\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Correction de l'exercice 17 de la fiche}
\newcommand{\Cl}{1G6}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

\newcommand{\num}{6}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macro_final.tex

\geometry{tmargin=1.8cm,bmargin=2.4cm,hmargin=1.5cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\debutDmCha

On sait que $P$, $Q$ et $R$ sont alignés, si et seulement $\overrightarrow{PQ}$ et $\overrightarrow{PR}$ sont colinéaires.\\
Plaçons nous dans le repère $\left(A, \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC} \right)$ du plan.\\
\textit{Il s'agit bien d'un repère du plan, car $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.}\\
Alors \quad  $\overrightarrow{AP}=a\overrightarrow{AB}$ \qquad Donc \quad  \fbox{$P(a,0)$}.\\
$\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CQ}=\overrightarrow{AC} + a\overrightarrow{CA}=(1-a)\overrightarrow{AC}$.
\qquad Donc \quad \fbox{$Q(0; 1-a)$}.
\begin{eqnarray*}
\text{Enfin } \quad \overrightarrow{AR} &=& \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CR} \\
&=& \overrightarrow{AC} + a\overrightarrow{BC} \\
&=& \overrightarrow{AC} + a\overrightarrow{BA} + a\overrightarrow{AC}\\
&=& -a \overrightarrow{AB} + (1+a)\overrightarrow{AC} \qquad \text{ Donc } \quad  \fbox{$R(-a ; 1+a)$}
\end{eqnarray*}
Ainsi \quad  $\overrightarrow{PQ}\left(\begin{array}{c}
                                -a \\ 1-a
                               \end{array}\right)$ \quad et \quad 
$\overrightarrow{PR}\left(\begin{array}{c}
                                -2a \\ 1+a
                               \end{array}\right)$\\
$\overrightarrow{PQ}$ et $\overrightarrow{PR}$ sont colinéaires si et seulement si 
$-a(1+a)-(1-a)(-2a)=0 $. Ce qui équivaut à 
$$-a-a^2-(-2a+2a^2)=0 \iff -3a^2+a = 0 \iff 3a^2-a = 0 \iff a(3a-1)=0 \iff a=0 \text{ ou } a=\dfrac13$$
Donc il existe deux valeurs de $a$ pour lesquelles $P$, $Q$ et $R$ sont alignés : $a=0$ ou $a=\dfrac13$

\vspace{1.cm}
\debutDmCha


On sait que $P$, $Q$ et $R$ sont alignés, si et seulement $\overrightarrow{PQ}$ et $\overrightarrow{PR}$ sont colinéaires.\\
Plaçons nous dans le repère $\left(A, \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC} \right)$ du plan.\\
\textit{Il s'agit bien d'un repère du plan, car $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.}\\
Alors \quad  $\overrightarrow{AP}=a\overrightarrow{AB}$ \qquad Donc \quad  \fbox{$P(a,0)$}.\\
$\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CQ}=\overrightarrow{AC} + a\overrightarrow{CA}=(1-a)\overrightarrow{AC}$.
\qquad Donc \quad \fbox{$Q(0; 1-a)$}.
\begin{eqnarray*}
\text{Enfin } \quad \overrightarrow{AR} &=& \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CR} \\
&=& \overrightarrow{AC} + a\overrightarrow{BC} \\
&=& \overrightarrow{AC} + a\overrightarrow{BA} + a\overrightarrow{AC}\\
&=& -a \overrightarrow{AB} + (1+a)\overrightarrow{AC} \qquad \text{ Donc } \quad  \fbox{R(-a ; 1+a)}
\end{eqnarray*}
Ainsi \quad  $\overrightarrow{PQ}\left(\begin{array}{c}
                                -a \\ 1-a
                               \end{array}\right)$ \quad et \quad 
$\overrightarrow{PR}\left(\begin{array}{c}
                                -2a \\ 1+a
                               \end{array}\right)$\\
$\overrightarrow{PQ}$ et $\overrightarrow{PR}$ sont colinéaires si et seulement si 
$-a(1+a)-(1-a)(-2a)=0 $. Ce qui équivaut à 
$$-a-a^2-(-2a+2a^2)=0 \iff -3a^2+a = 0 \iff 3a^2-a = 0 \iff a(3a-1)=0 \iff a=0 \text{ ou } a=\dfrac13$$
Donc il existe deux valeurs de $a$ pour lesquelles $P$, $Q$ et $R$ sont alignés : $a=0$ ou $a=\dfrac13$

\end{document}
