\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
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\newcommand{\typedoc}{Correction DM}
\newcommand{\Ch}{De la suite dans les id\'ees !}
\newcommand{\ch}{Chapitre 8}
\newcommand{\Cl}{1G6}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}
%\newcommand{\num}{8}	


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.8cm}


%\setcounter{NumLecon}{8}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


\DocCha

\begin{enumerate}
\item \textbf{Pour la suite } $ (u_n) : \left\{ \begin{array}{l} u_0=0\\ u_{n+1}=2u_n-1 \, , \qquad \forall n \in \N  \end{array} \right. $
\begin{enumerate}
\item %Calculer les $5$ premiers termes de la suite $(u_n)$.
$u_1=2u_0-1=-1 \qquad u_2=2u_1-1=-3 \qquad u_3=\ldots = -7 \qquad u_4=\ldots = -15 \qquad u_5=\ldots = -31$
\item %Exprimer $u_{n+4}$ en fonction de $u_n$.
L'idée est de partir de l'expression de $u_{n+4}$ en fonction de $u_{n+3}$ et de remonter peit à petit jusqu'à $u_n$.
\begin{eqnarray*}
u_{n+4}&=&2u_{n+3}-1\\
&=&2\left(2u_{n+2}-1\right)-1=4u_{n+2}-3 \\
&=& 4\left(2u_{n+1}-1\right)-3=8u_{n+1}-7\\
&=&8\left(2u_n-1\right)-7=16u_n-15 
\end{eqnarray*}
\begin{minipage}{7cm}
Ainsi \fbox{$u_{n+4}=16u_n-9$}\\
\item %En déduire $u_8$ ; $u_{12}$ ; $u_{16}$ et $u_{20}$.
Ainsi $u_8=16u_4-9=\ldots = -255 \\
u_{12}=16u_8-15= \ldots =-4\,095 \\ 
u_{16}=16u_{12}-15=\ldots = -65\,535 $\\
Et $u_{20}=16u_{16}-15= \ldots = -1\,048\,575$\\
\item %Déterminer la fonction $f$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$
$f$ est la fonction définie sur $\R$ par $$f(x)=2x-1$$\\
\item[\textbf{f.}] %Conjecturer graphiquement le sens de variation et la limite de la suite $(u_n)$.
La suite $(u_n)$ semble strictement décroissante et $\Lim[n]{+\infty}=-\infty$
\end{minipage}
\quad
\begin{minipage}{10cm}
\item[\textbf{e.}] %Représenter, à l'aide de la fonction $f$ et de la droite $\mathscr D : y=x$, 
%les premiers termes de la suite $(u_n)$ sur l'axe des abscisses d'un repère \Oij d'unité graphique 1 cm.
\begin{center}
 \psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-16.1,-16.1)(2.1,2.1)
\def\xmin{-16} \def\xmax{2} \def\ymin{-16} \def\ymax{2}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}

\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=lightgray, subgriddiv=1](0,0)(-16,-16)(2,2)

\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(0,0)(0,-1)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(0,-1)(-1,-1)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(-1,0)(-1,-1)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(-1,-3)(-1,-1)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(-1,-3)(-3,-3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(-1,-3)(0,-3)

\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(0,-3)(-3,-3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(-3,0)(-3,-3)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(-3,-3)(-3,-7)

\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(-3,-7)(-7,-7)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(0,-7)(-3,-7)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(-7,-7)(-7,-15)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(-7,-7)(-7,0)

\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(-7,-15)(-15,-15)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(-7,-15)(-15,-15)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(0,-15)(-7,-15)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(-15,-15)(-15,0)
\def\F{2 x mul 1 sub}
\psplot[linecolor=black,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-16}{2}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-16}{2}{\F}

\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=5,Dy=5,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\scriptsize O}
\uput[90](0,0){ $u_0$}
\uput[0](0,-1){ $u_1$}
\uput[90](-1,0){ $u_1$}
\uput[0](0,-3){ $u_2$}
\uput[90](-3,0){ $u_2$}
\uput[0](0,-7){ $u_3$}
\uput[90](-7,0){ $u_3$}
\uput[0](0,-15){ $u_4$}
\uput[90](-15,0){ $u_4$}
\uput[-90](-14,-15){ $y=x$}
\uput[-45](-7,-15){ $y=2x-1$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\item \textbf{Pour la suite } $v_n=2\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{8}{3} \, , \qquad \forall n\in\N$

\begin{enumerate}
\begin{minipage}{8.5cm}
\item %Calculer les $5$ premiers termes de la suite $(v_n)$ à $10^{-5}$ près.
$v_0=2\times \left(\dfrac13\right)^0 + \dfrac83 =2+\dfrac83=\dfrac{14}{3} \simeq 4.66667$\\
$v_1=2\times \left(\dfrac13\right)^1 + \dfrac83 =\dfrac{10}{3} \simeq 3.33333$\\
$v_2=2\times \left(\dfrac13\right)^2 + \dfrac83 =\dfrac{26}{9} \simeq 2.88889$\\
$v_3=2\times \left(\dfrac13\right)^3 + \dfrac83 =\dfrac{74}{27} \simeq 2.74074$\\
$v_4=2\times \left(\dfrac13\right)^4 + \dfrac83 =\dfrac{218}{81} \simeq 2.69136$\\
\item %Calculer $v_{17}$ et $v_{100}$ à $10^{-8}$ près.
A $10^{-8}$ près pour les distinguer :\\
$v_{17}=2\times \left(\dfrac13\right)^{17} + \dfrac83   \simeq 2.66666668$\\
$v_{100}=2\times \left(\dfrac13\right)^{100} + \dfrac83 \simeq 2.66666667$
\item[\textbf{d.}] %Conjecturer alors le sens de variation et la limite de $(v_n)$.
La suite $(v_n)$ semble strictement décroissante et $\Lim[n]{+\infty}=\dfrac83$
\end{minipage} \quad 
\begin{minipage}{8.5cm}
\item[\textbf{c.}] %Programmer sur Algobox un algorithme, qui affiche en sortie tous les termes de la suite $(v_n)$ jusqu'au terme de rang $n$, 
%où $n$ est un entier choisi par l'utilisateur.
Pour cet algorithme, j'ai déclaré $v$ comme une liste de nombre (autrement dit, une suite !).\\
J'ai perfectionné l'affichage afin de savoir à quel terme correspondent les valeurs affichées.
\begin{cadrecode}
\begin{small}
\begin{verbatim}
1   VARIABLES
2     n EST_DU_TYPE NOMBRE
3     v EST_DU_TYPE LISTE
4     k EST_DU_TYPE NOMBRE
5   DEBUT_ALGORITHME
6     LIRE n
7     POUR k ALLANT_DE 0 A n
8       DEBUT_POUR
9       v[k] PREND_LA_VALEUR 2*pow(1/3,k)+8/3
10      AFFICHER "v_"
11      AFFICHER k
12      AFFICHER "="
13      AFFICHER v[k]
14      FIN_POUR
15  FIN_ALGORITHME
\end{verbatim}
\end{small}
\end{cadrecode}
\end{minipage}
\end{enumerate}
$$
$$ 
\item \textbf{Pour la suite }  $(w_n):\left\{ \begin{array}{l} w_0=-\dfrac{1}{2}\\ w_{n}=4-w_{n-1} \, , \qquad \forall n\in \N^* \end{array} \right.  $
\begin{enumerate}
\item  %Calculer les $5$ premiers termes de la suite $(w_n)$.
$w_1=4-w_0=4+\dfrac12=\dfrac92 \qquad w_2=4-w_1=4-\dfrac92=-\dfrac12 \qquad w_3=\ldots = \dfrac92 \qquad w_4=\ldots = -\dfrac12 \qquad w_5=\ldots = \dfrac92$
\begin{minipage}{8.5cm}
\item %Programmer sur Algobox un algorithme, qui affiche en sortie le terme d'indice $n$
%de la suite $(w_n)$, où $n$ est un entier choisi par l'utilisateur.
 \begin{cadrecode}
\begin{small}
\begin{verbatim}
1   VARIABLES
2     n EST_DU_TYPE NOMBRE
3     w EST_DU_TYPE NOMBRE
4     k EST_DU_TYPE NOMBRE
5   DEBUT_ALGORITHME
6     LIRE n
7     w PREND_LA_VALEUR -0.5
8     POUR k ALLANT_DE 1 A n
9       DEBUT_POUR
10      w PREND_LA_VALEUR 4-w
11      FIN_POUR
12    AFFICHER "Le terme de rang "
13    AFFICHER n
14    AFFICHER " de la suite w est "
15    AFFICHER w
16  FIN_ALGORITHME
\end{verbatim}
\end{small}
\end{cadrecode}
\end{minipage}
\quad \begin{minipage}{8.5cm}
       \item %Déterminer la fonction $f$ telle que $w_{n+1}=f(w_n)$.
       $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=4-x$
\item %Représenter, à l'aide de la fonction $f$ et de la droite $\mathscr D : y=x$, 
%les premiers termes de la suite $(w_n)$ sur l'axe des abscisses d'un repère \Oij d'unité graphique 1 cm.
\psset{xunit=1.3cm , yunit=1.3cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-1.1)(5.1,5.1)
\def\xmin{-1} \def\xmax{5} \def\ymin{-1} \def\ymax{5}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-1,-1)(5,5)
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-0.5,0)(-0.5,4.5)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(-0.5,0)(-0.5,4.5)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-0.5,4.5)(0,4.5)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(-0.5,4.5)(0,4.5)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4.5)(4.5,4.5)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(0,4.5)(4.5,4.5)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.5,4.5)(4.5,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(4.5,4.5)(4.5,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.5,0)(4.5,-0.5)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(4.5,0)(4.5,-0.5)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.5,-0.5)(0,-0.5)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(4.5,-0.5)(0,-0.5)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,-0.5)(-0.5,-0.5)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(0,-0.5)(-0.5,-0.5)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-0.5,-0.5)(-0.5,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(-0.5,-0.5)(-0.5,0)
\def\F{4 x sub}
\psplot[linecolor=black,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-1}{5}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1}{5}{\F}

\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt,Dx=2,Dy=2,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\uput[135](-0.5,0){ $u_0$}
\uput[135](0,4.5){ $u_1$}
\uput[-45](4.5,0){ $u_1$}
\uput[-45](0,-0.5){ $u_2$}
\uput[-135](-0.5,0){ $u_2$}
\uput[45](0,4.5){ $u_3$}
\uput[45](4.5,0){ $u_3$}
\uput[45](0,-0.5){ $u_4$}
\uput[45](-0.55,0){ $u_4$}
\uput[-45](0,4.5){ $u_5$}
\uput[135](4.5,0){ $u_5$}
\uput[60](4.1,4.5){ $y=x$}
\uput[-60](3.65,-0.5){ $y=4-x$}
%\uput[-135](0,-0.5){ $u_6$}
%\uput[-90](-0.5,0){ $u_6$}
\end{pspicture*}
      \end{minipage}
\item %Conjecturer graphiquement la limite de $(w_n)$.
$w_n$ oscille entre deux valeurs fixes, donc $(w_n)$ n'a pas de limite.
\item %Conjecturer une formule donnant $w_n$ en fonction de $n$ ; et démontrer votre conjecture.
Si $n$ est pair, $w_n=-0.5$, sinon $w_n=4.5$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Pour la suite } $s_n=5-2n \, ,\qquad n\in\N^*$
\begin{enumerate}
\item  %Calculer les $5$ premiers termes de la suite $(s_n)$.
$s_0=5-2\times 0=5 \qquad s_1=5-2\times 1 = 3 \qquad s_2=5-2\times 2=1 \qquad s_3 = \ldots = -1 \qquad s_4= \ldots = -3$
\item %Calculer $s_{17}$ et $s_{100}$ à $10^{-3}$ près.
$s_{17}=5-2 \times 17 = -29 \qquad s_{100}=5-2\times 100 = -195$
\item %Déterminer la fonction $f$ telle que $s_n=f(n)$.
 $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=5-2x$
\item %Déterminer le sens de variation de la suite $s$.
$s_{n+1}-s_n=5-2(n+1)-(5-2n)=5-2n-2-5+2n=-2<0$. \\
Donc la suite $(s_n)$ est décroissante sur $\N$.
\\

\begin{minipage}{7cm}
\item %Conjecturer une formule donnant le terme de rang $s_{n+1}$ en fonction de $s_n$
%et démontrer votre conjecture.
On vient de montrer que $s_{n+1}-s_n=-2$ donc on a $s_{n+1}=s_n-2$ pour tout $n\in\N$.\\
$(s_n)$ est une suite arithmétique de raison $2$ et de premier
terme $s_0=5$
\item %Déterminer la fonction $g$ telle que $s_{n+1}=g(s_n)$.
 $g$ est la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=x-2$
 \item[\textbf{h.}] %Conjecturer graphiquement la limite de la suite $(s_n)$.
 $(s_n)$ semble diverger vers $-\infty$.
\end{minipage}
\quad 
 \begin{minipage}{12cm}
 \item[\textbf{g.}] %Représenter, à l'aide de la fonction $f$ et de la droite $\mathscr D : y=x$, 
%les premiers termes de la suite $(s_n)$ sur l'axe des abscisses d'un repère \Oij d'unité graphique 1 cm. 
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-6.1,-6.1)(6.1,4.1)
\def\xmin{-6} \def\xmax{6} \def\ymin{-6} \def\ymax{4}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-6,-6)(6,4)
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(5,0)(5,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(5,3)(3,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(3,3)(0,3)

\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(3,3)(3,1)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(3,1)(3,0)


\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(3,1)(1,1)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(1,1)(0,1)

\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(1,1)(1,-1)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(1,-1)(-1,-1)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(-1,-1)(-1,0)

\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(-1,-1)(-1,-3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(-1,-1)(-1,0)

\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(-1,0)(-1,-3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(-1,-3)(-3,-3)

\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(-1,-3)(0,-3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(0,-3)(-3,-3)

\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(-3,-3)(-3,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(-3,-3)(-3,-5)

\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(-3,-5)(-5,-5)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(-5,-5)(-5,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(-5,-5)(0,-5)
\def\F{x 2 sub}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-6}{6}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-6}{6}{\F}

\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec{\imath}$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec{\jmath}$}
\uput[-90](5,0){\small $u_0$}
\uput[180](0,3){\small $u_1$}
\uput[-90](3,0){\small $u_1$}
\uput[180](0,1){\small $u_2$}
\uput[45](1,0){\small $u_2$}
\uput[-135](0,-1){\small $u_3$}
\uput[90](-1,0){\small $u_3$}
\uput[0](0,-3){\small $u_4$}
\uput[90](-3,0){\small $u_4$}
\uput[0](0,-5){\small $u_5$}
\uput[90](-5,0){\small $u_5$}
\end{pspicture*}
 \end{minipage}

\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{document}
