\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Correction}% \linebreak \textit{Calculatrice interdite}}	
\newcommand{\Cl}{1G6}	
\newcommand{\Annee}{2012-2013}	
\newcommand{\num}{6}	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutDsCha


  \begin{ExoF}\textbf{Points alignés}\hfill \textbf{(4 points)}
% Dans un repère \Oij\, du plan, on donne les points :
 %$$A(2,1) \qquad, \qquad B(x,4) \qquad \text{ et } \qquad C(3,x+2)$$
 \begin{enumerate}
  \item %Montrer $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $x^2-x-5=0$
  On a \quad $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c}
                                   x-2\\ 3
                                  \end{array}\right)$ \quad  et \quad 
$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c}
                                   1\\ x+1
                                  \end{array}\right)$ \quad 
Or $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$
sont colinéaires \\
ie si et seulement si \quad
$(x-2)(x+1)-3\times 1 = 0 \iff \ldots \iff x^2-x-5=0$

  \item %En déduire les éventuelles valeurs de $x$ telles que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
On résout l'équation ci-dessus : \quad $\Delta = (-1)^2-4\times 1 \times (-5) = 21$.\\
Donc les valeurs possibles pour $x$ sont $x_1=\dfrac{1+\sqrt{21}}{2}$ et $x_2=\dfrac{1-\sqrt{21}}2$
   \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \textbf{Parallélisme}\hfill \textbf{(3 points)}
%Dans un repère \Oij\, du plan, on considère les points :
%$$A(-1;-3) \qquad , \qquad B(-3;3) \qquad , \qquad C(4;2) \qquad \text{ et } \qquad D(7;-7)$$
\begin{enumerate}
 \item %Montrer que $(AB)//(CD)$.
  On a \quad $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c}
                                   -2\\ 6
                                  \end{array}\right)$ \quad et \quad 
$\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c}
                                   3\\ -9
                                  \end{array}\right)$ \qquad
On constate que $\overrightarrow{CD}=-\dfrac32\overrightarrow{AB}$. \\
Ces vecteurs sont colinéaires, on peut donc en conclure
que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
 \item %Déterminer les coordonnées de $E$ tel que $ABCE$ soit un parallélogramme.
 $ABCE$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EC}$.\\
 On pose $(x;y)$ les coordonnées de $E$. \quad On doit donc avoir 
  $\left(\begin{array}{c}
                                   -2\\ 6
                                  \end{array}\right)= 
\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c}
                                   4-x\\ 2-y
                                  \end{array}\right) \iff ... \iff 
                                  \left\{\begin{array}{l}
                                          x=6 \\ y = -4
                                         \end{array}\right.
                                  $\\
D'où $E(6 ; -4)$
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
\textbf{Problème}\hfill \textbf{(13 points)}\\
%$A$, $B$ et $C$ sont trois points non alignés du plan. Les points $G$ et $F$ sont définis par :
%$$\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{BC}+5\overrightarrow{CA}\qquad 
%\text{et}\qquad \overrightarrow{AG}+2\overrightarrow{BG}+3\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{0} $$
\partieBac{Sans coordonnées}
\begin{enumerate}
\item %Exprimer $\overrightarrow{BF}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
On a $\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{BA} + 2 \overrightarrow{AC} + 5 \overrightarrow{CA} 
= -2 \overrightarrow{AB} -3 \overrightarrow{AC}$
\item %Démontrer que \quad $ \overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$
On a :
\begin{eqnarray*}
 \overrightarrow{AG}+2\overrightarrow{BG}+3\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{0}
 &\iff&  \overrightarrow{AG}=-2\overrightarrow{BG}-3\overrightarrow{CG}\\
 &\iff & \overrightarrow{AG}=-2\overrightarrow{BA}-2\overrightarrow{AG}-3\overrightarrow{CA}-3\overrightarrow{AG}\\
&\iff & 6\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}\\
&\iff & \overrightarrow{AG}=\dfrac26\overrightarrow{AB}+\dfrac36\overrightarrow{AC}\\
&\iff & \overrightarrow{AG}=\dfrac13\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AC}
\end{eqnarray*}
\item %Compléter alors la figure donnée en annexe ci-contre.
Cf figure.
\item %Que peut-on dire du quadrilatère $AGBF$ ? \textit{(Justifier)}
On a \quad $6\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{BF} 
\iff \overrightarrow{BF}=-6\overrightarrow{AG}$\qquad
Les vecteurs $\overrightarrow{BF}$ et $\overrightarrow{AG}$ sont colinéaires de sens 
contraires.\\
Le quadrilatère $AGBF$ est donc un trapèze.
\end{enumerate}
\partieBac{Avec coordonnées}
%On se place dans le repère $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$
\begin{enumerate}
\item %Expliquer pourquoi $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ est un repère du plan.
Les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés, donc $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$
est bien un repère du plan.
\item %Donner les coordonnées de $A$, $B$, $C$ et $G$. 
$A(0;0)$, $B(1,0)$, $C(0,1)$ et $G\left(\dfrac13 ; \dfrac12\right)$ d'après la question 2 de la partie A.
%\textit{(Inutile de justifier, mais pensez à utiliser vos réponses de la partie A)}
\item %Prouver que $F(-1;-3)$.
On cherche les coordonnées de $\overrightarrow{AF}$.\qquad 
On a $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BF} = ... 
= -\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$\qquad 
Donc $F(-1;-3)$.
\item %Déterminer une équation cartésienne de la droite $(BF)$.
 $\overrightarrow{BF}\left(\begin{array}{c}
                                -2 \\ -3
                               \end{array}\right)$ qui est un vecteur directeur de $(BF)$.\qquad
Donc $(BF)$ a une équation du type $-3x+2y=c$ avec $c\in\R$.\\
De plus, on sait que $B\in(BF)$ donc ses coordonnées vérifient l'équation de $(BF)$ et on a 
$-3\times 1 +2 \times 0 = c \iff c=-3$.\\
Ainsi $(BF) : -3x+2y=-3$.
\item %On donne la droite $\mathscr D :\dfrac{3}{2}x+y=0$ et le point $E\left(2;-\dfrac{3}{2}\right)$.
\begin{enumerate}
\item %Le point $E$ est-il un point de $\mathscr D$ ? Si oui, le placer.  \\
On regarde si les coordonnées de $E$ vérifient l'équation de $\mathscr D$ : \quad 
$\dfrac32 \times 2 - \dfrac32 = ... = \dfrac32 \neq 0$.\qquad
Donc $E\notin \mathscr D$.\\
%Si non, déterminer l'abscisse du point $K$ de $\mathscr D$ d'ordonnée $-\dfrac32$ puis placer $K$.
On note $K\left(x ; -\dfrac32\right)$. On sait que $K\in\mathscr D$ donc 
ses coordonnées vérifient l'équation de $\mathscr D$ ie \\
$\dfrac32x-\dfrac32 = 0 \iff x= 1$. \qquad Donc $K\left(1 ; -\dfrac32\right)$.
\item %La droite $\mathscr D$ est-elle parallèle à la droite $(BF)$ ?\\
Un vecteur directeur de $\mathscr D$ est $\vec u \left(\begin{array}{c}
                                                        -1 \\ \frac32
                                                       \end{array}\right)$
et $\overrightarrow{BF}\left(\begin{array}{c}
                                -2 \\ -3
                               \end{array}\right)$\\
Or $-1 \times -3 -\dfrac32 \times (-2) = 3+3=6 \neq 0$ donc les droites $(BF)$ et $\mathscr D$ sont sécantes.
%Si non, déterminer les coordonnées de leur point d'intersection $I$ et le placer.
On cherche les coordonnées $(x;y)$ de leur point d'intersection, qui vérifient le système :
$$\left\{\begin{array}{l}
          -3x+2y=-3 \\ \dfrac32x+y=0
         \end{array}\right. 
\stackrel{2L_2}{\iff} 
\left\{\begin{array}{l}
          -3x+2y=-3 \\ 3x+2y=0
         \end{array}\right.
         \stackrel{L_1+L_2}{\iff} 
\left\{\begin{array}{l}
          -3x+2y=-3 \\ 4y=-3
         \end{array}\right. \iff ...\iff 
\left\{\begin{array}{l}
          y=-\dfrac34 \\ x=\dfrac12
         \end{array}\right. \qquad \text{Donc } I\left(\dfrac12;-\dfrac34\right)
$$
\item %Grâce aux informations des deux questions précédentes, tracer la droite 
%$\mathscr D$. \textit{On notera la cohérence ...}
La droite $\mathscr D$ passe par les points $I$ et $K$.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{ExoF}


\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-10,-3)(7,7)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-10,-3)(7,7)
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\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(3,2)(2,-2)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(2,-0.34)(3,2)(-9,4)
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\psline[linecolor=zzttqq](3,2)(2,-2)
\psline[linecolor=zzttqq](2,-2)(0,0)
\psline{->}(0,0)(3,2)
\psline{->}(0,0)(2,-2)
\psline{->}(0,0)(-3,-2)
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\psline{->}(1,0.66)(2,-0.34)
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\psline{->}(3,2)(1,4)
\psline{->}(1,4)(0,5)
%\psline{->}(3,2)(6,4)
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%\psline{->}(2,8)(0,10)
\psline{->}(0,0)(1.5,1)
\psline{->}(1.5,1)(0,2.5)
\psline(0,-7)(0,11)
\rput[bl](-0.3,-0.5){{$A$}}
\rput[bl](3.,2.2){{$B$}}
\rput[bl](2.2,-2){{$C$}}
\rput[bl](-8.92,4.12){{$F$}}
\rput[bl](1.7,-0.7){{$G$}}
\rput[bl](0.07,5.11){{$K$}}
\rput[bl](-0.3,2.7){{$I$}}
\rput[bl](-0.5,6.5){{$\mathscr D$}}
\end{pspicture*}\end{center}

\end{document}
