\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 4}
\newcommand{\Ch}{Correction}
\newcommand{\Cl}{1G6}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

\newcommand{\num}{4}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macro_final.tex

\geometry{tmargin=2cm,bmargin=2.4cm,lmargin=1.5cm, rmargin=1.8cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\debutDmCha

\setcounter{exer}{1}
\begin{ExoF}
 \hfill\textbf{Méthode du poolage}\\
\textbf{Partie A : Etude d'un cas particulier.}\\
On prend $N=60$ et on fait $20$ groupes de $3$, que l'on numérote de $1$ à $20$.\\
Pour chaque groupe $i$ ($i$ entier de 1 à 20), on note $H_i$ le mélange des prélèvements des trois individus du groupe.\\
Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de groupes pour lesquels le test de $H_i$ est négatif.\\
Soit $T$ la variable aléatoire qui correspond au nombre total de tests effectués.
\begin{enumerate}
 \item %Justifier que la probabilité que le test de $H_i$ soit négatif est $(1-p)^3$.
 Chaque groupe $H_i$ contient les prélèvements de 3 individus.\\
 Le test du groupe $H_i$ est négatif si et seulement si chaque individu du groupe est sain.\\
 On peut construire l'arbre de probabilité de la situation, mais il est simple de voir que 
 $$P(H_i\text{ négatif})=P(\text{les trois individus sont sains})=(1-p)^3$$
 \item %Quelle est la loi de la variable $X$ ? En déduire son espérance mathématique.
 Regarder si le test d'un groupe $H_i$ est négatif ou non constitue une épreuve de Bernoulli.\\
 On appelle Succès le fait que le test soit négatif. La probabilité d'un Succès est alors de $(1-p)^3$
 d'après la question précédente.\\
 Regarder les résultats des tests sur l'ensemble des groupes $H_i$ constitue  
 un schéma de Bernoulli, car on répète l'épreuve de Bernoulli précédente de manière identique et indépendante, et ce 20 fois.\\
 $X$ comptant le nombre de groupes pour lesquels le test est négatif, elle compte le nombre
 de succès de l'expérience. On a donc $X \hookrightarrow B\left(20, (1-p)^3\right)$. 
 \qquad On en déduit \quad $E(X)=20(1-p)^3$.
 \item %Prouver que $T=80-3X$ et en déduire l'espérance mathématique de $T$ en fonction de $p$.
 $T$ est la variable qui compte le nombre de tests effectués. On effectue
 \begin{itemize}
  \item un test par groupe : il y en a 20
  \item Puis 1 test pour chaque personne des groupes au test positif : il y a $(20-X)$ groupe contaminé
  et chacun contient $3$ personnes.
 \end{itemize}
Ainsi $T=20+3(20-X) = 80-3X$. \qquad On en déduit \quad $E(T)=80-3E(X)=80-60(1-p)^3$.
   \item %Le nombre de tests à effectuer étant de $60$ lorsque l'on teste les prélèvements de chaque individu, on consièdre que le poolage est rentable si $E(T)$
 %est inférieur ou égal à $60$.
 \begin{enumerate}
  \item %Justifier que $E(T)\leq 60 \iff \dfrac13-(1-p)^3 \leq 0$
  $E(T)\leq 60 \iff 80-60(1-p)^3\leq 60 \iff 20-60(1-p)^3 \leq  0 \stackrel{\div 60}{\iff} \dfrac13-(1-p)^3 \leq 0$
  \item %Etudier le sens de variation de la fonction $g$ définie sur $[0;1]$ par $g(x)=\dfrac13-(1-x)^3$.
   \textbf{Algorithme de} $f$ : 
 $$x \longmapsto 1-x \longmapsto (1-x)^3 \longmapsto -(1-x)^3 \longmapsto \dfrac13-(1-x)^3$$
 \begin{minipage}{9.cm}
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.5,espcl=5]{$x$/0.5,Variations de $1-x$/1.5,Variations de $(1-x)^3$/1.5
,Variations de $-(1-x)^3$/1.5,Variations de $\dfrac13-(1-x)^3$/2}{$0$,$1$}
\tkzTabVar{+ /$1$, -/$0$ }
\tkzTabVar{+ /$1^3=1$, -/$0^3=0$}
\tkzTabVar{- /$-1$, +/$0$}
\tkzTabVar{- /$-\dfrac23$, +/$\dfrac13$}
\tkzTabVal[draw]{1}{2}{0.5}{$\alpha$}{$0$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage} \quad 
\begin{minipage}{7cm}
 On connait depuis la seconde les variations d'une fonction affine.\\\\\\
La fonction cube est strictement croissante sur $[0;1]$ donc elle ne change pas les variations. \\\\
Multiplier une fonction par un nombre négatif change toutes ses variations.\\\\\\
Ajouter un nombre à une fonction ne change pas ses variations.
\end{minipage}
  \item %En déduire que l'équation $g(x)=0$ a une unique solution, puis en déterminer une valeur approchée à $0,1$ près.\\
  $0\in\left[-\dfrac23 ; \dfrac13 \right[$, donc d'après le tableau de variations de $g$, il est clair que la fonction passe par $0$.\\
Grâce à un tableau de valeurs, on trouve $\alpha\simeq 0.3$  
  \item %Conclure en précisant pour quelles valeurs de $p$ la méthode du poolage est rentable.
  La méthode de poolage est rentable si et seulement si $g(p)\leq 0$, donc si $p\leq 0.3$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie B :  Autre cas particulier }\\
On a toujours $N=60$, mais cette fois, on fait 15 groupes de 4, que l'on numérote de $1$ à $15$.\\

\begin{itemize}
 \item La probabilité que le test d'un groupe $H_i$ soit négatif est de $(1-p)^{4}$.
 \item On appelle encore $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de groupe ayant un test négatif.\\
 Alors $X\hookrightarrow B\left((15,(1-p)^4\right)$ \quad et $\quad E(X)=15(1-p)^4$.
 \item On appelle $T$ la variable aléatoire égale au nombre de test à effectuer.\\
 On a $T=15+4(15-X)=75-4X$ \quad et \quad $E(T) = 75 - 60(1-p)^4$.
 \item Dans ce cas $E(T) \leq 60 \iff 75-60(1-p)^4 \leq 60 \iff 15-60(1-p)^4\leq 0 \iff \dfrac14-(1-p)^4 \leq 0$
 \item On pose $g$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $g(x)=\dfrac14-(1-p)^4$. 
 On a  le tableau suivant :\\
 \begin{minipage}{9.5cm}
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.5,espcl=5]{$x$/0.5,Variations de $1-x$/1,Variations de $(1-x)^4$/1.2
,Variations de $-(1-x)^4$/1.2,Variations de $\dfrac14-(1-x)^4$/2}{$0$,$1$}
\tkzTabVar{+ /$1$, -/$0$ }
\tkzTabVar{+ /$1^4=1$, -/$0^4=0$}
\tkzTabVar{- /$-1$, +/$0$}
\tkzTabVar{- /$-\dfrac34$, +/$\dfrac14$}
\tkzTabVal[draw]{1}{2}{0.5}{$\alpha$}{$0$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
 \end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
 On en déduit que la fonction $g$ passe par $0$. On trouve encore une fois $\alpha \simeq 0.3$.\\\\
\textbf{Conclusion} :  La méthode du poolage est encore rentable pour $p\leq 0.3$.
\end{minipage}\\
 \end{itemize}

\textbf{Partie C :  Un problème d'optimisation}
\begin{enumerate}
 \item %Déterminer la loi suivie par $X$.
 $X\hookrightarrow B\left(\dfrac{N}{n} ; (1-p)^n\right)$ \quad donc \quad $E(X) = \dfrac{N}{n} \times (1-p)^n$
 \item %Exprimer $T$ en fonction de $X$, puis déduire que $E(T)=N\left(1+\dfrac1n - (1-p)^n\right)$
 On a $T=\dfrac{N}{n}+n\left(\dfrac{N}{n}-X\right) = \dfrac{N}{n} + N - nX $ \quad Donc \quad $T= N\left(1+\dfrac{1}{n}\right)-nX$.\\
 Donc $E(T)=N\left(1+\dfrac{1}{n}\right)-nE(X)=N\left(1+\dfrac{1}{n}\right)-n\times \dfrac{N}{n} \times (1-p)^n
 =N\left(1+\dfrac{1}{n}\right)-N \times (1-p)^n$\\
 Donc \quad $E(T) = N\left(1+\dfrac{1}{n}-(1-p)^n\right) $
 \item %Montrer que $E(T)$ est minimal si et seulement si $1+\dfrac1n-(1-p)^n$ est minimale.
 $N$ étant fixé et \textbf{positif}, $E(T)$ est minimale si et seulement si 
 $1+\dfrac1n-(1-p)^n$ est minimale.
 \item[\textbf{4. et 5.}] %Pour chacune des valeurs suivantes de $p$ : $0,1 \, ; \, 0.01 \, $ et $ \, 0.001 \,$ déterminer à l'aide d'une calculatrice
 %ou d'un tableur la valeur de $n$ telle que $E(T)$ soit minimale.
 \begin{itemize}
  \item $p=0.1$ : On rentre dans la calculatrice la fonction $g$ définie sur les entiers par 
 $g(n)=1+\dfrac1n-(1-0.1)^n$, ie $g(n)=1+\dfrac1n-0.9^n$ 
 et on cherche la valeur entière de $n$ pour laquelle $g(n)$ est minimal. On trouve $n=4$.\\
 Dans ce cas, $E(T)=N\left(1+\dfrac14-(1-0.1)^4\right)=N\left(\dfrac54-0.9^4 \right) \simeq 0.59N <N$.\\
 Donc le poolage est rentable.\\
 \item $p=0.01$ : On rentre dans la calculatrice la fonction $g$ définie sur les entiers par 
 $g(n)=1+\dfrac1n-0.99^n$ 
 et on cherche la valeur entière de $n$ pour laquelle $g(n)$ est minimal. \quad On trouve $n=11$.\\
 Dans ce cas, $E(T)=N\left(\dfrac{12}{11}-0.99^{11} \right) \simeq 0.20N <N$.\\
 Donc le poolage est rentable.\\
 \item $p=0.001$ : On rentre dans la calculatrice la fonction $g$ définie sur les entiers par 
 $g(n)=1+\dfrac1n-0.999^n$ 
 et on cherche la valeur entière de $n$ pour laquelle $g(n)$ est minimal. \quad On trouve $n=32$.\\
 Dans ce cas, $E(T)=N\left(\dfrac{33}{32}-0.999^{32} \right) \simeq 0.06N <N$.\\
 Donc le poolage est rentable.
 \end{itemize}

 

 %\item Vérifier dans chacun de ces cas que le poolage est rentable.
\end{enumerate}
\end{ExoF}



\end{document}
