\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Ch}{Propri\'et\'es d'une courbe}
\newcommand{\Cl}{1G6}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}
\newcommand{\num}{3 bis}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\debutDmCha

 Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\sqrt{\left|x^2-6x+10\right|}$$
\begin{enumerate}
\item \textbf{Variations de $f$} :
\begin{enumerate}
 \item Ecrire le trinôme $x^2-6x+10$ sous sa forme canonique et en déduire son signe.
\item Ecrire alors $f$ sans valeur absolue.
 \item  Dresser le tableau de variations de $f$.
\item La fonction $f$ admet-elle un minimum ? un maximum ? Si oui, préciser le(s)quel(s).
\end{enumerate}
\item \textbf{Première propriété de la courbe représentative de $f$} : Soit $h\in\R$. 
\begin{enumerate}
 \item Calculer $f(3-h)$ et $f(3+h)$.
\item Quelle propriété géométrique les points  
$A\left(3-h;f(3-h)\right)$ et $B\left(3+h;f(3+h)\right)$ de la courbe $\mathscr C_f$ représentative de $f$ vérifient-ils ?
\item Ceci est-il vrai pour tout $h\in\R$ ? Qu'en déduit-on sur $\mathscr C_f$ ?
\end{enumerate}
\item \textbf{Comportement à l'infini de $f$} : \textit{notion de limite à l'infini}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Cas particuliers.} On pose $M=10$.
\begin{enumerate}
       \item Résoudre dans $\R^+$ l'équation $f(x)=M$.\\
       \textit{Penser à utiliser la forme canonique trouver dans la question \textbf{1.} ...}
       \item Grâce à la question précédente et au tableau de variation de $f$, déterminer l'ensemble de solutions positives
       de l'inéquation $f(x)\geq M$.
       \item Existe-t-il $X$ tel que pour tout $x\geq X$ on a $f(x)\geq M$ ? Si oui, donner deux valeurs possibles pour $X$.
       \item Reprendre les questions précédentes pour  $M=10^5$ puis $M=10^{37}$, sans détailler les réponses.
      \end{enumerate}
\item \textbf{Cas Général.} Soit $M\in\R$
\begin{enumerate}
 \item Montrer que l'équation $f(x)=M$ admet zéro, une ou deux solutions suivant la valeur de $M$ que l'on précisera.
 \item Résoudre l'inéquation $f(x) \geq M$ en distinguant les trois cas précédents.
 \item Traduire les quantificateurs $\forall $ et $\exists$ dans la proposition suivante :
$$ \forall M \in\R, \exists X\in\R, \forall x \geq X \text{ on a } f(x)\geq M $$
\textit{Concrètement, cela signifie que :
\og Peu importe le nombre $M$ que l'on choisit, il existe un moment à partir duquel $f(x)$ est toujours supérieur à $M$ \fg\\
Autrement dit, $f(x)$ peut être rendu aussi grand que l'on veut à la seule condition de choisir $x$ suffisamment grand.\\
On dit encore que $f$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ et on note $\lim\limits_{x\to + \infty} f(x)=+\infty$}
\item Expliquer pourquoi cette affirmation est toujours vraie, en proposant une valeur de $X$ possible
dans chacun des trois cas précédents (cette valeur dépendant éventuellement de $M$).
 \item Que cela signifie-t-il pour la courbe représentative de $f$ ?
\item Quelle nouvelle information peut-on alors apporter dans le tableau de variations de la fonction $f$ ?
\item Grâce à la propriété trouver à la question \textbf{2.}, trouver une autre information à rajouter dans 
le tableau de variation de $f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item \textbf{Deuxième propriété de la courbe représentative de $f$} : \textit{notion d'asymptote}\\
On définit la fonction $g$ par $g(x)=f(x)-(x-3)$ pour tout $x\in\R$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $g(10)$, $g(10^5)$ et $g(10^{37})$ à $10^{-6}$ près. 
\item Montrer que :
$$ \forall x\in\R,\quad g(x)=\dfrac{1}{f(x)+x-3}$$
\textit{On pourra utiliser l'expression conjuguée de $f(x)-(x-3)$ ...}
\item Rappeler le comportement de $f(x)$ si l'on choisit un $x$ très grand.\\
Quel est celui de $x-3$ dans le même cas ?
\item En déduire que l'affirmation \og le nombre $"g(x)"$ peut être rendu aussi petit que 
l'on veut à la seule condition que $x$ soit suffisamment grand \fg{} est vraie.\\
\textit{On dit que $g(x)$ tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ 
et on note $\lim\limits_{x\to + \infty} g(x)=0$}
\item Justifier alors les différents éléments graphiques de la représentation graphique ci-dessous sachant 
que la courbe est tracée en bleue.\\
\textit{On précisera les équations de chacune des trois droites représentées}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{ttffqq}{0.2 1 0}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.3,-1.52)(8.5,6.3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.3,-1.52)(8.5,6.3)
\psplot[linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{-4.3}{8.5}{(x^2-6*x+10)^0.5}
\psplot[linecolor=ttffqq]{-4.3}{8.5}{(-3--1*x)/1}
\psplot[linecolor=ttffqq]{-4.3}{8.5}{(--3-1*x)/1}
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=ccqqqq](3,-1.52)(3,6.3)
\rput[tl](4.4,5.5){$\qqqqcc{\mathscr C_f : y=\sqrt{x^2-6x+10}}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{document}
