\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Ch}{Correction}
\newcommand{\Cl}{1G6}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}
\newcommand{\num}{3}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex

\geometry{tmargin=1.8cm,bmargin=2.4cm,hmargin=1.5cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\debutDmCha


\begin{ExoF}
On considère la fonction $f$ définie par : $ f(x)=\sqrt{|x|}$
\begin{enumerate}
\item %Justifier que le domaine de définition $D_f$ de la fonction $f$ est $\R$.
$|x| \geq 0$ pour tout $x\in\R$ par définition \textit{(distance à $0$ de $x$)}. \\
Donc $\sqrt{|x|}$ existe toujours : il n'y a pas de valeur interdite. D'où $D_f=\R$.
 \item %Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\R$.
\textbf{Il est important de \textit{ JUSTIFIER }cette question. }\\
 On peut par exemple, raisonner par \textbf{tableaux de variations successifs}.\\
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /0.8,$|x|$/1.5,$\sqrt{|x|}$/1.5}{$ -\infty$,$0$,$+\infty $}% 
\tkzTabVar{+/ $ $ , -/$0$ , +/$ $ } 
\tkzTabVar{+/ $ $ , -/$0$ , +/$ $ } 
\end{tikzpicture} 
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\textbf{Algorithme de calcul} :
$x \longmapsto |x| \longmapsto \sqrt{|x|}$\\\\
 %\vspace{0.3cm}
 \textbf{Première ligne} : d'après les cours \\\\
 \textbf{Deuxième ligne} : car la fonction racine carré est croissante sur $R^+$, donc conserve l'ordre sur les positifs.
\end{minipage}\\\\
\textbf{Autre méthode} rencontrée dans les copies : par \textbf{inégalités successives sur les bons intervalles}\\
\begin{minipage}{9cm}
Soient $a$ et $b$ appartenant à $\R^-$ tels que $a<b<0$.\\
Alors on a :
\begin{eqnarray*}
&& a<b<0 \\
&\iff& |a|>|b|>0 \quad \text{car la fonction valeur absolue}\\
&& \qquad \qquad \text{est décroissante sur les négatifs}\\
&\iff& \sqrt{|a|}>\sqrt{|b|}>0 \quad \text{ car la fonction racine carré}\\
&& \qquad \qquad \text{est croissante sur les positifs}\\
&\iff& f(a)>f(b)>0 \quad \text{l'ordre a changé}
\end{eqnarray*}
Donc $f$ est décroissante sur les négatifs.
\end{minipage}\vline
\begin{minipage}{9cm}
Soient $a$ et $b$ appartenant à $\R^+$ tels que $0<a<b$.\\
Alors on a :
\begin{eqnarray*}
&& 0<a<b \\
&\iff& 0<|a|<|b| \quad \text{car la fonction valeur absolue}\\
&& \qquad \qquad \text{est croissante sur les positifs}\\
&\iff& 0<\sqrt{|a|}<\sqrt{|b|} \quad \text{ car la fonction racine carré}\\
&& \qquad \qquad \text{est croissante sur les positifs}\\
&\iff& 0<f(a)<f(b) \quad \text{l'ordre est conservé}
\end{eqnarray*}
Donc $f$ est croissante sur les positifs.
\end{minipage}\\
\item %Tracer la représentation graphique de $f$, notée $\mathscr C_f$, dans un repère orthonormé.
\textbf{Il convient de ne pas oublier l'\textit{échelle} et de \textit{placer précisément des points}. 
En particulier, on regarde plus \textit{en détails} 
ce qui ce passe quand une fonction change de sens de variation (ici vers $x=0$)\\
Par contre, vous pouvez vous passez de recopier le tableau de valeurs que vous avez utiliser.}\\
\psset{xunit=1.2cm,yunit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-5,-0.5)(6.5,3.3)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-5,-0.5)(6.5,3.3)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-3pt 0]{->}(0,0)(-5,-0.5)(6.5,3.3)
\psplot[plotpoints=200]{-5.0}{6.5}{sqrt(abs(x))}
\psline(2.42,4.26)(3.76,4.26)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](-3.6,1.9)(-3.6,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](3.6,1.9)(3.6,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](-3.6,1.9)(3.6,1.9)
\rput[tl](5.73,2.91){$ \mathscr C_f $}
\begin{scriptsize}
%\rput[bl](3.43,4.41){$a = 3.6$}
\rput[bl](3.5,2){$M$}
\rput[bl](-3.5,2){$M'$}
\rput[bl](3.56,-0.3){$x$}
\rput[bl](-3.6,-0.3){$-x$}
\rput[bl](-0.6,1.5){$f(x)$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\item %On considère un point quelconque $M$ de $\mathscr C_f$ d'abscisse $x$ positive.
\textbf{Dans ces questions, j'attendais un minimum de calculs pour JUSTIFIER vos réponses ...}
\begin{enumerate}
\item %Quelle est l'ordonnée du point $M$ ?
$M(x,y_M)\in\mathscr C_f$ \quad  donc son ordonnée est \quad $y_M=f(x)=\sqrt{|x|}=\sqrt{x}$ \quad car $x$ est positif, d'où $|x|=x$.
\item %Démontrer que le point $M'$ de $\mathscr C_f$ d'abscisse $-x$ a la même ordonnée que $M$. \\
$M'(-x,y_{M'})\in\mathscr C_f$ \quad donc son ordonnée est \quad
$y_{M'}=f(-x)=\sqrt{|-x|} = \sqrt{x}$ \quad car $-x$ est négatif, d'où $|-x|=x$.\\
Ainsi $M$ et $M'$ ont la même ordonnée, autrement dit \quad $f(-x)=f(x)$ \quad pour tout $x\geq 0$.
%\textit{On peut faire le même raisonnement pour $x\leq 0$. \\
%En fait, pour tout $x\in D_f$, on a $f(-x)=f(x)$. On dit que la fonction $f$ est une fonction \textbf{paire}.}
\item %Quelle propriété géométrique peut-on en déduire pour la courbe $\mathscr C_f$ ?\\
Il est clair que le milieu de $[MM']$ a pour coordonnées  $(0,f(x))$, \quad donc il appartient à l'axe $(Oy)$.\\
De plus \quad $(MM') // (Ox)$ \quad et \quad $(Ox) \perp (Oy)$ \quad  donc \quad $(MM')\perp (Oy)$.\\
Au final on en déduit : \quad $(Oy)$ est la médiatrice de $[MM']$.\\
Ceci étant vrai pour tout $M\in\mathscr C_f$, la courbe $\mathscr C_f$ est symétrique par rapport à l'axe 
des ordonnées.
%\textit{Cette propriété est vérifiée pour toutes les courbes représentatives de fonctions paires.}
\end{enumerate}
\item %\textbf{D'autres fonctions paires} :
\begin{enumerate}
 \item %Donner, sans justifier, une fonction de référence étudiée en seconde qui est une fonction paire.
 La fonction carré est paire. En effet, pour tout $x\in\R$ on a \quad $(-x)^2=x^2$
 \item %Quelle fonction de référence étudiée cette année est une fonction paire ? Pourquoi ?
 La fonction valeur absolue est paire. En effet, pour tout $x\in\R$ on a \quad $|-x|=|x|$
 \item %Quelle fonction trigonométrique est une fonction paire ? Pourquoi ?
 La fonction cosinus est paire. En effet, pour tout $x\in\R$ on a \quad $\cos(-x)=\cos(x)$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
 \end{ExoF}

\begin{ExoF}
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par : 
$\left\{ \begin{array}{l} g(x)=\sqrt{x} \qquad \text{si} \quad x\geq 0 \\ g(x)=-\sqrt{|x|}\qquad \text{si} \quad x< 0  \end{array} \right.$
\begin{enumerate}
\item %Dresser le tableau de variations de $g$ sur $\R$ .\\
%\textit{On pourra utiliser les variations de la fonction de l'exercice précédent, 
%sans les redémontrer.}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\textbf{Si} $x<0 $ \\
\begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /0.8,$\sqrt{|x|}$/1.5,$g(x)=-\sqrt{|x|}$/1.5}{$ -\infty$,$0$}% 
\tkzTabVar{+/ $ $ , -/$0$  } 
\tkzTabVar{-/ $ $ , +/$0$  } 
\end{tikzpicture} 
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\textbf{Algorithme de calcul} :\\
$x \longmapsto |x| \longmapsto \sqrt{|x|} \longmapsto - \sqrt{|x|}$\\\\
 %\vspace{0.3cm}
 \textbf{Première ligne} : d'après l'exercice 1 \\\\\\
 \textbf{Deuxième ligne} : car multiplier par un nombre négatif inverse l'ordre.
\end{minipage}\\\\
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\textbf{Si} $x\geq 0 $, d'après le cours on a : \\
\begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /0.8,$g(x)=\sqrt{x}$/1.5}{$ 0$,$+\infty$}% 
\tkzTabVar{-/ $0$ , +/$ $  } 
\end{tikzpicture} 
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
Donc \textbf{au final} on a :\\
\begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=5]{$x$ /0.8,$g(x)$/1.5}{$ -\infty$,$+\infty $}% 
\tkzTabVar{-/ $ $ , +/$ $ } 
  \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.5} {$0$} {$0$}
\end{tikzpicture} 
\end{center}
\end{minipage}\\\\
\textbf{Autre méthode} rencontrée dans les copies : \\
Si $x>0$, alors $g(x)=\sqrt{x}=\sqrt{|x|}=f(x)$. Donc $g$ est croissante (comme $f$) sur les positifs.\\
Si $x<0$, alors $g(x)=-\sqrt{|x|}=-f(x)$. Donc $g$ est croissante sur les négatifs (contrairement à $f$).
\item %Tracer la représentation graphique de $g$, notée $\mathscr C_g$, dans un repère orthonormé.
\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-4,-2)(4,2)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4,-2)(4,2)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-3pt 0]{->}(0,0)(-4,-2)(4,2)
\psplot[plotpoints=200]{-4.0}{-7.999999997574826E-6}{-sqrt(-x)}
\psplot[plotpoints=200]{2.4251739126016775E-15}{4.0}{sqrt(x)}
\psline(1.81,2.45)(2.88,2.45)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](0,1.55)(2.4,1.55)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](2.4,1.55)(2.4,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](-2.4,-1.55)(-2.4,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](0,-1.55)(-2.4,-1.55)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](2.4,1.7){\darkgray{$M$}}
\rput[bl](2.32,-0.3){\darkgray{$x$}}
\rput[bl](-0.6,1.5){\darkgray{$g(x)$}}
\rput[bl](-2.8,-1.5){\darkgray{$M'$}}
\rput[bl](-2.59,0.1){\darkgray{$-x$}}
\rput[bl](0.13,-1.66){\darkgray{$-g(x)$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item %On considère un point $M$ quelconque de $\mathscr C_g$ d'abscisse $x$ positive.
\begin{enumerate}
\item %Quelle est l'ordonnée du point $M$ ?
$M(x,y_M)\in\mathscr C_g$ \quad donc \quad $y_M=g(x)=\sqrt{x}$ \quad car $x$ est positif.
\item %Quelles sont les coordonnées du point $M'$ de $\mathscr C_g$ d'abscisse $-x$ ? \\
$M'(-x,y_{M'})\in\mathscr C_f$ \quad donc \quad
$y_{M'}=g(-x)=-\sqrt{|-x|} = -\sqrt{x}$ \quad car $-x$ est négatif.\\
Ainsi $M$ et $M'$ ont des ordonnées opposées, autrement dit \quad $g(-x)=-g(x)$ \quad pour tout $x\geq 0$.
%\textit{On peut faire le même raisonnement pour $x\leq 0$. \\
%En fait, pour tout $x\in D_f$, on a $f(-x)=-f(x)$. On dit que la fonction $f$ est une fonction  \textbf{impaire}.}
\item %Quel est le milieu du segment $[MM']$ ?
Le milieu $I$ de $[MM']$ a pour coordonnées 
$$x_I=\dfrac{x_M+x_{M'}}{2}=\dfrac{x+(-x)}{2}=0 \qquad \text{ et } \qquad 
y_I=\dfrac{y_M+y_{M'}}{2}=\dfrac{\sqrt{x}+\left(-\sqrt{x}\right)}{2}=0$$
Le milieu de $[MM']$ est donc $O$, l'origine du repère.
\item %Qu'en déduire pour la courbe $\mathscr C_f$ ?\\
Ceci étant vrai pour tout point $M\in\mathscr C_g$, la courbe $\mathscr C_g$  est symétrique par rapport à l'origine $O$.
%\textit{Cette propriété est vérifiée pour toutes les courbes représentatives de fonctions impaires.}
\end{enumerate}
\item %\textbf{D'autres fonctions impaires} :
\begin{enumerate}
 \item %Donner, sans justifier, une fonction de référence étudiée en seconde qui est une fonction impaire.
 La fonction inverse est impaire.
 En effet pour tout $x\in\R^*$ on a $\dfrac1{-x}=-\dfrac1x$
 \item %Donner une fonction de référence étudiée cette année qui n'est ni paire, ni impaire.
 La fonction racine carré n'est ni paire, ni impaire (car non définie sur un ensemble symétrique par rapport à $0$ !)
 \item %Quelle fonction trigonométrique est une fonction impaire ? Pourquoi ?
 La fonction sinus est impaire, car \quad $\sin(-x)=-\sin(x)$ \quad pour tout $x\in\R$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
 \end{ExoF}
% \newpage



\end{document}
