\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Variables al\'eatoires}
\newcommand{\Cl}{1G6}
\newcommand{\num}{1}	
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

\usepackage{textcomp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutDsCha



\begin{ExoF}\hfill (10 points)
%Dans la ville des chats, le chat Croquette participe à des matchs de \og lancers de souris \fg.\\
%Un match consiste à lancer deux fois une souris en l'air et à tenter de la rattraper.
%Croquette estime que sa probabilité de rattraper une souris est toujours égale à $0.7$
\begin{enumerate}
 \item %Croquette gagne $5\euro$ à chaque fois qu'il rattrape une souris et perd $10\euro$
%à chaque fois que la souris retombe au sol.\\
%On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le gain de Croquette lors d'un match (donc lors de deux lancers).
 \begin{enumerate}
  \item %Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
  Tout le monde a su faire.
  \item %Donner la loi de probabilité de $X$.
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $x_i$ & $-20$ & $-5$ & $10$ \tabularnewline\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $P(X=x_i)$  & $0.09$ & $ 0.42$ & $ 0.49 $\tabularnewline\hline
\end{tabular}
   \item %Calculer $E(X)$. Interpréter.
   $E(X)=-20\times 0.09 - 5 \times 0.42 + 10 \times 0.49=1$\\
   Sur un grand nombre de matchs, Croquette peut espérer gagner environ $1\euro$ par match.
   \item %Calculer $V(X)$.
   $V(X)=E(X^2)-E(X)^2 = 95,5-1^2=94,5$
    \item %Calculer $\sigma(X)$. Interpréter.
    $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} \simeq 9.72$\\
    Le jeu de Croquette est risqué, car il peut espérer gagner $1\euro$ par partie alors que l'écart-type des 
    valeurs autour de l'espérance est de plus de $9\euro$.
    \item %Croquette a joué 433 matchs cette année. Estimer son gain.
    Croquette a gagner environ $433\euro$, car environ $1\euro$ par match.
 \end{enumerate}
 \item %En Egypte, les chats jouent au même jeu que Croquette, mais cette fois-ci, le taux de la Livre Egyptienne (LE) est de 
 %$8$ LE pour $1 \euro$. \\
 %De plus, un chat doit payer $10$ LE pour jouer et cette mise de départ ne lui est remboursée
 %dans aucun cas.\\
 %On appelle $Y$ la variable aléatoire qui compte le gain d'un chat en LE lors d'un match.
 \begin{enumerate}
  \item %Exprimer la variable aléatoire $Y$ en fonction de la variable aléatoire $X$ du 1).
  $Y=8X-10$
   \item %En déduire l'espérance, la variance et l'écart-type de $Y$.
   Ainsi $E(Y)=8E(X)-10 = -2$, $V(Y)=8^2V(X)=6048$ et $\sigma(Y)\simeq 77.8$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoF} \hfill (4 points)
% Anouk et Wanda participent à deux jeux différents. Les variables aléatoires $A$ et $W$ donnant leurs gains respectifs ont les lois
% de probabilités suivantes :
% \begin{center}
%\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|}
%\hline
%\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $k$ & $-2$ & $-1$ & $0$  & $1$ & $2$ & $3$\tabularnewline\hline
%\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $P(A=k)$  & $0.1$ & $ 0.3$ & $ 0.1 $ & $0.3$ & $ 0.1$ & $ 0.1 $\tabularnewline\hline
%\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $P(W=k)$  & $0.3$ & $ 0.1$ & $ 0.1 $ & $0.2$ & $ 0.1$ & $ 0.2 $\tabularnewline\hline\end{tabular}
%\end{center}

%\textbf{A l'aide de la calculatrice} (inutile d'écrire les formules sur votre copie) :
\begin{enumerate}
 \item %Donner et comparer $E(A)$ et $E(W)$. Interpréter.
 $E(A)=E(W)=0.3$ \quad 
Les deux jeux sont autant favorables aux joueurs. 
  \item %Donner et comparer $\sigma(A)$ et $\sigma(W)$. Interpréter.
 $\sigma(A)\simeq 1.48$ et $\sigma(W) =1.9$.\\
 Le jeu de Wanda est le plus risqué pour la même espérance, il vaut donc mieux choisir le jeu de Anouk.
\end{enumerate}
\end{ExoF}




\begin{ExoF} \hfill (6 points)
%\begin{minipage}{12cm}
 %Une roue d'une loterie est divisée en six secteurs de même aire : 1 Rouge (R), 2 jaunes (J) et 3 verts (V).\\
%On fait tourner la roue, et lorsqu'elle s'arrête, un repère fléchée indique l'un des six secteurs de manière équiprobable. \\

%Un joueur perd $2\euro$ si la flèche indique un secteur Vert, gagne $0.50\euro$ si la flèche indique un secteur Jaune et 
%$x$ euros si la flèche indique un secteur Rouge.\\
%On appelle $G$ la variable aléatoire qui donne le gain du joueur.
%\end{minipage} \hspace{0.5cm}
%\begin{minipage}{4.5cm}
% \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-0.2,-2.2)(6.2,4.2)
%\pscircle(3,1){2.4}
%\psline(0,1)(6,1)
%\psline(4.52,3.59)(1.5,-1.6)
%\psline(1.51,3.6)(4.49,-1.6)
%\rput[lt](4.1,2.3){\parbox{1.3 cm}{\begin{center} 1 \\ Rouge\end{center}}}
%\rput[lt](2.3,4){\parbox{1.3 cm}{\begin{center} 2 \\ Jaune\end{center}}}
%\rput[lt](0.6,3){\parbox{1.3 cm}{\begin{center} 3 \\ Jaune\end{center}}}
%\rput[lt](0.6,1){\parbox{1.3 cm}{\begin{center} 4 \\ Vert\end{center}}}
%\rput[lt](2.3,-0.1){\parbox{1.3 cm}{\begin{center} 5 \\ Vert\end{center}}}
%\rput[lt](4.1,1){\parbox{1.3 cm}{\begin{center} 6 \\ Vert\end{center}}}
%\end{pspicture*}
%\end{minipage}
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item %Donner la loi de probabilité de $G$ en fonction de $x$.
  \begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $g_i$ & $-2$ & $0.5$ & $x$  \tabularnewline\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $P(G=g_i)$  & $\dfrac12$ & $ \dfrac13$ & $ \dfrac16 $ \tabularnewline\hline
\end{tabular}
 \item %Calculer $E(G)$ en fonction de $x$.
 $E(G)=-2\times \dfrac12 + 0.5 \times \dfrac13 + x \times \dfrac16 = -1+\dfrac16+\dfrac{x}{6} = \dfrac{-5+x}6$
 \item %Comment choisir $x$ pour que le jeu soit équitable ?
 Le jeu est équitable pour \quad $E(G)=0 \iff \dfrac{-5+x}6= 0 \iff x=5$
       \end{enumerate}
 \item %On donne l'algorithme suivant :
 %\Algo[Roulette]{12.5cm}{
%\Var{ 
% Secteur, i, N  sont des nombres entiers\\
% Effectif est une liste à trois éléments}
%\Deb{
%  Saisir  N \\
%  Effectif[1], Effectif[2] et Effectif[3] prennent la valeur $0$.\\
% %$x$ prend la valeur d'un entier aléatoire de 1 à 6.\\
%%$j$ prend la valeur $1$.\\
%  \For{i allant de 1 à N}
 %   {Secteur prend la valeur d'un entier aléatoire entre 1 et 6\\
 % \IfThenElse{ Secteur $==1$ }
 %   {Effectif [1] prend la valeur Effectif[1]+1 }
 %   {\IfThenElse{Secteur $==2$ OU Secteur $==3$}
 %     {Effectif [2] prend la valeur Effectif[2]+1 }
%	{Effectif [3] prend la valeur Effectif[3]+1 }
 %   }
  %  }
   % 
   %    Afficher \og Vous avez obtenu Effectif[1] fois le secteur Rouge\fg\\ 
   %    Afficher \og Vous avez obtenu Effectif[2] fois le secteur Jaune.\fg\\
   %    Afficher \og Vous avez obtenu Effectif[3] fois le secteur Vert.\fg
%}
%}
\begin{enumerate}
 \item %Que fait cet algorithme ? 
 Cet algorithme simule l'expérience décrite dans l'exercice et compte le nombre de fois où la roue a désigné
 chacun des secteurs.
 \item %Préciser le rôle de chacune des variables.
 Secteur désigne la couleur du secteur de la roue.\\
 $i$ est un compteur utilisé dans la boucle.\\
 $N$ désigne le nombre d'expériences faites.\\
 Effectif[1] compte le nobmre de fois où l'on a obtenu le secteur Rouge, Effectif[2] le secteur Jaune et
 Effectif[3] le secteur Vert.
  \item %Que doit-on rajouter si l'on veut que l'algorithme renvoit aussi le gain moyen d'un joueur par partie ?
  On doit ajouter la variable Moy qui est un nombre et à la fin la ligne :
  $$\text{Moy}=\left(5 \times \text{Effectif}[1] + 0.5 \times \text{Effectif}[2] -2 \times \text{Effectif}[3] \right)/N$$
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}












\end{document}
