\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Ch}{Variations de Fonctions (2$^{eme}$ fiche)}
\newcommand{\Cl}{1G6}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}
\newcommand{\num}{3}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex

\geometry{tmargin=2cm,bmargin=2.4cm,hmargin=1.9cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\debutExoCha

\begin{ExoF}
Résoudre graphiquement, en utilisant la droite des réels :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $|x-2|=3$
\item $|x+5|=|3-x|$
\item $|x-5|\leq |x+1|$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Un chien errant a été signalé sur une autoroute à moins de $3$ km de la borne kilométrique $50$, mais à plus de $5$ km de la borne $54$. On appelle $x$ le réel qui repère la position du chien sur l'autoroute.
\begin{enumerate}
\item Traduire l'énoncé en utilisant des valeurs absolues.
\item Entre quelles bornes kilométriques de l'autoroute ce chien peut-il se trouver ?
\end{enumerate} 
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Dans chacun des cas suivant, écrire $f$ sans valeur absolue puis faire un schéma de sa représenation graphique :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\dfrac{1}{|x|}$ sur $\R^*$
\item $f(x)=x|x|$ sur $\R$
\item $f(x)=\dfrac{x}{|x|}$ sur $\R^*$
\item $f(x)=|x|$ sur $\R$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=|x|+|2x-4|$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer, suivant les valeurs de $x$, l'expression de $|x|$, de $|2x-4|$, sans utiliser les valeurs absolues.\\
 En déduire l'expression de $f$ en fonction de $x$, sans valeur absolue.\\
\textit{On pourra présenter les résultats dans un tableau.}
\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ et dresser son tableau de variation.
\item Résoudre l'équation $f(x)=3$.
\item Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal, d'unité graphique 1 cm.
\end{enumerate} 
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=|3x|-|2x-2|+2-x$
\begin{enumerate}
 \item Déterminer, suivant les valeurs de $x$, l'expression de $f$ sans valeur absolue.
 \item Dresser le tableau de variations de $f$.
 \item Résoudre l'inéquation $f(x)>4$, puis $f(x)\geq 4$.
 \item Tracer la courbe repr\'esentative de la fonction $f$ dans un rep\`ere orthonorm\'e d'unit\'e graphique 1 cm.
\end{enumerate}
\end{ExoF}





\begin{ExoF}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$f(x)=|x+3|+|2-x|$$
\begin{enumerate}
\item Ecrire, selon les valeurs de $x$, l'expression de $f(x)$ sans utiliser les valeurs absolues.
\item En déduire le tableau de variation de $f$.
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f(x)\leq 0$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=|x-2|-\left|-\dfrac{3}{2}x+1\right|$.\\
On désigne par $\mathscr C_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère othonormal.
\begin{enumerate}
\item Pour $x\in \R$, exprimer $f(x)$ sans valeurs absolues, puis représenter graphiquement $\mathscr C_f$.
\item Résoudre l'équation $f(x)=12$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\newpage

\begin{ExoF}
On a représenté graphiquement dans un repère les fonctions $f$, $g$, $h$ et $k$ définies par :
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item $f(x)=\sqrt{x+2}$
\item $g(x)=\sqrt{2-x}$
\item $h(x)=\sqrt{x}-2$
\item $k(x)=\sqrt{x^2+1}$
\end{itemize}
\end{multicols}
Associer à chacune de ces fonctions la représentation graphique qui lui correspond, \textbf{sans calculatrice}.
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\newrgbcolor{qqzzqq}{0 0.6 0}
\newrgbcolor{qqcccc}{0 0.8 0.8}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.3,-2.52)(8.5,6.3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.3,-2.52)(8.5,6.3)
\psplot[linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{-1.999999872000013}{8.5}{(x+2)^0.5}
\psplot[linecolor=zzqqqq,plotpoints=200]{3.1527648910790768E-15}{8.5}{x^0.5-2}
\psplot[linecolor=qqzzqq,plotpoints=200]{-4.3}{1.999999999999993}{(2-x)^0.5}
\psplot[linecolor=qqcccc,plotpoints=200]{-4.3}{8.5}{(x^2+1)^0.5}
\rput[tl](-3.24,4.04){$\qqcccc{\mathscr C_1}$}
\rput[tl](-4,2.24){$\qqzzqq{\mathscr C_2}$}
\rput[tl](5.4,2.64){$\qqqqcc{\mathscr C_3}$}
\rput[tl](2,-0.76){$\zzqqqq{\mathscr C_4}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
 \end{ExoF}






\begin{ExoF}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=5x-1$ ainsi que les fonctions  
$g$, $h$, $k$, $l$, $m$, $n$, $p$ et $q$ définies par :
\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
 \item $g(x)=|f(x)|$ \item  $h(x)=f\left(|x|\right)$
 \item $k(x)=\sqrt{f(x)}$ \item  $l(x)=f\left(\sqrt{x}\right)$
\item $m(x)=f^2(x)$ \item  $n(x)=f\left(x^2\right)$
\item $p(x) =\dfrac1{f(x)}$ \item  $q(x)=f\left(\dfrac1x\right)$
\end{itemize} 
\end{multicols}
Déterminer les tableaux de variation de toutes ces fonctions.
\end{ExoF}





\begin{ExoF}
Dresser les tableaux de variations des fonctions suivantes sur leur ensemble de définition.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f:x\longmapsto \sqrt{5-2x^2}$ 
\item $f:x\longmapsto 1-\dfrac3{\sqrt{x^2+5}}$ 
\item $f:x\longmapsto 2|x|-6$ 
\item $f:x\longmapsto 6-2|x|$  
\item $f:x\longmapsto \dfrac{1}{(x-7)^2}$ 
\item $f:x\longmapsto |x^2-2|$
\item $f:x\longmapsto \left(\sqrt{-2x+4}\right)^2$
\item $f:x\longmapsto \sqrt{\left(-2x+4\right)^2}$ 
\item $f:x\longmapsto \dfrac{-5}{|3x-4|}$ 
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
\partieBac{Une fonction auxiliaire}
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
$$g(x)=x^2+4x+5$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer par la méthode de votre choix la forme canonique de $g$.
\item En déduire que :
$$ \forall x\in\R, \quad g(x)\geq 1$$
\item Dresser le tableau de variation de $g$
\end{enumerate}
\partieBac{Etude d'une fonction composée}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\sqrt{x^2+4x+5}$$
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $f$ est définie sur $\R$.
\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\R$.
\item Etablir que la fonction $f$ admet un minimum à préciser.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Soit $g$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par :
$$ g(x)=x-4\sqrt{x}+4$$
\begin{enumerate}
\item \og $g$ est la somme de fonctions monotones sur l'intervalle $[0;+\infty[$, elle est donc monotone sur cet intervalle.\fg{}\\
Que penser de cette affirmation ?
\item Montrer que :
$$ \forall x\in [0;+\infty[, \quad g(x)=\left(\sqrt{x}-2\right)^2$$
\item En déduire les variations de la fonction $g$ sur son ensemble de définition.\footnote{On pourra utiliser les variations de $f$ en raisonnant successivement dans l'intervalle $[0;4]$ puis dans l'intervalle $]4;+\infty[$}
\item La fonction $g$ admet-elle un minimum ? Si oui lequel ?
\item Traduire en langage courant la proposition :
$$ \forall M\geq 0, \exists x\in [0;+\infty[, g(x)\geq M$$
Démontrer cette proposition.
\item Quelle nouvelle information, relative au tableau de variations de la fonction $f$, cette proposition apporte-t-elle ?
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R\textbackslash \{3\}$ par :
$$f(x)=\dfrac{x^2-5x+5}{x-3}$$
On souhaite étudier la position de la courbe $\mathscr C$ représentant $f$ par rapport à la droite $d$ d'équation $y=x-2$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f(x)-(x-2)= -\dfrac{1}{x-3}$.
\item Etudier le signe de $-\dfrac1{x-3}$.
\item En déduire les positions relatives de la courbe $\mathscr C$ et de la droite $d$.
\item Décrire la façon dont évolue la valeur de $f(x)-(x-2)$ lorsque $x$ devient grand \footnote{On pourra faire les calculs pour $x=10^2$, $x=10^3$ et $x=10^6$.}
\\
Interpréter géométriquement ce phénomène.
\end{enumerate}
\end{ExoF}






\end{document}
