\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction DS (1h)} 		%%%type de document
\newcommand{\ch}{Chapitre 8}			%%% chapitre
\newcommand{\Ch}{De la suite dans les id\'ees !}  %% Nom du chapitre
\newcommand{\Cl}{1G6}				%% Classe
\newcommand{\num}{8}				%%% Numero du chapitre
\newcommand{\Annee}{2012-2013}			%%% Date ou année
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=2.3cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.8cm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

\begin{ExoF} %Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes. \hfill \textbf{(3 points)}\\
%\textit{Pour chacune des questions, on précisera les formules utilisées.}
\begin{enumerate}
 \item %Calculer la somme \quad $S_1=1+2+3+\dots + 2011+2013 $
 La somme $S$ des $n$ premiers entiers naturels non nuls vaut \fbox{$S=\dfrac{n(n+1)}2$} donc \quad
 $S=2013 \times \dfrac{2014}2 = 2\,027\,091$\\
\textit{Si vous décidez d'utiliser la formule de la somme des termes consécutifs d'une 
suite \textbf{arithmétique}, il faut absolumment
que vous précisiez que $S$ est la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison 1 et de premier
terme 1.}
 \item %On considère une suite arithmétique $(u_n)_{n\in\N}$ de raison $r$. On sait que $u_{20}=10$ et $u_{34}=-18$.
\begin{enumerate}
 \item %Calculer la raison $r$ de cette suite puis $u_0$.
 $(u_n)$ est une suite \textbf{arithmétique}, donc on peut utiliser la formule : \quad \fbox{$u_n=u_p + (n-p)r$} .\\
 Ainsi, \quad $u_{34}=u_{20}+(34-20)r \iff ... \iff r=-2$.\qquad
 De plus, \quad $u_{20}=u_0+20r \iff ... \iff u_0 = 50$
 \item %Calculer la somme \quad $S_2=u_{14}+u_{15}+ \dots + u_{34}$
 $(u_n)$ est une suite \textbf{arithmétique}, donc \fbox{$S_2 = (n-p+1) \times \dfrac{u_{p} + u_{n}}2$} donc $S_2 = 21 \times \dfrac{u_{14}+(-18)}2$.\\
 Or $u_{14}=u_0+14r = ... = 22$ \qquad Ainsi $S_2 = ... =42$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{minipage}{7cm}
\begin{ExoF} \hfill \textbf{(3 points)}
\begin{enumerate}
 \item  %Sur l'axe des abscisses du repère orthonormé donné ci-contre, placer les termes $u_0$ à $u_3$ de cette suite, 
%en vous appuyant notamment sur la droite $$\Delta : y=x$$ déjà tracée. \\
%\textit{On ne fera aucun calcul pour placer les termes.}
Pour tout $n\in\N$ on a  $$\left\{\begin{array}{l}
                                                                u_0=5 \\ u_{n+1}=f\left( u_n\right)
                                                               \end{array}\right.$$
où $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac23 x + 1$.\\
Donc on trace la droite $d$ d'équation $y=\dfrac23x +1$.\\
Puis $u_1=f\left(u_0\right)$ donc on l'obtient sur l'axe des ordonnées en s'appuyant sur $d$.\\
On reporte cette valeur sur l'axe des abscisses grâce à $\Delta$. Etc.
\item %Conjecturer graphiquement le sens de variation et la limite éventuelle de cette suite.
La suite semble décroissante et converger vers l'abscisse du point d'intersection des deux droites, à savoir 
$\Lim[n]{+\infty} u_n = 3$
 \end{enumerate}
 \end{ExoF}
 \end{minipage} \quad
\begin{minipage}{12cm}
 \begin{center}
 \psset{xunit=1.5cm , yunit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.1)(5.6,5.6)
\def\xmin{0} \def\xmax{5.5} \def\ymin{0} \def\ymax{5.5}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.1,-0.1)(5.6,5.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=lightgray, subgriddiv=1](0,0)(0,0)(5.5,5.5)
\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{->}(5,0)(5,4.33333)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(5,4.33333)(0,4.33333)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{->}(5,4.33333)(0,4.33333)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4.33333)(4.33333,4.33333)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{->}(0,4.33333)(4.33333,4.33333)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.33333,4.33333)(4.33333,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{->}(4.33333,4.33333)(4.33333,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.33333,0)(4.33333,3.88888)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{->}(4.33333,0)(4.33333,3.88888)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.33333,3.88888)(0,3.88888)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{->}(4.33333,3.88888)(0,3.88888)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,3.88888)(3.88888,3.88888)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{->}(0,3.88888)(3.88888,3.88888)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3.88888,3.88888)(3.88888,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{->}(3.88888,3.88888)(3.88888,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3.88888,0)(3.88888,3.59259)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{->}(3.88888,0)(3.88888,3.59259)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3.88888,3.59259)(0,3.59259)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{->}(3.88888,3.59259)(0,3.59259)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,3.59259)(3.59259,3.59259)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{->}(0,3.59259)(3.59259,3.59259)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3.59259,3.59259)(3.59259,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray,linestyle=dotted]{->}(3.59259,3.59259)(3.59259,0)
\def\F{2 3 div x mul 1 add}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{0}{5.6}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{5.6}{\F}

\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[-90](5,0){ $u_0$}
\uput[180](0,4.33333){ $u_1$}
\uput[-90](4.33333,0){ $u_1$}
\uput[180](0,3.88888){$u_2$}
\uput[-90](3.88888,0){ $u_2$}
\uput[180](0,3.59259){ $u_3$}
\uput[-90](3.59259,0){ $u_3$}
\uput[120](5,5){ $\Delta :y=x$}
\uput[-90](5,4){\red{ $d :y=\dfrac23 x+1$}}
\end{pspicture*}

\end{center}
\end{minipage}

\begin{ExoF}  \hfill \textbf{(5 points)}
 %On considère la suite géométrique définie de la façon suivante  \quad $\left\{\begin{array}{lcl}
  %                                                                              u_1 & = & 1 \\
   %                                                                              u_{n+1} & = & 2u_n\, , \qquad \forall n\geq 1
 %                                                                              \end{array}\right.$
%
\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_2$ ; $u_3$ ; $u_4$.
On a $u_2 = 2  u_1 = 2 \quad , \quad u_3 = 2 u_2 = 4 \quad , \quad u_4=2u_3 = 8$
\item %Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
$u_n$ est une suite \textbf{géométrique} de raison $q=2$ et de premier terme $u_1=1$. Ainsi $\forall n\in \N$
on a \fbox{$u_n=u_1 \times q^{n-1}$} Donc $u_n= ... = 2^{n-1}$
\item %En déduire $u_{64}$.
Donc $u_{64}=2^{63} \simeq 9,2 \times 10^{18}$
\item %\textbf{La légende du jeu d'échec} : Le roi demanda à l'inventeur du jeu d'échec de choisir lui-même 
%sa récompense. Celui-ci répondit : \og place 1 grain de blé sur la première case de l'échiquier, 
%deux grains sur la deuxième case, quatre sur la troisième case, et ainsi de suite jusqu'à 
%la $64^\text{ième}$ case. Le roi sourit de la modestie de la demande.
%
%\medskip
%
%Calculer une valeur approchée du nombre total de grains de blé que le roi devra placer sur l'échiquier et commenter.
On reconnaît que le nombre de grains de blé sur la case numéro $n$ vaut $u_n$. Comme, on cherche la somme
des grains, on veut calculer \fbox{$S = u_1 + u_2 + ... u_n = u_1 \times \dfrac{1-q^n}{1-q}$} 
car $(u_n)$ est \textbf{géométrique}.\\
Donc $S = 1 \times \dfrac{1-2^{64}}{1-2} = ... =2^{64}-1 \simeq 1.8 \times 10^{19}$.\\
L'inventeur du jeu d'échec n'était pas si modeste ! Et le roi était bien naïf, il aurait mieux fait de connaître ses formules
sur les suites géométriques avant d'accepter ...
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\newpage


\begin{ExoF}  \hfill \textbf{(5 points)} \\%Polynésie Juin 2012
%\medskip
\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}
%
%\medskip
% On considère l'algorithme ci-contre.
%
%Les variables sont le réel $U$ et les entiers naturels $k$ et $N$.\\
%
\begin{enumerate}
 \item %Compléter la trace d'exécution de cet algorithme dans le tableau ci-dessous, avec l'entrée $N=3$.\\
%\textbf{Indications :} 
%\begin{itemize}
% \item Toutes les cases ne sont pas forcément à remplir, c'est à vous de savoir où vous arrêter.
% \item Dans la ligne \og Test \fg, on attend une réponse du type \og Vrai \fg  ou \og Faux \fg
%\end{itemize}
Le test d'entrée dans la boucle se fait avec la dernière valeur de $k$ enregistrée par l'ordinateur. Il est donc important
de remplir de tableau par colonne au fur et à mesure, comme le fait l'ordinateur ...
 \begin{center}
\begin{tabular}{*{7}{|>{\centering}m{2cm}}|}\hline
 \textbf{Test} & \cellcolor{gray} & Vrai ($0\leq 2$)& Vrai ($1 \leq 2$) & Vrai ($2 \leq 2$)& Faux ($3 \nleq 2$) &\\\hline
 $U$ & 0 & 3 & 10 & 29 &&\\\hline
 $k$ & 0 & 1 & 2 & 3 &  &\\\hline
  \end{tabular}\\
  \end{center}
  \item %Quel est alors l'affichage en sortie ?
L'algorithme en sortie affiche 29.
\end{enumerate}
%\bigskip
%
\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}
%
%\medskip
%
%On considère la suite $\left(u_n\right)_{n\in\N}$ définie par l'algorithme ci-dessus.
\begin{enumerate}
\begin{minipage}{8cm}
 \item %Compléter : 
 $\left\{\begin{array}{lclr}
                            u_0 & = & 0 \\
                            u_{n+1} & = & 3u_n-2k+3 & \qquad\qquad , \, \forall n\geq 0
                           \end{array}\right.$
 \end{minipage}
 \begin{minipage}{10cm}
  \item %A l'aide d'un tableau de valeurs sur votre calculatrice, conjecturer le sens de variation et la 
 %limite éventuelle de cette suite.
 Les calculatrices demandent $u_n$, donc on doit adapter les indices : $$u_n=3u_{n-1}-2(n-1)+3$$
 \end{minipage}
\begin{center}
\begin{tabular}{*{3}{|>{\raggedright}m{5cm}}|}\hline
 \centering\textbf{TI 82 à 84} & \centering\textbf{TI 89} & \centering\textbf{TI Nspire CX Cas}  \tabularnewline\hline
 \texttt{nmin = 0}\\
 \texttt{u(n)=3u(n-1)-2(n-1)+3} \\
 \texttt{u(nmin)=0} & 
 \texttt{u1(n)=3u1(n-1)-2(n-1)+3}\\
 \texttt{ui1=0}  &
 \textit{u1(n)=3u1(n-1)-2(n-1)+3}\\
 \textit{Valeurs initiales : 0} \\
 $0 \leq n \leq  99$   \tabularnewline\hline
  \end{tabular}\\
  \end{center}
\begin{minipage}{8.5cm}
 \item %Modifier l'algorithme précédent pour que, pour une valeur de $A$ donnée en entrée, 
%il renvoit le premier entier $n$ tel que $u_n > A$.
On veut entrer une valeur pour $A$. La première chose à changer est donc de demander $A$ à l'utilisateur,
et non $N$.\\
Ensuite on veut que l'ordinateur calcule les termes $u_n$ jusqu'à dépasser (strictement) cette valeur $A$, donc tant que 
$u_n \leq A$. On change donc la condition dans la boucle.\\
La boucle s'arrêtera dès que $u_k >A$ et renverra la valeur de $k$ correspondante.
\end{minipage}
\qquad 
\begin{minipage}{8.5cm}
\begin{center}
\Algo[Modifié]{8.5cm}{
\textbf{Entrée}\\
Saisir le nombre entier naturel non nul $A$.\\
\noindent \textbf{Traitement}\\
Affecter à $U$ la valeur 0\\
Affecter à $k$ la valeur $0$\\
\While{$U\leq A$}
{Affecter à $U$ la valeur $3U - 2k + 3$\\
Affecter à $k$ la valeur $k+1$}\\\\
\noindent \textbf{Sortie}\\
\noindent Afficher $k$
}
\end{center}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF} \textbf{Problème} \hfill \textbf{(4 points)}
 %\textbf{\textit{Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative, même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.\\
 %      Cependant, on attend des réponses expliquées et justifiées par des formules du cours et des calculs.}}\\
% On souhaite construire un château de cartes à $n$ niveaux ($n\geq 1$). 
%On a représenté ci-dessous un château à quatre niveaux. 
%On appelle $(u_n)_{n\geq 1}$ la suite dont chaque terme $u_n$ est égal au 
%nombre de cartes du niveau $n$ en partant d'en haut. Ainsi $u_1=2$, $u_2=5$, $u_3=8$, $u_4=11$, ...\\
%On admet que la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ est une suite arithmétique de raison $3$ et de premier terme $u_1=2$.      
\begin{enumerate}
    \item %La rangée la plus basse d'un château possède $23$ cartes. 
  %Quelle est le nombre de cartes totales de ce château ? 
   On cherche la somme des termes consécutifs de la suite \textbf{arithmétique} $(u_n)$  jusqu'au terme valant 23.\\
   Commençons alors par trouver $n$ tel que $u_n=23$ (ie le numéro de l'étage correspondant).\\
   $(u_n)$ est arithmétique, donc \fbox{$u_n=u_1 + (n-1)r$} \quad $ \iff 23 = 2 + 3(n-1) \iff ... \iff n=8$
   \quad et $u_8=23$\\
   On calcule alors \fbox{$S=u_1 + u_2 + ... + u_8 = 8 \times \dfrac{u_1 + u_8}2 $} \quad Donc $S = ... = 100$.\qquad
   Le château contient $100$ cartes.
   \item %On dispose de $500$ cartes. Quelle est le nombre de cartes de la rangée du bas 
    %du plus grand château que l'on peut fa\-briquer ?
    Cherchons déjà le nombre d'étages maximal d'un tel château.\\
    Un château à $n$ étages contient \fbox{$S=u_1 + u_2 + ... + u_n 
    =n \times \dfrac{u_1 + u_n}2 $} cartes. \quad  Donc $S=  ... = n \times \dfrac{3n +1}2$\\
    On cherche le plus grand entier $n$ tel que $n \times \dfrac{3n +1}2 \leq 500
    \iff n(3n+1) \leq 1000 \iff 3n^2 + n -1000 \leq 0$.\\
    On cherche alors le \textbf{signe} d'un polynôme de degré 2 (on ne sait faire que si l'un des membres
    de l'inéquation vaut $0$).\\ 
    Donc on calcule \fbox{$\Delta = b^2-4ac $ } \, $= ... =  12\,001$ \quad donc \quad 
    \fbox{$n_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2 \times a} $} \, $= ... \simeq 18,1$ \quad et \quad  
    $n_2 = ... \simeq -18 <0$  (impossible).\\
    Le polynôme est représenté par une parabole ouverte vers le haut (car $3>0$), donc il est négatif
    entre ses racines.\\
    Le plus grand entier $n$ tel que $3n^2 + n -1000 \leq 0$ est donc $18$ (le plus grand inférieur à $18.1$).\\
    Ainsi, le château a 18 étages.\\
    On cherche désormais le nombre de cartes de l'étage 18, ie $u_{18}=u_1 + (18-1)r = ... = 53$\\
    La rangée du bas contient 53 cartes.    
       \end{enumerate}
       \end{ExoF}




\end{document}
