\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 9}
\newcommand{\Ch}{Pourquoi avons-nous d\'eriv\'e ?}
\newcommand{\Cl}{1G6}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

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\footskip=30pt

\setcounter{NumLecon}{8}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\Chacha{Riuk.eps}{Death Note}{Oba et Obata}  					% Image + titre + Auteur
{Si les gens ne croient pas que les mathématiques sont simples, c’est seulement parce qu’ils ne 
réalisent pas combien la vie est compliquée !}{John Louis von Neumann}		% Citation + Auteur
{\textit{Death Note} est un manga de type shônen, créé par le scénariste Tsugumi Oba et le dessinateur Takeshi Obata. 
Il a été prépublié dans un journal de 2003 à 2006, et par la suite publiée en douze tankôbon de 2004 à 2006.\\
L’histoire est centrée sur \textit{Raito Yagami}, un lycéen surdoué qui juge le monde actuel criminel et corrompu.
Sa vie change du tout au tout le jour où il ramasse par hasard un mystérieux cahier intitulé « Death Note ».
Ancienne propriété d’un dieu de la mort, le Death Note permet à son utilisateur de tuer toute personne dont il connaît le nom et
le visage. Raito décide d’utiliser le Death Note pour exterminer les criminels, dans le but d’éradiquer le Mal et de bâtir un monde parfait 
dont il sera le dieu.\\
Mais les nombreuses morts inexpliquées de criminels à travers le monde attirent l’attention d’Interpol et 
du mystérieux \textit{L}, un détective capable de résoudre n’importe quelle énigme, mais dont personne ne connaît ni 
le visage ni le nom. L décide d’enquêter pour capturer le tueur en série, surnommé par le grand public \og Kira \fg.
Entre Raito et L, tous deux persuadés d’agir pour la justice, s’engage un combat acharné pour découvrir 
en premier l’identité de l’autre...
} 						% Présentation auteur
{0.9}		% Ratio portrait
{0.8}		% Ratio Image
{\item Découvrir les applications de la fonction dérivée
 \item Connaître les formules pour trouver une fonction dérivée
\item Savoir étudier un sens de variation d'une fonction en utilisant sa dérivée.
}

\TITRE{L.eps}{0.45} 						% Image 1ere page + ratio
%\begin{abstract}
 
 %\newpage
 
\Cadre[Rappels]{%Soient $a$, $b$ et $h$ des réels tels que $a\neq b$ et $h\neq 0$.
Soient $a$ et $h$ deux réels tels que $h\neq 0$.
\begin{enumerate}
% \item Taux de variation d'une fonction $f$ entre $a$ et $b$ :   $$\tau=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
%\item Taux de variation d'une fonction $f$ entre $a$ et $a+h$ : $$\tau(h)=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
\item Si $\Lim[h]{0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ \textbf{existe et est un nombre réel $\ell$}, alors 
le nombre dérivée en $a$ de la fonction $f$ est le nombre $\ell$, noté $f'(a)$, et donc tel que :
$$f'(a)=\Lim[h]{0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
\item Si $f$ est dérivable en $a$, alors \textbf{$f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente} à la courbe représentative de $f$ 
au point d'abscisse $a$.\\
Plus exactement, l'équation réduite de cette tangente est : $$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$
\item $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ si $f$ est dérivable en tout $a$ appartenant à $I$.\\
On note $f'$ la fonction ainsi définie, qui à tout $x\in I$ associe le nombre dérivé $f'(x)$. 
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{5cm}|>{\centering}p{4cm}|>{\centering}p{4cm}|}
\hline
\multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $f(x)$} & 
\multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {$f'(x)$} & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} 
{Domaine de d\'erivabilit\'e} \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $k$ (nombre fix\'e) & 0 & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $x$ & 1 & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $ax+b$ ($a$ et $b$ fixés) & $a$ & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $x^2$ (fonction carr\'ee) & $2x$ & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $\dfrac{1}{x}$ (fonction inverse) & $-\dfrac{1}{x^2}$ & $\R\textbackslash\{0\}$ \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $x^n$, $n \in \Z^*$ (fonction puissance) & $nx^{n-1}$ & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $\sqrt{x}$ (fonction racine) & $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ & $\R^{+*}$ \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}
}

\newpage

\section{Applications}
\subsection{Signe de la dérivée et variation}

\begin{act}
\begin{enumerate}
\begin{minipage}{9cm}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac13 x^3-2x^2+3x+1$.\\
Sur Géogébra, on a tracé la courbe $\mathscr C_f$ représentant la fonction $f$ et placé un point $A \in\mathscr C_f$,  
d'abscisse $a$.
\item \textbf{Rappels :}
 \begin{enumerate}
  \item Donner l'ordonnée de $A$ en fonction de $a$.
 %\item Rappeler l'interprétation graphique de $f'(a)$.
 \item %En déduire graphiquement les valeurs de $f'(a)$ pour $a=0$, $a=2$ et $a=4$, ainsi que les équation des tangentes
 %à $\mathscr C_f$ aux mêmes points.
 On donne $f'(x)=x^2-4x+3$ pour tout $x\in\R$.\\
 En déduire les équations des tangentes à $\mathscr C_f$  au point d'abscisse $a$ pour $a=0$, $a=2$, $a=4$ et $a=-1$.
  \end{enumerate}
\end{minipage} \qquad 
\begin{minipage}{10cm}
\newrgbcolor{ffqqtt}{1 0 0.2}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(5,4)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-2)(5,4)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=7pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle, labels=none,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-2,-2)(5,4)
\psline(5.7,3.32)(6.79,3.32)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=ffqqtt,plotpoints=200]{-2.0}{5.0}{1/3*x^3-2*x^2+3*x+1}
\psline[linestyle=dotted](2,1.67)(2,0)
\psdots[dotstyle=*](6.06,3.32)
\rput[bl](5.94,3.44){$a = 2$}
\rput[bl](-1.2,-1.7){\ffqqtt{$\mathscr C_f$}}
\psdots[dotstyle=x](2,1.67)
\rput[bl](2,1.85){{$A$}}
\rput[bl](1.84,-0.4){\darkgray{$a$}}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\rput[bl](0.5,-0.5){\darkgray{$\vec i$}}
\rput[bl](-0.5,0.3){\darkgray{$\vec j$}}
\rput[tr](-0.05,-0.15){\darkgray{$O$}}
\end{pspicture*}
\end{minipage}
 \item \textbf{Lien entre la dérivée $f'$ de $f$ et les variations de $f$ }:\\
 Sur Géogébra, on a désormais tracé la tangente $T$ en $A$ à la courbe $\mathscr C_f$.
 \begin{enumerate}
  \item En observant la figure dynamique vidéo-projetée, conjecturer :
 \begin{enumerate}
  \item Les valeurs de $a$ pour lesquelles \quad $f'(a)=0$ \qquad $f'(a) >0$ \quad et \quad $f'(a)<0$.
  \item Le tableau de signes de la fonction $f'$.
  \item Le tableau de variations de $f$.
   \end{enumerate}
 \item Quel lien peut-on remarquer entre ces deux tableaux ? L'expliquer de façon intuitive.
 \item On a désormais tracé la courbe $\Gamma$ représentative de la fonction $f'$ et placé un point $M \in \Gamma$,
 de la même abscisse que $A$, donc $x_M=a$.
 \begin{enumerate}
  \item Quelle est l'ordonnée de $M$ ?
 % \item Comment peut-on lire graphiquement son ordonnée de deux manières différentes ?
  \item Que se passe-t-il pour la fonction $f$ sur un intervalle où la courbe $\Gamma$ est en-dessous de l'axe 
  des abscisses ? Au dessus ? Quand elle coupe l'axe des abscisses ?
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 \item \textbf{Applications :}
 \begin{enumerate}
  \item On donne le tableau de signes sur $\R$ de la dérivée $g'$  d'une fonction $g$.
 \begin{center}
  \begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /0.7,Signe de $g’(x)$/1,Variations de $g$/3 }{$-\infty$,$2$,$6$, $+\infty$}% 
\tkzTabLine{ , - , z , + ,z , - }
\end{tikzpicture} 
 \end{center}
 On sait de plus que $g(2)=-3$ et $g(6)=4$.\quad 
 Conjecturer le tableau de variation de $g$.
  \end{enumerate}
 \item On appelle $h$ la fonction cube. 
 \begin{enumerate}
  \item En utilisant le signe de $h'$, retrouver les variations de $h$.
  \item Que se passe-t-il pour $h$ quand $h'(x)=0$ ? Quelle est la différence avec les fonctions vues précédemment ?
  \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{act}
\begin{theo}
 Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$
\begin{enumerate}
\item $f$ est strictement croissante sur $I$ si, et seulement si pour tout réel $x$ de $I$, $f'(x)\geq 0$
\item $f$ est constante sur $I$ si, et seulement si pour tout réel $x$ de $I$, $f'(x)=0$
\item $f$ est strictement décroissante sur $I$ si, et seulement si pour tout réel $x$ de $I$, $f'(x)\leq 0$
\end{enumerate}
\end{theo}

\Rq{
On comprend facilement ce théorème en interprétant le nombre dérivée d'une fonction en un point comme le
coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de cette fonction en ce point. \\
La démonstration formelle utilise des notions non au programme.
}

\Dem[Hors Programme]{\begin{itemize}
\item[$ \Rightarrow$)] Soit $x$ un réel de $I$ et $h$ un réel non nul tels que $x+h\in I$.
\begin{enumerate}
\item  $f$ croissante sur $I$ : 
\begin{itemize}
\item Si $h>0$, alors 
$$x+h\geq x \stackrel{f \nearrow}{\iff} f(x+h)\geq f(x) \Longleftrightarrow f(x+h)-f(x) \geq 0 \stackrel{h>0}{\iff} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \geq 0$$
\item Si $h<0$, alors 
$$x+h\leq x \stackrel{f \nearrow}{\iff} f(x+h)\leq f(x)\Longleftrightarrow f(x+h)-f(x)\leq 0 \stackrel{h<0}{\iff} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \geq 0$$
\end{itemize}
Dans tous les cas $ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\geq 0$\\
$f$ est dérivable en $x$ donc $\Lim[h]{0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ existe et est le nombre réel $f'(x)$.\\
Ainsi $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ devient aussi proche que l'on veut de $f'(x)<0$ 
à condition de prendre $h$ assez proche de $0$.\\
Supposons $f'(x)<0$. Alors, à condition de prendre $h$ assez proche de $0$, on peut trouver une valeur de 
$\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ comprise dans l'intervalle non vide $[f'(x);0[$. \\
Ceci est absurde car $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ est $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ positif. 
\quad Donc $f'(x)\geq 0$.
\item Si $f$ est constante sur $I$, alors 
$$f(x+h)=f(x) \iff \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=0 \iff \Lim[h]{0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=0 \iff f'(x)=0$$
\item De façon analogue à la première partie, on démontre cette fois que 
$$ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\leq 0$$
On sait que si l'on donne à $h$ des valeurs proches de $0$, alors $ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ prend 
des valeurs négatives. On admet alors ici que sa limite en $0$ est aussi négative, i.e que $f'(x)\leq 0$
\end{enumerate}
\item[$\Leftarrow$)] Utilise la définition formelle de la limite.
\end{itemize}
}

\Expl{
Soit $f$ la fonction définie par :
$$f(x) = \dfrac{x^2+1}{-3x^2+2x-1}$$
\begin{enumerate}
 \item Déterminer le domaine de définition de fonction $f$.
 \item On donne 
 $$f'(x)=\dfrac{2\left(x^2-4x-1\right)}{\left(-3x^2+2x-1\right)^2}$$
 \begin{enumerate}
   \item Etablir le tableau de signes de $f'$.
  \item En déduire les tableaux de variations de $f$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\subsection{Extremum local}
%\begin{defi}
% On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de $I$.
%\begin{itemize}
%\item Dire $f(a)$ est un \textbf{maximum local} (resp. \textbf{minimum local}) de $f$ 
%signifie que l'on peut trouver un intervalle \textbf{ouvert $J$} inclus dans $I$ et contenant $a$ tel que 
%pour tout $x$ de $J$ on ait $f(x)\leq f(a)$ (resp. $f(x)\geq f(a)$)
%\item Dire que $f(a)$ est un \textbf{extremum local} signifie soit que $f(a)$ est un maximum local,
%soit que $f(a)$ est un minimum local.
%\end{itemize}
%\end{defi}

\begin{propo}
 On considère une fonction $f$ dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $a$ un réel de $I$.\newline
Si $f'$ s'annule en $a$ \textbf{en changeant de signe}, alors $f(a)$ est un extremum local.
\end{propo}


\begin{multicols}{2}
\begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /1,Signe de $f’(x)$/1,Vairations de $f$/2}{$ $,$a$,$ $}% 
\tkzTabLine{ , - , z , + , }% 
\tkzTabVar{+/ $ $ , -/ , +/$ $ } 
\tkzTabTan[]{1}{2}{2}{$ f(a) $} 
\end{tikzpicture} 

\begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /1,Signe de $f’(x)$/1,Variations de $f$/2}{$ $,$a$,$ $}% 
\tkzTabLine{ , + , z , - , }% 
\tkzTabVar{-/ $ $ , +/ , -/$ $ } 
\tkzTabTan[pos=below]{1}{2}{2}{$ f(a) $} 
\end{tikzpicture} 
\end{multicols}

\begin{minipage}{12cm}
\Expl{Soit fonction $f$ définie sur $[-3;2]$ dont le tableau de variations est donné ci-dessous.
\begin{center}
 \begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /1,Signe de $f’(x)$/1,Variations de $f$/2}{$-3$,$-1.2$,$0.6$,$2$}% 
\tkzTabLine{, +, z , - , z , + , }% 
\tkzTabVar{-/, +/$2.1$ , -/$-0.6$, +/ } 
\end{tikzpicture} 
\end{center}
Ci-contre, on a dessiné la représentation graphique de $f$.\\
On constate bien que $2,1$ est un extremum local car pour tout $x\in [-2;0]$ on a $f(x)\leq 2,1=f(-1,2)$ \newline
De même, $f(0,6)=-0,6$ est un minimul local car pour tout $x\in[0;1]$ on a $f(x)\geq -0,6$}
\end{minipage}
\quad 
\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-2.1)(2.1,3.1)
\def\xmin{-3} \def\xmax{2} \def\ymin{-2} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.1,-2.1)(2.1,3.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 1 sub x 2 add mul x mul}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-5}{5}{\F}
\psline[linestyle=dotted](-1.2,0)(-1.2,2.1)
\psline[linestyle=dotted](-1.2,2.1)(0,2.1)
\psline[linestyle=dotted](0.6,0)(0.6,-0.6)
\psline[linestyle=dotted](0.6,-0.6)(0,-0.6)
 \uput[ur](1.2,1){$\mathscr C$}
  \uput[u](0.6,0){$0.6$}
   \uput[l](0,-0.6){$-0.6$}
    \uput[r](0,2.1){$2.1$}
    \uput[d](-1.2,0){$-1.2$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}


\begin{propo}
 On considère une fonction $f$ dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $a$ est un réel de $I$.\newline
Si $f(a)$ est un extremum local de $f$, alors $f'(a)=0$
\end{propo}

\Rqs{
\item Nous admettrons ces deux propositions.
\item La réciproque de la deuxième proposition est fausse.
}


\begin{minipage}{12cm}
\Cexpl{Considérons la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^3$. On sait que $f'(x)=3x^2$.\\
Donc on a le tableau suivant
\begin{center}
 \begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /1,Signe de $f’(x)$/1,Variations de $f$/2}{$-\infty$,$0$,$+\infty$}% 
\tkzTabLine{, +, z , + , }% 
\tkzTabVar{ -/,R/, +/  } 
\tkzTabVal[draw]{1}{3}{0.5}{}{$0$}
\end{tikzpicture} 
\end{center}
Ci-contre, on a dessiné la représentation graphique de $f$.\\
On constate bien qu'il n'y a pas d'extremum local en $0$.}
\end{minipage}
\quad 
\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-2.6,-3.1)(4,3.1)
\def\xmin{-2.5} \def\xmax{4} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.6,-3.1)(4,3.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 3 exp}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1.5}{1.5}{\F}
 \uput[ur](1,1){$\mathscr C : y=x^3$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}


\begin{ExoF}
On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ sur $\R$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout $x\in\R$, $f(-x)=-f(x)$.\\
\textit{On dit que $f$ est une fonction \textbf{impaire}.}
\item On donne $f'(x)=\dfrac{1-x^2}{\left(1+x^2\right)^2}$ pour tout $x\in\R$.
\begin{enumerate}
 \item Dresser le tableau de signe de la fonction $f'$.
 \item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
 \item Préciser les extrema locaux de $f$.
\end{enumerate}
\item Tracer la représentation graphique de la fonction $f$ à la calculatrice sur l'intervalle $[-4;4]$
et vérifier graphiquement vos résultats.
\item Quelle symétrie présente cette courbe ?\\
\textit{Les courbes représentatives de fonctions impaires sont symétriques par rapport à $\ldots$}
\end{enumerate} 
\end{ExoF}

\begin{minipage}{10cm}
\begin{ExoF}
Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij.
  
On considère une fonction $f$ dérivable sur l'intervalle $[-3~;~2]$. 

On dispose des informations suivantes: 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  $f(0) = -1$. 
\item[$\bullet~$]la dérivée $f^{\prime}$ de la fonction $f$ admet la courbe représentative $\mathcal{C}'$ 
ci-contre.\\
\end{itemize}
\noindent Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
\setlength\parindent{0mm} 
\end{ExoF}
\end{minipage}
\qquad
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(-3.2,-2.2)(2.2,2.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](-3,-2)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=4,Dy=4](0,0)(-3.2,-2.2)(2.2,2.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=4,Dy=4]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{2}{x 1 add 2 x sub mul 0.5 mul 2.71828 x 2 div exp mul}
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-3,-1.133)(-2,-0.7333)(-1,0)(0,1)(0.5,1.4333)(1,1.6666)(1.6666,1)(2,0)
\uput[d](-2.7,-1.2){$\mathcal{C}'$}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{minipage}


 
\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-3, -1],\: f^{\prime}(x) \leqslant 0$. 
\item La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[-1
~;~ 2]$. 
\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-3~;~2], \:f(x) \geqslant -1$. 
\item Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$.
 
La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0 passe par le point de coordonnées (1~;~0). 
\end{enumerate} 


\section{Opérations sur les fonctions dérivées}

\begin{act}
 Soient $f$, $g$ et $h$ les fonctions définies par :
$$u(x)=5x-7 \qquad \qquad v(x)= -3 x^2 + 2x-1 \qquad\qquad f(x)=(5x-7)(-3x^2+2x-1) \qquad \qquad g(x)=\dfrac{5x-7}{-3x^2+2x-1} $$
\begin{enumerate}
 \item Déterminer les domaines de définition des fonctions $u$, $v$, $f$ et $g$.
 \item On donne 
 $$u'(x)=5 \qquad \qquad v'(x)=-6x+2 \qquad \qquad f'(x)=-45x^2+62x-19 \qquad \qquad g'(x)=\dfrac{15x^2-42x+9}{(5x-7)^2} $$
 \begin{enumerate}
  \item Aviez-vous les formules nécessaires pour retrouver $u'$, $v'$, $f'$ et $g'$ ?
  \item Calculer et simplifier $u'v+v'u$. Que constatez-vous ?
  \item Calculer et simplifier $u'v-v'u$. Que constatez-vous ?
  \item Etablir les tableaux de signes de $f'$ et $g'$.
  \item En déduire les tableaux de variations de $f$ et $g$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{act}

\vspace{2cm}

On a déjà vu le côté pratique de connaître les fonctions dérivées pour établir les variations d'une fonction.
Voyons désormais quelques formules pour trouver les dérivées plus simplement qu'avec la limite du taux de variations.\\

Dans le tableau suivant, $u$ et $v$ sont deux \textbf{fonctions} d\'erivables sur un intervalle I et $k$ d\'esigne un nombre r\'eel.\newline
Remarquons que les fonctions ci-dessous sont d\'erivables sur I.

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{13cm}|}
\hline
\multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-2ex]{0pt}{6ex} Fonctions} & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {D\'eriv\'ees} & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {Exemples}\tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $ku$ & $ku'$ & Si $f(x)=5x^3$ \quad alors \quad $f'(x)=5\times 3x^2 = 15x^2$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $u+v$ & $u'+v'$ & Si $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ \quad alors \quad  $f'(x)=1+\left(-\dfrac1{x^2} \right) = 1-\dfrac{1}{x^2}$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $u\times v$ &  $u'v+uv'$ & Si $f(x)=x\sqrt{x}$ \quad alors \quad  $f'(x)=1 \times \sqrt{x}+x \times\dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \dfrac{x}{2\sqrt{x}} = \dfrac{2x+x}{2\sqrt{x}} = \dfrac32\sqrt{x}$  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $u^n$, $n \in \Z^*$ &  $nu'u^{n-1}$ & Si $f(x)=(5x+3)^7$ \quad alors \quad  $f'(x)=7\times 5 \times (5x+3)^6 = 35(5x+3)^6$  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $\dfrac{1}{v}$ & $-\dfrac{v'}{v^2}$ & Si $f(x)=\dfrac{1}{x^2-1}$ \quad alors \quad  $f'(x)=-\dfrac{2x}{(x^2-1)^2}$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $\dfrac{u}{v}$ &$\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ & Si $f(x)=\dfrac{3x+2}{4-2x}$ \quad alors \quad  $f'(x)=\dfrac{3(4-2x)-(3x+2)\times(-2)}{(4-2x)^2}=\dfrac{16}{(4-2x)^2}$ \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\textit{Donner ci-dessous les calculs intermédiaires de chaque exemple ...}

\Rq{Notons que nous ne savons pas encore dériver n'importe quelle type de fonction connue. 
Par exemple, nous ne savons pas 
dériver les fonctions trigonométriques, ni les fonctions du type $\sqrt{3x-1}$.\\
Et pour les fonctions contenant une valeur absolue, on doit les écrire sans, ou alors distinguer les cas.
}

\Dem[HP]{Ces formules s'obtiennent en revenant à la définition du nombre dérivé.
\begin{enumerate}
\item Pour tous réels $a$ et $a+h$ de l'intervalle $I$, avec $h\neq 0$ on a :
$$ \dfrac{(ku)(a+h)-(ku)(a)}{h}=\dfrac{ku(a+h)-ku(a)}{h}=k \dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}$$
ce qui tend vers $ku'(a)$ quand $h\longrightarrow 0$
\item Pour tous réels $a$ et $a+h$ de l'intervalle $I$, avec $h\neq 0$ on a :
$$ \dfrac{(u+v)(a+h)-(u+v)(a)}{h}= \dfrac{u(a+h)+v(a+h)-u(a)-v(a)}{h}=\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}+\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}$$
ce qui tend vers $u'(a)+v'(a)$ quand $h\longrightarrow 0$
\item Pour tous réels $a$ et $a+h$ de l'intervalle $I$, avec $h\neq 0$ on a :
\begin{eqnarray*}
 \dfrac{(uv)(a+h)-(uv)(a)}{h}&=& \dfrac{u(a+h)\times v(a+h)-u(a)\times v(a)}{h}\\
&=&\dfrac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)-v(a)u(a+h)+v(a)u(a+h)}{h}\\
&=&v(a)\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}+u(a)\dfrac{v(a+h)+v(a)}{h}
\end{eqnarray*}
ce qui tend vers $u'(a)v(a)+u(a)v'(a)$ lorsque $h\longrightarrow 0$
\end{enumerate}}
\DemS{
\begin{enumerate}
\item[\textbf{4.}] Seul le cas $n=2$ est faisable en $1S$. En effet la démonstration dans le cas où $n$ désigne 
un entier naturel supérieur ou égal à $3$ et beaucoup moins facile et utilise des arguments que nous n'avons 
pas encore abordés$\dots$\newline
Pour $n=2$, donc si $f=u^2=u\times u$, on applique la formule pour la dérivée du produit et on obtient (donc en prenant $v=u$) :
$$ f'=u'u+uu'=2uu'$$
Pour $n=3$, donc lorsque $f=u^3=u^2\times u$, on applique le résultat précédent et la formule du produit (en prenant cette fois $v=u^2$) et on obtient :
$$ f'=u'u^2+u\times 2uu'=u^2u'+2u^2u'=3u^2u'$$
On procéderait de même pour le cas $n=4$, puis pour le cas $n=5$, $\dots$. Cette technique ne permet néanmoins pas de généraliser dans le cas où $n$ est quelconque, c'est pourquoi on utilisera en terminale S un nouveau type de raisonnement (le raisonnement par récurrence), pour généraliser ce type de propriété !!
\item[\textbf{5.}] Pour tous réels $a$ et $a+h$ de l'intervalle $I$, avec $h\neq 0$ on a :
\begin{eqnarray*}
  \dfrac{\dfrac{1}{v}(a+h)-\dfrac{1}{v}(a) }{h}&=&\dfrac{ \dfrac{1}{v(a+h)}-\dfrac{1}{v(a)} }{h}\\
&=& \left(\dfrac{1}{v(a+h)}-\dfrac{1}{v(a)} \right)\times \dfrac1h\\
&=&\dfrac{v(a)-v(a+h)}{v(a+h)v(a)} \times \dfrac1h \\
&=& -\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h} \times \dfrac{1}{v(a+h)v(a)}
\end{eqnarray*}
ce qui tend vers $-v'(a) \times \dfrac1{v(a) \times v(a)} = -\dfrac{v'(a)}{v^2(a)}$ lorsque $h\longrightarrow 0$
\item[\textbf{6.}] On déduit $(\dfrac{u}{v})'$ de la formule précédente et de celle du produit, pour obtenir : 
$$ \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\left(u\times \dfrac{1}{v}\right)'=u'\times \dfrac{1}{v}+u\times \left(-\dfrac{v'}{v^2}\right)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$$
\end{enumerate}
}



\begin{ExoF}
Pour chacune des fonctions $f$ suivantes, donner leur ensemble de définition, calculer leur fonction dérivée, 
puis  dresser leur tableau de variations :
$$f:x\longmapsto \dfrac{5x^2}3 +\dfrac34x+\dfrac16 \qquad  \qquad
f:x\longmapsto x^2\sqrt{2}-x\sqrt{5}+\sqrt{3} \qquad \qquad
f:x\longmapsto -x^3+5x^2-2 $$
$$f:x\longmapsto \dfrac1x +4x \qquad\qquad f:x\longmapsto \dfrac1{2x}-\dfrac12x \qquad\qquad  
f:x\longmapsto \dfrac{-x+2}{2x+5}$$
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Pour chacune des fonctions $f$ suivantes, donner leur ensemble de définition et calculer leur fonction dérivée :
$$f:x\longmapsto (2x+3)\sqrt{x} \qquad\qquad f:x\longmapsto (3\sqrt{x}+1)^4 \qquad\qquad  f:x\longmapsto (5x^4+2x^3-4x+1)\times \dfrac1x$$
$$f:x\longmapsto \dfrac19 - \dfrac1{x^3} \qquad  \qquad  f:x\longmapsto \dfrac{x^2+5x-2}{x^7-4} \qquad\qquad
f:x\longmapsto \dfrac{x^2-x+7}{5} \qquad \qquad  f:x\longmapsto \dfrac{\sqrt{x}}{2x+5}$$

\end{ExoF}



\begin{ExoF}
 Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x^4}{4}-\dfrac32x^2+2x+1$ et $\mathscr C_f$ sa représentation graphique.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer $f'(x)$ pour tout $x\in\R$.
  \item Montrer que pour tout $x\in \R$ on a :
  $$x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)$$
  \item En déduire le tableau de variations de $f$.
  \item Déterminer l'équation de la tangente à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $0$.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
 \item Soit $g$ la fonction définie sur $\R\setminus\{-4\}$ par $g(x)=2x^3+12x^2+2$
\begin{enumerate}
 \item Etudier les variations de $g$ sur $\R\setminus\{-4\}$.
 \item En déduire le signe de $g(x)$ sur $\R\setminus\{-4\}$.
\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R\setminus\{-4\}$ par $f(x)=\dfrac{x^3-2}{x+4}$.
 \begin{enumerate}
  \item Démontrer que la fonction $f$ est dérivable sur $\R\setminus\{-4\}$ et calculer sa dérivée.
  \item En utilisant les questions précédentes, établir le tableau de variation de $f$ sur $\R\setminus\{-4\}$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Soit $f$ la fonction définie sur $\R\setminus\{1\}$ par $f(x)=\dfrac{2x+3}{x-1}$. On note $\mathscr C_f$ 
sa représentation graphique.
\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\item Soit $A$ le point d'intersection de $\mathscr C_f$ avec l'axe des abscisses. 
Calculer les coordonnées de $A$, puis une équation de la tangente $T_A$ à la courbe $\mathscr C_f$ en $A$
\item Soit $B$ le point d'intersection de $\mathscr C_f$ avec l'axe des ordonnées. 
Calculer les coordonnées de $B$, puis une équation de la tangente $T_B$ à la courbe $\mathscr C_f$ en $B$
\item Vérifier graphiquement vos résultats en traçant $\mathscr C_f$, $T_A$ et $T_B$ à la calculatrice.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=x^3-3x-3$. On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique.
\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $0$.
\item Tracer $T$ et $\mathscr C_f$ sur votre calculatrice.
\item Expliquer pourquoi l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[2;3]$.
\item Donner une valeur approchée de $\alpha$, par défaut, à $10^{-1}$ près.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Le but de cet exercice est de calculer la limite suivante :
$$ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{(1+h)^{2005}-1}{h}$$
Pour cela, on considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(1+x)^{2005}$
\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$. Puis calculer $f'(0)$.
\item Calculer le taux de variation de la fonction $f$ entre $0$ et $h$. 
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{ExoF}




\epigraphe{La vie est faite de hasards contraires aux destinées.}{Johan Sfar}{Issu du film \og Gainsbourg, vie héroïque \fg} 


\end{document}