\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 7}
\newcommand{\Ch}{Nombre d\'eriv\'ee d'une fonction}
\newcommand{\Cl}{1G6}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2.4cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\Chacha{Riuk.eps}{Death Note}{Oba et Obata}  					% Image + titre + Auteur
{Si les gens ne croient pas que les mathématiques sont simples, c’est seulement parce qu’ils ne réalisent pas combien la vie est compliquée !}{John Louis von Neumann}		% Citation + Auteur
{\textit{Death Note} est un manga de type shônen, créé par le scénariste Tsugumi Oba et le dessinateur Takeshi Obata. 
Il a été prépublié dans un journal de 2003 à 2006, et par la suite publiée en douze tankôbon de 2004 à 2006.\\
L’histoire est centrée sur \textit{Raito Yagami}, un lycéen surdoué qui juge le monde actuel criminel et corrompu.
Sa vie change du tout au tout le jour où il ramasse par hasard un mystérieux cahier intitulé « Death Note ».
Ancienne propriété d’un dieu de la mort, le Death Note permet à son utilisateur de tuer toute personne dont il connaît le nom et
le visage. Raito décide d’utiliser le Death Note pour exterminer les criminels, dans le but d’éradiquer le Mal et de bâtir un monde parfait 
dont il sera le dieu.\\
Mais les nombreuses morts inexpliquées de criminels à travers le monde attirent l’attention d’Interpol et 
du mystérieux \textit{L}, un détective capable de résoudre n’importe quelle énigme, mais dont personne ne connaît ni 
le visage ni le nom. L décide d’enquêter pour capturer le tueur en série, surnommé par le grand public \og Kira \fg.
Entre Raito et L, tous deux persuadés d’agir pour la justice, s’engage un combat acharné pour découvrir 
en premier l’identité de l’autre...
} 						% Présentation auteur
{0.9}		% Ratio portrait
{0.8}		% Ratio Image
{\item Découvrir la notion de taux de variation d'une fonction et celle de limite.
%\item Découvrir la notion de limite
 \item Définir le nombre dérivé d'une fonction en un point.
 \item Le calculer, le trouver à la calculatrice, l'interpréter graphiquement.
 \item Trouver l'équation d'une tangente en un point.
 \item Tracer une tangente connaissant le nombre dérivé.
\item Découvrir la notion de fonction dérivée.
\item Connaître les fonctions dérivées des fonctions de référence.
}
\setcounter{NumLecon}{7}	

\TITRE{L.eps}{0.7} 						% Image 1ere page + ratio
%\begin{abstract}
 

\begin{Intro}{Au fil du temps}{
En mathématiques, la dérivation élémentaire est le calcul permettant de définir une variation de phénomène par 
unité de temps ou par unité géométrique. La dérivée $f'$ d'une fonction $f$ en un point $x_0$ ne fait rien d'autre que 
d'indiquer la valeur de la pente de la fonction en ce point : par exemple, si la pente au point $x_0$, appelé nombre dérivé de $f$ en $x_0$ et
que l'on note $f'(x_0)$, est positive, alors c'est que la courbe de la fonction est orientée \og vers le haut\fg en ce point 
(elle est croissante) et la valeur de $f'(x_0)$ indique si cette montée est plutôt douce ou forte. De même,
si $f'(x_0)$ est négative, la courbe est \og descendante\fg en ce point, et si $f'(x_0)=0$, la courbe y connaît un répit
horizontal. 
En bref, la fonction dérivée $f'$ n'a pour rôle que de donner toutes les informations sur les variations de $f$ ...\\
Pourtant, la découverte des fonctions dérivées ne se fit qu'au XVII$^e$ et a été l'un des moments forts des 
mathématiques. \newline
Ceci a obligé les mathématiciens à raisonner en termes de sommes infinies d'éléments 
\og infiniment petits \fg , pour lesquels il a fallu inventer des règles et des opérations. La dérivation a 
également été une extraordinaire découverte pour la Physique : la connaissance des variations d'une fonction s'est révélée
essentielles à la description des phénomènes naturels car les théories physiques parlent avant tout des variations 
de la nature.\\

Il faut dire que, dès les premières décennies du XVII$^e$, l'étude des \og courbes \fg géométriques, inaugurée par les Grecs
anciens, s'est déjà transformée en l'étude de fonctions plus générales.
C'est Blaise Pascal qui, le premier, mène des études sur la notion de tangente à une courbe - lui-même les appelait \og touchantes \fg.
Grâce aux travaux de Fermat, on sait également qu'une fonction (continue) change son mode de variation en passant par un 
point où sa tangente a une pente nulle,
l'extremum, ce qui renseigne sur la forme géométrique de cette fonction. Mais l'ambition des mathématiciens du XVII$^e$ siècle est bien plus générale : il s'agit pour eux de montrer qu'une fonction contient dans son expression mathématique
toutes les informations sur ses tangentes et, inversement, que les informations données par les tangentes à une fonction 
inconnue doivent permettre de reconstruire celle-ci (ce qui équivaut à reconstruire un trajet en voiture à partir uniquement
de ses variations de vitesse et de direction).\\
Mais cette intuition sur le lien entre la fonction et ses tangentes se heurte à un problème : le nombre de tangentes
à une courbe est infini car chaque point à la sienne ! Comme les mathématiciens de l'époque ne savent pas raisonner
avec l'infini, il leur parait impossible de calculer la pente exacte d'une tangente au point $(x; f(x))$, d'autant plus
qu'au sens géométrique un point n'a pas de tangente ! \\

Cependant, dès la seconde moitié du XVII$^e$ siècle, le domaine mathématique de l'analyse numérique connait une avancée 
prodigieuse grâce aux travaux de Newton et de Leibniz en matière de calcul différentiel et intégral.
La notion de nombre dérivée se retrouve pour la première fois dans leurs écrits, 
sous le nom \og fluxion \fg, et défini comme \og le quotient ultime de deux accroissements évanescents \fg .\\
Entre 1660 et 1675, Leibniz et Newton découvrent, chacun de leur côté et indépendamment, une nouvelle mathématique qui permet de raisonner
sur des segments \og infiniment petits \fg d'une fonction $f$.
L'idée essentielle est que si l'on considère des segments de plus en plus proche de sa courbe, alors leur tangente tend 
à se confondre avec le segment lui-même : du coup, sa pente se déduit directement de l'expression de la fonction $f$.\\
%En termes mathématiques : quand on prend deux valeurs de $x$ très proches, $x_1$ et $x_2$, et que l'on considère 
%les points $A_1$ et $A_2$ de la courbe représentative de $f$ d'abscisse $x_1$ et $x_2$, 
%alors la pente du micro-segment $[A_1A_2]$ vaut $\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$.\\
%La formalisation des opérations sur les segments infiniment petits de la courbe conduit les deux savants à tirer de l'expression de $f$ 
%celle d'une nouvelle fonction $f'$, qui donne la pente de la tangente de $f$ en tout point $x$ où elle est existe. \\
%Notons que le marquis de l'Hôpital participe 
%aussi, à la fin du XVII$^e$ siècle, à étoffer cette nouvelle théorie de l'infiniment petit, 
%notamment en utilisant la dérivée pour calculer une limite dans le cas de formes indéterminées particulières 
%(voir Règle de L'Hôpital). Et citons également Wallis, mathématicien anglais (surtout connu pour la suite d'intégrales 
%qui porte son nom) qui contribue largement à l'essor de l'analyse différentielle.\newline
Néanmoins la théorie du calcul infinitésimal, tout juste éclose, n'est pas encore pourvue de toute la rigueur mathématique qu'elle aurait 
exigée, et notamment la notion d'infiniment petit qui tient plus de l'intuitif, et qui 
pourrait engendrer des erreurs dès lors que l'on ne s'entend pas bien sur ce qui est ou non négligeable. \\

Au XVIII$^e$ siècle Lagrange utilise la notation $f'(x)$, aujourd'hui tout à fait usuelle, 
pour désigner le nombre dérivé de $f$ en $x$, tandis que d'Alembert introduit la définition plus rigoureuse du 
nombre dérivé en tant que limite du taux d'accroissement - sous une forme semblable à celle qui est utilisée et 
enseignée de nos jours. 
Cependant, à l'époque de d'Alembert, c'est la notion de limite qui pose problème :  elle n'est pas encore 
construite formellement ! \\
C'est seulement avec les travaux de Weierstrass au milieu du XIX$^e$ siècle que le 
concept de dérivée sera entièrement formalisé.
}
\end{Intro}






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours
%\section{Nombre dérivé}
Dans tout le chapitre, $a$ et $b$ désignent deux nombres réels, 
$f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant $a$ et $b$, 
et on appelle $\mathscr C$ sa courbe représentative dans un repère $(0; \vec i ; \vec j)$.\\

\section{Taux de variation d'une fonction}

\subsection{Définition}


\Act{En Syldavie, Fabrice, grand amateur de Kôsho\footnote{
Le Kôsho est un sport de combat se pratiquant sur deux trampolines séparés d'une mini-piscine. 
L'objectif est de faire tomber son adversaire dans l'eau, en sautant n'importe où et en allant au contact.\\
Ce sport est apparu pour la première fois
de manière fictive, dans la série \og Le prisonnier \fg de Patrick Mc Goohan, à la fin des années 60.\\
Peu après, les fans de la série
ont décidé de lui donner vie de manière officieuse, au niveau amateur. 
Peu à peu, le Kôsho prend de l'ampleur par le bouche à oreille, mais reste encore assez méconnu. \\
Fabrice est actuellement ceinture bleue de Kôsho, mais espère bien obtenir sa ceinture
noire l'an prochain.\\
Notez bien que tout ceci est sans rapport avec notre activité, mais je tenais à le signaler} ,
aime lâcher les sacs des élèves studieux, sans vitesse 
initiale, du haut du quatre-vingt-septième étage des bâtiments du lycée de Gattaca. \\
L'objectif (car il y en a un) est d'étudier la vitesse des sacs. %\\ 
Par ailleurs, chacun sait que la distance parcourue, en mètres, 
par un objet en chute libre sans vitesse initiale, est : 
$$d(t)=\dfrac12 gt^2  \qquad \qquad \text{ où } g \text{ est la constante de pesanteur et vaut environ } 9.81 m.s^{-2}$$
Dans géogébra, Fabrice a tracé la courbe représentative de $d$ :
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=2.cm,yunit=0.06cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-1,-10)(6,130)
\psgrid[xunit=0.5cm,yunit=0.3cm, subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(30,40)
\psset{algebraic=true,dotstyle=x,dotsize=8pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,
arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=10,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)
(0,0)(6,130)
\psplot[linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{0.0}{6.0}{4.9*x^2}
\psline(0.19,186.65)(1.83,186.65)
\rput[bl](5.5,120){\blue{$\mathscr C$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item A partir de la courbe représentative de $d$, comparez les variations de la fonction $d$ sur les intervalles
$[0;2]$, $[2 ; 4]$ et $[4 ; 5]$.
\item Proposez une méthode calculatoire pour quantifier les variations de $d$ sur ces intervalles.
\item Généraliser votre formule pour quantifier les variations de $d$ sur un intervalle $[a;b]$, où $a$ et $b$
sont des réels positifs.
\item Interprétez vos calculs en termes de vitesse d'un sac.
\end{enumerate}
}

\begin{defi}
On appelle \textbf{taux de variation} (ou d'accroissement) d'une fonction $f$ entre deux réels 
$a$ et $b$ (avec $a\neq b$) la quantité :
$$\tau(a,b)=\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}$$
\end{defi}

\Rq{Graphiquement, le taux de variation d'une fonction traduit la \og vitesse de (dé)croissance\fg 
de sa courbe représentative sur un intervalle. On parle encore de l'allure de la pente d'une courbe.
}

\Expl{Vous avez vu en seconde, voire en troisième, que 
les fonctions affines sont les fonctions avec un taux de variation constant.\\
}

\Dem{
\begin{itemize}
 \item Démontrons l'implication.\\
 Si $f$ est la fonction affine définie par $f(x)=mx+p$ alors 
$$\tau(a,b) = \dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=\dfrac{ma+p-(mb+p)}{a-b}=\dfrac{m(a-b)}{a-b}=m$$
On retrouve le coefficient directeur de la droite représentative de la fonction $f$.\\
 \item Démontrons désormais la réciproque. \\
 Si $f$ est une fonction dont le taux de variation est constant alors $\forall a , b \in\R$ avec $a\neq b$,
on a $\tau=\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=k $ avec $k\in\R$.\\
En particulier, si $a=x\in\R$ varie et $b$ est fixé on a 
$$\dfrac{f(x)-f(b)}{x-b}=k \iff f(x)=k(x-b)+f(b) \iff f(x)=kx -kb+f(b)$$
Comme $b$ est fixé, $-kb+f(b)=p$ est une constante et $f$ est bien de la forme $f(x)=mx+p$ où $m=k$.
\end{itemize}
}

\subsection{Limite du taux de variation et nombre dérivé}
\Act{On reprend le contexte de l'activité précédente.
\begin{enumerate}
 \item Fabrice cherche désormais à estimer une valeur approchée de la vitesse instantanée
 d'un sac au bout de $2$ s. 
  \begin{enumerate}
  \item Proposez-lui une méthode, ainsi qu'une estimation. 
  \item Comment pouvez-vous obtenir une meilleure estimation que celle de votre voisin ? 
\end{enumerate}
  %\item Généraliser votre formule pour quantifier la pente de $d$ en un point d'abscisse $t$.
 \item Fabrice affirme : \og La vitesse instantanée à l'instant $t$ est $v(t) = 9.81 t$ m.s$^{-1}$ \fg. 
 \begin{enumerate}
  \item Expliquez cette affirmation. 
\item Interprétez cette affirmation en terme de pente de la courbe représentative de $d$.
 \end{enumerate}
\item \textbf{Application} : un sac est lâché sans vitesse initiale du quatre-vingt-septième étage.
En considérant que chaque étage fait 3m de haut, calculez, en km/h, 
la vitesse du sac au moment de l'impact au sol.
\end{enumerate}
}

\begin{defi}
Soit $h$ un réel non nul tel que $a+h \in I$. \\
Il arrive que le taux de variation \quad $\tau =\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ \quad  
devienne aussi proche que l'on veut d'un \textbf{nombre réel} $\ell$, à condition de choisir 
$h$ suffisamment proche de 0. \\
On dit alors que la limite de $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ est $\ell$ lorsque $h$ tend vers $0$ et on note :
$$\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = \ell  $$
On dit encore que $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers un réel $\ell$ lorsque $h$ tend vers $0$.\\
Dans ce cas, on note $f'(a)$ le nombre $\ell$, que l'on appelle \textbf{nombre dérivé} de $f$ en $a$,
et on dit que $f$ est \textbf{dérivable} en $a$.
%On dit que $f$ est dérivable en $a$ si le taux de variation (ou d'accroissement) $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 
%devient aussi proche que l'on veut d'un nombre réel $\ell$ lorsque $h$ est suffisamment proche de 0.\\
%Autrement dit, $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers un réel $\ell$ lorsque $h$ tend vers $0$ et on note 
%$$\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = \ell  $$
%Le nombre $\ell$ est alors appelé le nombre dérivé de la fonction $f$ en $a$. On le note $f'(a)$.
\end{defi}

%\Rq{La quantité $ \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ s'appelle le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$}

\Rqs{\item Ainsi, si \quad $ \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ \quad tend vers un réel quand $h$ tend vers $0$, on a 
$f'(a)=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}  $
\item Graphiquement, le nombre $f'(a)$, lorsqu'il existe, mesure la \og force \fg de la pente de la courbe 
représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse $a$.
\begin{itemize}
 \item Plus il est élevé, plus la courbe \og monte vite \fg aux alentours du point de $\mathscr C$
 d'abscisse $a$. 
 \item Si $f'(a)$ est négatif, cela indique que la courbe est décroissante aux alentours de ce point, etc
\end{itemize}
}

\Expls{Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $f(x)=x^3-5$ et $g(x)=x^2+3x-4$.
\begin{itemize}
 \item $f$ est-elle dérivable en $2$ ?
 \item $g$ est-elle dérivable pour tout réel $a$ ?
 \item Comparer les pentes des courbes représentatives de $f$ et $g$ au point d'abscisse $2$.
\end{itemize}
}
 
\Sol{\begin{itemize}
      \item %Cherchons $ \lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}  $ : 
$ \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\dfrac{(2+h)^3-5-2^3+5}{h}=\dfrac{12h+6h^2+h^3}{h}=\dfrac{h(12+6h+h^2)}{h}=12+6h+h^2$\\
Comme $\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=12$, $f$ est dérivable en $2$ et on a $f'(2)=12$.
\item Calculons petit à petit :
$$ g(a+h)-g(a)=(a+h)^2+3(a+h)-4-\left(a^2+3a-4\right)=a^2+2ah+h^2+3a+3h-4-a^2-3a+4=2ah+3h+h^2$$
Donc \quad $ \dfrac{g(a+h)-g(a)}{h}=\dfrac{2ah+3h+h^2}{h}=2a+3+h \quad \text{ et } 
\quad \lim\limits_{h \to 0}2a+3+h =2a+3 \in\R$ pour tout $a\in\R$\\\\
Par conséquent la fonction $g$ est dérivable pour tout réel $a$ et on a $g'(a)=2a+3$.\\
Par exemple, le nombre dérivé de $g$ en 5 est $g'(5)=13$.
\item En particulier $g'(2)=7$. La courbe représentative de $f$ \og monte donc plus vite \fg que celle de $g$
aux alentours de leur point d'abscisse $2$.
     \end{itemize}
}

\newpage

\Rqs{
  \item Il faut toujours modifier l'écriture de $\tau$ pour conjecturer la valeur de son éventuelle limite.
  \item Cauchy, mathématicien français qui passe pour le fondateur de l'analyse moderne, notamment
pour la rigueur de ses définitions et de ses démonstrations, définit en 1821 le concept de limite :
\og Lorsque les valeurs successivement attribuées à une même variable s'approchent indéfiniment d'une valeur fixe, 
de manière à finir par enn différer aussi peu que l'on voudra, cette dernière est appelée limite de tous les autres \fg.\\
On lui doit également la définition du nombre dérivé d'une fonction en un point telle qu'elle est enseignée aujourd'hui.
\item Il est possible que le taux de variation ne tende pas vers un réel, mais, par exemple,
soit aussi grand que l'on veut, à condition de choisir $h$ assez proche de $0$.\\
On dira alors qu'il tend vers $+\infty$ lorsque $h$ tend vers $0$ et on notera :
$$\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = +\infty  $$
Dans ce cas, la fonction $f$ n'est pas dérivable en $a$ et le nombre $f'(a)$ n'existe pas.\\
Nous verrons ce cas là dans deux exercices.
}

\Cadre[A la calculatrice]{
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$  par $f(x)=x^3-5$. Voici comment faire pour  obtenir $f'(2)$ à la calculatrice  :
 \begin{center}
  \begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
  \textbf{Modèle} & \textbf{Affichage dans} & \textbf{Pour obtenir l'instruction}\\
  & \textbf{l'écran de calcul} & \\\hline
 && Appuyer sur \fbox{OPTN} \\
 \textbf{Casio} &
  \texttt{d/dx($x^3-5$,$2$)} & Choisir \, \texttt{CALC}\,  avec \fbox{F4} \\
 &&  Puis \, \texttt{d/dx}\,  avec \fbox{F2}  \\
 %&& Enfin compléter l'instruction comme ci-contre\\
 \hline
  \textbf{ TI 82 à 84} & \texttt{nbreDérivé($x^3-5$,$x$,$2$)} &  Appuyer sur \fbox{math} \\ 
 & &  Choisir \, \texttt{8:nbreDérivé}\\
 %&& Puis compléter l'instruction comme ci-contre\\
 \hline 
 %&& Dans l'écran de calcul\\
  \textbf{TI 89} & $d(x^3-5,x)|x=2$ & Appuyer sur \, \fbox{F3 : Calc}\\
 & puis  $\dfrac{d}{dx}\left(x^3-5\right)|x=2$ & Choisir \, \texttt{1:d( \,\, dérivée}
  % Puis compléter l'instruction comme ci-contre\\
 %&& $d(x^3-5,x)|x=2$ \\
 \\\hline
 %&& Dans l'écran de calcul\\
 && Dans l'écran de calcul , appuyer sur \, \fbox{menu} \\
  \textbf{TI Nspire} & $\dfrac{d}{dx}\left(x^3-5\right)|x=2$ & Choisir \, \texttt{4: Analyse}\,
  %avec \, \fbox{$\blacktriangledown$}\,  et \, \fbox{enter}
  \\
 %&& Puis \texttt{\fbox{+} Analyse} avec \fbox{$\blacktriangledown$} et \fbox{enter}\\
 && Choisir \,  \texttt{2: Dérivée en un point ...} 
 %\, avec \, \fbox{$\blacktriangledown$} \, et \, \fbox{enter}
 \\
 && Compléter \texttt{ Variable :} $x$ \, et \,  \texttt{Valeur :} $2$%\\
 %&& Puis compléter l'instruction comme ci-contre
 \\\hline
 \end{tabular}
\end{center}
}


\begin{ExoF}
 On appelle $f$ la fonction racine carré et $h$ un réel strictement positif.
 \begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
         \item Ecrire le taux de variation $\tau$ de $f$ sur l'intervalle $[3 ; 3+h]$.
  \item Montrer que $\tau = \dfrac{1}{\sqrt{3+h}+\sqrt{3}}$
  \item En déduire que $f$ est dérivable en $3$ et donner la valeur de $f'(3)$.
        \end{enumerate}
 \item Montrer que $f$ n'est pas dérivable en $0$.
  \end{enumerate}
\end{ExoF}

%\Sol{\begin{enumerate}
%      \item Cherchons le taux de variation de la fonction $f$ définie sur $\R^+$ par $f(x)=\sqrt{x}$ en $3$.\\
%$$ \dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}=\dfrac{\sqrt{3+h}-\sqrt{3}}{h}=\dfrac{3+h-3}{h\left(\sqrt{3+h}+\sqrt{3}\right)}
%=\dfrac{1}{\sqrt{3+h}+\sqrt{3}}$$
%Donc $\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}=\dfrac1{2\sqrt{3}}=f'(3)$
%\item Cherchons le taux de variation de la fonction $f$ définie sur $\R^+$ par $f(x)=\sqrt{x}$ en $0$.\\
%$$ \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{\sqrt{h}}{h}=\dfrac{1}{\sqrt{h}}$$
%Or quand $h$ devient très proche de $0$, $\sqrt{h}$ est lui aussi très proche de $0$.\\
%Par conséquent, $\dfrac{1}{\sqrt{h}}$ devient aussi grand que l'on veut.\\
%Ainsi :
%$$ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=+\infty $$
%Donc, la fonction $f$ n'est pas dérivable en $0$. En fait, elle possède une demi-tangente verticale en $0$.
%     \end{enumerate}
%}


\begin{ExoL}
Repère : n$^{\circ}$ \textbf{40 p 74 + 48 p 76 }
\end{ExoL}


\newpage


\section{Interprétation graphique du nombre dérivé}
\subsection{Un certain coefficient directeur}
\Act{On reprend le contexte de l'activité précédente.\\
Fabrice, avide de tout savoir, souhaite comprendre l'interprétation graphique du nombre dérivée.
Pour cela, il a complété son graphique dans géogébra ainsi :\\
\begin{minipage}{7cm}
\begin{itemize}
 \item la courbe $\mathscr C$, représentative de la fonction $d$ sur l'intervalle $[0;5]$
(échelle : X:Y = 1:20). 
\item un point $M$ quelconque sur la courbe $\mathscr C$, d'abs\-cisse $t$,
\item un curseur $h$ allant de $-5$ à $5$, d'incrémentation $0.01$, 
 \item le point $M_h$ de la courbe $\mathscr C$ et d'abscisse $t+h$, 
 \item la droite $(MM_h)$, \\\\
%\textit{A ce stade, on fait varier le curseur $h$ pour observer le comportement de la droite $(MM_h)$}.
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-8)(5,80)
\psset{algebraic=true,dotstyle=x,dotsize=8pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,
arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=10,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)
(0,0)(5,80)
\psplot[linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{0.0}{6}{4.9*x^2}
\psline(0.19,186.65)(1.83,186.65)
\psplot{0}{5}{(-42.88--55.13*x)/2.5}
%\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red]{0}{5}{(--4.9-9.8*x)/-1}
\psline[linestyle=dotted,dash=15pt 15pt](0,60.03)(3.5,60.03)
\psline[linestyle=dotted,dash=15pt 15pt](3.5,60.03)(3.5,0)
\psline[linestyle=dotted,dash=15pt 15pt](1,0)(1,4.9)
\psline[linestyle=dotted,dash=15pt 15pt](1,4.9)(0,4.9)
\rput[bl](1.18,0.95){$M$}
\rput[bl](3.62,55.74){$M_h$}
\rput[bl](3.7,74){\blue{$\mathscr C$}}
\rput[b](1,-8){$t$}
\rput[bl](3.3,-5){$t+h$}
\rput[br](-0.1,3){$d(t)$}
\rput[br](-0.1,55){$d(t+h)$}
%\rput[br](3.9,25){\red{$\Delta(t)$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
       \item Déteminez le coefficient directeur de la droite $(MM_h)$ en fonction de $t$ et $h$.
       \item Quel lien peut-on établir avec l'activité précédente ?
\item Faire varier $h$ sur le logiciel puis proposez une interprétation graphique du nombre dérivé à Fabrice.
\end{enumerate}
}


\begin{minipage}{8cm}
\begin{propo}
Soit $f$ une fonction dérivable en $a$ et $A$ le point de $\mathscr C_f$ d'abscisse $a$.\\
Le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente $T_a$ à la courbe $\mathscr C_f$ au point $A$ 
d'abscisse $a$. 
\end{propo}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\psset{xunit=1.4cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1.5)(5.1,6.1)
\def\xmin{-1} \def\xmax{5} \def\ymin{-1} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{2.6 x 3 sub exp 2 add}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-0.5}{4.5}{\F}
\def\G{1.15 x mul 0.1 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-0.5}{5}{\G}
\def\H{0.34657 x mul 1.68 add}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-0.5}{5}{\H}
 \uput[ur](4,5.45){\blue{$\mathscr C$}}
 \uput[ur](4.3,2.5){\red{$T_a$}}
\uput[ur](1.7,2.4){$A$}
\psline[linestyle=dotted](2,0)(2,2.4)(0,2.4)
\uput[ur](3.7,4.8){$M$}
\psline[linestyle=dotted](4.1,0)(4.1,4.8)(0,4.8)
 \uput[ur](1.8,-0.5){$a$}
 \uput[ur](3.6,-0.5){$a+h$}
\uput[ur](-0.7,2.1){$f(a)$}
 \uput[ur](-1.1,4.5){$f(a+h)$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}


\begin{multicols}{2}
\Expl{$f$ est la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{1}{x}$$
Dans le repère ci-contre, $\mathscr C$ est la représentation graphique de $f$ et $T_2$ la tangente à 
$\mathscr C$ au point $A$ d'abscisse $2$. \newline
Lire sur le graphique le nombre dérivé de $f$ en $2$.}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.6,-1.5)(7.1,3.5)
\def\xmin{-1.5} \def\xmax{7} \def\ymin{-1} \def\ymax{3.5}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.6,-1.5)(7.1,3.5)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 x div}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.2}{4.5}{\F}
\def\G{0 0.25 x mul sub 1 add}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-0.5}{5}{\G}
 \uput[ur](0.6,3){$\mathscr C$}
 \uput[ur](5,-0.5){\red{$T_2$}}
\uput[ur](1.8,0.5){$A$}
\psline[linestyle=dotted](2,0)(2,0.5)(0,0.5)
 \uput[ur](1.8,-0.5){$2$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\frac{1}{2}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

\begin{ExoF}
La représentation graphique $\mathscr C_f$ d'une fonction $f$ est donnée ci-dessous. \\
En chacun des points indiqués, $\mathscr C_f$ admet une tangente qui est tracée.\newline
Lisez, en vous servant du quadrillage, les nombres suivants :
$$ f(-5)\qquad f(-3)\qquad f(-1) \qquad f(0) \qquad f(2) \qquad f(4)\qquad f(6)\qquad f(9)$$
$$ f'(-5)\qquad f'(-3)\qquad f'(-1) \qquad f'(0) \qquad f'(2) \qquad f'(4)\qquad f'(6)\qquad f'(9)$$
%puis retrouver les équations de chacune des tangentes tracées.
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-5,-5.5)(10.5,4.5) 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=2](0,0)(-5,-5)(10,5) 
\psaxes{->}(0,0)(-5,-5.5)(10,5) 
\psaxes(0,0)(-5,-3)(9,5) 
\HermiteDDL(-5,1,1,1)(-3,2,-2,1)(-1,-2,3,1)(0,2,1,1)(2,1,0,1)(4,0,0.666,3)(6,-2,-2,1)(9,2,0.5,1)(10,-1,-4,0) 
\uput[ur](7.6,-1.7){$\mathscr C_f$}
\end{pspicture*} 
\end{center} 
\end{ExoF}

\newpage
\begin{ExoF}
La représentation graphique $\mathscr C_f$ d'une fonction $f$ est donnée ci-dessous. \\
En chacun des points indiqués, $\mathscr C_f$ admet une tangente qui est tracée. En vous servant du quadrillage :
\begin{enumerate}
 \item Lisez les nombres suivants :
$$ f(-3)\qquad f(-1)\qquad f(2) \qquad f(3) \qquad f(5) \qquad f(10)$$
$$ f'(-3)\qquad f'(-1)\qquad f'(2) \qquad f'(3) \qquad f'(5) \qquad f'(10)$$
 \item Retrouvez les équations de chacune des tangentes tracées.
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-5,-5.5)(10.5,4.5) 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=3](0,0)(-5,-5)(10,5) 
\psaxes{->}(0,0)(-5,-5.5)(10,5) 
\psaxes(0,0)(-5,-3)(9,5) 
\HermiteDDL(-5,3,2,0)(-3,-2,-1,1)(-1,1,-2,1)(2,-4,3,1)(3,4,0.333,1)(5,-1,0,1)(10,-3,-2.333,3) 
 \uput[ur](2,1){$\mathscr C_f$}
\end{pspicture*} 
\end{center} 
\end{ExoF}



\begin{ExoL}
Repère : n$^{\circ}$ \textbf{43-44-45 (à la calculatrice)} p 74 
\end{ExoL}




\subsection{Equation de la tangente}
\Act{
On reprend le contexte de l'activité précédente. \\
Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $g$ au point d'abscisse :
$$0 \qquad \qquad \qquad 1 \qquad \qquad \qquad 2 \qquad  \qquad \qquad a \text{ avec } a>0$$
}

\begin{propo}
Une équation de la tangente au point d'abscisse $a$ d'une fonction $f$ dérivable en $a$ est : 
$$y=f'(a)(x-a)+f(a) $$
\end{propo}

\Dem{
  On considère une fonction $f$ dérivable en $a\in\R$.
Soit $A$ le point d'abscisse $a$ de $\mathscr C_f$. \\
D'après la partie précédente, l'équation de la tangente $T_a$ à $\mathscr C$ passant par $A$ est de la forme : 
$$ y=mx+p\qquad \text{ avec }m=f'(a)$$
De plus, comme $A(a;f(a))$ est un point de $T_a$, les coordonnées de $A$ vérifient l'équation de $T_a$ :
$$ f(a)=f'(a)a+p\Longleftrightarrow p=f(a)-f'(a)a$$
Au final l'équation de $T_a$ est $y=f'(a)x+f(a)-f'(a)a\Longleftrightarrow y=f'(a)(x-a)+f(a)$
}

\Expl{
Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction carré au point d'abscisse 
$1$, $-1$, $0$ et $2$.
}

\begin{ExoF}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^4-2x+1$. Soit $\mathscr C_f$ sa représentation graphique.\\
Donner (en justifiant) l'équation de la tangente à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $0$.
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Une parabole $P$ admet, dans un repère $(O;\vec i, \vec j)$, une équation du type :
$$y=ax^2+bx+c \qquad\text{ avec }  a\neq 0 $$
\begin{enumerate}
 \item Déterminer les coefficients $a$, $b$ et $c$ sachant que
\begin{itemize}
 \item $P$ coupe l'axe des abscisses $(O;\vec i)$ au point $A$ d'abscisse $3$,
\item $P$ coupe l'axe des ordonnées $(O;\vec j)$ au point $B$ d'ordonnée $2$,
\item $P$ admet en $B$ la droite d'équation $y=x+2$ pour tangente.
\end{itemize}
\item Contrôler graphiquement vos résultats.
\item Indiquer l'abscisse du second point d'intersection de $P$ avec $(O;\vec i)$ 
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathscr C$ d'équation $y=\sin x$ au point d'abscisse $0$
\item Tracer $T$ et $\mathscr C$ sur $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 On définit sur $[0;\pi]$ les fonctions $f_1$ et $f_2$ par \qquad 
$ f_1(x)=\sin x \qquad\text{ et }\qquad f_2(x)=\cos x$\\
Démontrer que leurs courbes représentatives admettent 
au point d'abscisse $\dfrac{3\pi}{4} $ des tangentes parallèles. 
\end{ExoF}


\begin{ExoL}
Repère : n$^{\circ}$ \textbf{49-50-51} p 76 (tous à la calculatrice)
\end{ExoL}

\newpage

\section{Fonction dérivée}
\subsection{Définitions}
\Defc{On dit qu'une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ si $f$ est dérivable pour tout $a\in I$.}
\Expl{Nous avons vu dans un exemple précédent, que la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2 + 3x-4$ est dérivable pour 
tout réel $a$ et que son nombre dérivé en $a$ est $f'(a) = 2a + 3$. \newline
On dit donc que cette fonction est dérivable sur $\R$.
\newline 
Il est donc naturel de définir une nouvelle 
fonction qui à $x$ associe le nombre dérivé $f'(x)$. Cette fonction s'appelle la dérivée de $f$ et se note $f'$. \newline
La dérivée de la fonction $f : x \longmapsto x^2 + 3x-4$ est donc $f' : x \longmapsto 2x +3$ qui est définie sur $\R$.
}
\Defc{Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$. On appelle fonction dérivée, que l'on note $f'$, 
la fonction qui à $x\in I$ associe $f'(x)$.
}


\subsection{D\'eriv\'ees des fonctions de r\'ef\'erences}


\Act{
Calculer (s'il existe) le nombre dérivé $f'(a)$ d'une fonction constante $f(x)=k$, d'une fonction affine $g(x)=mx+p$,
de la fonction \og carré \fg $h(x)=x^2$, 
 et enfin de la fonction \og racine carrée \fg $s(x)=\sqrt{x}$.\\
En déduire les fonctions dérivées de chacune, en précisant leur ensemble de définition.
}

%\begin{table}[h]
%\center
%\caption{Tableau des d\'eriv\'ees des fonctions de r\'ef\'erences}
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{5cm}|>{\centering}p{4cm}|>{\centering}p{4cm}|}
\hline
\multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $f(x)$} & 
\multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {$f'(x)$} & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} 
{Domaine de d\'erivabilit\'e} \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $k$ (nombre fix\'e) & 0 & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $x$ & 1 & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $x^2$ (fonction carr\'ee) & $2x$ & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $\dfrac{1}{x}$ (fonction inverse) & $-\dfrac{1}{x^2}$ & $\R\textbackslash\{0\}$ \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $x^n$, $n \in \Z^*$ (fonction puissance) & $nx^{n-1}$ & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $\sqrt{x}$ (fonction racine) & $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ & $\R^{+*}$ \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
%\end{table}
%\newpage
\Dem{A titre d'exemple, démontrons le pour le cas de la fonction inverse :
\newline
Pour tous réels $a\neq0$ et $h\neq 0$ avec $a+h\neq0$,
$$ \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{\dfrac{1}{a+h}-\dfrac{1}{a} }{h}=\dfrac{a-(a+h)}{ha(a+h)}=\dfrac{-1}{a(a+h)}$$
ce qui tend vers $-\dfrac{1}{a^2}$ lorsque $h$ tend vers $0$.}

\Expls{Calculer la dérivée de la fonction cube et la dérivée de l'inverse de la fonction carré.}

%\newpage


\epigraphe{La physique est bien trop dure pour les phycisiens} 
{David Hilbert} 
{mathématicien} 




\end{document}