\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\typedoc}{Exercices}
\newcommand{\Ch}{Une nouvelle op\'eration sur les vecteurs}
\newcommand{\ch}{Chapitre 10}
\newcommand{\Cl}{1G6}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}
%\newcommand{\num}{8}	


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.8cm}


%\setcounter{NumLecon}{8}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


\DocCha

\begin{ExoF}
Dans un repère orthonormal, les points $A$, $B$ et $C$ ont pour coordonnées respectives $(1;1)$, $(3;4)$ et $(3-k;-1)$ où $k$ est un réel.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le réel $k$ afin que le triangle $ABC$ soit rectangle en $A$.
\item Démontrer que le triangle $ABC$ est alors isocèle en $A$.
\end{enumerate} 
\end{ExoF}

\noindent\begin{minipage}{13cm}
\begin{ExoF}
Dans un repère orthonormal $(O;\vec i,\vec j)$, on a tracé deux cercles $\mathscr C$ et $\mathscr C'$ de centre $O$
 et de rayons respectifs $2$ et $3$. 
Calculer les produits scalaires suivants :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $ \overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{OJ}$
\item $ \overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{OK}$
\item $ \overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{OB}$
\item $ \overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OA}$
\item $ \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AI}$
\item $ \overrightarrow{IA}\cdot \overrightarrow{IJ}$
%\item $ \overrightarrow{BK}\cdot \overrightarrow{BA}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}
\end{minipage}
\noindent\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
\def\xmin{-4} \def\xmax{4} \def\ymin{-3.5} \def\ymax{3.5}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-4.2,-4.2)(4.2,4.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.2000}[-60.0000](2.0000,0.0000){$I$}
\uput{0.2000}[-60.0000](3.0000,0.0000){$J$}
\uput{0.3000}[45.0000](0.0000,0.0000){$O$}
\pscircle(0.0000,0.0000){1.4000}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](2.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](3.0000,0.0000)
\pscircle(0.0000,0.0000){2.1000}
\uput{0.2000}[-210.0000](-3.0000,0.0000){$K$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](-3.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](0.0000,2.0000)
\uput{0.2000}[120.0000](0.0000,2.0000){$A$}
\uput{0.2000}[-120.0000](-1.5000,-2.5800){$B$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](-1.5000,-2.5800)
\psline(0.0000,0.0000)(-1.5000,-2.5800)
\psarc(0.0000,0.0000){0.5000}{180.0000}{-120.1735}
\uput{0.3000}[45.0000](1.300,1.300){$\mathscr C$}
\uput{0.3000}[45.0000](2.1100,2.1100){$\mathscr C'$}
\uput{0.3000}[-145.0000](-0.3000,-0.2000){$\dfrac{\pi}3$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{ExoF}
Dans chacun des cas suivants, calculer $\vec u\cdot \vec v$ :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\vec u(2;3)$ et $\vec v(-1;5)$
\item $\mid\mid\vec u\mid \mid=1$ ; $\mid\mid\vec v\mid \mid=2$ ; $(\vec u,\vec v)=\dfrac{2\pi}{3}$ rad
\item $\mid\mid\vec u\mid \mid=2$ ; $\mid\mid\vec v\mid \mid=3$ et $\mid\mid\vec u+\vec v\mid \mid=3$
\item $\mid\mid\vec u\mid \mid=1$ ; $\mid\mid\vec v\mid \mid=3$ ; $(\vec u,\vec v)=0$ rad
\item $\mid\mid\vec u\mid \mid=2$ ; $\mid\mid\vec v\mid \mid=3$ ; $(\vec u,\vec v)=\pi$ rad
\item Dans un repère $(O;\vec i,\vec j)$ orthonormal : $\vec u=2\vec i-3\vec j$ et $\vec v=-\vec i+2\vec j$
\end{multicols}
\end{enumerate} 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
On prend le centimètre comme unité.
Construire un triangle $ABC$ tel que :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item  $AB=3$, $AC=4$ et $ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$
\item $AB=3$, $AC=6$ et $ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-9$
%\item $AB=4$, $AC=5$ et $ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-12$
\end{enumerate}
\end{multicols} 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
$ABC$ est un triangle équilatéral de côté $5$ cm. $I$ est le milieu de $[BC]$. Calculer les produits scalaires suivants :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $ \overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}$
\item $ \overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CI}$
\item $ \left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)\cdot \overrightarrow{AI}$
\end{enumerate}
\end{multicols} 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Soit $ABC$ un triangle et $K$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$. On donne $AB=6$, $BK=4$ et $KC=7$
\begin{enumerate}
\item Calculer les produits scalaires suivants 
 $ \overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}$ et $ \overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}$.
\item Déterminer et représenter en rouge l'ensemble des points M du plan tels que : $ \overrightarrow{BM}\cdot \overrightarrow{BC}=44$
\end{enumerate} 
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
On considère un segment $[AB]$ et $O$ son milieu. Soit $\Delta$ la médiatrice du segment 
$[AB]$ et $M\in\Delta$.\\
Montrer de deux manières différentes que : 
$$ \overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}AB^2$$ 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
$ABC$ est un triangle dans lequel $AB=2$ et $AC=3$. De plus $ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4$\\
$ABC$ est-il rectangle ? Si oui, préciser le sommet.   
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
$ABCD$ est un parallélogramme avec $AB=4$, $AD=5$ et $ AC=7$.\\
Calculer $ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}$. En déduire $BD$.  
\end{ExoF}


\noindent\begin{minipage}{13cm}
\begin{ExoF}
Soit $ABCD$ un carré, on construit un rectangle $APQR$ tel que :
\begin{itemize}
\item $P$ et $R$ sont sur les côtés $ [AB]$ et $[AD]$ du carré
\item $AP=DR$
\end{itemize}
\underline{But} : On souhaite montrer que les droites $(PR)$ et $(CQ)$ sont perpendiculaires
\begin{enumerate}
\item Montrer que : $ \overrightarrow{CQ}\cdot \overrightarrow{PR}=\overrightarrow{CQ}\cdot \left(\overrightarrow{AR}-\overrightarrow{AP}\right)$
\item En déduire que les droites $(PR)$ et $(CQ)$ sont perpendiculaires.
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}
 \psset{xunit=0.85cm , yunit=0.85cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-2.6)(3.2,3.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.2,-3.2)(3.2,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[-90.0000](-2.0000,-2.0000){$A$}
\uput{0.3000}[-90.0000](2.0000,-2.0000){$B$}
\uput{0.3000}[90.0000](2.0000,2.0000){$C$}
\uput{0.3000}[90.0000](-2.0000,2.0000){$D$}
\psline(-2.0000,-2.0000)(2.0000,-2.0000)
\psline(2.0000,-2.0000)(2.0000,2.0000)
\psline(2.0000,2.0000)(-2.0000,2.0000)
\psline(-2.0000,2.0000)(-2.0000,-2.0000)
\uput{0.3000}[-90.0000](-1.0000,-2.0000){$P$}
\uput{0.3000}[180.0000](-2.0000,1.0000){$R$}
\uput{0.3000}[90.0000](-1.0000,1.0000){$Q$}
\psline[linecolor=black,linestyle=dashed](-1.0000,-2.0000)(-1.0000,1.0000)
\psline[linecolor=black,linestyle=dashed](-1.0000,1.0000)(-2.0000,1.0000)
\psline[linecolor=blue](-2.0000,0.6667)(8.0000,4.0000)
\psline[linecolor=blue](-1.0000,-2.0000)(-2.0000,1.0000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\begin{ExoF}
$\mathscr C$ est un cercle de centre $O$ et de rayon $r$ et $M$ un point non situé sur $\mathscr C$. Deux droites issues de $M$ coupent $\mathscr C$ respectivement en $A$ et $B$ et en $C$ et $D$\\
\underline{But } : Montrer que $ \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MD}$\\
On note $A'$ le point diamétralement opposé à $A$ sur $\mathscr C$
\begin{enumerate}
\item Faire deux figures suivant que $M$ est à l'intérieur ou à l'extérieur de $\mathscr C$
\item Démontrer que $ \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MA'}$
\item \begin{enumerate}
\item En utilisant la relation de Chasles, démontrer que : $ \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MA'}=MO^2-r^2$
\item En déduire que $ \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MD}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\Cadre[Note]{On montre ainsi que le produit scalaire 
$ \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}$ est indépendant de la sécante issue de $M$, il ne 
dépend que de la distance de $M$ à $O$. Le réel $MO^2-r^2$ (qui est nul lorsque $M$ est un point 
de $\mathscr C$) est appelé \textbf{puissance de $M$ par rapport à $\mathscr C$}. Il est 
positif lorsque $M$ est à l'extérieur de $\mathscr C$ et négatif si $M$ est à l'intérieur de 
$\mathscr C$}

\noindent\begin{minipage}{13cm}
\begin{ExoF}
$ABCD$ est un rectangle tel que $AD=3$ et $AB=5$. $I$ est le milieu de $[AB]$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $AC$ et $DI$.
\item Exprimer chacun des vecteurs $ \overrightarrow{AC}$ et $ \overrightarrow{DI}$ 
en fonction des vecteurs $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{AD}$.
\item Calculer le produit scalaire $ \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DI}$.
\item En déduire la valeur de l'angle $\theta=\left(\overrightarrow{DI};\overrightarrow{AC}\right)$ à 0,001 près en degrés.
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-3.2)(4.2,3.2)
\def\xmin{-4} \def\xmax{4} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-4.2,-3.2)(4.2,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[-90.0000](-3.0000,-2.0000){$A$}
\uput{0.3000}[-90.0000](3.0000,-2.0000){$B$}
\uput{0.3000}[90.0000](3.0000,2.0000){$C$}
\uput{0.3000}[90.0000](-3.0000,2.0000){$D$}
\psline(-3.0000,-2.0000)(-3.0000,2.0000)
\psline(-3.0000,-2.0000)(3.0000,-2.0000)
\psline(3.0000,-2.0000)(3.0000,2.0000)
\psline(3.0000,2.0000)(-3.0000,2.0000)
\uput{0.3000}[-90.0000](0.0000,-2.0000){$I$}
\psline(-3.0000,2.0000)(0.0000,-2.0000)
\psline(-3.0000,-2.0000)(3.0000,2.0000)
\psarc(-1.0000,-0.6667){0.5000}{-53.1301}{33.6901}
\psline(-1.5000,-1.8500)(-1.5000,-2.1500)
\psline(1.5000,-1.8500)(1.5000,-2.1500)
\uput{0.3000}[0.0000](-0.6000,-0.8000){$\theta$}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}



\end{document}