\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Ch}{Correction}
\newcommand{\Cl}{1G6}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}
\newcommand{\num}{3bis}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
\debutDmCha
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
$ \qquad f(x)=\sqrt{|x^2-6x+10|}$
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Variations de} $f$ :
 \begin{enumerate}
 \item  On résout l'équation $x^2-6x+10=10 \iff x^2-6x=0 \iff x(x-6)=0 \iff x=0 \quad \text{ ou } \quad x=6$\\
 Donc $\alpha = \dfrac{0+6}{2} = 3$. \qquad\qquad De plus $\beta = f(\alpha) = 3^2-6\times 3 + 10 = 1$.\\
 Au final on a $x^2-6x+10=(x-3)^2+1$. \\ Il est clair que cette expression est toujours supérieure ou égale à 1 donc strictement positive.
\item On en déduit que $|x^2-6x+10|=x^2-6x+10$ pour tout $x\in\R$. Donc 
$$f(x)=\sqrt{x^2-6x+10} \quad \text{ ou encore } \quad f(x)=\sqrt{(x-3)^2+1}\, , \quad \forall x\in\R$$
\item 
\begin{minipage}{9.5cm}
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.5,espcl=3]{$x$/1,Variations de $(x-3)^2+1$/2,Variations de $f(x)=\sqrt{(x-3)^2+1}$/2}{$-\infty$,$3$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+ /, -/$1$, +/ }
\tkzTabVar{+ /, -/$\sqrt{1}=1$, +/ }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage} \quad 
\begin{minipage}{7cm} \textbf{Algorithme de} $f$ : 
 $$x \longmapsto (x-3)^2+1 \longmapsto \sqrt{(x-3)^2+1}$$
 On connait depuis la seconde les variations d'une fonction trinôme donnée sous sa forme canonique.\\\\
La fonction racine carré est strictement croissante sur $\R^+$. \\
Donc elle ne change pas les variations d'une fonction positive.\\
\end{minipage}
\item La fonction $f$ admet pour minimum 1 atteint en $x=3$ et pas de maximum.
\end{enumerate}
\item \textbf{Première propriété de la courbe représentative de} $f$ : Soit $h\in \R$. 
\begin{enumerate}
 \item On utilise la forme canonique du trinôme, plus simple pour ces calculs. On a $f(x)=\sqrt{(x-3)^2+1}$, donc :
$$f(3-h)=\sqrt{\big((3-h)-3\big)^2+1}=\sqrt{(-h)^2+1}=\sqrt{h^2+1}\qquad\qquad\qquad 
f(3+h)=\sqrt{(3+h-3)^2+1}=\sqrt{h^2+1}$$
Donc $\forall h\in\R$ on a $f(3-h)=f(3+h)$.
 \item Les points $A$ et $B$ appartiennent à $\mathscr C_f$ par définition de leur ordonnée, et d'après 2a), on sait que
 ces ordonnées sont égales. Ainsi, ces points sont symétriques par rapport à la droite d'équation $x=3$.
 \item Ceci étant vrai pour tout $h\in\R$, on peut en déduire que la courbe $\mathscr C_f$ est symétrique par rapport
 à la droite d'équation $x=3$.
 Lorsque $h$ parcourt $\R$, on peut donc en déduire que les points donnés sont symétriques par rapport à la droite 
d'équation $x=3$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Comportement à l'infini de} $f$ :
\begin{enumerate}
 \item $M=10$. \begin{enumerate}
 \item $f(x)=10 \iff \sqrt{(x-3)^2+1} = 10 \iff (x-3)^2 + 1 = 100 $ \qquad car $(x-3)^2 + 1$ est positif 
\begin{eqnarray*}
 \iff (x-3)^2 = 99 &\iff& x-3 = \sqrt{99} \quad \text{ ou } \quad x-3 = -\sqrt{99} \\
 &\iff& x=3+\sqrt{99} \quad \text{ ou } \quad x=3-\sqrt{99}
\end{eqnarray*}
 Comme $3-\sqrt{99}<0$ et qu'on nous demande les solutions positives, on a finalement $S=\left\{3+\sqrt{99}\right\}$.
 \item \begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=3.5]{$x$/1,Variations de $f$/2}{$-\infty$,$3$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+ /, -/$1$, +/ }
\tkzTabVal[draw]{2}{3}{0.5}{$3+\sqrt{99}$}{10}
\tkzTabVal[draw]{1}{2}{0.33}{$3-\sqrt{99}$}{10}
\tkzTabVal[draw]{1}{2}{0.66}{$0$}{$\sqrt{10}$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage} \quad 
\begin{minipage}{6cm}
D'après le tableau de variations de $f$,  sur les positifs on a :
$$f(x) \geq 10  \iff x \geq 3+ \sqrt{99}$$
 Donc $S=\left[3+\sqrt{99} ; +\infty\right[$
\end{minipage}
\item Toujours d'après ce tableau, on voit que pour tout $x\geq 3+\sqrt{99}$ on a $f(x)\geq 10$. \\
Donc $X=3+\sqrt{99}$ convient.\\
En fait, c'est le premier qui convient, mais l'affirmation est encore vraie pour n'importe quel \\
$X$ plus grand que $3+\sqrt{99}$. Par exemple $X=3+\sqrt{100}=13$.
\item Pour $M=10^5$, on trouve sur les positifs que 
$$f(x)=10^5 \iff x=3+\sqrt{10^{10}-1}$$
Grâce au tableau, on peut donc dire que les solutions positives de l'équation $f(x) \geq 10^5$ sont les nombres de 
l'intervalle $\left[3+\sqrt{10^{10}-1} ; + \infty\right[$.\\
Il existe donc $X$ tel que pour tout $x\geq X$ on a $f(x)\geq 10^5$ . \\
Par exemple \quad $X=3+\sqrt{10^{10}-1}$ \quad ou encore \quad $X=3+\sqrt{10^{10}}=3+10^5$.\\\\
Pour $M=10^{37}$, on trouve sur les positifs que 
$$f(x)=10^{37} \iff x=3+\sqrt{10^{74}-1}$$
Grâce au tableau, on peut donc dire que les solutions positives de l'équation $f(x) \geq 10^{37}$ sont les nombres de 
l'intervalle $\left[3+\sqrt{10^{74}-1} ; + \infty\right[$.\\
Il existe donc $X$ tel que $f(x)\geq 10^{37}$ pour tout $x\geq X$. \\
Par exemple \quad $X=3+\sqrt{10^{74}-1}$ \quad ou encore \quad
$X=3+\sqrt{10^{74}}=3+10^{37}$.
 \end{enumerate}
 \item Soit $M\in\R$ 
\begin{enumerate}
 \item D'après le tableau de variations de $f$, on voit que l'équation $f(x)=M$ admet 
 \begin{center}
   $0$ solution si $M<1$,
  \qquad \qquad\qquad  1 solution si $M=1$,
  \qquad \qquad\qquad $2$ solutions si $M>1$.
 \end{center}
\item 
\begin{itemize}
 \item Si $M<1$ : on voit, d'après le tableau de variations de $f$, que $f(x)$ est toujours supérieur ou égal à $M$. \\
 Donc l'ensemble des solutions de l'équation $f(x) \geq M$ est $S=\R$.
 \item Si $M=1$ : on voit, d'après le tableau de variations de $f$, que $f(x)$ est toujours supérieur ou égal à $M$. \\
 Donc l'ensemble des solutions de l'équation $f(x) \geq M$ est encore $S=\R$.
 \item Si $M>1$ : Commençons par résoudre l'équation $f(x)=M$, comme pour les cas particuliers.\\
 $f(x)=M \iff \sqrt{(x-3)^2+1} = M \iff (x-3)^2 + 1 = M^2 $ \qquad car $(x-3)^2 + 1$ est positif 
\begin{eqnarray*}
 \iff (x-3)^2 = M^2-1 &\iff& x-3 = \sqrt{M^2-1} \quad \text{ ou } \quad x-3 = -\sqrt{M^2-1} \\
 &\iff& x=3+\sqrt{M^2-1} \quad \text{ ou } \quad x=3-\sqrt{M^2-1}
\end{eqnarray*}
\end{itemize}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=3.5]{$x$/1,Variations de $f$/2}{$-\infty$,$3$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+ /, -/$1$, +/ }
\tkzTabVal[draw]{2}{3}{0.5}{$3+\sqrt{M^2-1}$}{$M$}
\tkzTabVal[draw]{1}{2}{0.5}{$3-\sqrt{M^2-1}$}{$M$}
%\tkzTabVal{1}{2}{0.66}{$0$}{$\sqrt{10}$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage} \quad 
\begin{minipage}{6cm}
 D'après le tableau, on voit que 
 \begin{eqnarray*}
   f(x)\geq M 
 &\iff& x\leq 3-\sqrt{M^2-1} \\
 &\text{ ou } & x \geq 3+\sqrt{M^2-1}
 \end{eqnarray*}
 \end{minipage}
Donc l'ensemble des solutions est \quad $S=\left]-\infty ; 3-\sqrt{M^2-1}\right] \cup \left[3+\sqrt{M^2-1} ; + \infty \right[$
 \item La phrase 
 \quad \og $ \forall M \in\R, \exists X\in\R, \forall x \geq X \text{ on a } f(x)\geq M $ \fg 
 \quad  signifie : 
 \begin{center}
 \og Pour tout nombre réel $M$, il existe (au moins) un nombre réel $X$ tel que,\\ pour tout $x$ plus grand que $X$, on a
 $f(x)$ supérieur ou égal à $M$ \fg.\\
 
 \end{center}
\item \begin{itemize}
 \item Si $M<1$ alors on sait que pour tout nombre $x$ on a $f(x) \geq M$ , donc en particulier pour ceux plus grands
 que $4$ (n'importe quelle valeur convient). \\
 Donc par exemple $X=4$ vérifie l'affirmation \quad \og pour tout $x\geq X$, $f(x) \geq M$ \fg \\
 Puisque qu'on a trouvé un $X$ tel que pour tout $x\geq X$ on a $f(x)\geq M$, il existe au moins un.\\
 \item Si $M=1$, c'est pareil. Par exemple, on peut prendre $X=-52$. \\
 On a bien \quad \og pour tout $x\geq -52$, $f(x) \geq 1$ \fg.\\
 Donc il existe au moins un $X$ qui vérifie l'affirmation.\\
 \item Si $M>1$, alors on sait que si $x\geq 3+\sqrt{M^2-1}$ on a $f(x)\geq M$\\
 Donc si on choisit $X=3+M$ (qui est plus grand que $3+\sqrt{M^2-1}$), on a bien que \quad 
 \og pour tout $x\geq X$, $f(x) \geq M$ \fg.\\
 Donc il existe au moins un $X$ qui vérifie l'affirmation.\\
\end{itemize}
Dans les trois cas possibles, on a bien trouvé un $X$ vérifiant l'affirmation  \og pour tout $x\geq X$, $f(x) \geq M$ \fg.\\
Donc au final, l'affirmation globale 
\quad \og $ \forall M \in\R, \exists X\in\R, \forall x \geq X \text{ on a } f(x)\geq M $ \fg\quad
est vraie.
\item On peut en déduire que $f(x)$ peut être aussi grand que l'on veut si $x$ est assez grand.\\
Ainsi $\mathscr C_f$ \og montera \fg aussi haut que l'on veut, si l'on regarde assez loin \og à droite \fg.\\
De plus, grâce à la symétrie, on sait que $\mathscr C_f$ \og montera \fg également aussi haut que l'on veut, si l'on regarde assez loin \og à gauche \fg.
\item On peut rajouter cette information au bout des flèches du tableau, ie en rajoutant 
le fait que $f$ peut être aussi grand que l'on veut pour $x$ assez grand : on écrira un $+\infty$ sur la ligne de $f$, 
sous le $+\infty$ de la ligne des $x$.
\item Par symétrie, on sait que $f$ peut être aussi grand que l'on veut pour $x$ assez grand dans les négatifs : 
on écrira un $+\infty$ sur la ligne de $f$, sous le $-\infty$ de la ligne des $x$.
Ainsi, on obtient le tableau de variations complets suivants :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=3]{$x$/0.5,Variations de $f$/1.5}{$-\infty$,$3$,$+\infty$}
\tkzTabVar{ +/$+\infty$, -/$1$, +/$+\infty$ }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Ces $+\infty$ rajoutés ne sont pas des images de $f$, mais s'appellent des limites. 
On dit que la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$ est $+\infty$. \quad 
On note ceci ainsi $\lim\limits_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$. \quad
On a aussi \,$\lim\limits_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$}
\item \textbf{Deuxième propriété de} $\mathscr C_f$ : $g(x)=f(x)-(x-3)$
\begin{enumerate}
       \item $g(10)\simeq 0.071068$\qquad\qquad $g(10^5)\simeq 0.000005$\qquad\qquad $g(10^{37})\simeq 0$
\item $\forall x \in \R$, on a :
\begin{eqnarray*}
\dfrac{1}{f(x)+x-3} &= &\dfrac{1}{f(x)+x-3}\times \dfrac{f(x)-(x-3)}{f(x)-(x-3)}\\
&=&\dfrac{f(x)-(x-3)}{f(x)^2-(x-3)^2}\\
&=& \dfrac{g(x)}{x^2-6x+10 - (x^2-6x+9)}\\
&=& \dfrac{g(x)}{1}=g(x)
\end{eqnarray*}
\item $f(x)$ devient très grand quand $x$ devient très grand. C'est aussi le cas de $x-3$.
\item On sait que $g(x)= \dfrac{1}{f(x)+x-3}$.\qquad 
Or $f(x)$ et $x-3$ peuvent être aussi grand que l'on veut, à condition que $x$ positif soit suffisamment grand.
Donc $f(x)+x-3$ aussi.\\
On en déduit que $g(x)=\dfrac{1}{f(x)+x-3}$ peut être aussi petit que l'on veut, à 
condition que $x$ positif soit suffisamment grand.\\
\textbf{On dit que la limite de la fonction $g(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ est $0$. \\
On note ceci ainsi \,$\lim\limits_{x \to + \infty} g(x) = 0$}\\
      \end{enumerate}
\item 
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{ttffqq}{0.2 1 0}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.3,-1.52)(8.5,6.3)
\psgrid[griddots=4,gridlabels=0pt,gridwidth=1pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-4,-2)(8,6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.3,-1.52)(8.5,6.3)
\psplot[linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{-4.3}{8.5}{(x^2-6*x+10)^0.5}
\psplot[linecolor=ttffqq]{-4.3}{8.5}{(-3--1*x)/1}
\psplot[linecolor=ttffqq]{-4.3}{8.5}{(--3-1*x)/1}
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=ccqqqq](3,-1.52)(3,6.3)
\rput[tl](4.4,5.5){$\qqqqcc{\mathscr C_f : y=\sqrt{x^2-6x+10}}$}
\uput[ul](3,5.5){$x=3$}
\uput[u](-3,4.5){$y=3-x$}
\uput[ur](7,3.5){$y=x-3$}
\end{pspicture*}
\end{center}

Sur le graphique, on a représenté $\mathscr C_f$. On constate que ses variations et son minimum sont 
conformes à ce que l'on a démontré en 1.\\
On remarque également son axe de symétrie $x=3$, tracé en pointillés.\\
Graphiquement, on voit clairement qu'il y a une ou deux solutions à l'équation $f(x)=M$, pour tout $M\geq 1$.\\
Enfin, on a représenté les droites d'équation $y=x-3$ et $y=3-x$.\\
Attardons-nous sur la première. La question 4d. nous a fait montrer que $g(x)=f(x)-(x-3)$ pouvait être aussi petit que l'on voulait,
à condition que $x>0$ soit suffisamment grand. Graphiquement, cela signifie que l'écart entre $\mathscr C_f$ et la droite 
$y=x-3$ peut être aussi petit que l'on veut, à condition que $x$ positif soit suffisamment grand.
C'est pourquoi on voit que la courbe en gras se rapproche de plus en plus de la droite (sans jamais la toucher).\\
\textbf{On dit que la droite $y=x-3$ est une \textit{asymptote oblique} à $\mathscr C_f$ en $+\infty$.}\\
Par symétrie, l'écart entre la courbe en gras et la droite d'équation $y=3-x$ devient également aussi petit que l'on veut, à condition
que $x$ soit suffisamment grand \textit{dans les négatifs}.\\
\textbf{On dit que la droite $y=3-x$ est une asymptote oblique à la courbe représentative de $f$ en $-\infty$.}
\end{enumerate}



\end{document}