\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{Correction}% \linebreak \textit{Calculatrice interdite}}	
\newcommand{\Cl}{1G6}	
\newcommand{\Annee}{2012-2013}	
\newcommand{\num}{2}	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=2.3cm,lmargin=1.8cm,rmargin=1.8cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutDsCha



\begin{ExoF}
%On considère un triangle équilatéral \textbf{direct} $ABC$, ie tel que 
%$(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC})=+\dfrac{\pi}3 \quad [2\pi]$. \hfill \textbf{(4 points)}\\
%De plus, on sait que :
%\begin{itemize}
% \item $ACD$ est un triangle rectangle isocèle en $C$ \textbf{direct},
%\item $BCE$ est un triangle rectangle isocèle en $B$ \textbf{indirect}.
%\end{itemize}
 $(\overrightarrow{AC} ; \overrightarrow{AB})=-(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}) = -\dfrac{\pi}3 \quad [2\pi]$\\
 $(\overrightarrow{BC} ; \overrightarrow{AB})=(\overrightarrow{BC} ; \overrightarrow{BA})+\pi = \dfrac{\pi}3 + \pi = \dfrac{4\pi}{3}\equiv -\dfrac{2\pi}3 \quad [2\pi]$\\
 $(\overrightarrow{CD} ; \overrightarrow{CE})=(\overrightarrow{CD} ; \overrightarrow{CA}) + 
 (\overrightarrow{CA} ; \overrightarrow{CB}) + (\overrightarrow{CB} ; \overrightarrow{CE})
 =\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}3 + \dfrac{\pi}4= \dfrac{13\pi}{12} \equiv -\dfrac{11\pi}{12} \quad [2\pi]$
 \begin{center}
  \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.8,-0.5)(6.5,4.5)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1,0)(4,1)(1.63,3.1)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.36,3.15)(1.31,2.88)(1.58,2.83)(1.63,3.1)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](4.18,1.21)(3.98,1.39)(3.79,1.18)(4,1)
\psline[linecolor=zzttqq](1,0)(4,1)
\psline[linecolor=zzttqq](4,1)(1.63,3.1)
\psline[linecolor=zzttqq](1.63,3.1)(1,0)
\psline(-1.46,3.73)(1,0)
\psline(6.1,3.37)(1.63,3.1)
\psline(-1.46,3.73)(1.63,3.1)
\psline(4,1)(6.1,3.37)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](0.84,-0.24){\blue{$A$}}
\rput[bl](4.02,0.78){\blue{$B$}}
\rput[bl](1.69,3.18){\darkgray{$C$}}
\rput[bl](-1.42,3.82){\darkgray{$D$}}
\rput[bl](6.15,3.44){\darkgray{$E$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
 \end{center}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}\\
               \begin{minipage}{8cm}
                   \begin{enumerate}
 \item 
                \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.5,-3.1)(3.1,3.1)
\psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.1,-3.1)(3.1,3.1)
\pscircle(0,0){3}
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](-2.83,1)(0,1)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](-2.83,1)(-2.83,0)
\rput[bl](-2.9,-0.5){\darkgray{$\cos(x)$}}
\rput[br](0.5,0.5){\darkgray{$\dfrac13$}}
\rput[bl](-3.2,1){\darkgray{$x$}}
\end{pspicture*}
\end{enumerate}

                \end{minipage}
 \quad \begin{minipage}{9cm}
\begin{enumerate}
         \item[\textbf{2.}] %Quel est le signe de $\cos(x)$ ?
                $\cos(x) \leq 0$ car $x\in \left[\dfrac{\pi}{2} ; \pi \right]$
         \item[\textbf{3.}] %Calculer $\cos(x)$ \textbf{en valeur exacte}.
         On sait que 
         $$\cos^2(x) + \sin^2(x)=1 \iff \cos^2(x) = 1-\dfrac19 = \dfrac89$$
         De plus $\cos(x)<0$ donc $\cos(x)=-\sqrt{\dfrac89}=-\dfrac{2\sqrt{2}}3$.
        \item[\textbf{4.}] %Donner une valeur approchée de $x$ à $10^{-2}$ près, à l'aide de la calculatrice.
                  On en déduit $x=\cos^{-1}\left(-\dfrac{2\sqrt{2}}3\right)\simeq 2.80$ rad.
         \end{enumerate}
       \end{minipage}
\end{ExoF}

\newpage

\begin{minipage}{9cm}
\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
  \item %A l'aide de la calculatrice, déterminer à $10^{-2}$ près les coordonnées du point $A$ associé 
  %à $\dfrac{2\pi}{5}$.
  $x_A=\cos\left(\dfrac{2\pi}5\right) \simeq 0.31$ et $y_A=\sin\left(\dfrac{2\pi}5\right) \simeq 0.95$ et 
   \item %Grâce à la question 1, placer approximativement le point $A$ sur le cercle trigonométrique.
  \item %Placer ensuite les points $B$, $C$ et $D$ associés respectivement aux réels $\dfrac{3\pi}{5}$, $\dfrac{7\pi}{5}$ et $\dfrac{8\pi}{5}$.
%  \item En déduire les coordonnées de $B$ à $10^{-2}$ près.
 \item %Résoudre l'équation $\cos(x)=\cos\left(\dfrac{3\pi}{5}\right)$ dans :
\begin{itemize}
 \item[\textbullet] $[0 ; 2\pi [$ : $S=\left\{\dfrac{3\pi}{5};\dfrac{7\pi}5\right\}$
 \item[\textbullet] $]-\pi ; \pi] $ : $S=\left\{\dfrac{3\pi}{5};-\dfrac{3\pi}5\right\}$
\end{itemize}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}
\end{minipage}
%On se place dans un repère  $(O ; \vec i ; \vec j)$.  \textbf{ \textit{On prendra $\,3$ cm comme unité graphique.}} \hfill \textbf{(5 points)}%\\
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
 
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.2,-3.2)(3.2,3.2)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,labels=none,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.2,-3.2)(3.2,3.2)
\pscircle(0,0){3}
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](-0.94,-2.85)(0.93,-2.85)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](0.93,-2.85)(0.93,2.85)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](0.93,2.85)(-0.94,-2.85)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](-0.94,-2.85)(-0.94,2.85)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](-0.94,2.85)(0.93,2.85)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](0.06,0.1){\darkgray{$O$}}
\rput[bl](1,2.95){\blue{$A$}}
\rput[bl](-1.24,2.97){\darkgray{$B$}}
\rput[bl](-1.3,-3.09){\darkgray{$C$}}
\rput[bl](1.06,-3.14){\darkgray{$D$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}
 






\begin{ExoF}\hfill \textbf{(8 points)}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate} 
\item %Résoudre  l'équation $\sin(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ : 
\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
 \item[\textbullet] $]-\pi ; \pi] $ : $S=\left\{\dfrac{\pi}{3};\dfrac{2\pi}3\right\}$
 \item[\textbullet] $[0 ; 4\pi [$ : $S=\left\{\dfrac{\pi}{3};\dfrac{2\pi}3 ; \dfrac{7\pi}{3} ; \dfrac{8\pi}3 \right\}$
 \item[\textbullet] $ \R$ : $S=\left\{\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi ;\dfrac{2\pi}3 + 2k\pi , \text{ avec } k\in\Z\right\}$
\end{itemize}
\end{multicols}
\item %Donner la mesure principale de $\dfrac{38\pi}{3}$.
$\dfrac{38\pi}{3}=\dfrac{36\pi}3 + \dfrac{2\pi}3 = 12\pi + \dfrac{2\pi}{3} \equiv \dfrac{2\pi}3 \quad [2\pi]$\\
\item %Le nombre $\dfrac{38\pi}{3}$ est-il solution de cette équation dans $\R$ ? 
Ce nombre est solution de l'équation car de la forme $\dfrac{2\pi}3 + 2 \times 6 \pi$
 \item %Le nombre $-\dfrac{62\pi}{6}$ est-il solution de cette équation dans $\R$ ?
 $-\dfrac{62\pi}{6}=-\dfrac{31\pi}{3} = -\dfrac{30\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3} = -10\pi - \dfrac{\pi}{3} \equiv -\dfrac{\pi}3 \quad [2\pi]$
 La mesure principale de ce nombre n'est pas solution de l'équation, donc lui non plus.
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate} 
\begin{multicols}{2} \item %Résoudre dans l'intervalle $]-\pi ; \pi]$ l'équation $\cos(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}2$.
 $S=\left\{-\dfrac{3\pi}{4};\dfrac{3\pi}4\right\}$
 \item %En déduire les solutions de l'inéquation $\cos(x)>-\dfrac{\sqrt{2}}2$ dans $]-\pi ; \pi]$.
 $S\left]-\dfrac{3\pi}{4};\dfrac{3\pi}4\right[$ 
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{center}
 \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=1.2cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.5,-3.5)(11,4.7)
\pscircle(-1,0){3.6}
\pscircle(7,0){3.6}
\rput[tl](-1.65,2.5){$ \dfrac{\sqrt{3}}{2} $}
\rput[tl](0.85,3.){$\dfrac{\pi}3 \quad ; \quad \dfrac{7\pi}3$}
\rput[tl](0.8,4){$\dfrac{\pi}3  + 2k\pi$}
\rput[tl](-4.5,3.){$\dfrac{8\pi}{3} \quad ; \quad \dfrac{2\pi}3$}
\rput[tl](-5.5,4){$\dfrac{2\pi}3  + 2k\pi \quad ; \quad \dfrac{38\pi}3$}
\rput[tl](-4,2.5){$ $}
\rput[tl](0.8,-2.5){$-\dfrac{62\pi}6$}
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](-2.5,2.6)(0.5,2.6)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](0.5,2.6)(0.5,-2.6)
\rput[tl](0.71,-0.05){$\dfrac12$}
\psline(-1,3)(-1,-3)
\psline(-4,0)(2,0)
\psline(4,0)(10,0)
\psline(7,-3)(7,3)
\rput[tl](8.5,-0.1){$\dfrac{\sqrt{2}}2$}
\rput[tl](9.55,2.56){$\dfrac{\pi}4$}
\rput[tl](5,-0.1){$-\dfrac{\sqrt{2}}2$}
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](4.88,2.12)(9.12,2.12)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](9.12,-2.12)(4.88,-2.12)
\rput[tl](4.25,2.59){$\dfrac{3\pi}4$}
\rput[tl](4.04,-1.87){$-\dfrac{3\pi}4$}
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](4.88,-2.12)(4.88,2.12)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](9.12,2.12)(9.12,-2.12)
\psline(7,0)(9.12,2.12)
\pscustom[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{-2.356194490192345}{2.3561944901923457}{1*3*cos(t)+0*3*sin(t)+7|0*3*cos(t)+1*3*sin(t)+0}\lineto(7,0)\closepath}
\begin{scriptsize}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}


%\begin{ExoF}
%Dans les questions suivantes, entourer la (ou les) bonne(s) réponse(s) :
%\begin{enumerate}
% \item Soit $x \in[\pi ; 2\pi]$ tel que $\cos(x)=-\dfrac45$. Alors on a :
% \begin{multicols}{4}
% \begin{enumerate}
%  \item $\sin(x) \leq 0$ \item $\sin^2(x) = \dfrac15$ \item $\sin(x) = 0.6$ \item $\sin(x)=-\dfrac35$
% \end{enumerate}
% \end{multicols}
% \item Soit $x \in\left[\dfrac{\pi}2 ; \dfrac{3\pi}2\right]$ tel que $\sin(x)=\dfrac{21}{29}$. Alors on a :
% \begin{multicols}{3}
% \begin{enumerate}
%  \item $\cos(x) \leq 0$ \item $\cos(x) = \sqrt{1-\sin^2(x)}$ \item $\cos(x) = -\dfrac{20}{29}$ \item $\cos(x)=\dfrac{20}{29}$
% \end{enumerate}
% \end{multicols} 
%\end{enumerate}
% \end{ExoF}








\end{document}
