\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1.2}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction DS 9} 		%%%type de document
\newcommand{\ch}{Chapitre 9}			%%% chapitre
\newcommand{\Ch}{Repartons \`a la d\'erive}  %% Nom du chapitre
\newcommand{\Cl}{1G6}				%% Classe
\newcommand{\num}{9}				%%% Numero du chapitre
\newcommand{\Annee}{2012-2013}			%%% Date ou année
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=2.3cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.8cm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

\begin{ExoF} \hfill \textbf{(10 points)}\\
%Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer leur domaine de 
%dérivabilité, puis calculer leur fonction dérivée.
%$$ f(x)=4x^2 - \dfrac32 x -7 \qquad \qquad g(x)=(x-2)(3x+50) \qquad \qquad h(x)=\sqrt{x} \times (x^7-1) $$
%$$k(x)=\dfrac{12x^2}{3-x} \qquad \qquad l(x)=(7x^3-4)^{2013} \qquad \qquad m(x)= \dfrac1x + \dfrac1{5x^3}$$
\begin{itemize}
 \item $f$ est définie et dérivable sur $D_{f'}=\R$ \quad car $f$ est une fonction polynôme et
 $f'(x)=8x-\dfrac32, \, \forall x\in D_{f'}$
 \item $g$ est définie et dérivable sur $D_{g'}=\R$ \quad car \quad $g=uv$ 
 \setlength{\columnseprule}{0.5pt}
 \begin{multicols}{2}
   $\begin{array}{llcl}
\text{avec} & u(x)=x-2 & \text{et} &   v(x)=3x+50 \\
\text{On a } & u'(x)=1 & \text{et} & v'(x)=3 \\
\text{et} &   g'=u'v+v'u
 \end{array}$
 Donc pour tout $x\in D_{g'}$  $$g'(x)=1 \times (3x+50) + 3\times (x-2) = 6x+44$$
 \end{multicols}
 \item $h$ est définie et dérivable sur $D_{h'}=]0 ; + \infty[$ \quad car \quad $h=uv$ 
\begin{multicols}{2}
   $\begin{array}{llcl}
\text{avec} & u(x)=\sqrt{x} & \text{et} & v(x)=x^7-1 \\
\text{On a} & u'(x)=\dfrac1{2\sqrt{x}} & \text{et} & v'(x)=7x^6 \\
\text{et} & h'=u'v+v'u 
 \end{array}$ \\
 Donc pour tout $x\in D_{h'}$ $$h'(x)=\dfrac1{2\sqrt{x}} \times (x^7-1) + 7x^6 \times \sqrt{x}$$
 \end{multicols}
 \item $k$ est définie et dérivable sur $D_{k'}=]-\infty ; 3[ \cup ]3 ; + \infty[$ \quad car $k=\dfrac{u}{v}$ 
\begin{multicols}{2}
   $\begin{array}{llcl}
\text{avec} & u(x)=12x^2 & \text{et} & v(x)=3-x \\
\text{On a} & u'(x)=24x & \text{et} & v'(x)=-1 \\
\text{et} & k'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}
 \end{array}$ \\
 Donc pour tout $x\in D_{k'}$ $$k'(x)=\dfrac{24x(3-x)-(-1)\times (12x^2)}{(3-x)^2}=...=\dfrac{12x(6-x)}{(3-x)^2}$$
\end{multicols}
 \item $l$ est définie et dérivable sur $D_{l'}=\R$ \quad car $l=u^n$ 
\begin{multicols}{2}
   $\begin{array}{llcl}
\text{avec} & u(x)=7x^3-4 & \text{et} & n=2013 \\
\text{On a} & u'(x)=21x^2  \\
\text{et} & l'=nu'u^{n-1}
 \end{array}$ \\
 Donc pour tout $x\in D_{l'}$ $$l'(x)=2013 \times 21x^2 \times (7x^3-4)^{2012}$$
\end{multicols}

 \item $m$ est définie et dérivable sur $D_{m'}=]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; + \infty[$ \quad car $m(x)=\dfrac1x +\dfrac1{v}$ 
\begin{multicols}{2}
   $\begin{array}{llcl}
\text{avec} & v(x)=5x^3 \\
\text{On a} & v'(x)=15x^2  \\
\text{et} & \left(\dfrac1v\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}
 \end{array}$ \\
 Donc pour tout $x\in D_{m'}$ $$m'(x)=-\dfrac1{x^2} -\dfrac{15x^2}{\left(5x^3\right)^2}=...=-\dfrac1{x^2}-\dfrac{3}{5x^4}$$
\end{multicols}
 
 \end{itemize}

%\textit{Une fois la formule appliquée (et précisée !) , inutile de réduire les calculs. Ne perdez pas de temps !}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \hfill \textbf{(10 points)}\\
 Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
 $$f(x)=(1-x)(2x^2-x-37)$$
 \begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
   \item %Montrer que pour tout $x\in\R$ on a  $f'(x)=-6(x^2-x-6)$.
   $f$ est définie et dérivable sur $\R$ car $f=uv$ 
\begin{multicols}{2}
   $\begin{array}{llcl}
\text{avec} & u(x)=1-x & \text{et} & v(x)= 2x^2-x-37\\
\text{On a} & u(x)=-1 & \text{et} & v'(x)=4x-1  \\
\text{et} & f'=u'v+v'u
 \end{array}$ \\
 Donc pour tout $x\in D_{m'}$,\, $$f'(x)=-(2x^2-x-37)+(4x-1)(1-x)$$
 $$=... = -6x^2+6x+36 = -6(x^2-x-6)$$
\end{multicols}
  \item[\textbf{1b)c),2. et 3c)}] %Etudier le signe de $f'(x)$ pour tout $x\in\R$.
  On cherche le signe de $x^2-x-6$.\\
  $\Delta = b^2-4ac = ... = 25$ \quad  et \quad  $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = ... = -2$ \quad et \quad $x_2= ... = 3$\\
  On sait de plus que $y=x^2-x-6$ est une parabole ouverte vers le haut. On peut donc en déduire le signe 
  de $f'(x)$ puis le sens de variations de $f$.
  %En déduire le tableau de variations de $f$ sur $\R$.
  Ainsi on a :
  \begin{center}
  \begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=4]{$x$ /1,Signe de $-6$/1.5, Signe de $x^2-x-6$/1.5, Signe de $f’(x)$/1.5,
Variations de $f$/3 }{$-\infty$,$-2$,$3$, $+\infty$}% 
\tkzTabLine{ , - , t , - ,t , - }
\tkzTabLine{ , + , z , - ,z , + }
\tkzTabLine{ , - , z , + ,z , - }
\tkzTabVar{ +/ $+\infty$, -/ $-81 $ , +/$44$ , -/$-\infty $ } 
\tkzTabVal[draw]{1}{2}{0.5}{$x_2$}{0}
\tkzTabVal[draw]{2}{3}{0.5}{$1$}{0}
\tkzTabVal[draw]{3}{4}{0.5}{$x_1$}{0}
\end{tikzpicture} 
 \end{center}
 \end{enumerate}
 % \item %Conjecturer les limites de $f$ et compléter le tableau 
  %précédent.\\
  %\textit{On pourra s'aider de la calculatrice.}
  \item[\textbf{3.}] \begin{enumerate}
         \item %Grâce au tableau de variations de $f$, déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$, 
  %en expliquant succinctement votre raisonnement.
  Dans le tableau on voit qu'il existe $x\in]-\infty ; -2[$ tel que $f(x)=0$ car $\Lim{-\infty} f(x)= +\infty >0$
  et $f(-2)=-81 <0$\\
  De même, il existe une solution de $f(x)=0$ dans $]-2 ; 3[$ et une solution dans $]3 ; + \infty[$\\
  Il y a donc trois solutions à l'équation.
  \item %Déterminer ces solutions par le calcul.
  On cherche les solutions de \quad $f(x)=0 \iff 1-x=0 \quad  \text{ ou } \quad  2x^2 -x-37=0$\\
  Or \quad  $\Delta = 297$ \quad  donc \quad  $x_1=\dfrac{1+\sqrt{297}}{4}=\dfrac{1+3\sqrt{33}}4$ \quad et
  \quad $x_2=\dfrac{1-3\sqrt{33}}4$\\\\
  Finalement l'équation a trois solutions : $x_2$, $1$ et $x_1$ dans l'ordre croissant.
  \item %Vérifier la cohérence de vos solutions en les plaçant dans le tableau.
  On peut alors compléter le tableau de variations de $f$ en plaçant correctement ses racines.

  \begin{center}
  \begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=3]{$x$ /1,Signe de $f$/1.5}{$-\infty$,$x_2$,$1$, $x_1$, $+\infty$}% 
\tkzTabLine{ , + , z , - ,z ,+ ,z,- }
\end{tikzpicture} 
 \end{center}   

        \end{enumerate}
 \end{enumerate}

 \end{ExoF}


\end{document}
