\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille 
\newcommand{\typedoc}{Devoir Commun}
\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\Cl}{1G4 \`a 7}
\newcommand{\num}{2}	
\newcommand{\tps}{2h}	
\newcommand{\Annee}{18 Avril 2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\usepackage{textcomp}
\input macro_final.tex

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Marges 
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.8cm}
\footskip=30pt

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Style de doc
\begin{document}

\thispagestyle{NomClasse}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}

\debutDSCommun

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début
\begin{ExoF} \textbf{Définition du nombre dérivé / Proche du cours} \hfill \textbf{(3 points)}\\
Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=x^2-x$.\\
Déterminer par le calcul le nombre dérivé $g'(3)$, en détaillant les différentes étapes.
\end{ExoF}

\begin{ExoF}  \textbf{Nombre dérivé et tangente} \hfill \textbf{(6 points)}\\
 La représentation graphique $\mathscr C_f$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$ est donnée ci-dessous. \\
En chacun des points indiqués, $\mathscr C_f$ admet une tangente qui est tracée.
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-5,-5.5)(10.5,4.5) 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=3](0,0)(-5,-5)(10.5,5) 
\psaxes{->}(0,0)(-5,-5.5)(10.5,5) 
\psaxes(0,0)(-5,-3)(10.5,5) 
\HermiteDDL(-7,1,-2,0)(-3,-3,0.5,2)(-1,2,-1,1)(2,-4,3,1)(4,4,0,1)(7,-2,-0.3333,0)(11,-3,-2.333,0) 
 \uput[ur](9.5,-3){$\mathscr C_f$}
\end{pspicture*} 
\end{center} 
\begin{enumerate}
 \item En se servant du quadrillage :
 \begin{enumerate}
 \item Lire les nombres suivants :
 $$ f(-1)=\ldots\ldots \qquad\qquad\qquad f(2)=\ldots\ldots \qquad\qquad \qquad f(4)=\ldots\ldots$$
$$ f'(-1)=\ldots\ldots \qquad\qquad\qquad f'(2)=\ldots\ldots \qquad \qquad\qquad f'(4)=\ldots\ldots$$
 \item Tracer la tangente $T$ à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $7$, sachant que $f'(7)=-\dfrac13$
\item Lire et donner l'équation réduite de la tangente $\Delta$ à $\mathscr C_f$ au point 
d'abscisse $-3$.
\end{enumerate}
\item On donne \, $f(20)=-10$ \,  et \,  $f'(20)=-3$. \\
Déterminer l'équation réduite de la tangente $D$ à $\mathscr C_f$ au point
d'abscisse $20$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\newpage
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}

\begin{ExoF}  \textbf{Droites} \hfill \textbf{(7 points)}\\
 On se place dans un repère \Oij du plan.
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer une équation cartésienne de chacune des droites suivantes :
  \begin{enumerate}
   \item la droite $d_1$ passant par les points $A(1;2)$ et $B(4;1)$
   \item la droite $d_2$ passant par $C(6;-1) $ et de vecteur directeur $\vec u \left(\begin{array}{c}
                                                                                      -3\\1
                                                                                     \end{array} \right)$
  \item la droite $d_3$ d'équation réduite $y=-\dfrac13 x+ 4$
  \end{enumerate}
 \item Montrer que toutes ces droites sont parallèles entre elles.
 \item \begin{enumerate}
        \item Déterminer sur chaque droite l'ordonnée du point d'abscisse 0.
        \item En déduire la position relative de chacune des droites dans le repère \Oij .
       \end{enumerate}
 \end{enumerate}

\end{ExoF}


\begin{ExoF} \textbf{Second degré} \hfill  \textbf{(7 points)}\\
 On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par :
 $$f(x)=x^2+2x \qquad \qquad \text{et} \qquad \qquad g(x)=-2x^2-3x+2$$
 On appelle respectivement  $\mathscr P_f$ et $\mathscr P_g$ leurs courbes représentatives
 dessinées ci-dessous dans un repère orthonormé \Oij du plan.
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que pour tout $x\in\R$ on a \quad  $g(x)-f(x)=-3x^2-5x+2$
  \item \begin{enumerate}
         \item Résoudre dans $\R$ l'équation $-3x^2-5x+2=0$
         \item Etablir sur $\R$ le tableau de signes de l'expression $-3x^2-5x+2$
        \end{enumerate}
  \begin{minipage}{9.5cm}
 \item En utilisant les résultats des questions 1) et 2), déterminer :
 \begin{enumerate}
 \item les coordonnées des points d'intersection $A$ et $B$ des courbes $\mathscr P_f$ et $\mathscr P_g$
 \item Les positions relatives de $\mathscr P_f$ et $\mathscr P_g$ sur $\R$.
  \end{enumerate}
  \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

On désigne par $M$ et $N$ deux points mobiles tels que :
  \begin{itemize}
   \item $M\in\mathscr P_f$
   \item $N\in\mathscr P_g$
   \item $M$ et $N$ ont la même abscisse appartenant à l'intervalle $\left[-2;\dfrac13 \right]$
  \end{itemize}
 Quelle est la longueur maximale du segment $[MN]$ ? Justifier. 
  \end{minipage}\quad
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=1.7cm,yunit=1.7cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-1.5)(2,3.55)
\psline{->}(-3,0)(2,0)%(2,3.55)
\psline{->}(0,-1.5)(0,3.55)
\psplot[plotpoints=200]{-3.0}{2.0}{x^2+2*x}
\psplot[plotpoints=200]{-3.0}{2.0}{-2*x^2-3*x+2}
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](-1.37,2.35)(-1.37,-0.86)
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\psdots[dotstyle=x,linecolor=darkgray](-2,0)
\rput[bl](-2.25,-0.25){{$A$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=darkgray](0.33,0.78)
\rput[bl](0.45,0.75){{$B$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=xdxdff](-1.37,-0.86)
\rput[bl](-1.55,-1.2){{$M$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=darkgray](-1.37,2.35)
\rput[bl](-1.53,2.5){{$N$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=darkgray](0,0)
\begin{footnotesize} 
\rput[bl](-0.24,-0.18){{$O$}}
\rput[bl](0.35,-0.3){$\vec i$}
\rput[bl](-0.25,0.4){$\vec j$}
\rput[bl](1.8,-0.25){$x$}
\rput[bl](-0.25,3.35){$y$}
\end{footnotesize}
\end{pspicture*}
\end{center} 
\end{minipage}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\newpage
 \begin{ExoF} \textbf{Probabilités} \textit{Les trois parties sont indépendantes.}
  \hfill \textbf{(10 points)}  %(6 points)} %\section{\textbf{Pondichéry avril  2012}}
 \\
Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, participe à une course cycliste
qui comprend 12 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n'est constaté.\\
 À la fin de chaque étape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrôle antidopage. 
 Ces désignations de 5 coureurs à l'issue de chacune des étapes sont indépendantes. 
 Un même coureur peut donc être contrôlé à l'issue de plusieurs étapes.\\
 Les résultats des contrôles étant obtenus après la fin de la course, un coureur contrôlé positif aura 
 tout de même participé à chaque étape de la course.\\
 Ben est l'un des 50 participants de la course. 
 
 \medskip 
 
 \noindent \textbf{Partie A : } \\
 %\medskip  
 On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel : \\
\indent \og rand(1,~ 50) \fg{} permet d'obtenir \textbf{un nombre entier aléatoire} appartenant à l'intervalle [1~;~50] 

\medskip
\fbox{
\begin{tabularx}{\linewidth}{p{2.2cm}|X}
Variables& 	$a, b, c, d$ et $e$ sont des nombres entiers\\ 
Initialisation& $a$, $b$, $c$, $d$ et $e$ prennent la valeur $0$ %:= 0\:;\: b := 0\:;\: c := 0\:;\: d := 0 \:;\: e := 0$
\\ 
Traitement & 	Tant que $\Big((a = b)$ \, ou \, $(a = c)$ \, ou \, $(a = d)$ \, ou \, $(a = e)$ \, ou \, 
$(b = c)$ \, ou \, $(b = d)$ \, ou   \\ 
&  \, $(b = e)$ \, ou \, $(c = d)$ \, ou \, $(c = e)$ \, ou \, $(d = e)\Big)$\\ 
&\hspace{0.7cm}Début du tant que\\ 
&\hspace{1.5cm} $a$ prend la valeur $\text{rand}(1,~50) \quad ;\quad  b $ prend la valeur $\text{rand}(1,~50)  $\\
&\hspace{1.5cm} $c $ prend la valeur $\text{rand}(1,~50) \quad ;\quad  d $ prend la valeur $\text{rand}(1,~50) $ \\
&\hspace{1.5cm}  $e $ prend la valeur $\text{rand}(1,~50)$\\ 
&\hspace{0.7cm}Fin du tant que \\
Sortie& 	Afficher $a, b, c, d, e$
\end{tabularx}
}
%\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu être affichés par cet algorithme ? 
		Justifier.
$$L_{1} = \{2~;~ 11~;~44~;~2~;~15\}  \qquad\qquad  \qquad\qquad  L_{2} = \{8~;~ 17~;~41~;~34~;~ 6\} $$ 
$$L_{3} = \{12 ~;~ 17~;~ 23~;~57~;~ 50\} \qquad\qquad  \qquad\qquad L_{4} = \{45~;~ 19~;~43~;~21~;~ 18\}$$ 
		\item Que permet de réaliser cet algorithme concernant la course cycliste ?
	\end{enumerate} 

\textbf{Partie B :}

\begin{enumerate}
 \item %À l'issue d'une étape, on choisit au hasard un coureur parmi les 50~participants. 
Justifier que la probabilité que Ben subisse un contrôle à la fin d'une étape est égale à $0,1$. 
\item On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de contrôles subis par 
Ben sur l'ensemble des 12 étapes de la course. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ ? \textit{Justifier et préciser ses paramètres. }
		\item Calculer, sous forme décimale arrondie au dix-millième, les probabilités 
		des évènements sui\-vants :
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item Ben a été contrôlé 5 fois exactement; 
\item Ben n'a pas été contrôlé; 
\item Ben a été contrôlé au moins une fois.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
\item Déterminer et interpréter l'espérance de la variable aléatoire $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\medskip

\textbf{Partie C :}  \emph{Dans cette partie, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
\noindent Pour chaque étape, le gagnant remporte $2000\euro$. Ben décide de se doper à la Polynésitamine.% : il est sûr de remporter toutes les 
%étapes.
\\
S'il se fait contrôler au moins une fois, il sera déclaré positif : il perdra tous ses gains et 
il devra payer une amende de $11\,000\euro$.\\
Le choix de Ben de se doper vous paraît-il judicieux du point de vue financier ? Expliquer.

\end{ExoF}


\begin{ExoF}  \textbf{QCM} \hfill \textbf{(5 points)}\\
 Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples. Pour chaque question, une seule des réponses proposées
 est juste. Entourer sur votre énoncé les réponses correctes. \textbf{Aucune justification n'est demandée.}
 \begin{enumerate}
  \item Le plus grand ensemble de définition possible de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac1{\sqrt{-x-3}}$ est :
  \begin{multicols}{4}
   \begin{enumerate}
    \item $[-3;+\infty[$ \item $]-3;+\infty[$ \item $]-\infty;-3]$ \item $]-\infty ; -3[$
   \end{enumerate}
  \end{multicols}
 \begin{minipage}{8.5cm}
 \item On donne l'algorithme ci-contre.\\
La valeur de $u$ affichée en sortie lorsque l'utilisateur saisit la valeur $3$ pour $n$ est :
  \begin{multicols}{2}
   \begin{enumerate}
    \item $644 $ \item $586.4 $ \item $ 201.8$ \item $551.84 $
   \end{enumerate}
  \end{multicols}
 \end{minipage}\qquad 
\begin{minipage}{8cm}
  \begin{center}\Algo{8cm}{
\Var{ 
$n$ et $i$ sont des nombres entiers\\
$u$ est un nombre réel
}
\Deb{
Saisir $n$\\
$u$ prend la valeur $900$\\
\For{ $i$ allant de $1$ à $n$ }
{$u$ prend la valeur $0.6\times u+200$}
{Afficher $u$}
}
}
\end{center}
\end{minipage}
     \item L'algorithme de la question précédente permet de calculer les termes de la suite $\left(u_n\right)_{n\geq 0}$ 
     de premier terme $u_0=900$ et telle que pour tout $n\in\N$ :
  \begin{multicols}{4}
   \begin{enumerate}
    \item $u_n=0.6n+200$ \item $u_n=0.6u_{n+1}+200$ \item $u_{n+1}=0.6n+200$ \item $u_{n+1}=0.6u_n+200$
   \end{enumerate}
  \end{multicols}
   \item On considère la suite $\left(v_n\right)_{n\geq 0}$ telle que pour tout $n\in\N$, \quad $v_n=3n^2 -2n+4$.\\
   Alors, pour tout $n\in\N$ on a $v_{n+1}-v_n =$ 
  \begin{multicols}{4}
   \begin{enumerate}
    \item $v_1$ \item $2n+10$ \item $1$ \item $6n+1$
   \end{enumerate}
  \end{multicols}
     \item On considère la suite $\left(w_n\right)_{n\geq 0}$ telle que $w_0=5$ et pour tout $n\in\N$, $w_{n+1}=3w_n -2n+4$.\\
   La valeur de $w_2$ est :
  \begin{multicols}{4}
   \begin{enumerate}
    \item $19$ \item $59$ \item $51$ \item Autre réponse
   \end{enumerate}
  \end{multicols}
 \end{enumerate}

\end{ExoF}

\newpage


\begin{ExoF}  \textbf{Vecteurs} \hfill \textbf{(7 points)}\\
\begin{minipage}{12cm}
 On considère un triangle quelconque $ABC$ comme ci-contre. \\
 On nomme $I$ le milieu de $[BC]$, $J$ celui de $[AB]$ et $K$ celui de $[AC]$.\\
 On se place dans le repère $\left(A ; \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC}\right)$.\\
 \textit{Ce repère n'est pas nécessairement orthonormé et :
 \begin{itemize}
  \item $A$ désigne l'origine du repère,
  \item $\overrightarrow{AB}$ désigne le vecteur unité de l'axe des abscisses,
  \item $\overrightarrow{AC}$ désigne le vecteur unité de l'axe des ordonnées.
 \end{itemize}}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
 \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(5.5,3.5)
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(5,0)
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(2,3)
\psline(2,3)(5,0)
%\begin{scriptsize}
%\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x](0,0)
\rput[bl](-0.25,-0.3){$A$}
%\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x](5,0)
\rput[bl](5.07,-0.3){$B$}
%\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x](2,3)
\rput[bl](2.08,3.18){$C$}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x](3.5,1.5)
\rput[bl](3.57,1.68){$I$}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x](2.5,0)
\rput[bl](2.48,-0.5){$J$}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x](1,1.5)
\rput[bl](0.73,1.73){$K$}
%\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{minipage}\\\\

Le point d'équilibre du triangle, dit isobarycentre, est le point $G(x_G;y_G)$, intérieur au triangle tel que 
$$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}= \vec 0$$

\begin{enumerate}
 \item Donner sans justifier les coordonnées de $A$, $B$ et $C$ dans le repère $\left(A ; \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC}\right)$.
\item \begin{enumerate}
       \item Ecrire les coordonnées de $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}$
       en fonction des coordonnées de $G$.
       \item Déduire de l'égalité $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}=\vec 0$
       que $x_G=y_G=\dfrac13$
      \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Justifier que les coordonnées de $I$ dans le repère $\left(A ; \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC}\right)$ sont
        $x_I=0.5$ et $y_I=0.5$.
        \item Démontrer que les points $A$, $G$ et $I$ sont alignés.
               \end{enumerate}
\item On admet que de la même façon, les points $C$, $G$ et $J$ sont alignés.\\
Que peut-on en déduire pour la nature du point $G$ dans le triangle $ABC$ ?
%\item Démontrer que le point $G$ est au placé au deux-tiers de la médiane issue de $B$.
 
% \item Soit $G$ le point tel que $\overrightarrow{AG}=\dfrac23 \overrightarrow{AI}$.
%\begin{enumerate}
% \item Montrer que $G\left(\dfrac13 ; \dfrac13 \right)$
% \item Montrer que $B$, $G$ et $K$ sont alignés. Que pouvez-vous en conclure sur le point $G$ pour le triangle $ABC$ ?
%\textbf{ \item En déduire que $C$, $G$ et $J$ sont alignés. ?}
% \item Montrer que $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}=\vec 0$
% \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
 %\textbf{Tu ne préfèrerais pas définir $G$ par l'égalité du barycentre, puis 
 %\begin{enumerate}
 % \item  Montrer que $\overrightarrow{AG}=\dfrac23 \overrightarrow{AI}$
 % \item On se place dans le repère gnagna
 % \begin{enumerate}
 %  \item Déterminer les coord de A, B et C
 %  \item Calculer les coord de I puis G (ou montrer que)
 %  \item Montrer que $B$, $G$ et $K$ sont alignés. Que pouvez-vous en conclure sur le point $G$ pour le triangle $ABC$ ?
 %  \item etc
 % \end{enumerate}
%\end{enumerate}
%}
\end{ExoF}



\end{document}
