\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 8}
\newcommand{\Ch}{De la suite dans les id\'ees !}
\newcommand{\Cl}{1G6}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

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\footskip=30pt

\setcounter{NumLecon}{8}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\Chacha{Riuk.eps}{Death Note}{Oba et Obata}  					% Image + titre + Auteur
{Si les gens ne croient pas que les mathématiques sont simples, c’est seulement parce qu’ils ne 
réalisent pas combien la vie est compliquée !}{John Louis von Neumann}		% Citation + Auteur
{\textit{Death Note} est un manga de type shônen, créé par le scénariste Tsugumi Oba et le dessinateur Takeshi Obata. 
Il a été prépublié dans un journal de 2003 à 2006, et par la suite publiée en douze tankôbon de 2004 à 2006.\\
L’histoire est centrée sur \textit{Raito Yagami}, un lycéen surdoué qui juge le monde actuel criminel et corrompu.
Sa vie change du tout au tout le jour où il ramasse par hasard un mystérieux cahier intitulé « Death Note ».
Ancienne propriété d’un dieu de la mort, le Death Note permet à son utilisateur de tuer toute personne dont il connaît le nom et
le visage. Raito décide d’utiliser le Death Note pour exterminer les criminels, dans le but d’éradiquer le Mal et de bâtir un monde parfait 
dont il sera le dieu.\\
Mais les nombreuses morts inexpliquées de criminels à travers le monde attirent l’attention d’Interpol et 
du mystérieux \textit{L}, un détective capable de résoudre n’importe quelle énigme, mais dont personne ne connaît ni 
le visage ni le nom. L décide d’enquêter pour capturer le tueur en série, surnommé par le grand public \og Kira \fg.
Entre Raito et L, tous deux persuadés d’agir pour la justice, s’engage un combat acharné pour découvrir 
en premier l’identité de l’autre...
} 						% Présentation auteur
{0.9}		% Ratio portrait
{0.8}		% Ratio Image
{\item Découvrir la notion de suite numérique et les notations
 \item Différencier deux modes de génération de suites
\item Calculer les termes d'une suite générée par récurrence
\item Construire et exploiter la représentation graphique d'une suite définie par récurrence
\item Algorithme
}

\TITRE{pi.eps}{0.45} 						% Image 1ere page + ratio
%\begin{abstract}
 
 %\newpage
 

\begin{Intro}{Au fil du temps}{
Les suites numériques sont présentes dans bien des 
sciences. Par exemple, on les utilise en biologie
des populations pour décrire le cycle de reproduction des lapins, 
en astronomie dans les lois de répartition des planètes, 
en physique dans la théorie des particules élémentaires, 
en informatique dans les algorithmes et simulations (et via les ordinateurs, dans toutes nos activités numériques). 
Mais cette omniprésence n'est pas un hasard, car tous ces domaines se servent d'équations 
mathématiques. Or les suites occupent une place de choix en mathématiques depuis plus de 2000 ans.\\
Pourquoi un tel intêret, alors qu'il s'agit simplement de ranger une succession infifnie 
de nombres, liés par une loi, comme quand on énumère les jours ? 
Parce que cette simplicité n'est qu'apparente : l'étrange n'est jamais loin.\\

Prenons par exemple la suite des \og puissances de un demi \fg
$\left(u_n\right)_{n\geq 0} : \left(1 ~;~ \dfrac12 ~;~ \dfrac14 ~;~ \dfrac18 ~;~ \dfrac1{16} ~;~ 
\dots ~;~ \left(\dfrac1{2}\right)^n ~;~ \dots \right)$ et la série associée 
$S=1 + \dfrac12 + \dfrac14 + \dfrac18 + \dfrac1{16} + \dots + \left(\dfrac1{2}\right)^n + \dots$ \\
Si ces nombres
représentaient des tiges en bois mesurant chacune la moitié de la précédente (en commençant par 1 mètre), n'est-ce
pas étonnant que la longueur maximale qu'on puisse atteindre en les mettant bout à bout ne dépasse pas 2 mètres,
même avec une infinité de tiges ? Cela a stupéfait les savants qui l'ont découvert au $XVIII^e$ siècle.
Comment admettre que l'infini (le nombre de tiges) puisse être contenu dans le fini (2 mètres) ?
Il s'en est suivi de violentes disputes entre les pro-infini et les contre, qui n'ont fait que s'amplifier
jusqu'au $XX^e$ siècle. Bref, ce sont les suites qui ont introduit l'infini dans l'arithmétique et l'analyse ...\\

Mais si le $XVIII^e$ siècle est un tournant dans l'histoire des suites et de l'infini, leur origine remonte à Archimède
de Syracuse, le mathématicien grec du $III^e$ siècle avant JC. Archimède voulait résoudre une question qui n'avait rien
à voir avec l'infini, le problème de la quadrature du cercle, grande énigme des maths anciennes  : étant donné un cercle,
comment construire une figure de même surface mais composée de carrés ou de triangles (figures que les Grecs savaient 
bien mesurer). Tel était le but d'Archimède ... Au lieu de répondre à son problème, il a découvert les suites et, sans le savoir,
il a mis les mathématiciens sur la voie de l'infini.\\
Comment cela s'est-il produit ? Archimède pensait que la bonne méthode pour \og quarrer \fg le cercle était 
de l'encadrer entre deux figures faites de triangles, puis de faire converger la taille de ces triangles jusqu'à
les faire coïncider (comme si l'on cherchait à emprisonner un objet entre des murs qui se rapprochent). Archimède
choisit comme figures connues et quarrables pour coïncer le cercle, les polygones réguliers, faits de triangles
disposés en pétales de fleur, en commençant par l'hexagone (six côtés, six triangles équilatéraux) : il encadre le cercle
entre l'hexagone inscrit et l'hexagone circonscrit. Ensuite, il passe au dodécagone (12 côtés), puis  il enchaîne
sur le polygone à 24 côtés, puis 48 et enfin 96. A chaque pas, les mesures se rapprochent, mais jamais elles
ne s'égalent ... Il obtient ainsi une suite illimitée de nombres 
connus dont la limite est $2\pi$ et qui fournissent très rapidement une bonne approximation de $\pi$.\\
Las, Archimède ne résoudra jamais le problème de la quadrature du cercle, et pour cause. Les mathématiciens
du $XIX^e$ siècle démontreront qu'il n'a pas de solution, d'où l'expression \og C'est la quadrature du cercle ! \fg.
Mais Archimède a bel et bien inauguré l'histoire des suites, car dans sa méthode, il montre comment calculer
la surface du polygone $n$ en fonction de celui qui précède (le $n-1^{eme}$). 
Le terme $u_n$ défini par le terme $u_{n-1}$, c'est bien là une suite, la première du genre, et qui peut être
prolongée autant que l'on veut ... jusque dans l'infini.\\

Plus tard, les suites furent formalisées par Cauchy, la maîtrise de cet outil a été grandement facilitée 
par l'adoption de la notation indicielle au $XIX^e$ siècle qui consiste à noter chaque nombre d'une suite 
par une même lettre affectée d'un indice. \newline
On doit à Péano la définition d'une suite numérique telle qu'elle est enseigné en première S.
}
\end{Intro}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune



\section{Les suites numériques}

\subsection{Définition}

\Act{\\
\textbf{Partie A : Notations et mode de génération}\\
Il arrive que l'on demande, lors de tests psychotechniques par exemple, de compléter \og logiquement \fg \,
des suites de nombres, comme par exemple:\\
\begin{center}
\begin{minipage}{10cm}
\textbf{Suite } $u ~: \quad 1 ~ , ~  3  ~ , ~  9 ~ , ~  27  ~ , ~  81  ~ , ~  \ldots\ldots  ~ , ~  \ldots\ldots  ~ , ~  \ldots\ldots ~ , ~ \ldots $\\
\textbf{Suite } $v ~: \quad -7 ~ , ~ -3  ~ , ~  1  ~ , ~  5  ~ , ~  9  ~ , ~  \ldots\ldots  ~ , ~  \ldots\ldots  ~ , ~  \ldots\ldots ~ , ~ \ldots $\\
\textbf{Suite } $w ~: \quad 2 ~ , ~ 3 ~ , ~ 5 ~ , ~ 9 ~ , ~ 17 ~ , ~ \ldots\ldots , \ldots\ldots ~ , ~ \ldots\ldots ~ , ~ \ldots  $\\
\textbf{Suite } $z ~: \quad 1  ~ , ~  4  ~ , ~  9  ~ , ~  16  ~ , ~  25  ~ , ~  \ldots\ldots  ~ , ~  \ldots\ldots ~ , ~  \ldots\ldots ~ , ~ \ldots $
\end{minipage}             
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item Observer ces suites et pour chacune, proposer :
 \begin{enumerate}
  \item Des valeurs pour les 3 termes suivants,
  \item Une manière mathématique de les définir. %chacune des suites ci-dessus, appelée $u$, $v$, $w$ et $z$.
 \end{enumerate}
 \item On distingue généralement deux méthodes pour définir une suite  :
        \begin{itemize}
         \item \textbf{par récurrence} 
         \item \textbf{de manière explicite}.
        \end{itemize}
Vous avez dû utiliser ces deux méthodes pour définir les suites ci-dessus.
        \begin{enumerate}
        \item A votre avis, qu'est-ce que cela veut dire ? 
 \item Préciser les suites ci-dessus que vous avez définies par récurrence et celles que vous avez 
 définies de manière explicite.
        \item Quels sont les avantages de l'une ou l'autre de ces deux méthodes ?
        \item Redéfinir les suites ci-dessus en changeant de méthode.
              \end{enumerate}
 \item On considère la suite des nombres premiers.
 \begin{enumerate}
        \item Donner ses dix premiers termes.
        \item Peut-on la définir de manière explicite ? par récurrence ?
       \end{enumerate} 
 \end{enumerate}
\textbf{Partie B : Quelques suites connues}\\
On donne les suites connues suivantes :
$$ \text{Suite de Fibonacci}  \qquad 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ,  \dots\dots  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots$$
$$ \text{Suite de Stern} \qquad 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4,  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots$$
Pour chacune de ces suites :
\begin{enumerate}
 \item Proposer des valeurs pour les 4 termes suivants.
 \item Proposer une définition par récurrence.
\end{enumerate}
}

\begin{defi}
Une \textbf{suite numérique}  est une \textbf{liste infinie et ordonn\'ee de nombres r\'eels}. \\
Les \'el\'ements de cette liste sont appel\'es \textbf{termes} et sont rep\'er\'es par leur position (numéro),
appelée \textbf{rang} ou \textbf{indice} dans la liste.\\
Ainsi, une suite $u$ est une fonction de $\N$ dans $\R$ (définie à partir d'une certaine
position $p$), qui, à chaque nombre entier $n\geq p$, associe un nombre réel $u(n)$, qui est la valeur du terme
d'indice $n$, et que l'on note $u_n$.\\
%$u_n$ est appelé \textbf{terme d'indice} $n$ ou \textbf{de rang} $n$ de la suite.\\
$u_p$ est alors le premier terme de la suite $u$, encore appelé \textbf{terme initial}.
On note $\left(u_n\right)_{n\geq p}$ ou $(u_n)$ l'ensemble des termes de la suite.
\end{defi}


\Rq{
\begin{center}
Le $1^{er}$ terme de la suite $u$ est souvent not\'e $u_0$ (ou $u_1$),\\
Le $2^{\`eme}$ terme de la suite $u$ est souvent not\'e $u_1$ (ou $u_2$)\\ 
\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots \dots\dots\dots\dots\dots \\
\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots \dots\dots\dots\dots\dots \\
Le $n^{\`eme}$ terme de la suite $u$ est souvent not\'e $u_{n-1}$ (ou $u_{n}$)\\ 
\end{center}
Le terme pr\'ec\`edent $u_n$ est $u_{n-1}$, le suivant $u_{n+1}$.\\
On a :
\begin{center}
$\underbrace{\left(u_n\right)_{n\in\N}}_{\text{nom de la suite et rang inital}}=\quad\left(\underbrace{u_0}_{\text{1\up{er} terme}};
\underbrace{u_1}_{\text{2\up{nd} terme}};\hspace{.5cm}u_2\hspace{.5cm};\hspace{.5cm}\dots\hspace{.5cm};
\hspace{.5cm}\overbrace{u_{n-1}\hspace{.5cm};\underbrace{u_n}_{\text{terme de rang $n$}};
\hspace{.5cm}u_{n+1}}^{\text{Trois termes consécutifs}}\hspace{.5cm};\hspace{.5cm}\dots\hspace{.5cm}\right)$
\end{center}
}

\Expls{
\begin{itemize}
 \item La suite de Stern de l'activité est définie par \quad 
 $\left\{ \begin{array}{l} u_0=0\\u_1=1\\ u_{2n}= u_n \\ u_{2n+1}=u_n+u_{n+1} \end{array} \right.  $
 \item Soit la suite $\left(u_n\right)_{n\geq 1}$ définie $ u_n=3n+1$.\quad 
 Calculer les trois premiers termes de la suite.
 \item Soit la suite $\left(v_n\right)_{n\geq 0}$ définie pour tout $n\geq 0$ par $\left\{\begin{array}{l}
  v_0=1 \\ v_{n+1}=3v_n+1
\end{array}\right.$ \quad
Calculer les termes $v_1$ à $v_3$.
 \item Soit la suite $\left(w_n\right)_{n\geq 0}$ définie pour tout $n\geq 0$ par $\left\{\begin{array}{l}
  w_0=10 \\ w_{n+1}=3w_n-2n+1
\end{array}\right.$ \quad
Calculer les termes $w_1$ à $w_3$.
 \item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x+1$ et les suites 
 $\left(u_n\right)_{n\geq 0}$ et 
 $\left(v_n\right)_{n\geq 0}$ définies par 
 $$u_n=f(n) \text{ pour tout } n\geq 0 \quad \text{ et } \quad 
 \left\{\begin{array}{l}
  v_0=1 \\ v_{n}=f\left(v_{n-1}\right)  \text{ pour tout } n\geq 1
\end{array}\right.$$
Calculer les trois premiers termes de la suite $u$ et les termes $v_1$ à $v_3$ de la suite $v$.
\item Calculer les 3 premiers termes de la suite $(u_n)$ définie par :
$$ u_n=\sqrt{n-4}$$
\end{itemize}
}

\Att{
Il ne faut pas confondre $u_{n+1}$ qui est le terme d'indice $(n+1)$, donc le terme qui suit le terme 
d'indice $n$, à savoir $u_n$, 
avec $u_n+1$, qui est la somme de $u_n$, ie du terme d'indice $n$, et de 1.\\
On prendra donc soin d'écrire clairement les indices en bas et en petit pour ne pas s'y perdre ...
}





\newpage

\subsection{Modes de génération}

On distingue principalement deux manières de définir les suites : de manière explicite ou par récurrence. \\

\begin{defi}[Formule explicite]
Soit $p\in\N$. Une suite $(u_n)_{n\geq p}$ est définie de manière explicite lorsqu'il existe une fonction $f$
définie sur $[p ; +\infty[$ telle que :
\begin{center}
$\forall n \geq p$, on a  $u_n=f(n)$
\end{center}
\end{defi}

\Expl{
On se donne $u_n=-2n+1$ pour $n \geqslant0$  \qquad (ici $u_n=f(n)$ avec $f$ d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=-2x+1$.)\\
On a ainsi $u_0=-2 \times 0 +1 = 1$, $u_1=-2 \times 1 + 1 = -1$, $u_2 = -2\times 2 +1 = -3$, 
$u_3 = -6+1 = -5$, $u_4=-8 +1 = -7$, \dots $u_{100}=-199\dots$, etc
}

\Rq{
On peut alors calculer chaque terme de la suite par rapport à son indice.
}

\begin{defi}[Par récurrence]
Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $I$ telle que si $x\in I$ alors $f(x)\in I$.\\
Soit $a$ un nombre réel de $I$ et $p \in \N$.\\
On peut alors définir une suite $u$ en posant :
$\left\{ \begin{array}{l} u_p=a \\ u_{n+1}=f(u_n)\quad  \forall n \geq p \end{array} \right.$
\end{defi}

\Expl{
On se donne $\left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \\ u_{n+1}=-2u_n+1 \end{array} \right.$
\qquad (ici $u_n=f(n)$ avec $f$ d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=-2x+1$.)\\
On a ainsi $u_1=-2u_0+1=-2\times 1+1=-1$, $ u_2=-2u_1+1=-2\times(-1)+1=3$ , $u_3=-2u_2+1=-2\times 3+1=-5$,
etc
}

\Rqs{
\item En fait, on se donne la valeur du premier terme et un procédé appelé \textbf{relation de récurrence} qui permet
de calculer un terme à partir du précédent.
\item On visualise ainsi facilement le lien logique entre les termes.
\item Dans l'exemple pr\'ec\'edent, pour calculer $u_{100}$, il faut conna\^itre $u_{99}$, et pour calculer $u_{99}$, il faut conna\^itre $u_{98}$, ainsi de suite \dots Il est alors pr\'ef\'erable d'exprimer $u_n$ en fonction de $n$ pour calculer $u_{100}$ directement.
}


%\Exop{Soit la suite $(u_n)_{\N^*}$ définie par $u_n= n^2-n$.
%\begin{enumerate}
% \item Calculer $u_0$, $u_{10}$ et $u_{50}$.
% \item Exprimer $u_{n-1}$, $u_{n+1}$, $u_{2n}$ et $u_{3n-1}$ en fonction de $n$.
% \item Démontrer que pour tout entier $n$ on a $u_{n+1}=u_n+2n$.
%\end{enumerate}
%}

\begin{ExoF}
Soit la suite $(v_n)_{\N}$ par 
$\left\{ \begin{array}{l} v_0=2 \\ v_{n+1}=2v_n+3n\quad  \forall n \in\N \end{array} \right.$.
\begin{enumerate}
 \item Calculer $v_1$, $v_{2}$ et $v_{3}$.
 \item Exprimer $v_{n}$, $v_{n-1}$, $v_{2n}$ et $v_{3n-1}$ en fonction du terme approprié de la 
 suite $(v_n)$.
 \item Calculer $v_{n+1}-v_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Soient $(w_n)$ et $(S_n)$ les suites définies sur $\N$ par :
 $$w_n=-n^2+2n \qquad \text{ et } \qquad S_n=w_{n+1}-w_n$$
 \begin{enumerate}
  \item Exprimer $w_{n+1}$ en fonction de $n$.
  \item En déduire l'expression de $S_n$ en fonciton de $n$.
  \item Exprimer $S_{n+1}$ en fonction de $n$.
  \item En déduire que $S_{n+1}-S_n =-2$
 \end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
 On donne :
$$ u_0=1\quad \text{;}\quad u_1=3\quad \text{;}\quad u_2=7 \quad \text{;}\quad u_3=15 \quad \text{;}\quad u_4=31 \quad \text{;}\quad u_5=63 \quad \text{;}\quad u_6=127$$
\begin{enumerate}
\item Proposer une valeur pour $u_7$.
\item Proposer une formule donnant $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. Vérifier qu'elle est correcte sur les premiers termes.
\item Proposer une formule donnant $u_n$ en fonction de $n$. Vérifier qu'elle est correcte sur les premiers termes.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

 
\begin{ExoF}
La suite $u$ est définie, pour tout entier naturel $n$, par $\left\{ \begin{array}{l} u_0=2 \\ u_{n+1}=u_n -3  \end{array} \right.$\\
Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=2-3n$
\end{ExoF}

\begin{minipage}{12cm}
\begin{ExoF}\\
On considère l'algorithme ci-contre.
\begin{enumerate}
 \item Compléter la trace d'exécution de cet algorithme dans le tableau ci-dessous, avec l'entrée $n=5$.
 \begin{center}
\begin{tabular}{*{9}{|>{\centering}m{0.8cm}}|}\hline
 Test & \cellcolor{gray} &&&&& &&\\\hline
 $u$ & $-4$ && && & & &\\\hline
 $i$ & 0 &  & & &&  &  &\\\hline
  \end{tabular}\\
  \end{center}
  \item Que renvoit l'algorithme si on entre la valeur $0$ pour $n$ ?
  \item Soit $n$ un entier naturel et $u_n$ la valeur renvoyée par l'algorithme avec l'entrée $n$.
  \begin{enumerate}
   \item Quel est le rang initial de la suite $(u_n)$ ?
   \item  Quelle relation existe-t-il entre $u_{n+1}$ et $u_n$ ?
  \end{enumerate}
  \item Modifier cet algorithme pour que, lorsuq'on entre un entier $n$, il renvoit la somme des termes
  de la suite $(u_n)$ jusqu'au terme de rang $n$.
\end{enumerate} 
\end{ExoF}
\end{minipage}\qquad
\begin{minipage}{6cm}
 \begin{center}
\Algo{6cm}{
\Entree{$n$ un entier naturel
}
\Variable{ 
$u$ est un nombre réel.\\
$i$ est un entier naturel.
}
\Deb{
  $u \longleftarrow -4$\\
  $i \longleftarrow 0$\\
  \While{$i<n$}
{$u \longleftarrow \dfrac32u+1$\\
$i \longleftarrow i+1$
}
Renvoyer $u$
}
}
\end{center}
\end{minipage} 



\newpage

\begin{ExoF}
On considère la  suite $(v_n)_{n\geq 0}$ définie par  l'algorithme suivant : \\
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
\Algo[Suite $(v_n)$]{8cm}{
\Entree{$n$ un entier naturel
}
\Variable{ 
$v$ est un nombre réel.
}
\Deb{
  $v$ prend la valeur \, $\cos \left(n\dfrac{\pi}{4}\right)+\sin\left(n\dfrac{\pi}{3}\right)$\\
  Renvoyer $v$.
}
}
\end{center}
\end{minipage} 
\begin{minipage}{8cm}
\begin{enumerate}
\item Si l'utilisateur rentre l'entier $n=5$, que renvoit l'algorithme ?
\item Que fait cet algorithme ?
\item Compléter :
$$  \left\{ \begin{array}{l} v_{4n}=\dots \dots \\ v_{4n+1}=\dots \dots  \\ v_{4n+2}=\dots \dots\\ v_{4n+3}=\dots \dots\end{array} \right. $$
%\item Modifier l'algorithme pour qu'il n'affiche que le terme de rang $n$.
\end{enumerate}
\end{minipage} 
 \end{ExoF}
 

\begin{minipage}{11cm}
\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
 \item Compléter la trace d'exécution de cet algorithme dans le tableau ci-dessous, avec l'entrée $n=5$.
 \begin{center}
\begin{tabular}{*{7}{|>{\centering}m{0.8cm}}|}\hline
 $i$ & \cellcolor{gray} &&& &&\\\hline
 $c$ &  \cellcolor{gray}  &  & &   &  &\\\hline
 $a$ & $1$  && & & &\\\hline
 $b$ & $2$ &  & &   &  &\\\hline
 \end{tabular}\\
  \end{center}
  \item Si l'utilisateur choisit l'entier $n=7$, que renvoit l'algorithme ?
\item On considère la  suite $(u_n)$ définie par  l'algorithme ci-contre.\\ 
Donner une définition par récurrence de la suite $(u_n)$.
\item Proposer une définition explicite de $u_n$ en fonction de $n$.
\item Modifier alors l'algorithme pour qu'il ne calcule et ne renvoit que le terme de rang $n$ 
de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\end{minipage}\qquad
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\Algo{7cm}{
\Entree{$n$ un entier naturel ($n \geq 2$).
}
\Variable{ 
$a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels.\\
$i$ est un nombre entier.
}
\Deb{
$a:=1$\\
$b:=2$\\
  \For{i allant de 2 à $n$\, }
{$c:=5b-6a$ \\
$a:=b$ \\
$b:=c$\\
Renvoyer $c$.
}
}
}
\end{center}
\end{minipage} 


\begin{ExoF}
 On considère les suites $(w_n)$ et $(s_n)$ définies par les algorithmes suivants :\\
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\Algo[Suite $(w_n)$]{7cm}{
\Entree{
$n$ est un entier naturel.
}
\Variable{ 
$w$  est un nombre réel.\\
$i$ est un nombre entier naturel.
}
\Deb{
  $w$ reçoit la valeur $4\times (-2)^n+1$\\
  Renvoyer $w$.
}
}
\end{center}
\end{minipage} \qquad
\begin{minipage}{11cm}
\partieBac{La suite $w$}
\begin{enumerate}
\item Si l'utilisateur choisit l'entier $n=5$, que renvoit l'algorithme 4 ?
\item Proposer une définition pour la suite $(w_n)$.
\item Modifier l'algorithme pour que, lorsqu'on entre un entier $n$, il renvoit la liste des termes de la suite $(w_n)$ jusqu'à $w_n$.
\end{enumerate}
\end{minipage} 

\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\Algo[Suite $(s_n)$]{7cm}{
\Entree{
$n$ est un entier naturel ($n\geq 3$).
}
\Variable{ 
$s$  est un nombre réel.\\
$i$ est un nombre entier naturel.
}
\Deb{
$s:=-1$\\
  \For{$i$ allant de $3$ à $n$}
{$s:=\sqrt{\dfrac{1+s}{2}}$  \\
Renvoyer $s$
}
}
}
\end{center}
\end{minipage} \qquad
\begin{minipage}{11cm}
\partieBac{La suite $s$}
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item  Compléter la trace d'exécution de cet algorithme dans le tableau ci-dessous, avec l'entrée $n=5$.
 \begin{center}
\begin{tabular}{*{7}{|>{\centering}m{0.8cm}}|}\hline
 $i$ & \cellcolor{gray}& &&&&\\\hline
 $s$ &  &  & &  && \\\hline
 \end{tabular}\\
  \end{center}
  \item Que renvoit dans ce cas l'algorithme 5 ?
       \end{enumerate}
%\item Que fait cet algorithme ?
\item Proposer une définition par récurrence de la suite $(s_n)$.
\item Modifier l'algorithme pour qu'il n'affiche que le terme de rang $n$ de la suite $(s_n)$.
\end{enumerate}
\end{minipage} 
\end{ExoF}

\Exos{Repère : 29-34 p 122 (Tableur et calculatrice)\\
TP info en AP : Symbole p 108 (Fibonacci)
}

%\newpage
%Comportement d'une suite}
%\subsection{
\section{Sens de variation d'une suite}

\subsection{Définition et méthodes générales}

\Act{Soient les suites $(u_n)$, $(v_n)$, $(w_n)$  et $(t_n)$ définies sur $\N$ par :
$$u_n=2n+3 \qquad \qquad v_n=5 \times 0.8^n \qquad \qquad w_n=5 \times (-0.8)^n \qquad \text{ et } \qquad 
\left\{\begin{array}{l}
t_0=4 \\ t_{n+1}= t_n-3
 \end{array}\right.
$$
Comparer pour tout $n\in\N$ les termes suivants :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
  \item $u_{n+1}$ et $u_n$.
 \item $v_{n+1}$ et $v_n$.
 \item $w_{n+1}$ et $w_n$.  
\item $t_{n+1}$ et $t_n$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
}

\begin{defi}Soit $(u_n)$ une suite de nombre réels. On dit que la suite $(u_n)$ est 
\begin{itemize}
\item \textbf{croissante} (à partir du rang $p$) si et seulement $u_n\leq u_{n+1}$, $\forall n\geq p$.
\item \textbf{décroissante} (à partir du rang $p$) si et seulement $u_n\geq u_{n+1}$, $\forall n\geq p$.
\item \textbf{monotone} (à partir du rang $p$) si et seulement elle est croissante ou décroissante 
(à partir du rang $p$)
\item \textbf{stationnaire} (à partir du rang $p$) si et seulement si $u_n=u_{n+1}$ pour tout entier 
$n\geq p$ (si la suite est définie à partir du rang $p$ alors on dit que la suite est \textbf{constante})
\end{itemize} 
\end{defi}

\Rq{
%\item 
On définit la stricte croissance ou décroissance à l'aide des inégalités strictes suivantes : 
$$u_n<u_{n+1} \quad \text{ ou } \quad  u_n>u_{n+1}$$
%\item Les intervalles d'entiers sont souvent notés à l'aide de crochets doubles. Par exemple 
%$\text{\textlbrackdbl  2,5  \textrbrackdbl}=\{2;3;4;5\}$.
%Si bien qu'on pourra écrire, par exemple, qu'une suite est croissante sur \textlbrackdbl  $0,+\infty[$  
}

\Cadre[Méthodes pour étudier les variations d'une suite]{
\begin{itemize}
\item[$\blacktriangleright$] On \'etudie g\'en\'eralement le signe de $u_{n+1}-u_n$ selon les valeurs de $n$.
\item[$\blacktriangleright$] Si tous les termes de la suite $u$ sont \textbf{strictement positifs}, 
on peut comparer le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ avec 1.\\
\textit{Ceci se révèle souvent pratique dans le cas où il y a des exposants $n$ dans l'expression de la suite.}
\end{itemize}
}

\Expls{
\begin{enumerate}
\item Soit la suite $(u_n)_{n\in\N}$ est d\'efinie par $u_n=n^2+2$, alors on a
$$u_{n+1}=(n+1)^2+2=n^2+2n+3$$
Ainsi pour tout $n$ on a $u_{n+1}-u_n=2n+1 > 0$ pour tout $n>0$.\\
Donc $u_{n+1} > u_n$ pour tout $n$ : la suite est donc strictement croissante sur $\N$.
\item Soit $(v_n)_{n\in\N}$ d\'efinie par $v_n=2\times5^n$. \\
On a $v_n>0$ pour tout entier naturel $n$ et $$v_{n+1}=2\times 5^{n+1}$$
Ainsi pour tout $n$ on a $$\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\cfrac{5^{n+1}}{5^{n} }=5 >1$$
Donc $v_{n+1}>v_n$ pour tout $n$ : la suite est donc strictement croissante sur \textlbrackdbl  $0,+\infty[$   
\item Etudier de deux manières différentes le sens de variation de la suite $(w_n)_{n\geq 3}$ définie par $$ w_n=\dfrac{3n-1}{n+2}$$ 
 %\item On considère la suite $u$ définie par $u_n=2n+\sin n$\newline
%Étudions, pour tout entier $n$, le signe de la différence de deux termes consécutifs : 
%$$ u_{n+1}-u_n=2(n+1)+\sin (n+1)-2n-\sin n=2+\sin (n+1) - \sin n$$
%Or, $\forall x\in \R$ on a : $-1\leq \sin x \leq 1$, par conséquent :
%$$ 2+\sin (n+1)-\sin n>0\Longleftrightarrow u_{n+1}>u_n$$
%La suite $u$ est donc strictement croissante.
\end{enumerate}
}

\begin{ExoF}
 Soit la suite $(u_n)_{\N}$ définie par $u_n= (-2)^n+3$ et la suite $(v_n)_{\N}$ par 
$\left\{ \begin{array}{l} v_0=4 \\ v_{n+1}=-2v_n+9\quad  \forall n \in\N \end{array} \right.$.
\begin{enumerate}
 \item Pour chacune des suites $u$ et $v$ :
\begin{enumerate}
 \item Déterminer les valeurs des trois premiers termes.
 \item Vérifier à la calculatrice les réponses de la question précédente.
\end{enumerate}
\item Quelle conjecture peut-on émettre sur les suites $u$ et $v$ ? Démontrer cette conjecture.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\subsection{Cas particulier des suites explicites}

\begin{theo}
 On considère la suite $(u_n)_{n\geq p}$ définie \textbf{explicitement} par $u_n=f(n)$, avec $f$ définie sur 
l'intervalle $[p;+\infty[$.\newline
Si la fonction $f$ est monotone (resp. strictement monotone) sur $[p;+\infty[$ alors la suite $(u_n)$ est monotone
 (resp. strictement monotone) et possède le même sens de variation que la fonction $f$
\end{theo}


\Dem{
Si $f$ est strictement croissante sur $[p;+\infty[$, elle conserve l'ordre et on a donc pour tout $n\geq p$ :
$$n<n+1 \iff f(n)<f(n+1)\Longleftrightarrow u_n<u_{n+1}$$
Par conséquent, $(u_n)$ est strictement croissante.\\
De la même manière, si $f$ est strictement décroissante sur $[p;+\infty[$, elle inverse l'ordre et on a 
pour tout $n\geq p$ :
$$n<n+1 \iff f(n)>f(n+1)\Longleftrightarrow u_n>u_{n+1}$$
Par conséquent, $(u_n)$ est strictement décroissante.
}

\Att{\begin{itemize}
\item Le dernier résultat est faux pour les suites définies par récurrence. \\
Par exemple, si $f$ est strictement décroissante et $u_0 <u_1$ alors on a 
$$f(u_0)>f(u_1) \iff u_1 >u_2 \iff f(u_1) < f(u_2) \iff u_2 < u_3 \ldots $$
Ainsi, l'ordre de deux termes consécutifs change à chaque incrémentation. \\
De plus, on ne connait pas l'ordre de $u_0$ et de $u_2$, ni celui de $u_1$ et de $u_3$...

\item La réciproque de la dernière méthode est également fausse i.e que l'on peut trouver une suite croissante, 
par exemple, définie par une fonction non croissante, comme sur le dessin ci-dessous :
\end{itemize}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-0.50)(7,4.50)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.6cm}
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-1)(7,7)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-1,-1)(7,7)
\pscustom[linewidth=0.04]
{
\newpath
\moveto(0,1)
\curveto(0,1)(0.25,0.1)(0.5,1.)
\curveto(0.6,1.7)(1,2)
\curveto(1.1,2.1)(1.4,4.4)(1.5,4.5)
\curveto(1.6,4.4)(1.7,4)(2,3.5)
\curveto(2.5,2.75)(2.75,3.8)(3,4)
\curveto(3.5,4.2)(3.7,4.3)(4,4.5)
\curveto(4.5,4.2)(4.8,4.5)(5,5)
\curveto(5.2,5.5)(5.5,6.5)(6,6)
}
\end{pspicture} 
\end{center}
}


\Expls{Etudier avec cette troisième méthode le sens de variation des suites $(u_n)_{n\in\N}$ et $(w_n)_{n\geq 3}$ définies 
dans l'exemple précédent (pour la suite $(v_n)$, on ne connait pas les fonctions définies sur $\R^+$ 
la définissant.
\begin{itemize}
 \item Soit $f : x \longmapsto x^2+2$ ; définie sur $[0 ; + \infty[$.\\
$f$ est une fonction trinôme et sait qu'elle est strictement croissante sur $[0 ; + \infty[$.\\
Donc $(u_n)$ est aussi strictement croissante sur $\N$.
\item Soit $g:x\longmapsto \dfrac{3x-1}{x+2}$ ; définie sur $[3 ; +\infty[$.\\
On a $g(x)=\dfrac{3x}{x+2}-\dfrac1{x+2}=3\dfrac1{1+\dfrac{2}{x}}+\left(-\dfrac1{x+2}\right)$.\\
Or on a 
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/0.5, Variations de $1+\dfrac2x$/1.5, Variations de $\dfrac1{1+\frac2x}$/1.5,
Variations de $3\dfrac1{1+\frac2x}$/1.5}{$3$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+ /, -/ }
%\tkzTabIma{}{4}{3}{$0$}
\tkzTabVar{- / , +/ }
\tkzTabVar{- / , +/ }
\end{tikzpicture}
et 
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/0.5, Variations de $x+2$/1.5, Variations de $\dfrac1{x+2}$/1.5, 
Variations de $-\dfrac1{x+2}$/1.5}{$3$,$+\infty$}
\tkzTabVar{- /, +/ }
%\tkzTabIma{}{4}{3}{$0$}
\tkzTabVar{+ / , -/ }
\tkzTabVar{- /, +/ }
\end{tikzpicture}
\end{center}
Or la somme de fonctions croissantes est croissante. Donc $g$ est croissante sur $[3 ; + \infty[$.
On en conclut que $(w_n)_{n\geq 3}$ est aussi strictement croissante pour $n\geq 3$.
\end{itemize}
}

\subsection{Cas particulier des suites récurrentes}
\Act{
On considère la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ définie par $\left\{\begin{array}{l}
                                                             u_0=a \\ u_{n+1}=f(u_n)
                                                            \end{array}\right.$
avec $a\in\R$ et $f$ définie sur l'intervalle $[0;+\infty[$.\newline
\begin{enumerate}
 \item On suppose que $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
 \begin{enumerate}
  \item On suppose que $u_0 < u_1$. Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante sur $\N$.
 \item On suppose que $u_0 > u_1$. Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante sur $\N$.
 \item Que peut-on déduire sur le sens de variation d'une telle suite récurrente ?
  \end{enumerate}
 \item On suppose que $f$ est strictement décroissante sur $[0 ; + \infty$.
 \begin{enumerate}
  \item  On suppose que $u_0 < u_1$. Peut-on déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$ ? 
 \item On suppose que $u_0 > u_1$. Peut-on déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$ ? 
 \item Que peut-on déduire sur le sens de variation d'une telle suite récurrente ?
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Cadre[Conclusion]{
  Dans le cas d'une suite $(u_n)$ définie par récurrence à partir d'une fonction $f$, 
  étudier le sens de variation de $f$ ne suffit pas pour conclure sur le sens de variation de $(u_n)$.\\
  On utilisera donc les méthodes du cas général (signe de $u_{n+1}-u_n$ ou comparaison du quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1
  dans le cas où tous les termes sont strictement positifs).
}

\newpage
\section{Représentation graphique}
\subsection{Suites explicites}
\begin{defi}
On se place dans un repère $(O;\vec i, \vec j)$. 
La représentation graphique d'une suite $(u_n)$ définie explicitement est l'ensemble des points de 
coordonnées $(n;u_n)$
\end{defi}

\Expl{Soit $(u_n)$ la suite définie, pour $n\geq 1$, par $$u_n=\dfrac{1}{n} $$
Sa représentation graphique est donc l'ensemble des points \textbf{isolés} de coordonnées $\left(1;1\right)$,
$\left(2,\dfrac{1}{2}\right)$, $\left(3,\dfrac{1}{3}\right)$, $\left(4,\dfrac{1}{4}\right)$, 
$\left(5,\dfrac{1}{5}\right)$, etc$\dots$
}
\begin{center}
\psset{xunit=2cm , yunit=3cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-0.35)(5.35,1.2)
\def\xmin{-1} \def\xmax{5.25} \def\ymin{-0.25} \def\ymax{1.2}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.1,-0.35)(5.35,1.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psdot(1,1) 
\psdot(2,0.5)
\psdot(3,0.33)
\psdot(4,0.25)
\psdot(5,0.2)    
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}


\begin{minipage}{9cm}
 \begin{ExoF}
Soit $f$ la fonction définie par sa courbe représentative $\mathscr C_f$ ci-contre et la suite $u$ de terme général $u_n=f(n)$.
\begin{enumerate}
 \item Lire une valeur approchée des termes de  $u_0$ à $u_5$.
\item Que peut-on dire du comportement des premiers termes de $u$ ?
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\end{minipage}\qquad 
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
%\scalebox{0.8} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(-1,-0.50)(7.02,4.0)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.6cm}
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-1)(7,7)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-1,-1)(7,7)
\pscustom[linewidth=0.04]
{
\newpath
\moveto(0,1)
\curveto(0,1)(0.25,0.1)(0.5,1.)
\curveto(0.6,1.7)(1,2)
\curveto(1.1,2.1)(1.4,4.4)(1.5,4.5)
\curveto(1.6,4.4)(1.7,4)(2,3.5)
\curveto(2.5,2.75)(2.75,3.8)(3,4)
\curveto(3.5,4.2)(3.7,4.3)(4,4.5)
\curveto(4.5,4.2)(4.8,4.5)(5,5)
\curveto(5.2,5.5)(5.5,6.5)(6,6)
}
\uput[0](6.2,6){$C_f$}
\end{pspicture} 
}
\end{center}
\end{minipage}




\Exos{
Repère : n$^{\circ}$ 35-36 p 123 (tracé)
}

\newpage
\subsection{Suites récurrentes}

\Act{
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$.\\
La suite $(u_n)$ est définie par $u_0=3$ et pour tout $n\geq 0$ on a $u_{n+1}=f(u_n)=\sqrt{u_n}$.\\
\textbf{Partie A : Représentation de cette suite dans un repère \Oij}
\begin{enumerate}
 \item Représenter dans un repère \Oij d'unité graphique 5 cm, l'ensemble des points $(n ; u_n)$ pour $n$ entier allant de $0$ à $5$.
 \item Que peut-on dire du comportement des premiers termes de la suite $(u_n)$ ?
\end{enumerate}
\textbf{Partie B : Représentation de cette suite sur l'axe des abscisses}
\begin{enumerate}
 \item Sur un nouveau graphique muni d'un repère \Oij, tracer soigneusement la courbe $\mathscr C$ représentant $f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ sur $[0;3]$ 
dans un repère orthonormé avec pour \textbf{unité graphique 5 cm}.
\item \begin{enumerate}
 \item Placer la valeur $u_0$ sur l'axe des abscisses. Placer alors la valeur $u_1=f(u_0)$ sur l'axe des ordonnées.
 \item Grâce à $\Delta$ reporter la valeur de $u_1$ sur l'axe des abscisses.
\item Sachant que $u_2=f(u_1)$, expliquer comment construire la valeur $u_2$ sur l'axe des 
abscisses et le placer.
\end{enumerate}
\item Construire ainsi, pas à pas, sur l'axe des abscisses, les premiers termes de la suite jusqu'à $u_5$.
 \item Comment se poursuivrait le tracé si on pouvait agrandir le graphique ?\\
 Emettre des conjectures sur le comportement de la suite $(u_n)$.
 \item Laquelle des deux représentations proposées vous semble la plus adapté pour étudier le comportement
 de la suite ?
%Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation de $(u_n)$ et sur sa limite éventuelle ?
\end{enumerate}
\textbf{Partie C : Influence du premier terme}
\begin{enumerate}
 \item Construire avec cette méthode 
 les premiers termes de la suite $(v_n)$ définie par $v_0=0.1$ et 
pour tout $n$, $v_{n+1}=f(v_n)$.
\item Emettre des conjectures sur le comportement de la suite $(v_n)$.
\item Conjecturer le comportement d'une suite $(w_n)$ définie par $w_0=a$ et pour tout $n$, $w_{n+1}=f(w_n)$
en fonction du réel $a$.
\end{enumerate}
}


Dans le cas d'une suite récurrente, on ne cherche pas en général à représenter graphiquement la suite 
comme pour les suites explicites (mais on pourrait très bien le faire). \\
On préfère représenter ses premiers termes sur l'axe des abscisses en s'appuyant sur la représentation 
graphique de la fonction définissant la relation de récurrence. \\
On obtient alors un diagramme \og en escalier \fg ou en \og en escargot \fg. 
%On peut alors faire des conjectures sur le sens de variation, etc.


\begin{minipage}{11cm}
\Cadre[Méthode sur un exemple]{On considère la suite $(u_n)$ définie pour $n\geq 0$ par $u_{n+1}=2 \sqrt{u_n}+2$ et $u_0=1$\newline
On considère la fonction $f$ vérifiant $u_{n+1}=f(u_n)$ définie par $f : x\longmapsto 2 \sqrt{x}+2$. 
\begin{enumerate}
 \item On trace la courbe $\mathscr C_f$ représentative de $f$ 
 \item On place $u_0$ sur l'axe des abscisses et $u_1$, image de $u_0$ par $f$, sur l'axe des ordonnées
 \item Comme $u_2$ est l'image de $u_1$ par $f$, on veut avoir $u_1$ sur l'axe des abscisses.\\
Pour cela, on utilise la droite $\Delta$ d'équation $y=x$, que l'on prendra soin de tracer.
\item On reporte alors $u_1$ sur l'axe des abscisses, à l'aide de $\Delta$
\item On place $u_2$ image de $u_1$ par $f$, puis on reporte $u_2$ sur l'axe des abscisses, etc.
\end{enumerate}
}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.6)(8.5,8.6)
\def\xmin{0} \def\xmax{8} \def\ymin{0} \def\ymax{8}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-0.5,-0.6)(8.5,8.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,0)(1,4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(1,0)(1,4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4)(4,4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(1,4)(4,4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4,0)(4,6)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(4,4)(4,6)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(4,6)(6,6)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,6)(6,6)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(6,6)(6,6.89897)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(6,0)(6,6.89897)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(6,6.89897)(6.89897,6.89897)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(6.89897,6.89897)(6.89897,7.25318)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,6.89897)(6.89897,6.89897)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(6.89897,7.25318)(7.25318,7.25318)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(6.89897,0)(6.89897,7.25318)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,7.25318)(7.25318,7.25318)(7.25318,0)
\def\F{2 x sqrt mul 2 add}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{0}{8}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{8}{\F}
\uput[0](3,6.5){$\mathscr C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\uput[-90](1,0){\small $u_0$}
\uput[180](0,4){\small $u_1$}
\uput[-90](4,0){\small $u_1$}
\uput[180](0,6){\small $u_2$}
\uput[-90](6,0){\small $u_2$}
\uput[180](0,6.89897){\small $u_3$}
\uput[-90](6.89897,0){\small $u_3$}
\uput[180](0,7.25318){\small $u_4$}
\uput[-90](7.25318,0){\small $u_4$}
\uput[ur](7.5,8){\small $\Delta$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}


\Rq{Dans l'exemple précédent, on constate que les termes de la suite semblent augmenter et se rapprocher
 d'une valeur \og limite \fg : celle de l'abscisse du point d'intersection entre $\mathscr C_f$ et de $\Delta$. \\
On dira que la suite est croissante et qu'elle \textit{converge} vers cette valeur $l$, appelée limite de la suite $(u_n)$.\\
Pour la trouver, on résout l'équation $f(l)=l$ :
$$f(l)=l \iff 2\sqrt{l}+2=l \iff 2\sqrt{l}=l-2 \iff 4l=l^2-4l+4 \quad\text{ et }\quad \left\{\begin{array}{l}
                                                                                              l>0 \\ l-2>0
                                                                                             \end{array}\right.
\iff l^2 -8l+4=0\quad \text{ et } \quad l>2$$
$\Delta = 64-4\times 1 \times 4 = 48$. \quad  Donc $l_1=\dfrac{8+4\sqrt{3}}{2}=4+2\sqrt{3}$ et $l_2=4-2\sqrt{3}<2$.
Donc $l=4+2\sqrt{3}$. \\
On note $\lim\limits_{n \to + \infty} u_n = 4+2\sqrt{3}$
}

\Expl{
On considère la suite $(u_n)$ définie pour $n\geq 0$ par $u_{n+1}=-\dfrac{2}{3} u_n-1$ et 
$u_0=7$\newline
On considère la fonction $f$ vérifiant $u_{n+1}=f(u_n)$ définie par $f : x\longmapsto -\dfrac{2}{3}x-1$. \\
On a représenté ci-dessous la représentation graphique $\mathscr C_f$ de $f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y=x$, 
puis on a suivi les mêmes étapes que pour l'exemple précédent.}
\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-8.5,-6.6)(8.5,4.6)
\def\xmin{-8} \def\xmax{8} \def\ymin{-6} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-8.5,-6.6)(8.5,4.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(7,0)(7,-5.66667)(-5.66667,-5.66667)
(-5.66667,2.77777)(2.77777,2.77777)(2.77777,-2.85186)(-2.85186,-2.85186)(-2.85186,0.90123)(0.90123,0.90123)
(0.90123,-1.60083)(-1.60083,-1.60083)(-1.60083,0.06721)(0.06721,0.06721)(0.06721,-1.04482)
(-1.04482,-1.04482)(-1.04482,0)
\def\F{0 2 x mul 3 div sub 1 sub}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-8}{8}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-8}{8}{\F}
\uput[0](4.2,-3.5){$\mathscr C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\uput[u](7,0){\small $u_0$}
\uput[ul](0,-5.66667){\small $u_1$}
\uput[dl](-5.66667,0){\small $u_1$}
\uput[ul](0,2.77777){\small $u_2$}
\uput[dr](2.77777,0){\small $u_2$}
\uput[dr](0,-2.85186){\small $u_3$}
\uput[dl](-2.85186,0){\small $u_3$}
\uput[ul](0,0.90123){\small $u_4$}
\uput[dr](0.90123,0){\small $u_4$}
\uput[dl](0,-1.60083){\small $u_5$}
\uput[u](-1.60083,0){\small $u_5$}
\uput[dl](4.5,4){\small $\Delta$}
%\uput[130](0,0.06721){\small $u_6$}
%\uput[-30](0.06721,0){\small $u_6$}
%\uput[130](0,-1.04482){\small $u_7$}
%\uput[-30](-1.04482,0){\small $u_7$}
\end{pspicture*}
\end{center}


\Rq{Contrairement à l'exemple précédent, les éléments de la suite ne semblent pas faire qu'augmenter ou diminuer. Cette
suite n'est ni croissante, ni décroissante. Mais cette suite semblent également convergente vers l'abscisse $l$ du point d'intersection 
de $\mathscr C_f$ et $\Delta$.\\
Pour trouver $l$, on résout $f(l)=l \iff -\dfrac23l-1=l \iff \dfrac53l=-1 \iff l=-\dfrac35$.
}

\Expl{
\begin{multicols}{2}
On a tracé ci-contre la courbe représentative d'une fonction $g$ et la droite $\Delta : y=x$.\\
On a représenté les quatre premiers termes de la suite $t$ définie par son terme initial $t_0$ et la relation 
$$t_{n+1}=g(t_n) \qquad \text{ 
pour tout entier } n\geq 0$$
Donner le terme initial $t_0$ et lire des valeurs approchées de $t_1$, $t_2$ et $t_3$.
\begin{center}
 \newrgbcolor{ttttff}{0.2 0.2 1}
\newrgbcolor{qqzzqq}{0 0.6 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-6,-1)(4,4)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-6,-1)(4,4)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-6,-1)(4,4)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red]{-6}{4}{(-0--1*x)/1}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=ttttff,plotpoints=200]{-6.0}{4.0}{sqrt(x+6)}
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=qqzzqq](-5,0)(-5,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=qqzzqq](-5,1)(1,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=qqzzqq](1,1)(1,2.65)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=qqzzqq](1,2.65)(2.65,2.65)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=qqzzqq](2.65,2.65)(2.65,2.94)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=qqzzqq](2.65,2.94)(2.94,2.94)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=qqzzqq](1,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=qqzzqq](2.65,2.65)(2.65,0)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=qqzzqq](2.94,2.94)(2.94,0)
\rput[bl](2,3.5){\red{$\Delta:y=x$}}
\rput[bl](-5.64,1.13){\ttttff{$\mathscr C_g$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
}


\begin{ExoF}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.1,-0.5)(15.1,6.1)
\def\xmin{-2} \def\xmax{15} \def\ymin{-1} \def\ymax{6}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-2,0)(-2,0.1)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(-2,0)(-2,0.1)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-2,0.1)(0,0.1)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(-2,0.1)(0,0.1)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,0.1)(0.1,0.1)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0,0.1)(0.1,0.1)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.1,0.1)(0.1,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0.1,0.1)(0.1,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.1,0)(0.1,2.599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0.1,0)(0.1,2.599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.1,2.599)(0,2.599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0.1,2.599)(0,2.599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,2.599)(2.599,2.599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0,2.599)(2.599,2.599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.599,2.599)(2.599,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(2.599,2.599)(2.599,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.599,0)(2.599,4.42351)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(2.599,0)(2.599,4.42351)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.599,4.42351)(0,4.42351)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(2.599,4.42351)(0,4.42351)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4.42351)(4.42351,4.42351)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0,4.42351)(4.42351,4.42351)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.42351,4.42351)(4.42351,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(4.42351,4.42351)(4.42351,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.42351,0)(4.42351,4.96676)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(4.42351,0)(4.42351,4.96676)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.42351,4.96676)(0,4.96676)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(4.42351,4.96676)(0,4.96676)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4.96676)(4.96676,4.96676)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0,4.96676)(4.96676,4.96676)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.96676,4.96676)(4.96676,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(4.96676,4.96676)(4.96676,0)
\def\F{0 0.1 x 5 sub 2 exp mul sub 5 add}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-2}{10}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{15}{\F}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){ O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){ $\vec{\imath}$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){ $\vec{\jmath}$}
\uput[-90](-2,0){ $u_0$}
\uput[180](0,0.1){ $u_1$}
\uput[-90](0.1,0){ $u_1$}
\uput[180](0,2.599){ $u_2$}
\uput[-90](2.599,0){ $u_2$}
\uput[180](0,4.42351){ $u_3$}
\uput[-90](4.42351,0){ $u_3$}
\uput[180](0,4.96676){ $u_4$}
\uput[-90](4.96676,0){ $u_4$}
\uput[0](6,5.7){$y=x$}
\uput[0](12,0.3){$C_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}
On a tracé ci-dessus dans un repère orthonormé la représentation graphique $\mathscr C_f$ 
d'une fonction $f$, la droite $\mathscr D$ d'équation $y=x$. 
ainsi que les cinq premiers termes de la suite $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0$ et la 
relation $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout entier $n$.
\begin{enumerate}
\item Donner, par lecture graphique, $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
\item On donne $\mathscr C_f =\left\{M(x,y) \text{ tels que } y=-0,1(x-5)^2+5\right\}$.
\begin{enumerate}
 \item Donner l'expression $f(x)$ puis l'expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
 \item Calculer les valeurs des termes $u_1$ à $u_4$ à partir de la valeur $u_0$ 
 lue à la question précédente.
\end{enumerate}
\item On modifie la valeur $u_0=11$. Calculer les cinq premiers termes à partir de $u_0$.
\item Représenter graphiquement sur l'axe des abscisses les 4 premiers termes de la suite $u$ 
avec donc $u_0=11$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
On considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier $n$, par $ \left\{ \begin{array}{l} u_0=-1 \\ u_{n+1}=\sqrt{4u_n+5} \end{array} \right.$
\begin{enumerate}
\item Donner la fonction $f$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$.
\item Dans le repère ci-dessous on a tracé la représentation graphique $\mathscr C_f$ de la fonction $f$ et la droite d'équation $y=x$.
\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement sur l'axe des abscisses les $4$ premiers termes de la suite $u$.\\
Vérifier votre constructioin en calculant ces premiers termes.
\item Conjecturer le sens de variation de la fonction $u$.
\item Conjecturer la valeur limite $\ell$ de la suite $u$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\begin{center}
\psset{xunit=2cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2,-1.6)(7,6)
\def\xmin{-1.5} \def\xmax{7} \def\ymin{-1} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2,-1.6)(8.5,6.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,0)(1,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,3)(0,3)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,3)(0,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,3)(3,3)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,3)(3,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,3)(3,0)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,3)(3,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,0)(3,4.1231)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,0)(3,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,4.1231)(0,4.1231)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,4.1231)(0,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4.1231)(4.1231,4.1231)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4.1231)(4.1231,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,4.1231)(4.1231,0)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,4.1231)(4.1231,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,0)(4.1231,4.63599)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,0)(4.1231,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,4.63599)(0,4.63599)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,4.63599)(0,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4.63599)(4.63599,4.63599)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4.63599)(4.63599,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.63599,4.63599)(4.63599,0)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.63599,4.63599)(4.63599,0)
\def\F{4 x mul 5 add sqrt}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-1.25}{8}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1.25}{8}{\F}
\uput[0](6.5,5){$C_f$}
\uput[0](5,5.7){$y=x$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{ExoF}
On considère la suite $u$ définie pour tout entier $n\in\N$ par $ \left\{ \begin{array}{l} u_0=a \\ u_{n+1}=\sqrt{u_n+1} \end{array} \right.$
\begin{enumerate}
\item Donner la fonction $f$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$.
\item Dans un repère, en utilisant la représentation graphique de la fonction $f$, placer sur l'axe des abscisses les $4$ premiers termes de la suite $u$ pour $a=0 $. Dans ce cas conjecturer le sens de variation de la suite $u$.
\item Dans un repère, en utilisant la représentation graphique de la fonction $f$, placer sur l'axe des abscisses les $4$ premiers termes de la suite $u$ pour $a= 15$. Dans ce cas conjecturer le sens de variation de la suite $u$.
\item Que constate-t-on ?
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Soit $\left(u_{n}\right)_{n\geq 0}$ la suite définie par $u_{0} = 8$ et pour tout 
entier naturel $n$ , $ u_{n+1} = -\dfrac{1}{2}u_{n} + 5.$
\begin{enumerate}
 		\item Sur la figure ci-dessous, sont tracées, dans un repère orthonormal, les droites 
		d'équation respectives $y = x$  et $y = -\dfrac{1}{2}x + 5$. 
		Construire sur l'axe des abscisses les termes $u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$.
		\item Vérifier votre construction en calculant $u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$.
 \item Que peut-on conjecturer sur les variations et la convergence de cette suite ?
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-1.5)(11,7)
\psaxes[ticksize=0.2cm,ticks=all,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-1.5)(11,7)
\psline(-1.5,-1.5)(7,7)
\psplot[linecolor=blue]{-3}{11}{0 x 0.5 mul sub 5 add}
\rput{-26.56}(10,1){$y = -\dfrac{1}{2}x + 5$}
\rput{45}(6,7){$y = x$}
%\uput[dr](0,0){$u_{0}$} \uput[d](3,0){$u_{1}$}
%\multido{\n=-6+1}{31}{\psline(\n,0)(\n,0.25)}
%\multido{\n=-6+1}{22}{\psline(0,\n)(0.25,\n)}
%\psline[linestyle=dashed](0,3)(3,3)(3,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{ExoF}



\Exos{Repère : n$^{\circ}$ 38-39 p 123 (tracé + reconnaissance)
}

\section{Les suites à la calculatrice}
\subsection*{Le mode Suite}
Par défaut, les calculatrices sont réglées en mode Fonction (pour les tables de valeurs et 
les graphiques notamment).\quad 
Il faut donc commencer par régler votre calculatrice en mode Suite.

\begin{center}
%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
  \begin{tabular}{|>{\centering}m{3cm}|>{\centering}m{8cm}|}\hline
\rule[-0.3cm]{0mm}{1.cm}\textbf{Modèle} & \textbf{Méthode}  
    \tabularnewline\hline
\rule[-0.5cm]{0mm}{1.5cm}
\textbf{Casio} & 
\raggedright{
Sélectionner le menu \, \fbox{\textbf{\texttt{Recur}}} 
}
    \tabularnewline\hline
\rule[-0.9cm]{0mm}{2cm}    
\textbf{T82 à 84} &  
\raggedright{ 
Appuyer sur \, \fbox{\textbf{mode}}\\
Sur la 4e ligne \\
  Choisir \, \textbf{\texttt{Suit}}
  }
    \tabularnewline\hline
\rule[-0.6cm]{0mm}{1.5cm} 
\textbf{TI 89}  &   
\raggedright{
Appuyer sur \, \fbox{\textbf{MODE}}	\\
Dans \, \textbf{\texttt{Graph}}, choisir \, \textbf{\texttt{4:SUITE}}
}
    \tabularnewline\hline
\rule[-1.2cm]{0mm}{2.5cm}  
\textbf{TI Nspire CX Cas}  &	\raggedright{
 Dans l'application graphique	\\
	    Appuyer sur \, \fbox{\textbf{menu}}  \\
	    Choisir \, \textbf{\texttt{3: Type de graphique}}   \\
	    Choisir \, \textbf{\texttt{5: Suite}}   \\
    Choisir \,\textbf{\texttt{1: Suite}} 
}
\tabularnewline\hline
  \end{tabular}\\

\end{center}

Pour le reste, prenons les exemples de suites $(u_n)_{n\geq 0}$ et $(v_n)_{n\geq 0}$ , définies
pour tout $n\geq 0$ par 
$$ u_n=(n-1)^2-3n+1 \qquad \text{ et }\qquad  \left\{\begin{array}{l}
     v_0=1 \\ v_{n+1}=-2v_n+1
     \end{array}\right.
$$

\newpage

\subsection*{TI 82 à 84}


%\newpage
\subsubsection*{Définir des suites}

\noindent Se rendre dans l'éditeur de fonction \, \fbox{$f(x)$} \, , puisque les suites sont 
des fonctions définies sur les entiers naturels.

\begin{center}
   \begin{tabular}{|>{\centering}m{3cm}|>{\centering}m{5cm}|>{\centering}m{3cm}|>{\centering}m{5cm}|}\hline
\bf\rule[-0.3cm]{0mm}{1.cm}
\textbf{Affichage} & \textbf{Signification}  & \textbf{Typographie} & \textbf{Exemple à compléter}
    \tabularnewline\hline
%\bf\rule[-0.5cm]{0mm}{1.5cm}
\raggedright{ \texttt{nMin=} \\     
 \texttt{u(n)=} \\
 \texttt{u(nMin)=} \\	
  \texttt{v(n)=} \\
 \texttt{v(nMin)=}
 }
 & \raggedright{
 Rang inital (commun) \\
 Terme général $u_n$\\
 Terme initial de $u$ (inutile ici)\\
 Terme général $v_n$\\
 Terme initial de $v$
 }
 & \bf\rule[-0.3cm]{0mm}{1.cm}\textbf{u} : \, \fbox{\textbf{2nde}} \, + \, \fbox{7}\\ 
 \bf\rule[-0.3cm]{0mm}{1.cm}\textbf{n} : \, \fbox{$x, t, \theta, n$}\\
 \bf\rule[-0.3cm]{0mm}{1.cm}\textbf{v} : \, \fbox{\textbf{2nde}} \, + \, \fbox{8}\\ 
& \raggedright{
\texttt{nMin=0} \\
 \texttt{u(n)=(n-1)$\hat{\,}$2-3n+1} \\
 \texttt{u(nMin)=} \\
 \texttt{v(n)=-2v(n-1)+1}  \\
 \texttt{v(nMin)=} 1  }
    \tabularnewline\hline

  \end{tabular}\\

\end{center}


\noindent \Rqs{
\item On doit choisir le même rang inital pour toutes les suites déclarées.
\item On ne peut déclarer que trois suites en même temps.
\item  Attention au décalage éventuel d'indice lors de la déclaration des suites définies par récurrence
}

\subsubsection*{Calculer des termes}
\begin{itemize}
 \item  Paramétrer la table de valeurs, dans \, \fbox{\textbf{déf table}} \, à partir d'un 
 nombre entier  et avec un pas entier.
 \item  On obtient le calcul des termes dans \, \fbox{\textbf{table}}.\\
\end{itemize}
 
\noindent \Rq{
 Pour obtenir $u_{1000}$ et $v_{50}$ rapidement :\\
 Dans \, \fbox{\textbf{déf table}} \, , choisir : 
 \begin{center}
 \textbf{\texttt{Valeurs : Dem}} \qquad et \qquad  \textbf{\texttt{Calculs : Dem}} 
 \end{center} 
  Puis dans \, \fbox{\textbf{table}} : 
   \begin{itemize}
   \item Dans la colonne $n$, rentrer \qquad \texttt{n=50} \, et \, \texttt{n=1000}   
  \item Placez-vous dans la colonne \,\textbf{\texttt{u(n)}} \, en face de \, \texttt{1000}\,  et appuyer sur \, \fbox{enter}
 \item Placez-vous dans la colonne \,\textbf{\texttt{v(n)}} \, en face de \, \texttt{50}\,  et appuyer sur \, \fbox{enter}
  \end{itemize}
    }
 
 \subsubsection*{Représentation graphique}
\noindent Pour la représentation graphique, ne définissez qu'une suite à la fois, 
sinon vous n'y verrez rien. 

\begin{itemize}
 \item Appuyer sur \, \fbox{\textbf{mode}} \, et sur la 5e ligne, mettre en surbrillance 
 le Mode \, \textbf{\texttt{NonRelié}} , afin que les points ne soient pas reliés entre eux.
 \item Choisir ensuite le mode de représentation de la suite, dans \, \fbox{\textbf{format}} \, en appuyant sur \, 
 \fbox{\textbf{2nde}} \, + \, \fbox{\textbf{Zoom}} \, :
 \begin{itemize}
  \item[\textbullet] Pour la suite $(u_n)$, on veut \textbf{un nuage de points} :
  Mettre en surbrillance \, \textbf{\texttt{f(n)}}.\\
  \item[\textbullet] Pour la suite $(v_n)$, on veut un graphique \og en \textbf{escalier} \fg
  (ou escargot) :
 Mettre en surbrillance \, \textbf{\texttt{Esc}}.\\
 \end{itemize}
 \item Régler éventuellement la fenêtre graphique dans \, \fbox{\textbf{fenêtre}} \, , ou encore
 automatiquement en appuyant sur \, \fbox{\textbf{Zoom}} \, et choisir \, \textbf{\texttt{0 : ZMinMax}}.\\
 \item On obtient la représentation graphique de la suite dans \, \fbox{\textbf{graphe}}.
  \item Dans le cas d'une représentation graphique en \og escalier \fg, appuyer 
 sur \fbox{\textbf{trace}} et les flèches \, \fbox{$\blacktriangleleft$} \, et \, \fbox{$\blacktriangleright$} \, pour faire apparaitre la construction
 de la suite au fur et à mesure.
\end{itemize}



\newpage 


\subsection*{TI 89}
\subsubsection*{Définir les suites}

\noindent Se rendre dans l'éditeur de fonction \, \fbox{Y=} \, , puisque les suites sont 
des fonctions définies sur les entiers naturels.

\begin{center} 
   \begin{tabular}{|>{\centering}m{3cm}|>{\centering}m{5cm}|>{\centering}m{3cm}|>{\centering}m{5cm}|}\hline
\bf\rule[-0.3cm]{0mm}{1.cm}
\textbf{Affichage} & \textbf{Signification}  & \textbf{Paramétrage de l'indice initial} & \textbf{Exemple à compléter}
    \tabularnewline\hline
%\bf\rule[-0.5cm]{0mm}{1.5cm}
\raggedright{ \texttt{u1=} \\     
 \texttt{ui1=} \\
 \texttt{u2=} \\     
 \texttt{ui2=} 
 }
 & \raggedright{
  Terme général $u1_n$\\
 Terme initial de $u1$ (inutile ici)\\
 Terme général $u2_n$\\
 Terme initial de $u2$ 
 }
 & Dans \, \fbox{\textbf{WINDOW}}\\ 
 Remplir \\ \quad  \\
 \texttt{nmin=0}
& \raggedright{
 \texttt{u1=(n-1)$\hat{\,}$2-3n+1} \\
 \texttt{ui1=} \\
 \texttt{u2=-2u2(n-1)+1} \\
 \texttt{ui2=1}\\
 Attention au décalage d'indice !
 }
    \tabularnewline\hline
  \end{tabular}\\

\end{center}

\noindent \Rqs{
\item On doit choisir le même rang inital pour toutes les suites déclarées.
\item Attention aux noms des suites ($u1$, $u2$ etc et non $u$, $v$ ...)
\item  Attention au décalage éventuel  d'indice lors de la déclaration des suites définies par récurrence
}



\subsubsection*{Calculer des termes}
\begin{itemize}
 \item Paramétrer la table de valeurs dans \, \fbox{\textbf{TBLSET}} \, à partir d'un nombre entier 
et avec un pas entier.
 \item On obtient le calcul des termes dans la table de valeurs.\\  
\end{itemize}

\noindent \Rq{
 Pour obtenir $u_{100}$ et $v_{100}$ rapidement :\\
 Dans \, \fbox{\textbf{TBLSET}} \, , choisir \qquad 
 \textbf{\texttt{Independant ...... 2 : DEMANDER}}\\\\
 Puis dans \, \fbox{\textbf{table}}, dans la colonne $n$, rentrer \, \texttt{n=100} \, 
 et appuyer sur \, \fbox{enter}
    }

     \subsubsection*{Représentation graphique}
\noindent Le paramétrage des représentations graphiques se fait dans \, \fbox{\textbf{Y=}}\\ 
Commencez par ne sélectionner qu'une suite à la fois, avec \,
\fbox{\textbf{\texttt{F4 \checkmark}}} \, sinon vous n'y verrez rien. \\

\begin{itemize}
 \item Dans \, \fbox{\textbf{\texttt{F6 : Styles}}}  \,  choisir \, \textbf{\texttt{2: Point}}\, 
 ou \, \textbf{\texttt{3: Carré}}\, , afin que les points de la suite ne soit pas reliés entre eux. 
 \item Choisir le type de représentation dans \, \fbox{\textbf{\texttt{F7 : Axes}}}
 \begin{itemize}
  \item[\textbullet] Pour la suite $(u_n)$, on veut \textbf{le nuage de points} $(n ; f(n))$ : \qquad 
   \hfill Choisir \qquad \textbf{\texttt{Axes ...... 1 : f(n)}}.\\
  \item[\textbullet] Pour la suite $(v_n)$, on veut un graphique en  \og \textbf{toile} \fg :
  (escalier ou escargot) : 
    \begin{flushright}
 Choisir \qquad \textbf{\texttt{Axes ...... 2 : TOILE}} \qquad et \qquad
 \textbf{\texttt{Constru Toile : TRACE}}                                          \end{flushright}
 \end{itemize}
 \item Régler éventuellement la fenêtre graphique dans \, \fbox{\textbf{WINDOW}} 
 \item On obtient la représentation graphique de la suite dans \, \fbox{\textbf{GRAPH}}
 \item Dans le cas d'une représentation graphique en \og toile \fg, appuyer 
 sur \, \fbox{\textbf{F3 Trace}} \, et les flèches \, \fbox{$\blacktriangleleft$} \, et \, \fbox{$\blacktriangleright$} \,  pour faire apparaitre 
 la construction  de la suite au fur et à mesure.
\end{itemize}


 
\newpage

\subsection*{TI Nspire CX Cas}
  \subsubsection*{Définir les suites}

\noindent Se rendre dans l'application graphique et éventuellement appuyer sur \, 
\fbox{\textbf{ctrl}} \, 
+ \, \fbox{\textbf{G}} \, pour faire apparaitre la ligne de saisie.

\begin{center} 
   \begin{tabular}{|>{\centering}m{4cm}|>{\centering}m{7cm}|>{\centering}m{6cm}|}\hline
\bf\rule[-0.3cm]{0mm}{1.cm}
\textbf{Affichage} & \textbf{Signification}  & \textbf{Exemple à compléter}
    \tabularnewline\hline
%\bf\rule[-0.5cm]{0mm}{1.5cm}
\raggedright{ \textit{u1(n)=} \\     
 \textit{Valeurs initiales:=} \\     
 \textit{$1\leq n \leq 99$ nstep=1} \\
  \textit{u2(n)=} \\     
 \textit{Valeurs initiales:=} \\     
 \textit{$1\leq n \leq 99$ nstep=1} 
 }
 & \raggedright{
  Terme général \textit{u1$_n$}\\
 Terme initial de \textit{u1} (éventuellement plusieurs, inutile ici)\\
 Rangs possibles pour $n$ et le pas.\\
  Terme général \textit{u2$_n$}\\
 Terme initial de \textit{u2} (éventuellement plusieurs, inutile ici)\\
 Rangs possibles pour $n$ et le pas.
 }
 & \raggedright{
 \textit{u1(n)=$(n-1)^2-3n+1$} \\     
 \textit{Valeurs initiales:=} \\     
 \textit{$0\leq n \leq 99$ nstep=1} \\
  \textit{u2(n)=$-2u2(n-1)+1$} \\     
 \textit{Valeurs initiales:=1} \\     
 \textit{$0\leq n \leq 99$ nstep=1} 
 }
    \tabularnewline\hline
  \end{tabular}\\

\end{center}


\noindent \Rqs{
\item Penser à modifier le rang inital.
\item Attention aux noms des suites ($u1$, $u2$ etc et non $u$, $v$ ...)
\item  Attention au décalage éventuel d'indice lors de la déclaration des suites définies 
par récurrence.
 \item Les représentations graphiques apparaissent alors, par défaut sous forme de nuage de points.
}

\subsubsection*{Calculer des termes}

\begin{itemize}
  \item Commencer par faire apparaître la table de valeur en appuyant sur  \,
 \fbox{\textbf{ctrl}} \, + \,  \fbox{\textbf{T}}
 \item Eventuellement, paramétrer la table de valeurs en appuyant sur \, 
 \fbox{\textbf{menu}} \, , et choisir \\
 \textbf{\texttt{5 : Table des valeurs de la fonction}} \, 
puis \, \textbf{\texttt{5 : Editer les réglages de la table ...}}\\
Choisir alors pour début et pour incrémentation des nombres entiers.\\
\end{itemize}


\noindent \Rq{
Pour obtenir $u_{100}$ et $v_{100}$ rapidement, vous pouvez choisir dans les paramétrages 
de la table :
\begin{center}
 \textbf{\texttt{Independant : DEMANDER}} \qquad et dans la colonne des $n$, rentrer \, 
 \texttt{100} \, et appuyer sur \, \fbox{\textbf{enter}}                                                                                                       
 \end{center}
}

\subsubsection*{Représenter graphiquement un nuage de points}
\noindent Pour la représentation graphique, ne définissez qu'une suite à la fois, 
sinon vous n'y verrez rien. \\
On a déjà par défaut les représentations graphiques sous forme de nuage de points.\\

\noindent Pour avoir la suite $(v_n)$, on veut un graphique en \og toile \fg. Pour cela :
\begin{itemize}
 \item Si vous êtes sur la table de valeurs, revenir dans la fenêtre graphique en appuyant
 sur \, \fbox{\textbf{ctrl}} \, + \,  \fbox{\textbf{tab}}\\
 Eventuellement, vous pouvez alors faire disparaître la table de valeurs en appuyant sur 
 \, \fbox{\textbf{ctrl}} \, + \,  \fbox{\textbf{T}}
 \item Appuyer sur \, \fbox{\textbf{menu}} \quad et choisir \quad 
 \textbf{\texttt{1 : Actions}} \quad puis \quad  \textbf{\texttt{4 : Attributs}}
 \item Placer la souris sur un point (non initial)
 de la suite $v$, par exemple $v_1$ et appuyer sur \, \fbox{\textbf{enter}}
 \item Avec les flèches, aller sur la 3e ligne et choisir \, 
 \textbf{\texttt{(2/2) Graphe Toile}} \\
\end{itemize}

\noindent \Rq{
Si vous voulez voir la construction au fur et à mesure de la suite :
\begin{itemize}
 \item Appuyer sur \, \fbox{\textbf{menu}} \quad 
 et choisir \, \textbf{\texttt{5 : Trace}} \quad puis \quad \textbf{\texttt{1 : Trace}}
 \item Se déplacer dans le graphique à l'aide des flèches \, \fbox{$\blacktriangleleft$}\,  et\, 
 \fbox{$\blacktriangleright$} \, .
\end{itemize}
}





\newpage
\subsection*{Casio}
\begin{itemize}
 \item On choisit le type de suite (explicite ou récurrente) grâce \, 
\fbox{\textbf{F3 : \texttt{Type}}} \,
puis la touche \,\fbox{\textbf{F1}} \, (explicite) ou \, \fbox{\textbf{F2}} \, (
récurrente).\\

\item On entre ensuite l'expression de la suite et on appuie sur \, 
\fbox{\textbf{F5 : \texttt{SET}}} .\\
\textit{Le $n$ s'obtient avec la touche \, \fbox{\textbf{F1 : $n$}} \, et le $a_n$ s'obtient
avec la touche \, \fbox{\textbf{F2 : $a_n$}}}\\

\item Pour paramétrer le tableau, notamment donner le premier indice et/ou premier terme si 
nécessaire.\\

\item On peut alors afficher les valeurs de la table grâce à \, \fbox{\textbf{F6 : \texttt{TABL}}}

\item Pour la représentation graphique, ne définissez qu'une suite à la fois, 
sinon vous n'y verrez rien. \\

Appuyer ensuite sur   \fbox{\textbf{F4 : \texttt{WEB}}} 
ou encore \fbox{\textbf{F6 : \texttt{TABL}}} + \fbox{\textbf{F6 : \texttt{G-PLT}}}.\\

Afin d'ajuster la fenêtre automatiquement, 
appuyer sur \fbox{\textbf{F2 : \texttt{Zoom}}} et choisir \fbox{\texttt{AUTO}}.

\end{itemize}




\Expls{\begin{enumerate}
       \item Soit la suite $u$ définie sur $\N$ par $\left\{\begin{array}{l}
                                                u_0=-1 \\ u_{n+1}=\sqrt{2u_n+6}
                                               \end{array}\right.$\\
Afficher sur votre calculatrice une représentation graphique de la suite $u$.
 \item Même question pour la suite $v$ définie sur $\N$ par $v_{n}=\sqrt{2n+6}$.
      \end{enumerate}
}




\section{Notion de limite}
\subsection{Convergence et divergence d'une suite}

\Act{Soient les suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ définies sur $\N$ par :
$$u_n=\dfrac1n \qquad \qquad v_n=n^2-3 \qquad \qquad w_n=(-1)^n$$
\begin{enumerate}
 \item Etudier le sens de variation de chacune de ces suites.
 \item %Calculer pour chacune des suites les termes de rang $100$, $1000$, $10^6$ et $10^{6}+1$.\\
Conjecturer graphiquement le \og comportement à l'infini \fg de ces suites.
\item \begin{enumerate}
       \item Déterminer un entier $p$ tel que pour tout entier $n\geq p$, on ait $0 \leq u_n \leq 10^{-6}$.
\item Peut-on faire de même en remplaçant $10^{-6}$ par n'importe quel réel $\varepsilon >0$ ?
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item Déterminer un entier $p'$ tel que pour tout entier $n\geq p'$, on ait $v_n \geq 10^{10}$.
\item Peut-on faire de même en remplaçant $10^{10}$ par n'importe quel réel $M$ ?
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\begin{defi}
On dit qu'une suite \textbf{admet une limite réelle $\ell$} (ou \textbf{converge vers le réel $\ell$})
lorsque tous les termes de
la suite $(u_n)$ sont aussi proches de $\ell$ que l'on veut à partir d'un certain rang.
\\
On note $\lim\limits_{n \to + \infty} u_n = \ell$.\\
Autrement dit, une suite converge vers le réel $\ell$ si tout intervalle du type 
$]\ell -\varepsilon; \ell +\varepsilon[$ (avec $\varepsilon>0$) contient tous les termes de 
la suite à partir d'un certain rang $N$. Ceci s'écrit en mathématiques :
$$\forall \varepsilon >0, \exists N \in\N , \forall n \geq N \quad \text{ on a } |u_n-\ell| <\varepsilon$$
\end{defi}


\Rq{Autrement dit, quelque soit le nombre $\varepsilon$ choisi (aussi petit que l'on veut), 
il existe un rang $N$  (dépendant de $\varepsilon$) à partir duquel 
tous les termes de la suite $(u_n)$ sont contenus dans l'intervalle $]\ell-\varepsilon ; \ell+ \varepsilon[ $).
}

\Expl{
Graphiquement, cela se traduit ainsi : 
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=0.7cm , yunit=10cm}
\begin{pspicture*}(0,0.95)(25.1,1.8)
\def\xmin{-1} \def\xmax{25} \def\ymin{1} \def\ymax{1.8}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1.5}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{25}{\F}
\def\G{1.55}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{25}{\G}
\def\H{1.45}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{25}{\H}
\pscustom[fillstyle=hlines,hatchwidth=0.3pt,hatchsep=12pt,hatchcolor=gray,linestyle=solid]
{
\psplot{0}{25}{\G}
\psplot{25}{0}{\H}
}
\psdot(1,1)
\psdot(2,1.75)
\psdot(3,1.33)
\psdot(4,1.625)
\psdot(5,1.4)
\psdot(6,1.58)
\psdot(7,1.42)
\psdot(8,1.56)
\psdot(9,1.44)
\psdot(10,1.55)
\psdot(11,1.45)
\psdot(12,1.54)
\psdot(13,1.46)
\psdot(14,1.53)
\psdot(15,1.47)
\psdot(16,1.53125)
\psdot(17,1.471)
\psdot(18,1.527)
\psdot(19,1.473)
\psdot(20,1.525)
\psdot(21,1.476)
\psdot(22,1.522)
\psdot(23,1.478)
\psdot(24,1.52)
\psdot(25,1.48)
\psdot(26,1.519)
\uput[ur](-0.7,1.48){$\ell$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=black](10,0)(10,1.53)
\psline[linecolor=black]{<->}(1,1.45)(1,1.5)
\psline[linecolor=black]{<->}(1,1.5)(1,1.55)
\uput[ul](1,1.5){$\varepsilon$}
\uput[ul](1,1.45){$\varepsilon$}
\uput[ur](10,1.3){$10$ est le rang à partir duquel tous les termes}
\uput[ur](10,1.2){de la suite sont dans la bande hachurée dépaisseur choisie}
 \uput[ur](5,1.7){Illustration avec la suite définie pour tout $n\geq 1$ par $u_n=\dfrac{3n+(-1)^n}{2n}$ }
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=0.2,Ox=0,Oy=1]{->}(0,1)(\xmax,\ymax)
\end{pspicture*}
\end{center}
}
\begin{itemize}
\item Le graphique permet de conjecturer que la suite $(u_n)$ converge vers $\ell= \dfrac{3}{2}$
\item Ici on a choisi $\varepsilon = 0.05$ et on a trouvé que pour $N=10$, tous les termes de la suite $(u_n)$ 
étaient dans l'intervalle $]1.45; 1.55[$ pour $n\geq 10$.
\item Si on avait choisi $\varepsilon = 0.1$, on aurait trouvé que pour $N=5$, tous les termes de la suite $(u_n)$
étaient dans l'intervalle $]1.4; 1.6[$ pour $n\geq 5$.
\item Si on avait choisi $\varepsilon = 0.04$, on aurait trouvé que pour $N=13$, tous les termes de la suite $(u_n)$
étaient dans l'intervalle $]1.46; 1.54[$ pour $n\geq 13$.\\
\end{itemize}


\begin{defi}
On dit qu'une suite est \textbf{divergente} si elle n'est pas convergente.\\
C'est le cas des suites qui n'admettent pas de limite, et des suites qui sont 
aussi grandes que l'on veut, dans les positifs ou négatifs, à partir d'un certain rang.\\
Dans ce dernier cas, on dit que la suite diverge vers $+ \infty$ ou $-\infty$ et on note $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ ou 
$\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.
\end{defi}

\Expls{
Conjecturer graphiquement les limites éventuelles des suites $(u_n)$, $(v_n)$, $(w_n)$ et $(t_n)$ définies sur $\N$ par :
$$u_n=4n^2+5n-1 \qquad \qquad v_n=-\dfrac{1}{n+2}+1  \qquad \qquad w_n=-2n^2+2 \qquad \text{ et } \qquad 
t_n=\cos(n)+1$$
%Déterminer par le calcul le rang à partir duquel : $u_n \geq 10^{6}$.
}

\newpage
\begin{ExoF}
Sans justification, dans chaque cas, déterminer si la suite converge en présicant sa limite éventuelle :
\begin{enumerate}
\item La suite $u$ est définie pour tout $n\in\N$ par $ u_n=1+\dfrac{1}{n+1}$
\item La suite $v$ est définie pour tout $n\in\N$ par $ v_n=(-1)^n\times n$
\item La suite $w$ est définie pour tout $n\in\N$ par $ w_n=n-\dfrac{1}{n+1}$
\item La suite $s$ est définie pour tout $n\in\N^*$ par $ s_n=\dfrac{1}{n}$
\item La suite $t$ est définie pour tout $n\in\N$ par $ t_n=(-1)^n+n$
 \item La suite $p$ est définie pour tout $n\in\N$ par $ p_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Une suite $u$ est décroissante et converge vers $0$.\\
La suite $v$ est telle que pour tout $n\in\N$, $v_n<u_n$.\\
Dans chaque cas, indiquer la (les) bonne(s) réponse(s) :
\begin{enumerate}
\item Si la suite $v$ a tous ces termes positifs alors :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item La suite $v$ est décroissante.
\item La suite $v$ est convergente.
\item La suite $v$ a une limite $\ell<0$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Si La suite $v$ est croissante alors : 
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item la suite $v$ a tous ses termes négatifs ou nuls.
\item la suite $v$ est convergente.
\item la suite $v$ converge vers $0$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Proposer un exemple de suite $u$ telle que :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $u$ est décroissante et converge vers $1$.
\item $u$ n'admet pas de limite.
\item $u$ diverge vers $-\infty$.
\item $u$ est croissante et converge vers $\pi$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}

\newpage
\subsection{Application : limites et  algorithmes}

\subsubsection{Une suite qui diverge vers $-\infty$}

\Act{On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 
$\left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \\ u_{n+1}=2u_n-2\end{array} \right.$}
 \begin{enumerate}
\item Dans le repère donné ci-dessous, 
construire sur l'axe des abscisses, à l'aide de deux droites bien choisies, les termes de $u_0$ à $u_3$.
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-15,-15)(3,3)
\def\xmin{-15} \def\xmax{3} \def\ymin{-15} \def\ymax{3}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=3](-15,-15)(3,3)
%\def\F{2 x mul 2 sub}
%\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-15}{3}{x}
%\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-15}{3}{\F}
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){ O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){ $\vec{\imath}$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){ $\vec{\jmath}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item Conjecturer le sens de variation et la limite de la suite $(u_n)$.\\
\begin{minipage}{9.5cm}
\item  On considère l'algorithme ci-contre.
 \begin{enumerate}
\item Compléter la trace d'exécution de cet algorithme dans le tableau ci-dessous, 
avec l'entrée $A=-30$.
 \begin{center}
\begin{tabular}{*{7}{|>{\centering}m{0.8cm}}|}\hline
 Test & \cellcolor{gray} &&& &&\\\hline
 $u$ & $1$ && && & \\\hline
 $p$ & $0$ &  & &   &  &\\\hline
  \end{tabular}\\
  \end{center}
\item Que fait cet algortihme pour un $A$ donné ?
\item Trouver, grâce à un tableau de valeurs sur votre calculatrice,
ce que renvoit cet algorithme si l'utilisateur entre $A=-100$ puis $A=-10000$.\\
\end{enumerate}
\Rq{
  Pour démontrer les limites des suites définies par récurrence, vous avez besoin de connaissances
  supplémentaires sur les suites. Cela fera l'objet d'un autre chapitre.
}
\end{minipage} \qquad 
\begin{minipage}{8cm}
 \begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
$A$ est un nombre réel strictement négatif.
}
\Variable{
  $u$  est un nombre réel.\\
  $p$ est un nombre entier naturel.
}
\Deb{
$u:=1$ \\
$p:=0$ \\
    \While{ $u>A$ }
{$u:=2u-2$ \\
$ p:=p+1$}
Renvoyer $p$.
}
}
\end{center}
\end{minipage}
\end{enumerate}


\subsubsection{Une suite qui converge vers un réel $\ell$}


\Act{On considère la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par 
$u_n=2-\dfrac{1}{n+1}$}
 \begin{enumerate}
 \item A la calculatrice, afficher un tableau de valeurs des premiers termes de la suite $(u_n)$
 \item Conjecturer le sens de variation de la suite et sa limite $\ell$.
 \item \textbf{Démonstration du sens de variation :}
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que pour tout $n\in\N$ on a \, $ u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1}$
 \item Conclure.
 \end{enumerate}
 \begin{minipage}{9cm}
\item On considère l'algorithme ci-contre.
\begin{enumerate}
\item Compléter la trace d'exécution de cet algorithme dans le tableau ci-dessous, 
avec l'entrée $\varepsilon=0,3$.
 \begin{center}
\begin{tabular}{*{6}{|>{\centering}m{0.8cm}}|}\hline
 Test & \cellcolor{gray} && &&\\\hline
 $p$ & $0$ && & & \\\hline
 $u$ & $1$ &  &    &  &\\\hline
  \end{tabular}\\
  \end{center}
\item Que fait cet algortihme pour un $\varepsilon$ donné ?
\item Trouver ce que renvoit cet algorithme si l'utilisateur entre 
$\varepsilon=0,1$ ? s'il entre $\varepsilon=0,01$ ? 
\end{enumerate}
\item \textbf{Démonstration de la limite :}
\begin{enumerate}
\item Soit $\varepsilon >0$. Déterminer le rang $p$ à partir duquel 
$$2-\varepsilon\leq u_p \leq 2+\varepsilon$$
\item Conclure.
\end{enumerate}
 \end{minipage}
\quad
\begin{minipage}{8cm}
 \begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
$\varepsilon$ est un nombre réel strictement positif.
}
\Variable{$u$  est un nombre réel.\\
$p$ est un nombre entier naturel.
}
\Deb{
$u:=1$\\
$p:=0$ \\
    \While{ $u\notin \left]2-\varepsilon;2+\varepsilon\right[$ }
{$p:=p+1$ \\
$ u:=2-\dfrac{1}{p+1}$}
Renvoyer $p$.
}
}
\end{center}
\end{minipage}
\end{enumerate}




\begin{ExoF}
On considère la suite définie pour $n\in\N^*$ par $ u_n=-1+\dfrac{1}{n}$\\
\begin{minipage}{10cm}
\begin{enumerate}
\item Conjecturer la limite $\ell$ de la suite $u$.
\item On donne l'algorithme ci-contre.
\begin{enumerate}
 \item  Compléter la trace d'exécution de cet algorithme dans le tableau ci-dessous, 
 avec l'entrée $\varepsilon=0.3$.
 \begin{center}
\begin{tabular}{*{7}{|>{\centering}m{0.8cm}}|}\hline
 Test & \cellcolor{gray}& &&&&\\\hline
 $u$ & & &&&&\\\hline
 $p$ &  &  & &  && \\\hline
 \end{tabular}\\
  \end{center}
 \item Que renvoit l'algorithme dans ce cas ? Interpréter.
 \end{enumerate}
 \item Que renvoit l'algorithme pour $\varepsilon=0,1$ ? $\varepsilon=10^{-3}$ ?
\item Déterminer un entier $p$ tel que  $\forall n\geq p$, on ait :
$$  -1-\varepsilon\leq u_n \leq -1+\varepsilon$$
\item Que vient-on de démontrer ?
\end{enumerate}
\end{minipage} \qquad 
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{
$\varepsilon$ est un nombre réel strictement positif.
}
\Variable{ 
$u$  est un nombre réel.\\
$p$ est un nombre entier naturel.
}
\Deb{
$u:=0$ et $p:=1$ \\
    \While{ $u\notin \left]-1-\varepsilon;-1+\varepsilon\right[$ }
{$u:=-1+\dfrac{1}{p}$ \\
$ p$ augmente de $1$}
Renvoyer $p-1$.
}
}
\end{center}
\end{minipage}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
On considère la suite définie pour $n\in\N$ par $ u_n=n^2-3$\\
\begin{minipage}{10cm}
\begin{enumerate}
\item Conjecturer la limite $\ell$ de la suite $u$.
\item On donne l'algorithme ci-contre.
\begin{enumerate}
 \item  Compléter la trace d'exécution de cet algorithme dans le tableau ci-dessous, 
 avec l'entrée $A=30$.
 \begin{center}
\begin{tabular}{*{7}{|>{\centering}m{0.8cm}}|}\hline
 Test & \cellcolor{gray}& &&&&\\\hline
 $u$ & & &&&&\\\hline
 $p$ &  &  & &  && \\\hline
 \end{tabular}\\
  \end{center}
 \item Que renvoit l'algorithme dans ce cas ? Interpréter.
 \end{enumerate}
 \item Que renvoit l'algorithme pour $A=1000$ ? $A=10^{6}$ ?
\item Déterminer un entier $p$ tel que  $\forall n\geq p$, on ait :
$$ u_n>A$$
\item Que vient-on de démontrer ?
\end{enumerate}
\end{minipage} \qquad 
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{  
$A$ est un nombre réel strictement positif.
}
\Variable{ 
$u$  est un nombre réel.\\
$p$ est un nombre entier naturel.
}
\Deb{
$u:=-3$ et $p:=0$ \\
    \While{ $u < A$ }
{$u:=p^2-3$ \\
$ p:=p+1$}
Renvoyer $p-1$.
}
}
\end{center}
\end{minipage}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère la suite définie pour $n\in\N^*$ par $ u_n=1-3n$.\\
Rédiger un énoncé d'exercice sur le modèle des deux précédents, 
puis répondre à chacune des questions.
\end{ExoF}



\Exos[Repère]{
n$^{\circ}$ 119 p 133 + 121 à 127 p 135\\
DM sur la suite de Fibonacci : TP livre Symbole p 108 + théorie livre repère n$^{\circ} 133 $ p 136
}

\section{Suite Arithmétique}

\subsection{Découverte des suites arithmétiques au travers d'un exemple}

\Exoi{Dans le pays des merveilles d'Alice, le lapin blanc, depuis le temps, a fait des enfants (enfin des adolescents plutôt...). Du plus vieux au plus jeune : le lapin bleu, le lapin rouge, le lapin vert et le lapin noir. A l'adolescence chacun des 4 lapins a réclamé de l'argent de poche. Noter que les lapins du pays des merveilles sont adolescents de $0$ à $4$ ans, ils deviennent enfants par la suite et n'ont jamais été adultes.\\
Le lapin blanc a décidé de donner au lapin bleu dès sa naissance et jusqu'au jour de ses 4 ans des carottes de la manière suivante :
\begin{itemize}
\item $3$ carottes la première semaine ;
\item Chaque semaine deux carottes de plus que la semaine précédente.
\end{itemize} 
\textit{On admet qu'au pays des merveilles chaque année est constituée d'exactement $52$ semaines et chaque 
mois de $4$ semaines. %Remarquons que les lapins du pays des merveilles ont un treizième mois...}
\\
On note $u_0=3$ et $u_n$ le nombre de carottes reçues par le lapin bleu le jour où il fête ses $n$ semaines.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ ; calculer $u_1$ ; $u_2$ et $u_3$. Combien de carottes le lapin bleu a-t-il reçu le premier mois ?
\item Proposer une formule donnant $u_n$ en fonction de $n$. Vérifier cette formule en recalculant $u_1$ ; $u_2$ et $u_3$.
\item Calculer le nombre de carottes reçues par le lapin bleu le jour de ses $1$ an, de ses $2$ ans, de ses $3$ ans et enfin le jour de ses $4$ ans.
\item Pour leur seule consommation personnelle les lapins du pays des merveilles ont besoin de $300$ carottes par semaine. 
\begin{enumerate}
\item A partir de quel âge le lapin bleu peut-il se nourrir à satiété ? 
\item Déterminer le nombre total de carottes que le lapin blanc a donné au lapin bleu au cours de son adolescence. On devra donc calculer :
$$ S=u_0+u_1+\dots+u_{207}=\sum_{i=0}^{i=207}u_i$$
\item Dès qu'il reçoit plus de $300$ carottes, le lapin bleu (fort économe) met toutes les autres de côté. \\
Déterminer le nombre de carottes économiser par le lapin bleu.
\item Grand amateur de montre, le lapin bleu décide de troquer ses carottes contre des montres au cours suivant, $1$ montre contre $540$ carottes.
Déterminer le nombre de montres que le lapin bleu a pu acquérir grâce aux carottes économisées.
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
}

\subsection{Définition}

\begin{defi}
Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme permet de déduire le suivant en lui ajoutant la même constante appelée raison.\\
Si on note $u$ une suite arithmétique de raison $r$ définie pour tout entier $n$ on a donc, pour tout entier naturel $n$ :
$$ u_{n+1}=u_n+r$$
\end{defi}

\Expl{La suite des entiers naturels pairs est une suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 2}

\Rq{Si $u$ est suite arithmétique de raison $r$ alors pour tout $n$ on a :
$$ u_{n+1}=u_n+r\Longleftrightarrow u_{n+1}-u_n=r$$
Si la raison $r>0$ alors la suite arithmétique est strictement croissante, au contraire si $r<0$ la suite arithmétique est strictement décroissante. Dans le cas où $r=0$ il s'agit d'une suite constante.
}

\Exoi{Les suites suivantes sont-elles arithmétiques ? Dans le cas d'une réponse positive préciser leur raison et leur sens de variation.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $u_n=3n-2$
\item $u_n=n^2-3$
\item $u_n=-4n+1$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\subsection{Expression explicite en fonction de $n$}
On considère une suite arithmétique $u$ de raison $r$ et de premier terme $u_0$, on a alors :
\begin{eqnarray*}
& & u_1=u_0+r\\
& \Longrightarrow & u_2=u_1+r=u_0+2r\\
& \Longrightarrow & u_3=u_2+r=u_0+3r\\
& \Longrightarrow & u_4=u_3+r =u_0+3r+r=u_0+4r\\
& \Longrightarrow & \dots\dots\dots\\
&\Longrightarrow & u_n=u_{n-1}+r=u_0+(n-1)r+r=u_0+nr
\end{eqnarray*}

\begin{prop}
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$, alors $$u_n=u_0+nr$$
\end{prop}

\Exoi{$(u_n)$ est la suite arithmétique de premier terme $u_0=3$ et de raison $2$. \newline
Calculer $u_{2013}$}

\begin{theo}Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$, alors pour tous $p$ et $n$ de $\N$  :
$$ u_n=u_p+(n-p)r$$
\end{theo}

\Dem{D'après la propriété précédente on a pour tous $p$ et $n$ de $\N$ :
$$ u_p=u_0+pr \qquad \text{ et }\qquad u_n=u_0+nr$$
Par conséquent $$ u_n-u_p=u_0+nr-u_0-pr=(n-p)r\Longleftrightarrow u_n=u_p+(n-p)r$$}

\Exoi{Considérons une suite arithmétique $(v_n)$ telle que $v_{27}=6$ et $v_{39}=10$\newline
Calculer $v_7$ et $v_{74}$
}

\begin{theo}
On considère une suite $(u_n)$ définie par $u_n=an+b$ où $a$ et $b$ sont deux réels. \newline
$(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $a$ 
\end{theo}

\Dem{Soit $n\in\N$, on a alors :
$$ u_{n+1}-u_n=a(n+1)+b-an-b=a$$}
\subsection{Somme de termes successifs}

\Rq{Soit $(u_n)$ une suite. La somme $u_1+u_2$ comporte deux termes, de même la somme $u_1+u_2+u_3$ en comporte $3$. De manière générale la somme $u_1+u_2+\dots u_p$ comporte $p$ termes. \newline
Combien en comporte la somme :$u_{14}+u_{15}+\dots +u_{25}$ ? On peut remarquer que cette somme s'écrit encore :
$$ u_{1+13}+u_{2+13}+\dots +u_{13+12} $$
Par conséquent elle comporte $12$ termes, i.e $25-14+1$ termes.}  

\begin{prop}La somme $u_p+u_{p+1}+\dots+u_q$ comporte donc $q-p+1$ termes ($p$ et $q$ sont des nombres entiers tels que : $p<q$)
\end{prop}

\begin{prop}[Somme des $n$ premiers entiers]$$ 1+2+\dots+n-1+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$$\end{prop}

\Dem{Notons $S=1+2+\dots+n-1+n$, on a $2S=1+2+\dots+n+1+2+\dots+n=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+\dots +(n-2+3)+(n-1+2)+(n+1)=n(n+1)$ donc $S=\dfrac{n(n+1)}{2}$}

\Expl{La somme des $100$ premiers entiers est donc :
$$ \dfrac{100\times 101}{2}=\dfrac{10100}{2}=5050$$}


\begin{theo}On considère une suite arithmétique $u$ et $S$ la somme des termes successifs (à partir de celui de rang $p$ jusqu'à celui de rang $n$) que l'on note :
$$ S=u_p+u_{p+1}+\dots+u_n=\sum_{i=p}^{i=n}u_i$$
On a alors :
$$S=\dfrac{(n-p+1)(u_p+u_d)}{2} $$
\end{theo}

\Dem{On a : $$ S=u_p+u_{p+1}+u_{p+2}\dots+u_{n-2}+u_{n-1}+u_n$$
En notant $r$ la raison on obtient :
$$ S=u_p+(u_p+r)+(u_p+2r)+\dots + (u_n-2r)+(u_n-r)+u_n$$
En inversant l'ordre des termes de cette somme, $S$ s'écrit aussi :
$$ S=u_n+(u_n-r)+(u_n-2r)+\dots+(u_p+2r)+(u_p+r)+u_p$$
Effectuons alors la somme, membre à membre terme à terme, des deux égalités précédentes :
$$ 2S=(u_p+u_n)+(u_p+r+u_n-r)+(u_p+2r+u_n-2r)+\dots+(u_n-2r+u_p+2r)+(u_n-r+u_p+r)+(u_n+u_p)$$
Cette somme comporte $n-p+1$ termes tous égaux à $u_p+u_n$, par conséquent :
$$ 2S=(n-p+1)(u_p+u_n)\Longleftrightarrow S=\dfrac{(n-p+1)(u_p+u_n)}{2} $$}

\Exoi{
\begin{enumerate}
\item Calculer la somme des $50$ premiers entiers impairs.
\item Calculer la somme des $50$ premiers entiers pairs en partant de $12$
\end{enumerate}}
\pagebreak
\Exoi{En reprenant le contexte de l'exercice introductif. La lapin blanc décide pour son second, le lapin rouge de donner dès sa naissance et jusqu'au jour de ses 4 ans des carottes de la manière suivante :
\begin{itemize}
\item $417$ carottes la première semaine ;
\item Chaque semaine deux carottes de moins que la semaine précédente.
\end{itemize} 
On note $v$ la suite telle que $v_n$ vaut le nombre de carottes reçues par le lapin rouge le jour de sa $n-$ième semaine. Notons que $v_1=417$ et que $v_0$ n'existe pas.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $v_n$ est une suite arithmétique ; préciser sa raison et son sens de variation.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer le nombre de carottes reçues par le lapin bleu le jour de ses $1$ an, de ses $2$ ans, de ses $3$ ans et enfin le jour de ses $4$ ans.
\begin{enumerate}
\item Jusqu'à quel âge le lapin bleu peut-il se nourrir à satiété ? 
\item Déterminer le nombre total de carottes que le lapin blanc a donné au lapin rouge au cours de son adolescence. On devra donc calculer :
$$ S=v_1+v_2+\dots+v_{208}=\sum_{i=1}^{i=208}v_i$$
\item Dès qu'il reçoit plus de $300$ carottes, le lapin rouge (fort économe comme son frère) met toutes les autres de côté. \\
Déterminer le nombre de carottes économiser par le lapin rouge.
\item Grand amateur de montre, le lapin rouge décide de troquer ses carottes contre des montres mais l'inflation existe au pays des merveilles. Il faut $10\%$ de carottes supplémentaires pour obtenir une montre qu'au temps du lapin bleu. 
Le lapin rouge est-il perdant par rapport à son frère ?
\end{enumerate}
\item Le lapin blanc constatant l'injustice subit par le lapin rouge décide d'utiliser une autre méthode pour les \og carottes de poches \fg{} du lapin suivant, le lapin vert. Il le rémunère de sa naissance et jusqu'au jour de ses 4 ans de la manière suivante :
\begin{itemize}
\item $1$ carotte la première semaine ;
\item Chaque semaine trois carottes de plus que la semaine précédente ;
\item $100$ carottes les $6$ derniers mois.
\end{itemize} 
On note $w$ la suite telle que $w_0=1$ et $w_n$ désigne le nombre de carottes reçues par le lapin rouge le jour où il fête ses $n$ semaines.
\begin{enumerate}
\item La suite $w$ est-elle arithmétique ?
\item Plus précisément déterminer le rang jusqu'au quel $w$ se comporte comme une suite arithmétique.
\item Identique à ses frères le lapin rouge économise dès qu'il reçoit plus de $300$ carottes par semaine. Mais durant les $6$ derniers mois il mange un peu de ses économies de manière à manger $300$ carottes exactement par semaine. Sachant que le cours de la carotte a encore augmenté de $50\%$ déterminer le nombre de montre que le lapin rouge possèdera au moment de devenir enfant.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\pagebreak
\section{Suite Géométrique}

\subsection{Découverte des suites géométriques au travers d'un exemple}

\Exoi{Vient le tour du derrnier né du lapin blanc, le lapin noir. Détestant les habitudes le lapin blanc modifie une nouvelle fois le système des \og carottes de poches \fg{} et le lapin noir se voit proposer le système suivant :
\begin{itemize}
\item $3$ carottes la première semaine ;
\item Chaque semaine $3,5\%$ de carottes en plus de la semaine précédente (le lapin blanc donnera s'il le faut des morceaux de carottes...)
\end{itemize} 
On note $t$ la suite telle que $t_n$ vaut le nombre de carottes reçues par le lapin rouge le jour de sa $n-$ième semaine. Notons que $t_1=3$ et que $t_0$ n'existe pas.
\begin{enumerate}
\item Calculer $t_1$ ; $t_2$ et $t_3$ puis exprimer $t_{n+1}$ en fonction de $t_n$. Combien de carottes le lapin noir a-t-il reçu le premier mois ?
\item Proposer une formule donnant $t_n$ en fonction de $n$. Vérifier cette formule en recalculant $t_1$ ; $t_2$ et $t_3$.
\item Calculer le nombre de carottes reçues par le lapin noir le jour de ses $1$ an, de ses $2$ ans, de ses $3$ ans et enfin le jour de ses $4$ ans.
\item Pour leur seule consommation personnelle les lapins du pays des merveilles ont besoin de $300$ carottes par semaine. 
\begin{enumerate}
\item A partir de quel âge le lapin noir peut-il se nourrir à satiété ? 
\item Déterminer le nombre total de carottes que le lapin blanc a donné au lapin noir au cours de son adolescence. On devra donc calculer :
$$ S=t_1+t_2+\dots+t_{208}=\sum_{i=1}^{i=208}t_i$$
\item Dès qu'il reçoit plus de $300$ carottes, le lapin noir (comme les autres) met toutes les autres de côté. \\
Déterminer le nombre de carottes économiser par le lapin noir.
\item Par rapport au lapin précédent, le cours de la carotte a encore augmenté de $10\%$.
Déterminer le nombre de montres que le lapin noir a pu acquérir grâce aux carottes économisées.
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
}

\subsection{Définition}
\begin{defi}Une suite  \underline{g\'eom\'etrique} est une suite de nombres dans laquelle chaque terme permet de déduire le suivant par multiplication par un coefficient constant appelé raison. Ainsi, une suite géométrique $u$ de raison $q$ et de premier terme $a$ a la forme suivant :
$$ a\quad aq\qquad aq^2\qquad aq^3\qquad aq^4$$
La définition peut s'écrire sous la forme d'une relation de récurrence, c'est-à-dire que pour chaque entier naturel $n$ :
$$ u_{n+1}=q\times u_n$$
\end{defi}

\Expl{La suite des puissances de $2$ est une suite géométrique de raison $2$ : $u_{n+1}=2\times u_n$\\
Donner les premiers termes de la suite géométrique de premier terme $2$ et de raison $0,5$.}


\Exoi{\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(u_n)$ définie par $u_n=\dfrac{2}{3^n}$ est géométrique
\item La suite $(v_n)$ est définie par $v_0=6$ et $v_{n+1}=3v_n+4$ pour tout $n\in\N$.\newline
On note $$w_n=v_n+2$$
Montrer que $(w_n)$ est une suite géométrique 
\end{enumerate}}

\Exoi{Montrer que la suite $(u_n)$ définie, pour tout $n\in\N$ par $u_n=2\times (-1)^n$ est géométrique. On précisera sa raison.}

\subsection{Expression explicite en fonction de $n$}

\begin{theo}On considère une suite $(u_n)$ définie par $u_n=aq^n$ où $a$ et $q$ sont deux réels non nuls. \newline
$(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$\end{theo}

\Dem{Pour tout $n\in\N$ on a $u_{n+1}=aq^{n+1}=aq^n\times q=q u_n $. Par conséquent la suite est géométrique de raison $q$}

\begin{theo}Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q\neq 0$ et de premier terme $u_0$ alors $$u_n=u_0 \times q^n$$\end{theo}

\Dem{On peut raisonner de proche en proche. On a :
\begin{eqnarray*}
&& u_1=u_0q\\
&& u_2=u_1q=u_0q^2\\
&& u_3=u_2q=u_0q^3\\
&& \dots \\
&& u_{n-1}=u_{n-2}q=u_0q^{n-2}\\
&& u_n=u_{n-1}q=u_0q^{n-1}\\
\end{eqnarray*}
}

\Expl{Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0=2$ et de raison $3$. On a alors :
$$ u_n=2 \times 3^n$$
On peut, par exemple calculer directement $u_5=2\times 3^5=2\times 243=486$}




\begin{theo}$(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q\neq 0$ alors quels que soient les entiers naturels $n$ et $p$ on a :
$$u_n=q^{n-p}\times u_p$$ \end{theo}

\Dem{D'après le théorème précédent, on a :
$$ u_n=u_0q^n \qquad \text{ et }\qquad u_p=u_0q^p$$
donc, puisque $q\neq 0$, $u_0= \dfrac{u_p}{q^p}$ ; d'où $u_n=\dfrac{u_p}{q^p}q^n=u_p\times q^{n-p}$ }

\Exoi{$(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites géométriques. Déterminer $u_5$, $u_8$, $v_7$ et $v_{15}$ sachant que :
\begin{enumerate}
\item $u_0=6$ et $q=-\dfrac{1}{3}$
\item $v_5=1$ et $v_{10}=32$
\end{enumerate}}


\subsection{Somme de termes successifs}

On s'interesse à la somme des $n$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $q$, avec $q\neq 1$
\begin{prop}[Cas particulier $u_n=q^n$, avec $q\neq 1$]$$ 1+q+q^2+\dots+q^{n-2}+q^{n-1}=\dfrac{1-q^n}{1-q}$$\end{prop}

\Dem{Notons $S=1+q+q^2+\dots+q^{n-2}+q^{n-1}$, on a $qS=q+q^2+\dots+q^{n-2}+q^{n-1}+q^n$\newline
Par conséquent  $$(1-q)S=S-qS=1-q^n\Longleftrightarrow S=\dfrac{1-q^n}{1-q}$$}


\Expl{La somme des $10$ premiers termes de cette suite géométrique lorsque $q=2$ est donc :
$$ \dfrac{1-2^{10}}{1-2}=1023$$}

\begin{theo}La somme des termes consécutifs, du terme de rang $p$ au terme de rang $n$, d'une suite géométrique de raison $q$ ($q\neq 1$) est égale à : 
$$ u_p+u_{p+1}+\dots+u_n=u_p \dfrac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$$ 
\end{theo}

\Dem{On calcule donc $S$, la somme des $n-p+1$ termes consécutifs, de premier terme $u_p$, d'une suite géométrique de raison $q$ où $q\neq 1$
$$ S=u_p+u_{p+1}+\dots+u_n=u_p+u_p\times q+u_p\times q^2+\dots +u_p\times q^{n-p+1-1}=u_p(1+q+q^2+\dots+q^{n-p+1-1})=u_p \dfrac{1-q^{n-p}}{1-q}$$
}

\Rq{Le cas $q=1$ est trivial, en notant le premier terme de la somme $a$ :
$$a+aq+aq^2+\dots +aq^{n-1}=a+a+\dots+a=na$$}

\Exoi{
 Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0=\dfrac{1}{2}$ et de raison $q=\dfrac{3}{2}$. Calculer $S=u_4+u_5+\dots+u_{14}$}


\subsection{Convergence}
\begin{theo}Soit $(u_n)$ une suite définie par : $u_n=q^n$ alors :
\begin{itemize}
\item Si $q \in ]-1;1[$ la suite $(u_n)$ est convergente vers $0$
\item Si $q=1$ alors la suite $(u_n)$ est constante et donc convergente vers $1$, si $q=-1$ la suite diverge (elle vaut tantôt $1$ tantôt $-1$).
\item Si $q>1$ alors la suite $(u_n)$ est divergente (vers $+\infty$), enfin si $q<-1$ la suite diverge (un terme sur deux est négatif, l'autre est positif).
\end{itemize}
\end{theo}

Pour cette démonstration, nous n'étudierons que le cas où $q>0$, nous allons utiliser le résultat suivant \footnote{un résultat servant une démonstration est usuellement appelé Lemme}

\begin{lem}[Inégalité de Bernoulli]Pour tout réel $x$ positif et pour tout entier $n$, on a :$$(1+x)^n\geq 1+nx$$\end{lem}

\Dem[du lemme]{Notons $\mathscr P(n)$ la propriété $(1+x)^n\geq 1+nx$ est vraie\newline
$\mathscr P(0)$ et $\mathscr P(1)$ sont évidentes\newline
Montrons que $\mathscr P(n)\Longrightarrow \mathscr P(n+1)$.\newline
On suppose donc que $(1+x)^n\geq 1+nx$ et on souhaite montrer que : $(1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x$\newline
On a alors, pour tout $x\geq0$ :
\begin{eqnarray*}
&& (1+x)^n\geq 1+nx \\
&\Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq (1+nx)(1+x) \qquad \text{en multipliant membre à membre par }(1+x)>0\\
&\Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq 1+nx+x+nx^2\\
& \Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x+nx^2 \\
& \Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x \qquad \text{puisque }nx^2\geq 0\\
\end{eqnarray*}
Résumons : On a donc $\mathscr P(0)$ mais aussi, $\forall n\in \N$, $\mathscr P(n)\Longrightarrow \mathscr P(n+1)$, par conséquent on a : pour tout réel $x$ positif et pour tout entier $n$, on a :$$(1+x)^n\geq 1+nx$$}

\Rq{Le type de raisonnement que l'on vient d'effectuer s'appelle le \underline{raisonnement par récurrence}, il sera étudié amplement en terminale.}

\Dem[du théorème]{
\begin{itemize}
\item $q>1$\newline
Posons $x=q-1$, on a alors $x>0$, et d'après l'inégalité de Bernoulli :
$$ q^n=(1+x)^n \geq 1+nx$$
Or, $\lim\limits_{n\to +\infty} 1+nx=+\infty$, par comparaison on en déduit : $$ \lim\limits_{n \to +\infty} q^n=+\infty$$
La suite $(u_n)$ diverge donc vers $+\infty$
\item $q\in [0;1[$\newline
Si $q=0$ le résultat est évident, sinon posons $q'=\dfrac{1}{q}$, dans ce cas $q' \in ]1;+\infty[$\newline
D'après le résultat précédent : $$ \lim\limits_{n \to +\infty} q'^n=+\infty$$
Par passage à l'inverse nous obtenons donc : $$ \lim\limits_{n \to +\infty} q^n=0$$
La suite $(u_n)$ converge donc vers $0$
\item $q=1$, le résultat est alors évident.
\end{itemize}}

\Exoi{$(u_n)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0=3$ et de raison $ \dfrac{1}{2}$. On note $s_n$ la somme $u_0+u_1+u_2+\dots+u_n$
\begin{enumerate}
\item Exprimer $s_n$ en fonction de $n$
\item Calculer $\lim\limits_{n\to +\infty}s_n$
\end{enumerate} }

\pagebreak
\subsection{Application}


    
\Exoi{Un étudiant loue une chambre pour $3$ ans. On lui propose deux types de bails. \\
\underline{1$^\text{er}$ contrat} : Un loyer de $200\euro$ pour le premier mois puis une augmentation de $5\euro$ par mois jusqu'à la fin du bail.
\\
\underline{2$^\text{ème}$ contrat} : Un loyer de $200\euro$ pour le premier mois puis une augmentation de $2\%$ par mois jusqu'à la fin du bail\footnote{Un bail est un contrat de location}.
\begin{enumerate}
\item Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois.
\item Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du dernier mois, i.e le loyer du $36^\text{ème}$ mois.
\item Quel est le contrat globalement le plus avantageux pour un bail de $3$ ans ? (\textit{Justifier par des calculs})
\end{enumerate}
}     

\Exoi{On considère la suite géométrique définie de la façon suivante :
$$ u_1=1\qquad \text{et}\qquad u_{n+1}=2u_n\qquad \forall n\geq 1$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_2$ ; $u_3$ ; $u_4$.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ ; en déduire $u_{64}$.
\item \textbf{La légende du jeu d'échec} :\textit{ Le roi demanda à l'inventeur du jeu d'échec de choisir lui-même sa récompense. Celui-ci répondit : \og place 1 grain de blé sur la première case de l'échiquier, deux grains sur la deuxième case, quatre sur la troisième case, et ainsi de suite jusqu'à la $64^\text{ième}$ case. Le roi sourit de la modestie de la demande.}
\\
Calculer une valeur approchée du nombre total de grains de blé que le roi devra placer sur l'échiquier.
\end{enumerate}
}

\Exoi{Les rayons cosmiques produisent continuellement dans l'atmosphère du carbone $14$, qui est un élément radioactif. Durant leur vie, les tissus animaux et végétaux contiennent la même proportion de carbone $14$ que l'atmosphère. Cette proportion de carbone $14$ décroît après la mort du tissu de $1,24\%$ en $100$ ans.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les pourcentages de la proportion initiale de carbone $14$ contenu dans le tissu au bout de $1000$ ans, de $2000$ ans et de $10000$ ans.
\item Exprimer le pourcentage de la proportion initiale de carbone $14$ contenu dans le tissu au bout de $k\times 10^3$ années.
\item Un fossile ne contient plus que $10\%$ de ce qu'il devrait contenir en carbone $14$. Estimer  son âge.
\end{enumerate}
}

%\Exoi{Premières étapes de la construction du triangle de Sierpinski :
%\begin{center}
%\includegraphics[scale=1]{Sierpinski.eps}
%\end{center}
%\begin{enumerate}
%\item On note $u$ la suite qui donne le nombre de triangle noir à l'étape $n$. Quelle est la nature de $u$ ; préciser ses éléments caractéristiques.
%\item On note $v$ la suite qui donne la longueur d'un côté du triangle noir à l'étape $n$.  Quelle est la nature de $v$ ; préciser ses éléments caractéristiques.
%\item On note $w$ la suite qui donne l'aire d'un triangle noir à l'étape $n$.  Quelle est la nature de $w$ ; préciser ses éléments caractéristiques.
%\item On note $t$ la suite qui donne l'aire du domaine couvert par les triangles noirs à l'étape $n$.  Quelle est la nature de $t$ ; préciser ses éléments caractéristiques.
%\end{enumerate}
%}



\epigraphe{La vie est faite de hasard contraire au destinée.}{Johan Sfar}{Issu du film \og Gainsbourg, vie héroïque \fg} 


\end{document}