\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Correction de l'exercice 17 de la fiche}
\newcommand{\Cl}{1G6}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

\newcommand{\num}{6}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macro_final.tex

\geometry{tmargin=1.8cm,bmargin=2.4cm,hmargin=1.5cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\debutDmCha
\setcounter{exer}{18}
\begin{ExoF} 
\begin{center}
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(6.3,6.3)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-0.5,-0.5)(6.3,6.3)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
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\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(6,0)
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\psline{->}(0,0)(2,0)
\psline{->}(0,0)(2.5,1.5)
\psplot{-0.5}{6.3}{(--3-1.5*x)/-0.5}
\psplot{-0.5}{6.3}{(--6-1.5*x)/-0.5}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-0.37,-0.29){{$A$}}
\rput[bl](5.98,-0.33){{$B$}}
\rput[bl](5.17,3){{$C$}}
\rput[bl](2.22,1.62){{$D$}}
\rput[bl](2,-0.36){{$E$}}
\rput[bl](3.8,6){{$F$}}
\rput[bl](4.2,-0.31){{$I$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item \textbf{Décomposer $\overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{DF}$ dans la base 
$\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)$.}
\setlength{\columnseprule}{0.25mm}
\begin{multicols}{2}
$\begin{array}{ccccc}
\overrightarrow{DE}&=&\overrightarrow{DA}&+&\overrightarrow{AE}\\
&=& -\overrightarrow{AD}&+&\dfrac13 \overrightarrow{AB}\\
&=& -\dfrac12\overrightarrow{AC}&+&\dfrac13 \overrightarrow{AB}\\
&=& \dfrac13\overrightarrow{AB}&-&\dfrac12\overrightarrow{AC}\\
\end{array}
$\\
$\begin{array}{ccccccccc}
\overrightarrow{DF}& = &\overrightarrow{DA} &+& \overrightarrow{AB}& + &\overrightarrow{BF}\\
&=& -\dfrac12\overrightarrow{AC} &+& \overrightarrow{AB} &+& 2 \overrightarrow{BC}\\
&=& -\dfrac12\overrightarrow{AC} &+& \overrightarrow{AB} &+& 2 \overrightarrow{BA} &+& 2\overrightarrow{AC}\\
&=& -\overrightarrow{AB} &+& \dfrac32 \overrightarrow{AC}
\end{array}$
 \end{multicols}
\item \textbf{Démontrer que $D$, $E$ et $F$ sont alignés.}\\
Il est clair que $\overrightarrow{DF}=-3\overrightarrow{DE}$.\\
Donc les vecteurs  $\overrightarrow{DF}$ et $\overrightarrow{DE}$ sont colinéaires.\\
On en déduit que les droites $(DE)$ et $(DF)$ sont parallèles.
Comme elles ont un point commun ($E$), elles sont confondues. \\
Ainsi les points $D$, $E$ et $F$ sont alignés.
\end{enumerate}
\item \textbf{La parallèle à $(DE)$ passant par $C$ coupe $[AB]$ en un point $I$.}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Démontrer que $E$ est le milieu de $[AI]$.}\\
Dans le triangle $ACI$ on a $D$ milieu de $[AC]$ et $(CI)//(DE)$. D'après le théorème des milieux,
on a donc que $E$ est le milieu de $[AI]$.
\item \textbf{En déduire que $I$ est le milieu de $[EB]$.}\\
On a $EI=AE$ car $I$ est le milieu de $[AB]$. \quad De plus on sait que $AE=\dfrac13AB$.\\
Donc \quad  $IB=AB-AE-EI=\dfrac13{AB}$. \quad  Ainsi $IB=\dfrac13AB=EI$ et $I$ est le milieu de $[EB]$.
\item \textbf{Démontrer alors que la droite $(CI)$ est parallèle à la droite $(FD)$. Conclure.}
Dans le triangle $BEF$ on a $I$ milieu de $[EB]$ et $BF=2BC$ donc $C$ est le milieu de $[BF]$.\\
D'après le théorème des milieux, on a alors $(CI)//(EF)$.\\
Ainsi, $(CI)//(DE)$ et $(CI)//(EF)$, donc les droites $(DE)$ et $(EF)$ sont parallèles.\\
Comme elles ont un point commun ($E$), elles sont confondues. \\
On en déduit que $D$, $E$ et $F$ sont sur une même droite, ie qu'ils sont alignés.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\newpage
\setcounter{exer}{25}
\begin{ExoF}
  $A(3;4)$, $B(1;-1)$ et $C(6;-2)$.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$.}\\
La droite $(AB)$ est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c}
                                                                        1-3 \\ -1-4
                                                                       \end{array}\right)
\iff \overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c}
     -2 \\ -5
     \end{array}\right)
$ ou encore par le vecteur $\vec u \left(\begin{array}{c}
     2 \\ 5
     \end{array}\right)$\\
Donc l'équation de $(AB)$ est de la forme $(AB) : 5x-2y=c$ \quad où $c\in\R$.\\
On sait que $A\in(AB)$ donc ses coordonnées vérifient l'équation de $(AB)$.\\
Comme $5x_A-2y_A=5\times 3 -2 \times 4 = 15-8=7$, on en déduit $c=7$.\qquad 
Ainsi \fbox{$(AB) : 5x-2y=7$}\\
\textit{Vérifions que $B\in(AB)$ : $5x_B-2y_B=5\times 1 -2 \times (-1) = 5+2=7$. On ne s'est pas trompé !}
\item \textbf{Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par le milieu $I$ de $[AC]$ et parallèle à $(AB)$.}\\
$d //(AB)$ \quad donc on a \quad $d: 5x-2y=c$ où $c\in\R$\\
De plus, $I\in d$ donc ses coordonnées vérifient l'équation de $d$.\\
Or \quad  $x_I=\dfrac{x_A+x_C}2=\dfrac92$ \quad  et \quad $y_I=\dfrac{y_A+y_C}{2}=1$.\qquad 
Donc \fbox{$I\left(\dfrac92 ; 1 \right)$} \quad Et \quad $5 \times \dfrac92 - 2\times 1 = \dfrac{45}2-2 = \dfrac{41}2$\\
Ainsi \quad \fbox{$d : 5x-2y=\dfrac{41}2$}.
\item $\Delta$ est la droite d'équation $-16x+y=-98$
\begin{enumerate}
\item \textbf{Prouver que $\Delta$ et $(AB)$ sont sécantes en $D$ de coordonnées à déterminer.}\\
\begin{minipage}{4cm}
$\left\{\begin{array}{l}
         5x-2y=7 \\ -16x+y=-98
        \end{array}\right.$ 
\end{minipage}
 \qquad 
 \begin{minipage}{10cm}
$5\times 1-(-16)\times (-2) \neq 0$ donc les droites $(AB)$ et $\Delta$ sont sécantes en un point $D$ 
et le système admet un unique couple solution.  
 \end{minipage}
\begin{eqnarray*}
 \left\{\begin{array}{l}
         5x-2y=7 \\ -16x+y=-98
        \end{array}\right. & \stackrel{2L_2}{\iff} &
\left\{\begin{array}{l}
         5x-2y=7 \\ -32x+2y=-196
        \end{array}\right.\\
        & \stackrel{L_1+L_2}{\iff} & 
\left\{\begin{array}{l}
         5x-2y=7 \\ -27x=-189 
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l}
5x-2y=7 \\ x=\dfrac{-189}{-27}
        \end{array}\right.\\
&\iff &\left\{\begin{array}{l}
         x=7 \\ 5\times 7 -2y=7 
        \end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l}
         x=7 \\ 35-7=2y
        \end{array}\right.
        \iff  
\left\{\begin{array}{l}
         x=7 \\ y=\dfrac{28}{2}=14 
        \end{array}\right. \quad \text{Donc }  \fbox{$D(7;14)$}
\end{eqnarray*}
\textit{Vérification :  \quad $5\times 7-2\times 14 = 35-28=7$ \quad donc $D\in(AB)$ \\
Et \quad $-16\times 7+14 = -112+14=-98$ donc $D\in\Delta$. \qquad  On ne s'est pas trompé !}
\item \textbf{Montrer que le milieu $J$ de $[DC]$ est un point de $d$ de deux manières différentes.}\\
Calculons les coordonnées de $J$ : \quad $x_J=\dfrac{7+6}{2}=\dfrac{13}2$ \quad et \quad $y_J=\dfrac{14-2}{2}=6$
\qquad donc \quad \fbox{ $J\left(\dfrac{13}2 ; 6\right)$}\\
Or \quad $5 \times \dfrac{13}{2}-2\times 6 = \dfrac{65}{2}-\dfrac{24}2=\dfrac{41}2$.\quad Donc $J\in d$\\
Autre méthode : On sait qu'un vecteur directeur de $d$ est $\vec u \left( \begin{array}{c}
                                                2\\ 5
                                               \end{array}\right)$ et que  $I\in d$.\\
Or \quad $\overrightarrow{IJ} \left(\begin{array}{c}
                                     \dfrac{13}2 - \dfrac92 \\ 6-1 
                                    \end{array}\right)
\iff \overrightarrow{IJ} \left(\begin{array}{c}
                                     2 \\ 5 
                                    \end{array}\right)$ \qquad
Donc $\overrightarrow{IJ}$ dirige $d$. \quad Comme $I\in d$ on a aussi $J\in d$.


\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\end{document}
