\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
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\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Vecteurs}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

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\setcounter{NumLecon}{6}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\Chacha{alpha2.eps}{Alphaville}{Jean Luc Godard}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{Alphaville, une étrange aventure de Lemmy Caution (ou Alphaville) est un film franco-italien de science-fiction de Jean-Luc Godard sorti en 1965. Il a reçu l'Ours d'or 1965 au Festival international du film de Berlin.\\
Dans une époque postérieure aux années 1960, les autorités des \og pays extérieurs \fg
envoient le célèbre agent secret Lemmy Caution (Eddie Constantine) en mission à Alphaville, une cité déshumanisée, 
éloignée de quelques années-lumière de la Terre. Caution est chargé de neutraliser le professeur von Braun, 
tout-puissant maître d'Alphaville, qui y a aboli les sentiments humains. Un ordinateur, Alpha 60, régit toute la 
ville. Un message de Dickson, un ex-agent secret, ordonne à Lemmy de « détruire Alpha 60 et de sauver ceux qui 
pleurent ». Mais ce dernier est enlevé, interrogé par Alpha 60 et condamné à mort ...
}{0.8}{0.8}{
\item Résoudre des équations du second degré.
\item Etudier le signe d'un trinôme.
\item Maitriser l'allure de la courbe d'une fonction polynôme du second degré.
}

\TITRE{alpha1.eps}{0.8}


\begin{Intro}{Au fil du temps}
On désigne un vecteur par une flèche, plus ou moins longue, qui pointe dans une direction. Elle n'est ancrée à rien, même
si elle peut se fixer sur un point précis d'un objet physique ...\\
Telle est l'essence étrange des vecteurs, à mi-chemin entre une droite bien concrète et une représentation abstraite. 
Représentation de quoi ? 
D'un mouvement ou d'une force physique, comme la gravité qui nous rive au sol ...\\
Le mot vecteur vient du latin ``vector'', d\'eriv\'e du verbe ``vehere'', qui signifie transporter. 
Un vector pourrait donc désigner un v\'ehicule, par exemple un chariot, son point de d\'epart n'ayant pas d'importance sur 
sa nature.\\
De fait, c'est le caractère abstrait des vecteurs qui explique qu'ils aient mis des siècles pour passer de la notion
intuitive à un concept mathématique et physique formel, au XIX$^e$ siècle.\\
En particulier, c'est la nature peu maniable de la droite géométrique, telle que l'avait définie le grec Euclide au III$^e$ avant JC,
qui a progressivement conduit à la formalisation des vecteurs. En effet, Euclide décrit dans son ouvrage  L\textit{es Elements} 
 la droite comme \og une longueur sans largeur \fg, dont \og les limites sont des points \fg et \og qui est placée de manière égale
par rapport aux points qui sont sur elle \fg .
Si ces définitions conduisent à l'idée de distance entre points, cela laisse peut de place aux opérations mathématiques... 
Quelles manipulations sont permises ??\\
Mais l'oeuvre d'Euclide traverse les siècles et progressivement les manipulations de figures sont associées à des équations algébriques
qui libèrent la droite de ses contraintes géométriques, notamment au XI$^e$ sicèle, grâce au le poète, philosophe et mathématicien
perse Omar Khayyâm. La symbiose entre la géométrie et l'algèbre se fera au XVII$^e$ siècle, grâce à René Descartes et son 
invention des coordonnées (dites cartésiennes).\\
Pourtant c'est la physique, entre $1604$ et $1687$, qui rendra les vecteurs indispensables, car ils incarneront les notions
de vitesse, d'accélération et de force s'exerçant sur un solide. C'est Galilée qui lance ce processus, par la découverte des 
premières lois du mouvement d'un solide. \\
Chez Galilée, les notions de vitesse et d'accélération restent informelles, tout comme celle de force qui attire les corps 
vers le sol, mais elles conduiront l'anglais Isaac Newton, en 1687, à leur donner un sens clair via le concept de vecteur.\\
Newton instaure également les règles d'addition entre forces, entre accélérations, entre vitesses ... qui sont celles des vecteurs tels qu'on 
les connait aujourd'hui.\\
Pour finir, disons que les savants du XIX$^e$ incluront les vecteurs dans un cadre plus large, celui des tenseurs, dont Einstein
fera grand usage dans sa théorie de la relativité, qui généralise la théorie de Newton.
\end{Intro}



\section{Colinéarité de vecteurs}
\subsection{Caractérisation de vecteurs et opérations}
\Act{Le quadrilatère $ABCD$ est le trapèze ci-dessous. On note $O$ le milieu de la diagonale $[AC]$ et 
$E$ le point tel que $\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{DA}$.
\begin{center}
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-2,-3)(15,5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-3)(15,5)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=7pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-1)(10,5)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(9,0)(4,4)(1,4)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(9,0)
\psline[linecolor=zzttqq](9,0)(4,4)
\psline[linecolor=zzttqq](4,4)(1,4)
\psline[linecolor=zzttqq](1,4)(0,0)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-0.3,-0.3){{$A$}}
\rput[bl](9.06,0.11){{$B$}}
\rput[bl](4.08,4.1){{$C$}}
\rput[bl](1.08,4.1){{$D$}}
\psdots[dotstyle=x](2,2)
\rput[bl](2.07,2.11){{$O$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
  \item Quels éléments caractéristiques de $\overrightarrow{OE}$ permettent de placer le point $E$ ? Le faire.
 \item Justifier alors que le quadrilatère $DAEO$ est un parallélogramme.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Exprimer le vecteur $\overrightarrow{AO}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{CO}$.
 \item Décrire les éléments caractéristiques du vecteur $\overrightarrow{AO}$ par rapport à ceux 
 du vecteur $\overrightarrow{CO}$.
 \item Comment qualifie-t-on de tels vecteurs ?
 \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item Exprimer le vecteur $\overrightarrow{AB}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{CD}$.
\item Décrire les éléments caractéristiques du vecteur $\overrightarrow{AB}$ par rapport à ceux 
du vecteur $\overrightarrow{CD}$.
\item Comment qualifie-t-on de tels vecteurs ?
      \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
       \item Construire un représentant du vecteur $\overrightarrow{AO}+\dfrac23\overrightarrow{AB}$
\item Construire le vecteur $\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{DC}$ ayant pour origine $O$. Quel vecteur obtient-on ?\\
Expliquer par un calcul.
\item Montrer que le vecteur $ \vec u=2\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CO}$
est colinéaire à $\overrightarrow{AB}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\begin{defi}[Translation de vecteur]
Le \textbf{vecteur} $\overrightarrow{AB}$ symbolise le déplacement rectiligne de $A$ vers $B$. On l'associe à la
translation qui transforme $A$ en $B$, noté $t_{\overrightarrow{AB}}$ et on le représente par une flèche allant de $A$ vers $B$. 
\end{defi}


\Cadre[Caract\'erisation d'un vecteur]{Un vecteur non nul du plan est caract\'eris\'e par :
\begin{center}
  Sa direction \qquad\qquad\qquad Son sens \qquad\qquad\qquad Sa norme (longueur)
\end{center}
}

\Rqs{
\item Un vecteur est ind\'ependant de son point de son origine (point de départ)
%\item Si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ son \'egaux, on peut leur donner un m\^eme nom, 
%par exemple $\vec u$. \\
%On dit que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont des repr\'esentants du 
%vecteur $\vec u$.
\item Il existe un vecteur qui n'a ni direction, ni sens, et de la longueur 0. On l'appelle le \textit{vecteur nul} 
et on le note $\vec 0$.
\item Deux vecteurs sont dits \textbf{oppos\'es} lorsqu'ils ont la m\^eme direction, la m\^eme norme, mais des sens oppos\'es.\\
On note $-\vec u $ l'oppos\'e du vecteur $\vec u$. Ainsi l'oppos\'e de $\overrightarrow{AB}$ est $-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}$
\item La norme d'un vecteur $\vec u$ une longueur. C'est un donc nombre positif ou nul. 
On le note $||\vec u||$. \\
En particulier : $||\overrightarrow{AB}||=AB$
\item On définit assez naturellement grâce à la translation, la somme de deux vecteurs, ainsi que le produit d'un 
vecteur par un nombre réel.
}

\begin{prop}
Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points avec $A$ et $B$ distincts. \newline
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont \'egaux si et seulement si $ABDC$ est un parallélogramme.
\end{prop}

\Dem{
Il suffit de revenir à la caractérisation des vecteurs.
}

\begin{propo}[Relation de Chasles]
Pour tous points $A$, $B$ et $C$, on a : 
$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$$
\end{propo}

\Dem{Cela vient de la définition de la somme de deux vecteurs comme vecteur associé à la translation
résultant de l'enchainement de $t_{\overrightarrow{AB}}$ et $t_{\overrightarrow{BC}}$
}

\begin{defi}
 On dit que deux vecteurs non nuls sont \textbf{colinéaires} lorsqu'ils ont la même direction.
 \end{defi}

\Rq{Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur.}

\begin{propo}
 Deux vecteurs non nuls $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si 
 il existe $k\in\R^{*}$ tel que $\vec u = k \vec v$. 
\end{propo}

\Dem{
Il suffit de revenir à la caractérisation des vecteurs et à la définition de la 
multiplication d'un vecteur par un réel.
}
%\begin{ExoF}
% ABCD est un parallélogramme.
%\begin{enumerate}
%\item Construire les points $K$ et $L$ définis par :
%$$ \overrightarrow{AK}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\qquad \text{et} \qquad \overrightarrow{CL}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CD}$$
%\item Démontrer que $AKCL$ est un parallélogramme.
%\end{enumerate}
%\end{ExoF}


\subsection{Coordonnées de vecteurs}
A partir de maintenant, on se place dans un repère \Oij du plan. 
\Act{Dans un repère \Oij du plan, on considère les points $A(-2;2)$ , $B(2,4)$, $C(5,1)$ et $D(-3,-3)$. Le point
$E$ est le milieu du segment $[CD]$.
\begin{center}
 \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-4,-4)(6,5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4,-4)(6,5)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-4,-4)(6,5)
\psline{->}(-2,2)(2,4)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](-2,2)
\rput[bl](-2.28,2.18){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](2,4)
\rput[bl](2.08,4.1){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](5,1)
\rput[bl](5.07,1.1){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](-3,-3)
\rput[bl](-2.94,-2.91){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=darkgray](1,-1)
\rput[bl](1.07,-0.9){\darkgray{$E$}}
\rput[bl](-1.37,3.09){$\overrightarrow{AB}(4, 2)$}
\rput[bl](-0.3,-0.3){$O$}
\psline{->}(0,0)(0,1)
\psline{->}(0,0)(1,0)
\rput[bl](0.4,-0.5){$\vec i$}
\rput[bl](-0.5,0.3){$\vec j$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
  \begin{enumerate}
  \item Géogébra indique que le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées 
  $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}
                             4\\2
                            \end{array}\right)$
  \begin{enumerate}
   \item Que représentent ces coordonnées pour le vecteur $\overrightarrow{AB}$ ?
      \item Comment peut-on retrouver les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ à partir 
      des coordonnées de $A$ et $B$ ?
      \item Comment voit-on sur leurs coordonnées que deux vecteurs sont colinéaires ?
   \end{enumerate}  
  \item Retrouver les coordonnées de $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AD}$ et
  $\overrightarrow{DC}$ %, $\overrightarrow{DE}$
  à partir des coordonnées de leurs points extrêmes.
  %\item Lesquels sont colinéaires ?  Pourquoi ?
\item  \textbf{Applications géométriques :}
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que le quadrilatère $ABCD$ est un trapèze.
\item Démontrer que le quadrilatère $ABED$ est un parallélogramme. Est-ce un losange ?
 \item Quel autre quadrilatère est un parallélogramme ? Est-ce un losange ?
 \item Le point $O$ appartient-il à la droite $(AE)$ ? Justifier.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\begin{defi}
Soit $\vec u $ un vecteur du plan muni d'un repère  $(O; \vec i; \vec j)$.
On appelle coordonnées du vecteur $\vec u$ les coordonnées du point $M$ tel que $\vec u = \overrightarrow{OM}$.
Si $M(x;y)$, on note $\vec u(x;y)$ ou encore $\vec u\left(\begin{array}{c}
                                  x \\ y
                                 \end{array}\right)$
 \end{defi}


\Rqs{
\item Le couple $\vec u\left(\begin{array}{c}
                                  x \\ y
                                 \end{array}\right)$
correspond également au déplacement effectué sur le quadrillage.
\item En fait on a $\vec u = x\vec i + y \vec j$.\\
Les coordonnées sont donc indépendantes de l'origine du repère.
\item On en déduit facilement que deux vecteurs sont égaux ssi ils ont les mêmes coordonnées dans un repère.
$$\vec u\left(\begin{array}{c}
                                  x \\ y
                                 \end{array}\right) = \vec v\left(\begin{array}{c}
                                  x' \\ y'
                                 \end{array}\right) \Longleftrightarrow   x=x \textrm{  et } y=y' $$
\item Soient deux vecteurs $\vec u( x ; y)$ et $\vec v( x' ; y')$ et $k$ un nombre réel. On a  :
\begin{center}
$\vec u + \vec v$ a pour coordonn\'ees $\left(\begin{array}{c} x+x' \\ y+y' \end{array} \right)$\qquad et \qquad 
 $k\vec u$ a pour coordonn\'ees $\left(\begin{array}{c}  kx \\ ky \end{array} \right)$
\end{center}
}

\begin{prop}
Soit $\vec u\left(\begin{array}{c}
                                  x \\ y
                                 \end{array}\right)$ un vecteur dans un rep\`ere \textbf{orthonormal} $(O;\vec i; \vec j )$. 
Grâce au théorème de Pythagore, on montre que :
$$||\vec u||=\sqrt{x^2+y^2}$$
\end{prop}



\begin{prop}
Si $A$ et $B$ sont deux points de coordonn\'ees respectives $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ alors les coordonn\'ees du vecteur
 $\overrightarrow{AB}$ sont 
$$\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}
                                  x_B-x_A \\ y_B-y_A
                                 \end{array}\right)$$
On a donc aussi : $$AB=||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$$
\end{prop}

\Expl{
Dans un repère orthonormée on donne $A(2;3)$, $B(5;3)$ et $C(5;7)$. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle.
}

\begin{theo}
 Soient deux vecteurs $\vec u  \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ 
et $\vec v  \left(\begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right)$. \\
On a les équivalences suivantes : $\vec u $ et $\vec v$ sont colinéaires
\begin{itemize}
 \item[$\iff$] il existe un r\'eel $k$ tel que $\vec u =k \vec v$ ou $\vec v = k \vec u$.
 \item[$\iff$] leurs coordonnées sont proportionnelles ($x=kx'$ et $y=ky'$ avec $k\in\R$).
 \item[$\iff$] $xy'-x'y = 0$
\end{itemize}
\end{theo}

\Rq{La dernière condition a l'avantage de ne pas rechercher le coefficient de colinéarité.}

\Dem{On sait déjà que $\vec u $ et $\vec v$ colinéaires équivaut à ce qu'il existe $k\in\R$ tel que $\vec u = k \vec v$, et on sait déjà
que cela équivaut à ce  que $x=kx'$ et $y=ky'$, ce qui revient à dire que les coordonnées de $\vec u $ et $\vec v$  sont 
proportionnelles. Ainsi, montrons simplement la dernière équivalence. \\
 \underline{Condition nécessaire} : on suppose que $\vec u $ et $\vec v$ sont colinéaires,
 ie qu'il existe $k\in\R$ tel que $x=kx'$ et $y=ky'$.\\
Alors on a $xy'-x'y = kx'y'-x'ky'=0$. \\
Donc on a bien \og Si $\vec u $ et $\vec v $  sont colinéaires, alors $xy'-yx'=0$ \fg
 \underline{Condition suffisante} : on suppose que l'on a l'égalité $xy'-yx'=0$.\\
Si $\vec v$ est nul, alors on a $x'=y'=0$ et effectivement $xy'-x'y=0$. Par convention
le vecteur nul étant colinéaire à tout autre vecteur, on a bien que $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires.\\
Si $\vec v$ est non nul, alors l'une de ses coordonnées est non nulle, par exemple son abscisse $x'$. \\
Alors $xy'-x'y=0 \iff \dfrac{x}{x'}y' - y = 0 $ \quad (on peut effectuer cette opération car $x'\neq 0$.\\
Posons alors $k=\dfrac{x}{x'}$ . \qquad Alors $x=kx'$ et $xy'-x'y = 0 \iff y-ky'=0 \iff y=ky'$\\
Donc on a bien proportionnalité entre les coordonnées des deux vecteurs et ils sont bien colinéaires.\\
(si $x$ est nul, alors $y\neq 0$ et on prendra alors $k=\dfrac{y}{y'}$ et la méthode restera la même).
D'où $xy'-x'y=0 \iff \vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires.
}

\Expls{
Les vecteurs suivants sont-ils colinéaires ? Si oui, préciser le coefficient de colinéarité :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
  \item $ \vec u \left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array}\right) \quad \text{ et } \quad \vec v \left(\begin{array}{c} 3\\12 \end{array}\right) $
 \item $ \vec w \left(\begin{array}{c} 5\\3 \end{array}\right) \quad \text{ et } \quad \vec z \left(\begin{array}{c} -6 \\-4 \end{array}\right) $
 \item $ \overrightarrow{Lolo} \left(\begin{array}{c} -12 \\ 4 \end{array}\right) \quad \text{ et } \quad \overrightarrow{N\'{e}n\'{e}} \left(\begin{array}{c} 135\\-45 \end{array}\right) $
 \item $ \overrightarrow{Fabrice} \left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \end{array}\right) \quad \text{ et } \quad \overrightarrow{Cl\'{e}ment} \left(\begin{array}{c} -2 \\ \dfrac43 \end{array}\right) $
\end{multicols}
\end{enumerate}
}

\Expls{
Dire si les vecteurs suivants sont colinéaires, en utilisant le dernier critère énoncé ci-dessus.
\begin{enumerate}
 \begin{multicols}{2}
 \item $ \overrightarrow{Wanda} \left(\begin{array}{c} 4\\-9 \end{array}\right) \quad \text{ et } \quad \overrightarrow{Nouki} \left(\begin{array}{c} 3.5 \\ -7.8 \end{array}\right) $
 \item $ \overrightarrow{Ana} \left(\begin{array}{c}6.4 \\3.1 \end{array}\right) \quad \text{ et } \quad \overrightarrow{Gui} \left(\begin{array}{c} 22.4 \\ 10.85 \end{array}\right) $
 \item $ \overrightarrow{Dounia} \left(\begin{array}{c}\dfrac12 \\ -6 \end{array}\right)\quad \text{ et } \quad \overrightarrow{Nejema} \left(\begin{array}{c} -\dfrac53 \\ 20 \end{array}\right) $ 
\end{multicols}
\end{enumerate}
}



\Expls{
\begin{enumerate}
 \item On considère les vecteurs $\vec u_1\left(\begin{array}{c}
                                                 -2 \\ 7
                                                \end{array}\right)$, $\vec u_2\left(\begin{array}{c}
                                                 5.2 \\ -18.2
                                                \end{array}\right)$ et $\vec u_3\left(\begin{array}{c}
                                                 -6.4 \\ 22.5
                                                \end{array}\right)$. Lesquels sont colinéaires ?
\item Calculer le réel $\alpha$ pour que les vecteurs  $\vec u\left(\begin{array}{c}
                                                 \alpha \\ -4
                                                \end{array}\right)$ et $\vec v\left(\begin{array}{c}
                                                 -5 \\ 14
                                                \end{array}\right)$ soient colinéaires.
\end{enumerate}
}



\begin{ExoF}
Déterminer le(s) valeur(s) de $k$ telle(s) que les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ soient colinéaires :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
  \item $\vec u  \left(\begin{array}{c} k \\ 1 \end{array} \right) \qquad 
\vec v  \left(\begin{array}{c} 5 \\ k+1 \end{array} \right)$
 \item $\vec u  \left(\begin{array}{c} -k+1 \\ -2 \end{array} \right) \qquad 
\vec v  \left(\begin{array}{c} k^2+17 \\ 5k-4 \end{array} \right)$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
 \item Trouver un réel $x$ tel que les vecteurs 
$\vec u  \left(\begin{array}{c} \cos^2(x) \\ -3\sin(x)+6 \end{array} \right) \qquad 
\vec v  \left(\begin{array}{c} \sin(x) \\ 3 \end{array} \right)$ soient colinéaires
\item L'opposé de la valeur trouvée précédemment est-elle aussi une solution ?
\item Etes-vous capable de donner d'autres solutions ? toutes les solutions ?
\end{enumerate}
\end{ExoF}

%\begin{ExoF} Vrai ou Faux :
%\begin{enumerate}
% \item Les vecteurs  $\vec u  \left(\begin{array}{c} 3^{22} \\ \dfrac1{3^{25}} \end{array} \right)$
%et $\vec v  \left(\begin{array}{c} 3^{71} \\ 9^{12} \end{array} \right)$ sont colinéaires.
% \item Si $\vec u = k \vec v$ alors il existe $k'$ tel que $\vec v = k' \vec u$.
% \item $\vec 0 = k \vec 0$
% \item $\vec 0 = 0 \vec u$
%\item Le vecteur $\vec u  \left(\begin{array}{c} k \\ -k \end{array} \right)$  avec $k\in\R^*$ est colinéaire au(x) vecteur(s)
%\begin{enumerate}
%\begin{multicols}{4}
% \item $\vec u  \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$ 
%\item $\vec v  \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right)$ 
%\item $\vec w  \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ 
%\item $\vec z  \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)$ 
%\end{multicols}
%\end{enumerate}
%\item Si deux vecteurs $\vec u  \left(\begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)$ et 
%$\vec v  \left(\begin{array}{c} a' \\ b' \end{array} \right)$ sont colinéaires alors :
% \begin{enumerate}
%\begin{multicols}{3}
%  \item $a'b-ab'=0$ \item $ab'-a'b=0$ \item $ab'=a'b$
% \item $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a'}{b'}$ \item $\dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}$
%\end{multicols} 
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%\end{ExoF}


\subsection{Applications directes}
\Act{Dans le plan muni d'un repère, placer les points $A(8,6)$, $B(13,10)$ et $C\left(5, \dfrac72\right)$
\begin{enumerate}
 \item Fabrice pense que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés. A-t-il raison ? Justifier.
 \item Soit $D$ le point de coordonnées $(13,y)$.\\
 Déterminer $y$ pour que les droites $(AB)$ et $(CD)$ soient parallèles.
\end{enumerate}
}


\Ptec{Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan  deux à deux distincts.\\
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles ssi  les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
}

\Corc{Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan deux à deux distincts.\\
Les points $A$, $B$ et $C$  sont alignés ssi  les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
}

\Cadre[M\'ethode]{Pour d\'emontrer que trois points sont align\'es, il suffit de d\'emontrer que deux des vecteurs form\'es par les trois points sont colin\'eaires.
}

\Expl{
On donne $A(-4;-1)$, $B(-1;1)$, $C(3;3)$, $D(-1;-3)$ et $E(5;1)$.
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DE}$ sont colinéaires.
\item En déduire la nature du quadrilatère $ABED$.
\item Calculer les coordonnées du points $F$ tel que $ABEF$ soit un parallélogramme.
\item Les points $A$, $B$, $C$ sont-ils alignés ?
\end{enumerate}

}

\Expl{
Soit ABC un triangle et M tel que $\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ et N tel que 
$\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$. Montrer que $A$, $M$ et $N$ sont align\'es.
}


\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
 \item Tracer un quadrilatère quelconque $ABCD$.\\
Placer les milieux respectifs $I$, $J$, $K$ et $L$ des côtés $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[AD]$.
\item Prouver que le quadrilatère $IJKL$ est un parallélogramme.
\end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
$ABC$ est un triangle. Soient $D$ et $E$ les points tels que $\overrightarrow{AD}=2 \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$
et $\overrightarrow{BE}=\dfrac13\overrightarrow{BC}$.
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que $\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AE}$.
 \item En déduire que $D$ appartient à la droite $(AE)$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Soient $A$ et $B$ deux points distinct du plan. On définit le point $C$ tel que $4\overrightarrow{CA}-5\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$.
\begin{enumerate}
 \item Exprimer le vecteur $\overrightarrow{AC}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{AB}$. 
 \item Que peut-on en déduire sur les points $A$, $B$ et $C$ ? Faire une figure.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} 
Dans le repère $(O;\vec{i}, \vec{j})$, on considère les points $A(6;2)$, $B(-2;-3)$ et $C(17;9)$.
\begin{enumerate}
\item Que dire des points $A$, $B$ et $C$ ?
\item Si le point $D$ a pour coordonnées $(120;75)$ le quadrilatère $BADO$ est-il un trapèze ?
\end{enumerate}
 \end{ExoF}
 
\begin{ExoF}
 On donne les points $A(2,1)$, $B(x,4)$ et $C(x+2, 3)$.\\
 Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?
\end{ExoF}
 
 \begin{ExoF}
 On donne les points $M(x,5)$, $A(2,4)$, $R(3,x-1)$ et $E(2,1)$.\\
 Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ les droites $(MA)$ et $(RE)$ sont-elles parallèles ?
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère les points $A(-2;5)$, $B(-1;3)$, $C(5;-2)$ et $D\left(-2 ; -\dfrac{13}{3}\right)$. $E$ est le point
 tel que $\overrightarrow{AE}=4\overrightarrow{AB}$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer les coordonnées du point $E$.
  \item Démontrer que les points $C$, $D$ et $E$ sont alignés.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Dans un repère orthonormé \Oij, on considère les points $A(-1;-3)$, $B(-3,3)$, $C(4;2)$ et $D(5;-1)$.\\
Démontrer que le quadrilatère $ABCD$ est un trapèze rectangle.\\
\textit{Indication : on peut dessiner une figure pour savoir quels côtés sont parallèles et où est l'angle droit.}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Voici un algorithme :
\begin{center}\Algo{13cm}{
\Var{ 
$x_A$, $y_A$, $x_B$, $y_B$, $x_C$, $y_C$, $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des nombres réels
}
\Deb{
Saisir $x_A$, $y_A$, $x_B$, $y_B$, $x_C$, $y_C$\\
 $x_B-x_A \longrightarrow a$ \\
On affecte la valeur $y_B-y_A$ à $b$\\
 $c$ prend la valeur $x_C-x_A$ \\
$d:=y_C-y_A$\\
\IfThenElse{ $ad-bc=0$}
{Afficher \og les points sont alignés\fg}
{Afficher \og les points ne sont pas alignés \fg}
}
}
\end{center} 
\begin{enumerate}
\item Tester à la main cet algorithme avec les points $A(1;-2)$, $B(3;5)$ et $C(1;-1)$.
\item Que fait-il ?
\item Ecrire cet algorithme sur votre calculatrice graphique.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoL} (Repère) \quad
Sans coordonnées  : n$^{\circ}$ \textbf{72-81-86} à 91+95+96 p 333 \quad
Algo : n$^{\circ}$ 79-97 p 333\\
DM : n$^{\circ}$ 83 (th du trapèze) ?? ou Barycentre 108-110 p 338 + Centre de gravité 107 p 337 + 
Droite d'Euler 109 p 338 
\end{ExoL}

\section{Décomposition de vecteurs dans une base}

\Act{
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Lecture.}\\
Dès lors que l'on choisit deux vecteurs non colinéaires du plan, on crée un moyen de repérer tous les autres vecteurs
de ce plan : on a choisi une base.\\
On considère les deux figure suivantes :
\begin{multicols}{2}
 \begin{center}
  Figure 1 \\
\newrgbcolor{zzzzzz}{0.6 0.6 0.6}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.65cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(1,0.5)(13.5,7)
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-0--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--8--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-0--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-8--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-16--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-24--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-32--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-40--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-48--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-56--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-64--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-72--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--1-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--2-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--3-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--4-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--5-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--6-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--7-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--8-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--9-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--10-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--11-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--12-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-80--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-88--8*x)/4}
\psline[linecolor=red,linewidth=1.8pt]{->}(2,2)(4,2)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.8pt]{->}(1.5,3)(2,4)
\psline[linecolor=blue]{->}(5,6)(9,6)
\psline[linecolor=blue]{->}(8.5,3)(6.5,5)
\psline[linecolor=blue]{->}(9.5,3)(8.5,1)
\psline[linecolor=blue]{->}(3,6)(3,4)
\psline[linecolor=blue]{->}(10.5,5)(13,6)
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-96--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(-104--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--8--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--16--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{1}{13.5}{(--24--8*x)/4}
\rput[bl](2.6,2.22){$\vec u$}
\rput[bl](1.,3.3){$\vec v$}
\rput[bl](6.74,6.16){$\vec w_1$}
\rput[bl](7.54,4.26){$\vec w_4$}
\rput[bl](9.1,1.52){$\vec w_2$}
\rput[bl](3.12,5.24){$\vec w_5$}
\rput[bl](11,5.58){$\vec w_3$}
\end{pspicture*}\\
Figure 2 :\\
\newrgbcolor{zzzzzz}{0.6 0.6 0.6}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(3,-4)(10,4)
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-0--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--8--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-0--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-8--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-16--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-24--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-32--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-40--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-48--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-56--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-64--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-72--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--1-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--2-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--3-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--4-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--5-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--6-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--7-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--8-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--9-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--10-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--11-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--12-1*x)/0.5}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-80--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-88--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-96--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(-104--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--8--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--16--8*x)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=zzzzzz]{3}{10}{(--24--8*x)/4}
\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{->}(4,0)(3.73,0.54)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{->}(7.5,-3)(8.5,-1)
\psline[linecolor=blue]{->}(5,2)(5.5,1)
\psline[linecolor=blue]{->}(6.5,3)(4.02,3)
\psline[linecolor=blue]{->}(5.5,-1)(7,0)
\rput[bl](4.22,0){$\vec v$}
\rput[bl](7.62,-2){$\vec u$}
\rput[bl](5.34,1.7){$\vec w_7$}
\rput[bl](4.94,3.22){$\vec w_9$}
\rput[bl](5.94,-1.4){$\vec w_8$}
\end{pspicture*}
 \end{center}
\end{multicols}
Ecrire chaque vecteur $\vec w_i$ sous la forme d'une somme vectorielle du type : $\vec w_i =  \spadesuit \vec u +\clubsuit \vec v$
(où le coeur et le trèfle désignent des réels à déterminer). 
\item \textbf{Utilisation de la décomposition.}
\begin{enumerate}
 \item Construire un parallélogramme $ABCD$.\\
Placer les points $I$ et $J$ tels que $\overrightarrow{BI}=\dfrac12 \overrightarrow{AB}$ et 
$\overrightarrow{AJ}=2\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{CD}$.
\item On désire prouver l'alignement des points $I$, $J$ et $C$ à l'aide de relations vectorielles.
\begin{enumerate}
 \item Exprimer $\overrightarrow{AC}$ dans la base $\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AD}\right)$ et montrer
que $\overrightarrow{AI}=\dfrac32\overrightarrow{AB}$ et que $\overrightarrow{AJ}=3\overrightarrow{AD}$.
\item En déduire l'expression des vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IC}$ dans la base 
$\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AD}\right)$.
\item En comparant les deux composition obtenues, prouver que les vecteurs  $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IC}$ 
sont colinéaires. Conclure.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\begin{defi}
Trois points non alignés définissent un repère quelconque du plan. 
De même la donnée de deux vecteurs non colinéaires et d'un point (que l'on prendra comme origine) 
définissent un repère quelconque du plan.\\
On appelle \textbf{base} du plan vectoriel tout couple de deux vecteurs non colinéaires.
\end{defi}

\Expl{
Voir l'activité.
}

\Dem{
Sous forme d'exercice.\\
On considère trois points du plan $A$, $B$ et $C$ non alignés.\\
Soit $M$ un point du plan.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Existence de la décomposition}\\
La parallèle à $(AC)$ passant par $M$ coupe $(AB)$ en $P$ et la parallèle à $(AB)$ passant par $M$ coupe $(AC)$ en $Q$.
\begin{enumerate}
\item Réaliser une figure.
\item Montrer qu'il existe un réel $x$ tel que $\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}$ et un réel $y$ tel que $\overrightarrow{AQ}=y\overrightarrow{AC}$.
\item Quelle est la nature du quadrilatère $APMQ$ ? Justifier.
\item En déduire l'expression de $\overrightarrow{AM}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Unicité de cette décomposition}\\
Suppsons maintenant qu'il existe deux couples $(x;y)$ et $(x';y')$ tels que :
$$ \overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}=x'\overrightarrow{AB}+y'\overrightarrow{AC}$$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $(x-x')\overrightarrow{AB}=(y'-y)\overrightarrow{AC}$.
\item En déduire que $x=x'$ et que $y=y'$.
\item Conclure. 
\end{enumerate}\end{enumerate}
}

\begin{multicols}{2}
\Expl{
\begin{center}
\psset{xunit=0.65cm , yunit=0.65cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-4)(6.2,3.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{6} \def\ymin{-5} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-4)(6.2,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(1.0000,1.0000)(4.5000,0.0000)
\uput{0.3000}[30.0000](1.0000,1.0000){$\vec w$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue]{->}(1.0000,1.0000)(3.0000,-3.0000)
\uput{0.8000}[-80.0000](1,0.5){$2\vec u$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green]{->}(3.0000,-3.0000)(4.5000,0.0000)
\uput{0.5000}[20.0000](3.6,-1.700){$1.5\vec v$}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue]{->}(0.0000,0.0000)(1.0000,-2.0000)
\uput{0.5000}[-75.0000](-0.2000,0.0000){$\vec u$}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=green]{->}(0.0000,0.0000)(1.0000,2.0000)
\uput{0.5000}[90.0000](0.,0.0000){$\vec v$}
\uput{0.3000}[180.0000](0.0000,0.0000){O}
\psline(2.0000,-4.0000)(-2.0000,4.0000)
\psline(-1.0000,-2.0000)(3.0000,6.0000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
}

\Rqs{
\item $x$ et $y$ sont en fait les coordonnées de $\vec w$ dans un repère d'origine quelconque et de vecteurs directeurs $\vec u$
et $\vec v$ (on a déjà dit que les coordonnées d'un vecteur ne dépendaient pas de l'origine du repère).
\item Dans un repère $(O ; \vec u ; \vec v )$ quelconque du plan, les coordonnées d'un point $B$ sont les 
uniques nombres $x$ et $y$ tels que $\overrightarrow{OB} = x \vec u + y \vec v$.
\item On représente souvent les vecteurs avec une même origine pour plus de lisibilité.
}
\end{multicols}

\Cadre[Relations utiles à connaître]{
Dans un parallélogramme $ABCD$ on a :
$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}  \qquad \qquad \qquad 
 \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}$$
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(2,-1)(10,5)
\psline[linecolor=zzttqq](3,2)(8,2)
\psline[linecolor=zzttqq](8,2)(9,4)
\psline[linecolor=zzttqq](9,4)(4,4)
\psline[linecolor=zzttqq](4,4)(3,2)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{->}(3,2)(8,2)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{->}(3,2)(4,4)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red]{->}(3,2)(9,4)
%\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red]{->}(3,2)(8,0)
%\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red]{->}(4,4)(8,2)
\rput[bl](3.08,1.5){\blue{$A$}}
\rput[bl](8.08,1.5){\blue{$B$}}
\rput[bl](9.08,4.12){\blue{$C$}}
\rput[bl](4.08,4.12){\blue{$D$}}
\rput[bl](5.5,1.5){\blue{$\vec u$}}
\rput[bl](3.2,3.04){\blue{$\vec v$}}
\rput[bl](5.5,3.08){\rotatebox{20}{\red{$\vec u+\vec v$}}}
\end{pspicture*}\\
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(2,-1)(10,5)
\psline[linecolor=zzttqq](3,2)(8,2)
\psline[linecolor=zzttqq](8,2)(9,4)
\psline[linecolor=zzttqq](9,4)(4,4)
\psline[linecolor=zzttqq](4,4)(3,2)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{->}(3,2)(8,2)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{->}(3,2)(4,4)
%\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red]{->}(3,2)(9,4)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red]{->}(3,2)(7,0)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red]{->}(4,4)(8,2)
\rput[bl](3.08,1.5){\blue{$A$}}
\rput[bl](8.08,1.5){\blue{$B$}}
\rput[bl](9.08,4.12){\blue{$C$}}
\rput[bl](4.08,4.12){\blue{$D$}}
\rput[bl](5.5,1.5){\blue{$\vec u$}}
\rput[bl](3.2,3.04){\blue{$\vec v$}}
\rput[bl](5.1,0.8){\rotatebox{-20}{\red{$\vec u - \vec v$}}}
\rput[bl](5.52,3.08){\rotatebox{-20}{\red{$\vec u - \vec v$}}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
}


\Cadre[Applications]{Tous les résultats (formules et applications géométriques) établis dans un repère quelconque du plan de la partie I 
restent donc valables dans un repère de votre choix.}

\Rq{
Seul le calcul de distance nécessite un repère orthonormé et cette formule ne peut donc pas être appliquée dans un repère
quelconque de votre choix.
}


\Expl{
$A$, $B$ et $C$ sont trois points non alignés. Les points $N$ et $P$ sont tels que 
$$ \overrightarrow{AN}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\qquad \text{et}\qquad \overrightarrow{BP}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}$$
\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item \textbf{Montrer que des points sont alignés}
\begin{enumerate}
\item Décomposer le vecteur $\overrightarrow{AP}$ dans la base $\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)$.
 \item En déduire que les vecteurs $\overrightarrow{AP}$ et $\overrightarrow{AN}$ sont colinéaires. 
 \item Qu'en déduit-on pour les points $A$, $P$ et $N$ ?
\end{enumerate}
\item \textbf{Détermination de coordonnées de vecteurs}\\
 Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AN}$ et $\overrightarrow{AP}$ dans les repères suivants :
\begin{multicols}{5}
 \begin{enumerate}
\item $\left(A ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right)$.
\item $\left(A ; \overrightarrow{BA} ; \overrightarrow{AC}\right)$.
\item $\left(A ; \overrightarrow{AC} ; \overrightarrow{AB}\right)$.
\item $\left(B ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right)$.
\item $\left(B ; \overrightarrow{BA} ; \overrightarrow{BC}\right)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item \textbf{Détermination de coordonnées de points}\\
 Déterminer les coordonnées des points $N$ et $P$ dans les repères suivants :
\begin{multicols}{5} \begin{enumerate}
\item $\left(A ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right)$.
\item $\left(A ; \overrightarrow{BA} ; \overrightarrow{AC}\right)$.
\item $\left(A ; \overrightarrow{AC} ; \overrightarrow{AB}\right)$.
\item $\left(B ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right)$.
\item $\left(B ; \overrightarrow{BA} ; \overrightarrow{BC}\right)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
}

\Expl{
 $A$, $B$ et $C$ sont trois points non alignés. Les points $D$, $E$ et $F$ sont définis par :
$$ \overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AB}\qquad \overrightarrow{AE}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}\qquad \text{et}\qquad \overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{BC}$$
\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item \textbf{Montrer que des points sont alignés}
\begin{enumerate}
\item Exprimer $\overrightarrow{DE}$ dans la base $\left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC}\right)$.\\
En déduire les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{DE}$ dans le repère 
 $\left(A ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right)$.
\item Exprimer $ \overrightarrow{DF}$ dans la base $\left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC}\right)$.\\
En déduire les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{DF}$ dans le repère 
 $\left(A ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right)$.
\item En déduire que les points $D$, $E$ et $F$ sont alignés.
\end{enumerate}
\item \textbf{Détermination de coordonnées de vecteurs}\\
 Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{BF}$, $\overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{DF}$ dans les repères suivants :
\begin{multicols}{4}
 \begin{enumerate}
\item $\left(A ; \overrightarrow{BA} ; \overrightarrow{AC}\right)$.
\item $\left(A ; \overrightarrow{AC} ; \overrightarrow{AB}\right)$.
\item $\left(D ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right)$.
\item $\left(B ; \overrightarrow{BA} ; \overrightarrow{BC}\right)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item \textbf{Détermination de coordonnées de points}\\
 Déterminer les coordonnées des points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et $F$ dans les repères suivants :
\begin{multicols}{5} \begin{enumerate}
\item $\left(A ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right)$.
\item $\left(A ; \overrightarrow{BA} ; \overrightarrow{AC}\right)$.
\item $\left(A ; \overrightarrow{AC} ; \overrightarrow{AB}\right)$.
\item $\left(D ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right)$.
\item $\left(B ; \overrightarrow{BA} ; \overrightarrow{BC}\right)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
}\\

\begin{ExoF} 
$ABCD$ est un rectangle. 
$E$ est le symétrique de $C$ par rapport à $B$, $F$ est le symétrique de $A$ par rapport à $D$, $G$ est le point tel que $\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.
\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item En se plaçant dans le repère $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD})$, démontrer que $G$, $E$ et $F$ sont alignés.
\item Soit $H$ le point d'intersection de $(EF)$ et $(CD)$. Exprimer $\overrightarrow{DH}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$.
\end{enumerate}
 \end{ExoF}
 
\begin{ExoF}
 $ABCD$ est un tétraèdre.
Dans le plan $(ABC)$ on définit le point $K$ par $\overrightarrow{AK}=\dfrac23 \overrightarrow{AB} + \dfrac13 \overrightarrow{AC}$.
\begin{enumerate}
 \item Faire un figure dans l'espace, puis une figure dans le plan $(ABC)$.
 \item En choisissant un repère du plan $(ABC)$, démontrer que $K$ appartient à $[BC]$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
On considère $ABCD$ un parallélogramme non aplati.
\begin{enumerate}
\item Donner la décomposition des vecteurs $\overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{AO}$ et $\overrightarrow{BC}$ dans la base $\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CD}\right)$.
\item Exprimer le vecteur $\overrightarrow{CA}$ dans chacune des bases suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}\right)$.
\item $\left(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OC}\right)$.
\item $\left(2\overrightarrow{CB};-0,5\overrightarrow{CD}\right)$ 
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Quelles sont les coordonnées du vecteur $\vec{w}=\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{BD}$ dans 
la base  $\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CD}\right)$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Soit $EFG$ un triangle. Le point $I$ est tel que $\overrightarrow{GI}=\dfrac13 \overrightarrow{GF}$ et $H$ est 
l'image de $E$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{FE}$. Le point $O$ est le milieu de $[EG]$.
\begin{enumerate}
 \item Faire une figure.
 \item Expliquer pourquoi $\left(F ; \overrightarrow{FG} ; \overrightarrow{FE}\right)$ est un repère du plan.
\item En se plaçant dans ce repère, démontrer que 
les points $I$, $O$ et $H$ sont alignés.
\end{enumerate}
\end{ExoF}



%\Exop{
%Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$ tel que $AB=6$ cm.
%\begin{enumerate}
% \item Placer les points $E$ et $F$ tels que $\overrightarrow{CE}=-\dfrac13\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{FB}=\dfrac12\overrightarrow{AC}$
% \item Donner les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AO}$, $\overrightarrow{DF}$
%et $\overrightarrow{OE}$ dans les repères suivants :
%\begin{enumerate}
%\begin{multicols}{3}
% \item $\left(D; \overrightarrow{DC} ; \overrightarrow {DA}\right)$
% \item $\left(A; \overrightarrow{DC} ; \overrightarrow {DA}\right)$
%\item $\left(C; \overrightarrow{CA} ; \overrightarrow {CB}\right)$
%\item $\left(C; \overrightarrow{CB} ; \overrightarrow {CA}\right)$
%\item $\left(O; \overrightarrow{OB} ; \overrightarrow {OA}\right)$
%\end{multicols}
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%}

%\begin{ExoF}
%Soit $ABCD$ un carré de côté $a$ ($a>0$). On considère les deux triangles équilatéraux $DCE$ et $DAF$ extérieurs au carré $ABCD$.\\
%Démontrer que les droites $(AC)$ et $(EF)$ sont parallèles, en vous plaçant dans le repère orthormé 
%$\left(A ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AD}\right)$.
%\end{ExoF}




\begin{ExoF}
$ABC$ est un triangle. \\
$I$ est le milieu de $[BC]$ et $M$ est un point de la parallèle à $(AB)$ passant par $I$.\\
La parallèle à $(AC)$ passant par $I$ coupe la parallèle à $(BC)$ passant par $M$ en $N$.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Réaliser une figure avec un logiciel de géométrie.
\item Semble-t-il exister une position du point $M$ pour laquelle :
\begin{itemize}
 \item $M=N$ ?
 \item $BCMN$ est un parallélogramme ?
\item $BCNM$ est un parallélogramme ?
\end{itemize}
       \end{enumerate}
\item On se place dans le repère $\left(A ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right)$.
\begin{enumerate}
 \item Justifier que les coordonnées du point $M$ peuvent s'écrire $\left(k ; \dfrac12 \right)$ où $k$ désigne un nombre réel.
 \item Exprimer les coordonnées de $N$ en fonction de $k$.
 \item Justifier les conjectures émises à la question 1.b..
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}





%\begin{ExoF} 
%$A$, $B$ et $C$ sont trois points non alignés. Les points $D$, $E$ et $F$ sont définis par :
%$$ \overrightarrow{AD}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\qquad \overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AC}\qquad \overrightarrow{BF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$$
%Le but de l'exercice est de démontrer par deux méthodes que les points $D$, $E$ et $F$ sont alignés puis de comparer ces deux méthodes.\\
% Faire une figure.\\
%  \partieBac{méthode 1}
%\begin{enumerate}
%\item Justifier que $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est un repère du plan.
%\item Déterminer les coordonnées des points $D$, $E$ et $F$ dans ce repère.
%\item En déduire celles des vecteurs $\overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{DF}$ et démontrer que $D$, $E$ et $F$ sont alignés.
%\end{enumerate}
%  \partieBac{méthode 2}
%  \begin{enumerate}
%\item Ecrire chacun des vecteurs $\overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{DF}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
%\item Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{DF}$ sont colinéaires. Conclure.
%\end{enumerate}
%  \partieBac{Comparaison des deux méthodes}
% Comparer les relations vectorielles trouvées  dans la partie B avec les coordonnées de $\overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{DF}$ trouvées dans la partie A. Commenter.
%\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Soit $ABC$ un triangle et $a$ un réel.
On considère les points $P$, $Q$ et $R$ définis par :
$$ \overrightarrow{AP}=a\overrightarrow{AB}\qquad \overrightarrow{CQ}=a\overrightarrow{CA}\qquad \overrightarrow{CR}=a\overrightarrow{CB}$$
La figure ci-contre correspond au cas où $a=\dfrac{1}{2}$
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.98,-0.7)(4.64,4.5)
\psline(-2.44,2.68)(-0.1,3.98)
\psline(-0.1,3.98)(1.8,1.08)
\psline(1.8,1.08)(-2.44,2.68)
\psplot{0.85}{4.64}{(--3.64-1.45*x)/0.95}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=x](-2.44,2.68)
\rput[bl](-2.68,2.74){$A$}
\psdots[dotstyle=x](-0.1,3.98)
\rput[bl](-0.02,4.06){$B$}
\psdots[dotstyle=x](1.8,1.08)
\rput[bl](1.88,1.16){$C$}
\psdots[dotstyle=x](-1.27,3.33)
\rput[bl](-1.3,3.5){$P$}
\psdots[dotstyle=x](-0.32,1.88)
\rput[bl](-0.24,1.96){$Q$}
\psdots[dotstyle=x](2.75,-0.37)
\rput[bl](2.84,-0.3){$R$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
Existe-t-il des valeurs de $a$ pour lesquelles les points $P$, $Q$ et $R$ sont alignés ?
\end{ExoF}




\begin{ExoF}
Soit un triangle $RST$ et $K$ le milieu de $[RS]$.
\begin{enumerate}
\item Construire les points $H$ et $L$ tels que :
$$ \overrightarrow{TH}=-3\overrightarrow{TR}\qquad \text{et}\qquad \overrightarrow{SL}=-2\overrightarrow{ST}$$
\item Montrer que $\overrightarrow{TR}+\overrightarrow{TS}=2\overrightarrow{TK}$.
\item Décomposer le vecteur $\overrightarrow{HL}$ dans la base $\left(\overrightarrow{TR} ; \overrightarrow{TS}\right)$
\item En déduire que $(HL)$ et $(TK)$ sont parallèles.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF} 
Construire un triangle $ABC$, puis les points $D$, $E$ et $F$ tels que 
$\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{BC}$.\\
\textit{Le but de cet exercice est de démontrer par deux méthodes différentes que $D$, $E$ et $F$ sont alignés.}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Décomposer $\overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{DF}$ dans la base $\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)$.
\item Démontrer que $D$, $E$ et $F$ sont alignés.
\end{enumerate}
\item La parallèle à $(DE)$ passant par $C$ coupe $[AB]$ en un point $I$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $E$ est le milieu de $[AI]$.
\item En déduire que $I$ est le milieu de $[EB]$.
\item Démontrer alors que la droite $(CI)$ est parallèle à la droite $(FD)$. Conclure.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
$ABCD$ est un tétraèdre. $I$ est le milieu de $[AB]$, $J$ celui de $[BD]$ et $K$ celui de $[JC]$. $E$ est le point du segment $[AE]$ tel que $AE=\dfrac{2}{3}AJ$ et $F$ est le point du segment $[BC]$ tel que $BF=\dfrac{2}{3}BC$.
\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item On se place dans le plan $(ABD)$. Faire une figure (dans le plan $(ABD)$) puis démontrer que $I$, $E$ et $D$ sont alignés.
\item On se place dans le plan $(BCD)$. Démontrer que $F$, $K$ et $D$ sont alignés.
\item \begin{enumerate}
\item Que peut-on dire des droites $(IE)$ et $(FK)$ ?
\item En déduire que $I$, $E$, $F$ et $K$ sont coplanaires.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoL} (Repère) 
82 p 333 + 92 p 335
\end{ExoL}


\section{Vecteurs et Droites}
\subsection{Vecteurs directeurs d'une droite}
\Act{Dans un repère, on considère les points $A(-1;1)$, $B(5;4)$, $C(2;6)$ et $D(0;5)$.\\
Soit $\mathscr E$ l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que 
$\overrightarrow{CM}=k\overrightarrow{CD}$ pour $k\in\R$.
\begin{enumerate}
\item Détermination de l'ensemble $\mathscr E$
\begin{enumerate}
\item Pour quelle valeur de $k$ le point $M$ est-il en $C$ ? en $D$ ? au milieu de $[CD]$ ?
\item Pour quelles valeurs de $k$ le point $M$ est-il sur la demi-droite issue de $C$ ne contenant pas le point $D$ ?
Celle issue de $D$ ne contenant pas le point $C$ ? 
\item Quel lieu géométrique $\mathscr E$ décrit le point $M$ ?
\item Est-ce le même que l'ensemble des points $M$ tels que $CM=kCD$ avec $k\in\R$ ?
\end{enumerate}
\item On dit que $\overrightarrow{CD}$ est \dots 
\begin{enumerate}
\item En citer trois autres.
\item Montrer que $ABCD$ est un trapèze.
\item Pourquoi le vecteur de coordonnées $(3;1)$ n'est pas un vecteur directeur de la droite $(CD)$. \\
Peut-il être un vecteur directeur de la droite $(AB)$ ?
\item Déterminer la valeur de $k$ telle que $ABMD$ soit un parallélogramme. \\
Même question pour $ABDM$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\begin{defi}
Soit $d$ une droite du plan.\\
On appelle \textbf{vecteur directeur} de $d$ tout vecteur non nul $\vec{u}$ qui possède la même direction 
que la droite $d$.
\end{defi}

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.28,0.52)(4.2,4.08)
\psline{->}(-1.72,2.26)(0.36,3.42)
\rput[tl](-1.08,3.64){$\vec u$}
\psplot{-2.28}{4.2}{(--4.39--1.16*x)/2.08}
\rput[tl](0,2.06){$d$}
\end{pspicture*}
\end{center}


\Rq{
Si $A$ et $B$ sont deux points distincts d'une droite $d$ alors 
le vecteur $\overrightarrow{AB}$ dirige la droite $d$ et tout vecteur non nul 
colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de la droite $(AB)$.\\
 Une droite possède donc une infinité de vecteurs directeurs.
}


\Expl{Dans un  repère, soit $A(-2;3)$, $B(3;1)$ et $C(-1;-3)$. 
Déterminer les coordonnées d'un vecteur directeur de la médiane passant par le sommet $A$ du triangle $ABC$.
}


\begin{propo}
\begin{itemize}
\item Une droite $d$ peut être définie par un point $A$ et un vecteur directeur $\vec u$.\\
Un point $M$ appartient à cette droite si et seulement si les vecteurs 
$\overrightarrow{AM}$ et $\vec u$ sont colinéaires.
\item Deux droites de vecteur directeur $\vec u$ et $\vec v$ sont parallèles si et seulement si
$\vec u $ et $\vec v$ sont colinéaires.
\end{itemize}
\end{propo}

\Dem{
\begin{itemize}
 \item La droite $d$ est la droite $(AB)$ avec $B$ tel que $\overrightarrow{AB}= \vec u$.\\
 Or $M\in (AB) \iff \overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinaires.
 \item $d // d' \iff d$ et $d'$ ont la même direction, ie des vecteurs directeurs colinéaires.
\end{itemize}
}

\Expl{Dans un repère du plan, on donne les points $A(4;0)$, $B(2;-3)$, $C(2;1)$ et le vecteur $\vec{u}(3;5)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer un vecteur directeur de la droite $(AC)$.
 \item Tracer la droite $d$ passant par $B$, de vecteur directeur $\vec{u}$.
 \item Les droites $d$ et $(AC)$ sont-elles parallèles ?
\item Le point $E\left(-3;\dfrac{7}{2}\right)$ appartient-il à la droite $(AC)$ ? Justifier.
\item Montrer que le point $A$ n'appartient pas à la droite $d$.
\end{enumerate}
}

%\subsection{Vecteur directeur et équation réduite de droites}
\begin{propo}
Le plan est muni d'un repère.
\begin{itemize}
 \item Soit $d$ une droite d'équation $y=mx+p$ alors le vecteur 
$\vec{u}\left(1;m\right)$ dirige la droite $d$.
\item Soit $d'$ une droite d'équation $x=c$ alors le vecteur 
$\vec{u}\left(0;1\right)$ dirige la droite $d'$.
\end{itemize}
\end{propo}


\Dem{
$d : y=mx+p$ donc le point $A(0,p)\in d$ et le point $B$ de coordonnées $(1,m+p)$ est aussi un point 
de la droite $d$. Ainsi le vecteur $\overrightarrow{AB}$ dirige la droite $d$ et ce vecteur a pour coordonnées :
$$ \left(1-0;m+p-p\right)=\left(1;m\right)$$ 
$d':x=c$ donc $A(c,0)$ et $B(c,1)$ appartiennent à $d'$. Ainsi le vecteur $\overrightarrow{AB}$ dirige 
la droite $d'$ et ce vecteur a pour coordonnées :
$$ \left(c-c;1-0\right)=\left(0;1\right)$$ 
}


\subsection{Equation cartésienne d'une droite}

\Act{\begin{enumerate} 
\item \textbf{Cas particulier :}\\
Dans un repère, on considère les points $A(2;6)$ et $B(0;5)$.\\
\textit{On se propose de trouver une \textbf{caractérisation analytique} de la droite $(AB)$ de l'activité précédente
ie de trouver une \textbf{condition nécessaire et suffisante sur $x$ et $y$ pour qu'un point $M(x;y)\in (CD)$.}}\\
On sait que la droite $(AB)$ est l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que 
$\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$ avec $k\in\R$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $x$ et $y$ en fonction de $k$.
\item En déduire une équation d'inconnues $x$ et $y$ traduisant le fait que $M\in (AB)$.
\item \textit{L'expression trouvée est \textbf{une} équation cartésienne de la droite $(AB)$.}\\
Expliquer pourquoi on utilise l'article indéfini \og une \fg.
\end{enumerate}
\item \textbf{Démonstration : \\}
On veut montrer que toutes les droites admettent une équation cartésienne du type $ax+by=c$.
Dans un repère, on considère une droite $d$ quelconque. Soit $A(x_0; y_0)$ l'un de ses points, 
$\vec u(\alpha ; \beta)$ un de ses vecteurs directeurs et $M(x;y)$ un point quelconque du plan.
\begin{enumerate} 
 \item Donner une condition vectorielle qui traduit l'appartenance de $M$ à la droite $d$.
 \item Reproduire la méthode de la question 1 pour montrer que le test d'appartenance du point 
 $M$ à la droite $d$ est
bien de la forme $ax+by=c$ (avec $a$, $b$ et $c$ à déterminer en fonction de $x_0$, $y_0$, $\alpha$ et $\beta$).
 \item Expliquer pourquoi $a$ et $b$ ne peuvent pas être tous les deux nuls.
 \item Montrer que les types d'équations étudiées en secondes peuvent à présent trouver une version 
 unifiée grâce à l'utilisation de l'expression $ax+by+c=0$, en précisant les valeurs de $a$, $b$ et $c$ 
 dans chaque cas (droites parallèles ou non à l'axe des ordonnées).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


Dans la suite du chapitre, on se place dans un repère $(O; \vec i ; \vec j)$ du plan.

\begin{theo}[Définition]
Toute droite $d$ (même celles qui sont parallèles à l'axe des ordonnées) 
admet une équation, dite \textbf{cartésienne}, de la forme $ax+by=c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels tels que 
$(a;b)\neq (0;0)$.
\end{theo}

\Dem{Soit $A(x_A;y_A)$ un point de $d$ et $\vec{u}(\alpha; \beta)$ un vecteur directeur de $d$.
\begin{eqnarray*}
& & M(x;y)\in d \\
&\Longleftrightarrow & \overrightarrow{AM}\left(x-x_A;y-y_A\right) \text{ et } \vec{u}\left(\alpha;\beta\right) \text{ sont colinéaires }\\
& \Longleftrightarrow & \beta(x-x_A)-\alpha(y-y_A)=0\\
&\Longleftrightarrow & \beta x-\alpha y= \beta x_A-\alpha y_A\\
\end{eqnarray*}
On obtient le résultat voulu en posant $a=\beta$, $b=-\alpha$ et $c=\beta x_A-\alpha y_A$.
De plus comme $\vec{u}\neq \overrightarrow{0}$, les réels $a$ et $b$ ne sont pas tous les deux nuls.}

\Rqs{
\item Dire qu'une droite $d$ admet pour équation $ax+by=c$ signifie qu'un point $M(x;y)$ appartient à $d$ si et seulement
si ses coordonnées vérifient cette équation.
\item $\forall k \in\R^*$, $kax+kby=kc$ est aussi une équation cartésienne de la droite $d:ax+by=c$ 
(il y en a donc une infinité).
\item Jusqu'à présent, vous avez présenté les équations de droites sous deux formes :
\begin{itemize}
 \item $x=c$ pour les droites parallèles à l'axe des ordonnées
 \item $y=mx+p$ pour les autres (représentant les fonctions affines). Ce type d'équation s'appelle équation réduit d'une
 droite et celle-ci est unique.
\end{itemize}
Désormais, il n'est plus nécessaire de distinguer les cas.
}

\begin{theo}
Toute équation de la forme $ax+by=c$ avec $(a;b)\neq (0;0)$ est l'équation d'une droite. \\
De plus cette droite a pour vecteur directeur $\vec{u}(-b;a)$.
\end{theo}

\Dem{On décompose cette démonstration, en étudiant deux cas, le premier si $b\neq 0$ et le second si $b=0$.
\begin{itemize}
\item \begin{eqnarray*}
& & ax+by=c \\
&\Longleftrightarrow & by=c-ax\\
& \Longleftrightarrow & y=-\dfrac{a}{b}x +\dfrac{c}{b}\\
\end{eqnarray*}
Ainsi l'équation $ax+by=c$ s'écrit sous la forme $y=mx+p$ avec $m=-\dfrac{a}{b}$ et $p=\dfrac{c}{b}$, or il s'agit de l'équation d'une droite qui coupe l'axe des ordonnées de vecteur directeur $\vec{v}\left(1;-\dfrac{a}{b}\right)$. Par conséquent le vecteur $-b\vec{v}$ dirige encore cette droite et a pour coordonnées :
$$ \left(-b;a\right)$$ 
\item Si $b=0$ alors l'équation $ax+by=c$ devient $ax=c$. De plus si $b=0$ alors $a\neq 0$ et donc l'équation $ax+by=c$ peut s'écrire $x=\dfrac{c}{a}$ qui est l'équation d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées. Un vecteur directeur de cette droite est alors $\vec{v}(0;1)$ et donc $a\vec{v}$ dirige encore cette droite et a pour coordonnées $\left(0;a\right)$.
\end{itemize}
}

\Rqs{
\item $\vec u$ ne peut pas être nul, avec $a$ et $b$ sont non nuls simultanément
\item Si $b\neq 0$, l'équation de la droite s'écrit $y=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}$ et son coefficient directeur 
$m=-\dfrac{a}{b}$
est le quotient de la seconde coordonnée de $\vec u$ par la première, comme vu en seconde.
}

\Expls{
\begin{enumerate}
 \item Dans un repère du plan, on donne les points $A(4;0)$, $B(2;-3)$, $F\left(3;-\dfrac{4}{3}\right)$ et le vecteur $\vec{u}(3;5)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par $B$, de vecteur directeur $\vec{u}$.
\item Le point $F$ appartient-il à la droite $d$ ?
\item Le point $A$ appartient-il à la droite $d$ ?
\end{enumerate}
\item Dans un repère du plan, tracer les droites $d_1 : 2x+3y=5$ et $d_2 :-2x=-5$.
\item Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par les points $A(15;-10)$ et $B(-25;30)$.
\end{enumerate}
}

\begin{propo}
Les droites d'équations $ax+by=c$ et $a'x+b'y=c'$ sont parallèles si et seulement si $ab'-a'b=0$.
\end{propo}

\Dem{Le vecteur $\vec{u}(-b;a)$ dirige $d$ et le vecteur $\vec{v}(-b';a')$ dirige $d'$. Ainsi $d//d'$ si et seulement si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires i.e si et seulement si
$$ -a'b+ab'=0\Longleftrightarrow ab'-a'b=0$$}

\Expl{On considère un repère $(O;\vec{i}, \vec{j})$ du plan.
\begin{enumerate}
\item Donner deux équations cartésiennes de la droite $d$ passant par le point $A(5;-1)$ 
et parallèle à la droite $d_1 : 3x-y=-12$.
\item La droite $d$ est-elle parallèle à la droite $d_2$ dont l'équation cartésienne réduite est $y=-3x+8$ ?\\
Si non, déterminer leur point $K$ d'intersection.
\end{enumerate}
}


\Cadre[Méthode]{
Pour trouver la position relative de deux droites, on regarde grâce à la propriété ci-dessus si elles sont parallèles :
\begin{itemize}
 \item Si oui, on regarde si elles sont confondues ou non (les équations sont-elles proportionnelles ?)
 \item Si non, on résout le système formé par les deux équations pour trouver les coordonnées de leur point d'intersection.
\end{itemize}
}

\begin{ExoF}
 On considère un repère $(O;\vec{i}, \vec{j})$ du plan. 
 \begin{enumerate}
 \item On considère les points $A(2;-3)$ et $B(4;-5)$.\\
Donner trois vecteurs directeurs de la droite $(AB)$.
  \item Déterminer trois équations cartésiennes 
de la droite $d$ passant par le point $C(2;-1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(-1;2)$.
 \item Donner une équation cartésienne de la droite $d$ passant par le point $D(5;-1)$ et parallèle à la droite 
 $d_1$ dont une équation cartésienne est $2x-7y=2$.
\item La droite $d$ est-elle parallèle à la droite $d_2$ dont l'équation réduite $y=-\dfrac{2}{7}x+3$.\\
Si non, donner les coordonnées de leur point d'intersection.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Quel est le coefficient directeur d'une droite de vecteur directeur $\vec{u}$ avec :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $\vec{u}(1;-3)$
\item $\vec{u}(-2;4)$
\item $\vec{u}(5;-2)$
\item $\vec{u}\left(\dfrac{1}{4};2\right)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Soit $d$ la droite d'équation $2x-3y=-7$.
\begin{enumerate}
\item Le point $A(-2;1)$ appartient-il à $d$ ?
\item Même question avec $B\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{2}\right)$ et $C\left(3;\dfrac{13}{3}\right)$.
\item Trouver l'ordonnée du point $E$ de $d$ d'abscisse $-\dfrac{2}{7}$.
\item Trouver l'abscisse du point $F$ de $d$ d'ordonnée $\dfrac{1}{5}$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Placer les points $A(-2;4)$, $B(2;2)$, $C(-5;0)$ et le point $D$ tel que $\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AB}$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadrilatère $ABDC$ ?
\item Déterminer les coordonnées de $D$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Soit $d:6x+y=14$.
\\
Vérifier que $B$ et $D$ appartiennent à $d$.
\item Trouver une équation cartésienne de la droite $(AC)$.
\item Prouver que $(BD)$ et $(AC)$ sont sécantes.
\item Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection $E$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées de $K$ milieu de $[AB]$ et de $L$ milieu de $[CD]$.
\item Démontrer que les points $E$, $K$ et $L$ sont alignés.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Soit $m$ un réel et $d$ la droite d'équation $ x+my+3=0$
Peut-on trouver $m$ tel que :
\begin{enumerate}
\item $\vec{u}(3;2)$ soit un vecteur directeur de $d$.
\item $A(-2;3)$ appartienne à $d$.
\item $d$ soit parallèle à la droite d'équation $3x-y=0$.
\item $d$ soit parallèle à l'axe des abscisses.
\item $d$ soit parallèle à l'axe des ordonnées.
\item $d$ passe par l'origine du repère.
\item $d$ passe par le point $J(0;1)$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
 Dans un repère du plan $(O;\vec{i}, \vec{j})$, on considère les points $A(3;4)$, $B(1;-1)$ et $C(6;-2)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$.
\item Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par le milieu $I$ de $[AC]$ et parallèle à $(AB)$.
\item $\Delta$ est la droite d'équation $-16x+y=-98$
\begin{enumerate}
\item Prouver que $\Delta$ et $(AB)$ sont sécantes en $D$ de coordonnées à déterminer.
\item Montrer que le milieu $J$ de $[DC]$ est un point de $d$ de deux manières différentes.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF} 
Soit $ABCD$ un trapèze tel que $(AB)$ soit parallèle à $(CD)$. Soit $M$ le point d'intersection des droites $(AD)$ et $(CD)$. Soit $I$ le milieu du côté $[AB]$ et $J$ celui du côté $[CD]$. On nomme $K$ le point d'intersection des diagonales $[AC]$ et $[BD]$. \\
On veut démontrer que $M$, $I$, $J$ et $K$ sont alignés.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)$ est un repère.
\item Donner les coordonnées de $A$, $B$, $D$ et $I$ dans ce repère.
\item On nomme $a$ l'abscisse du point $C$ dans le repère $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)$. Déterminer, en fonction de $a$, les coordonnées de $C$ et de $J$.
\item Déterminer une équation cartésienne de la droite $(BC)$ et en déduire les coordonnées de $M$.
\item Montrer que les points $M$, $I$ et $J$ sont alignés.
\item Déterminer une équation cartésienne de $(BD)$ et de $(AC)$. En déduire les coordonnées de $K$.
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{ExoF}




\begin{ExoL}
Repère : n$^{\circ}$ 57 - 65 à 69 p 331 + n$^{\circ}$ 110 - 113 (?) p 339\\
Math'x : 64 p 279 (logique) \\
DM : 108 p 338 (barycentre) + 107 p 337 (médiane)\\
Algo : (Hyperbole) n$^{\circ}$ 77-78 p 181 + 49 p 174 \quad + \quad (Odyssée) 62 p 197
\end{ExoL}


 \epigraphe{La physique est bien trop dure pour les phycisiens}{David Hilbert}{mathématicien} 


\end{document}
