiques ? Dans le cas d'une réponse positive préciser leur raison et leur sens de variation.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $u_n=3n-2$
\item $u_n=n^2-3$
\item $u_n=-4n+1$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 $(u_n)$ est la suite arithmétique de premier terme $u_0=3$ et de raison $2$. 
Calculer $u_{2013}$
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Considérons une suite arithmétique $(v_n)$ telle que $v_{27}=6$ et $v_{39}=10$
Calculer $v_7$ et $v_{74}$
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
\item Calculer la somme des $50$ premiers entiers impairs.
\item Calculer la somme des $50$ premiers entiers pairs en partant de $12$
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
On reprend le contexte de l'exercice 1. La lapin blanc décide pour son second, le lapin rouge de donner dès sa naissance et jusqu'au jour de ses 4 ans des carottes de la manière suivante :
\begin{itemize}
\item $417$ carottes la première semaine ;
\item Chaque semaine deux carottes de moins que la semaine précédente.
\end{itemize} 
On note $v$ la suite telle que $v_n$ vaut le nombre de carottes reçues par le lapin rouge le jour de sa $n-$ième semaine. Notons que $v_1=417$ et que $v_0$ n'existe pas.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $v_n$ est une suite arithmétique ; préciser sa raison et son sens de variation.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer le nombre de carottes reçues par le lapin bleu le jour de ses $1$ an, de ses $2$ ans, de ses $3$ ans et enfin le jour de ses $4$ ans.
\begin{enumerate}
\item Jusqu'à quel âge le lapin bleu peut-il se nourrir à satiété ? 
\item Déterminer le nombre total de carottes que le lapin blanc a donné au lapin rouge au cours de son adolescence. On devra donc calculer :
$$ S=v_1+v_2+\dots+v_{208}=\sum_{i=1}^{i=208}v_i$$
\item Dès qu'il reçoit plus de $300$ carottes, le lapin rouge (fort économe comme son frère) met toutes les autres de côté. \\
Déterminer le nombre de carottes économiser par le lapin rouge.
\item Grand amateur de montre, le lapin rouge décide de troquer ses carottes contre des montres mais l'inflation existe au pays des merveilles. Il faut $10\%$ de carottes supplémentaires pour obtenir une montre qu'au temps du lapin bleu. 
Le lapin rouge est-il perdant par rapport à son frère ?
\end{enumerate}
\item Le lapin blanc constatant l'injustice subit par le lapin rouge décide d'utiliser une autre méthode pour les \og carottes de poches \fg{} du lapin suivant, le lapin vert. Il le rémunère de sa naissance et jusqu'au jour de ses 4 ans de la manière suivante :
\begin{itemize}
\item $1$ carotte la première semaine ;
\item Chaque semaine trois carottes de plus que la semaine précédente ;
\item $100$ carottes les $6$ derniers mois.
\end{itemize} 
On note $w$ la suite telle que $w_0=1$ et $w_n$ désigne le nombre de carottes reçues par le lapin rouge le jour où il fête ses $n$ semaines.
\begin{enumerate}
\item La suite $w$ est-elle arithmétique ?
\item Plus précisément déterminer le rang jusqu'au quel $w$ se comporte comme une suite arithmétique.
\item Identique à ses frères le lapin rouge économise dès qu'il reçoit plus de $300$ carottes par semaine. Mais durant les $6$ derniers mois il mange un peu de ses économies de manière à manger $300$ carottes exactement par semaine. Sachant que le cours de la carotte a encore augmenté de $50\%$ déterminer le nombre de montre que le lapin rouge possèdera au moment de devenir enfant.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
On reprend le contexte de l'exercice 1. Vient le tour du derrnier né du lapin blanc, le lapin noir. Détestant les habitudes le lapin blanc modifie une nouvelle fois le système des \og carottes de poches \fg{} et le lapin noir se voit proposer le système suivant :
\begin{itemize}
\item $3$ carottes la première semaine ;
\item Chaque semaine $3,5\%$ de carottes en plus de la semaine précédente (le lapin blanc donnera s'il le faut des morceaux de carottes...)
\end{itemize} 
On note $t$ la suite telle que $t_n$ vaut le nombre de carottes reçues par le lapin rouge le jour de sa $n-$ième semaine. Notons que $t_1=3$ et que $t_0$ n'existe pas.
\begin{enumerate}
\item Calculer $t_1$ ; $t_2$ et $t_3$. Combien de carottes le lapin noir a-t-il reçu le premier mois ?
\item Quelle est la nature de la suite $(t_n)$ ?
\item Calculer le nombre de carottes reçues par le lapin noir le jour de ses $1$ an, de ses $2$ ans, de ses $3$ ans et enfin le jour de ses $4$ ans.
\item Pour leur seule consommation personnelle les lapins du pays des merveilles ont besoin de $300$ carottes par semaine. 
\begin{enumerate}
\item A partir de quel âge le lapin noir peut-il se nourrir à satiété ? 
\item Déterminer le nombre total de carottes que le lapin blanc a donné au lapin noir au cours de son adolescence. On devra donc calculer :
$$ S=t_1+t_2+\dots+t_{208}=\sum_{i=1}^{i=208}t_i$$
\item Dès qu'il reçoit plus de $300$ carottes, le lapin noir (comme les autres) met toutes les autres de côté. \\
Déterminer le nombre de carottes économiser par le lapin noir.
\item Par rapport au lapin précédent, le cours de la carotte a encore augmenté de $10\%$.
Déterminer le nombre de montres que le lapin noir a pu acquérir grâce aux carottes économisées.
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(u_n)$ définie par $u_n=\dfrac{2}{3^n}$ est géométrique
\item La suite $(v_n)$ est définie par $v_0=6$ et $v_{n+1}=3v_n+4$ pour tout $n\in\N$.\newline
On note pour tout $n\in\N$ :  $w_n=v_n+2$
Montrer que $(w_n)$ est une suite géométrique 
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Montrer que la suite $(u_n)$ définie, pour tout $n\in\N$ par $u_n=2\times (-1)^n$ est géométrique. 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites géométriques. Déterminer $u_5$, $u_8$, $v_7$ et $v_{15}$ sachant que :
 \begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $u_0=6$ et $q=-\dfrac{1}{3}$
\item $v_5=1$ et $v_{10}=32$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
  Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0=\dfrac{1}{2}$ et de raison $q=\dfrac{3}{2}$. \\
 Calculer $S=u_4+u_5+\dots+u_{14}$
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Un étudiant loue une chambre pour $3$ ans. On lui propose deux types de bails. \\
\underline{1$^\text{er}$ contrat} : Un loyer de $200\euro$ pour le premier mois puis une augmentation de $5\euro$ par mois jusqu'à la fin du bail.
\\
\underline{2$^\text{ème}$ contrat} : Un loyer de $200\euro$ pour le premier mois puis une augmentation de $2\%$ par mois jusqu'à la fin du bail\footnote{Un bail est un contrat de location}.
\begin{enumerate}
\item Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois.
\item Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du dernier mois, i.e le loyer du $36^\text{ème}$ mois.
\item Quel est le contrat globalement le plus avantageux pour un bail de $3$ ans ? (\textit{Justifier par des calculs})
\end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
 Les rayons cosmiques produisent continuellement dans l'atmosphère du carbone $14$, qui est un élément radioactif. Durant leur vie, les tissus animaux et végétaux contiennent la même proportion de carbone $14$ que l'atmosphère. Cette proportion de carbone $14$ décroît après la mort du tissu de $1,24\%$ en $100$ ans.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les pourcentages de la proportion initiale de carbone $14$ contenu dans le tissu au bout de $1000$ ans, de $2000$ ans et de $10000$ ans.
\item Exprimer le pourcentage de la proportion initiale de carbone $14$ contenu dans le tissu au bout de $k\times 10^3$ années.
\item Un fossile ne contient plus que $10\%$ de ce qu'il devrait contenir en carbone $14$. Estimer  son âge.
\end{enumerate}
\end{ExoF}




\end{document}