\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 5}
\newcommand{\Ch}{Correction}
\newcommand{\Cl}{1G6}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

\newcommand{\num}{5}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macro_final.tex

\geometry{tmargin=2cm,bmargin=2.4cm,hmargin=1.5cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\debutDmCha

\begin{ExoF}
On appelle $x$ et $y$ les longueurs des deux côtés du triangle rectangle, adjacents à l'angle droit. \quad 
On sait que $x$ et $y$ sont strictement positifs et qu'ils vérifient le système :
$$(S):\left\{\begin{array}{l}
          x^2+y^2=72.5^2 \\ \dfrac{xy}{2}=429
         \end{array}\right.
\iff 
\left\{\begin{array}{l}
          x^2+y^2=5\,256.25 \\ xy=858
         \end{array}\right.
\stackrel{(y\neq 0)}{\iff }
\left\{\begin{array}{l}
          x^2+y^2=5\,256.25 \\ x=\dfrac{858}y \quad 
         \end{array}\right.$$
$$\iff
\left\{\begin{array}{l}
          \dfrac{736\,164}{y^2}+y^2=5\,256.25 \\ x=\dfrac{858}y
         \end{array}\right.
\stackrel{(y^2\neq 0)}{\iff} \left\{\begin{array}{l}
         736\,164+y^4=5\,256.25y^2 \quad  \\ x=\dfrac{858}y
         \end{array}\right.
\iff \left\{\begin{array}{l}
         y^4-5\,256.25y^2+736\,164=0 \\ x=\dfrac{858}y
         \end{array}\right.
$$
La première équation est une équation bicarré. On pose alors $Y=y^2$ et on est ramené à résoudre :
$$Y^2-5\,256.25Y+736\,164 = 0$$
On trouve $\Delta = ... = (4\,968.25)^2$. \hfill 
Donc les solutions sont  \quad $Y_1=\dfrac{5\,256.25-4\,968.25}{2}=144$ \qquad et \qquad $Y_2=5\,112.25$.\\
Or \quad $Y=y^2$ . \qquad On cherche donc les solutions $y$ des équations \quad $y^2=144$ \quad et \quad $y^2=5112.25$.\\
Or \quad $y^2=144 \iff y=12$ \quad ou \quad $y=-12$ \qquad et \qquad $y^2=5112.25 \iff y=71.5$ \quad ou \quad $y=-71.5$.\\
Comme $y>0$, on a forcément \quad $y_1=12$  \qquad ou \qquad $y_2 = 71.5$.\\
De plus, \quad $x=\dfrac{858}{y}$ \quad donc on a \quad $x_1=71.5$  \qquad et \qquad $x_2=12$ \quad  
(logique car les rôles de $x$ et $y$ sont symétriques).\\
Ainsi, le périmètre du triangle rectangle est $P=12+71.5+72.5 = 156\,$m.
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \textbf{La puissance de l'infini ...}
\begin{enumerate}
\item  
\begin{enumerate}
 \item $10a = 9,\underline{9} = 9+0,\underline{9}=9+a$
 \item On résout l'équation ci-dessus. On a : \qquad $10a=9+a \iff 9a = 9 \iff a=1$.\\
Ainsi $0,\underline{9}=1$.
\end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
  \item $\Phi^2=\left(\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+ \sqrt{1+\dots}}}}}\right)^2 = 1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+ \sqrt{1+\dots}}}}}=1+\Phi$
        \item On sait que \quad $\Phi^2=\Phi+1 \iff \Phi^2-\Phi-1=0$.\\
On trouve $\Delta = (-1)^2-4\times 1 \times (-1)=5$ \hfill  Donc les solutions sont 
\quad $\Phi_1 = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ \qquad et \qquad $\Phi_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$.\\
Il est clair que $\Phi >0$, \quad ainsi $\Phi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.
  \item On sait que $\Phi^2=\Phi + 1 \iff \Phi=1+\dfrac1{\Phi}$ car $\Phi \neq 0$.
 \item Puisque \quad $\Phi=1+\dfrac1{\Phi}$ \quad en remplaçant successivement $\Phi$ par cette expression,
 on peut aussi dire que :
 $$\Phi=1+\dfrac1{\Phi} =1+\dfrac1{1+\dfrac1{\Phi}}=1+\dfrac1{1+\dfrac1{1+\dfrac1{\Phi}}}=\dots  $$
 
       \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\newpage
\begin{ExoF} \textbf{Un peu de probabilité ...}
\begin{enumerate}
 \item On sait que \quad $p\in]0;1[$ \quad  et \quad   $p + p^2 + 0.04 = 1 \iff p^2+p-0.96 = 0$\\
Or \quad  $\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times (-0.96) = 1 + 3.84 = 4.84=2.2^2$\\
Donc les solutions de cette équation sont \quad $p_1=\dfrac{-1-2.2}{2}<0$ \quad 
et \quad  $p_2=\dfrac{-1+2.2}{2}=0.6$.\\
On a alors $p=0.6$. On vérifie : $p+p^2+0.04=0.6+0.36+0.04=1$.
 \item Aujourd'hui, Croquette organise une séance d'entraînement de 4 sauts consécutifs 
 entre ces 3 souris. \\
 On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de succès d'Ignatz.\\
Quelle est la probabilité que la souris de type Ignatz en remporte au moins un ? \\
\textit{Expliquer rigoureusement}
Croquette répète quatre fois, identiquement et de manière indépendante,
l'épreuve de Bernoulli de succès \og Ignatz gagne un saut\fg, de probabilité $p=0.6$.\\
$X$ comptant le nombre de Succès sur les quatre sauts, on peut dire que $X$ suit la loi binomiale $B(4;0.6)$.\\
Ainsi on cherche $P(X\geq 1) = 1-P(X=0) = 1-(0.4)^4=1-0.0256=0.9744$
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\setcounter{exer}{2}
\vspace{2cm}

\begin{ExoF} \textbf{Un peu de probabilité ...}
\begin{enumerate}
 \item On sait que \quad $p\in]0;1[$ \quad  et \quad   $p + p^2 + 0.04 = 1 \iff p^2+p-0.96 = 0$\\
Or \quad  $\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times (-0.96) = 1 + 3.84 = 4.84=2.2^2$\\
Donc les solutions de cette équation sont \quad $p_1=\dfrac{-1-2.2}{2}<0$ \quad 
et \quad  $p_2=\dfrac{-1+2.2}{2}=0.6$.\\
On a alors $p=0.6$. On vérifie : $p+p^2+0.04=0.6+0.36+0.04=1$.
 \item Aujourd'hui, Croquette organise une séance d'entraînement de 4 sauts consécutifs 
 entre ces 3 souris. \\
 On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de succès d'Ignatz.\\
Quelle est la probabilité que la souris de type Ignatz en remporte au moins un ? \\
\textit{Expliquer rigoureusement}
Croquette répète quatre fois, identiquement et de manière indépendante,
l'épreuve de Bernoulli de succès \og Ignatz gagne un saut\fg, de probabilité $p=0.6$.\\
$X$ comptant le nombre de Succès sur les quatre sauts, on peut dire que $X$ suit la loi binomiale $B(4;0.6)$.\\
Ainsi on cherche $P(X\geq 1) = 1-P(X=0) = 1-(0.4)^4=1-0.0256=0.9744$
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\setcounter{exer}{2}

\vspace{2cm}
\begin{ExoF} \textbf{Un peu de probabilité ...}
\begin{enumerate}
 \item On sait que \quad $p\in]0;1[$ \quad  et \quad   $p + p^2 + 0.04 = 1 \iff p^2+p-0.96 = 0$\\
Or \quad  $\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times (-0.96) = 1 + 3.84 = 4.84=2.2^2$\\
Donc les solutions de cette équation sont \quad $p_1=\dfrac{-1-2.2}{2}<0$ \quad 
et \quad  $p_2=\dfrac{-1+2.2}{2}=0.6$.\\
On a alors $p=0.6$. On vérifie : $p+p^2+0.04=0.6+0.36+0.04=1$.
 \item Aujourd'hui, Croquette organise une séance d'entraînement de 4 sauts consécutifs 
 entre ces 3 souris. \\
 On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de succès d'Ignatz.\\
Quelle est la probabilité que la souris de type Ignatz en remporte au moins un ? \\
\textit{Expliquer rigoureusement}
Croquette répète quatre fois, identiquement et de manière indépendante,
l'épreuve de Bernoulli de succès \og Ignatz gagne un saut\fg, de probabilité $p=0.6$.\\
$X$ comptant le nombre de Succès sur les quatre sauts, on peut dire que $X$ suit la loi binomiale $B(4;0.6)$.\\
Ainsi on cherche $P(X\geq 1) = 1-P(X=0) = 1-(0.4)^4=1-0.0256=0.9744$
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\setcounter{exer}{2}

\end{document}
