\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 5}
\newcommand{\Ch}{Polyn\^omes du second degr\'e}
\newcommand{\Cl}{1G6}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{hmargin=1.8cm,vmargin=2.2cm}

\setcounter{NumLecon}{5}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\Chacha{alpha2.eps}{Alphaville}{Jean Luc Godard}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{Alphaville, une étrange aventure de Lemmy Caution (ou Alphaville) est un film franco-italien de science-fiction de Jean-Luc Godard sorti en 1965. Il a reçu l'Ours d'or 1965 au Festival international du film de Berlin.\\
Dans une époque postérieure aux années 1960, les autorités des \og pays extérieurs \fg
envoient le célèbre agent secret Lemmy Caution (Eddie Constantine) en mission à Alphaville, une cité déshumanisée, 
éloignée de quelques années-lumière de la Terre. Caution est chargé de neutraliser le professeur von Braun, 
tout-puissant maître d'Alphaville, qui y a aboli les sentiments humains. Un ordinateur, Alpha 60, régit toute la 
ville. Un message de Dickson, un ex-agent secret, ordonne à Lemmy de « détruire Alpha 60 et de sauver ceux qui 
pleurent ». Mais ce dernier est enlevé, interrogé par Alpha 60 et condamné à mort ...
}{0.8}{0.8}{
\item Résoudre des équations du second degré.
\item Etudier le signe d'un trinôme.
\item Maitriser l'allure de la courbe d'une fonction polynôme du second degré.
}

\TITRE{alpha1.eps}{0.8}


\begin{Intro}{Au fil du temps}
Nous allons étudier les polynômes du second degré, ie de la forme $ax^2+bx+c$, 
où $a$, $b$ et $c$ sont des constantes connues (et $a\neq 0$).\\
La représentation graphique de ce genre de fonction est une parabole, courbe que l'on retrouve dans la nature, comme par exemple 
la trajectoire des jets d'eau d'une fontaine, des astres, les rebonds d'une balle de tennis, les dunes de sables dans le désert ... 
Les antennes pour le câble sont également en forme de parabole, d'où leur nom.\\
On a découvert les paraboles dès l'antiquité, grâce à \textit{Appolonius de Perga}, qui étudiait les sections planes du cône.
Au V$^{\text{\`e}me}$ si\`ecle, la pens\'ee math\'ematique s'\'epanouit dans le moyen orient, sous l'impulsion 
g\'eniale d'\textit{Al Khwarizmi}. Son nom est \`a la base du mot algorithme. En effet, c'est lui qui le premier
s'intéressa à mettre en place une méthode générale de résolution d'équations en fonction de leur type.\\
La nouveaut\'e apport\'ee par Al-Khwarizmi correspond \`a une v\'eritable \'evolution des mentalit\'es : 
il ne s'agit plus de r\'esoudre des probl\`emes arithm\'etiques
ou g\'eom\'etriques que l'on peut traduire en \'equations, mais de partir des \'equations, dont chacune recouvre 
une classe infinie de probl\`emes vari\'es.\\
Il est également le premier \`a r\'esoudre couramment des \'equations du second degr\'e dans $\R$. 
Autrement dit, \textit{Al Khwarizmi} à trouver un algorithme permettant de résoudre toutes les \'equations de la forme 
$ax^2+bx+c=0$, et lorsque l'on a sur un probl\`eme qui aboutit \`a une telle \'equation, 
il n'y a plus qu'\`a le suivre ! C'est cet algorithme que nous allons découvrir.\\
Au XVII$^e$ siècle, \textit{Newton} démontre que la trajectoire d'un corps seulement soumis à son poids est une parabole.
A cette époque, on sait déjà résoudre depuis environ un siècle les équations du second degré dans un ensemble de 
nombres que vous découvrirez, contenant $\R$ et de nouveaux nombres, appelés imaginaires (par opposition à réels) ou encore complexes.\\

\end{Intro}



\section{Trin\^ome du second degr\'e}

\Act{
Un rectangle a pour p\'erim\`etre $P=21$ m et pour aire $S=27$ $m^2$. Quels sont les dimensions
de ce rectangle ? 
}

\textbf{Objectifs et commentaires :} 
\begin{itemize}
 \item Faire mod\'elisation la situation aux élèves : \\
 Poser $x$ et $y$ les dimensions de ce rectangle, et obtenir : $x+y=21 \text{ et }xy=27$
 \item Manipuler les écritures littérales et le système pour aboutir à l'équation $x^2-10.5x+27=0$
 \item Les faire s'interroger sur les diverses manières de résoudre une telle équation.\\
 Graphiquement ? Tableau de valeurs ? Calculs ? 
\end{itemize}

\Sol{La recherche à tâtons ici n'est pas si simple, les élèves ne pensant qu'aux nombres entiers ...\\
La nécessité de modéliser se fera donc sentir.\\
\underline{Mod\'elisation :} Soient $x$ et $y$ les dimensions de ce rectangle, on obtient :
$$x+y=\dfrac{P}{2}=10,5 \quad \text{ et } \quad xy=S=27$$
En rempla\c cant $y$ par $10,5-x$ on obtient l'\'equation $x(10,5-x)=27$ qui peut s'\'ecrire encore $x^2-10,5x+27=0$.\\
\textit{Comment r\'esoudre une telle \'equation ?}
\newline
Notons $f$ la fonction \textit{trinôme} définit par $f(x)=x^2-10,5x+27$ et étudions cette fonction.\\
\underline{Graphiquement : } On trace la représentation graphique de la fonction $f$ et on regarde les abscisses des
points où cette courbe coupe l'axe des abscisses.\\
\textit{Critique} : peu rigoureux.\\
Faire remarquer aux élèves qu'on peut vérifier l'exactitude des solutions par le calcul.\\
De plus, leurs connaissances sur les trinômes peuvent cependant leur permettre d'affirmer qu'on trouve ainsi toutes les 
solutions du problème. \\
\underline{Tableau de valeurs :} On fait un tableau de valeurs de la fonction $f$ et on cherche les solutions.\\
Mêmes remarques que précédemment sur le nombre de solutions.\\
\underline{Par le calcul, en utilisant la forme canonique :}
\begin{eqnarray*}
 x^2-10,5x+27=27 &\Longleftrightarrow  & x^2-10,5x=0\\
& \Longleftrightarrow  & x(x-10,5)=0\\
& \Longleftrightarrow & x=0\quad \text{ou} \quad x=10,5
\end{eqnarray*}
On en déduit que $\alpha =\dfrac{0+10.5}2=\dfrac{21}{4}$  \qquad Et $\beta =f\left(\dfrac{21}{4}\right)=-\dfrac{9}{16}$. Donc 
$$ f(x)=\left(x-\dfrac{21}{4}\right)^2-\dfrac{9}{16}$$
A partir de la forme canonique du trinôme $f$ on résout l'équation $x^2-10,5x+27=0$ :
\begin{eqnarray*}
x^2-10,5x+27=0&\iff &\left(x-\dfrac{21}{4}\right)^2-\dfrac{9}{16}=0\\
&\Longleftrightarrow & \left(x-\dfrac{21}{4}\right)^2=\dfrac{9}{16}\\
&\Longleftrightarrow  & x-\dfrac{21}{4}=\dfrac{3}{4}\qquad \text{ou}\qquad x-\dfrac{21}{4}=-\dfrac{3}{4}\\
&\Longleftrightarrow  & x=\dfrac{24}{4}=6\qquad \text{ou}\qquad x=\dfrac{18}{4}=4.5
\end{eqnarray*}
De plus si $x=6$ alors $y=10,5-6=4,5$. Le rectangle a donc pour dimensions $4$ et $6.5$.\\
Et si $x=\dfrac{18}{4}=4,5$ alors $y=10,5-4,5=6$. On retrouve les mêmes dimensions (les rôles de $x$ et $y$ étant symétriques).
\\

\underline{Conclusion :} Le rectangle d'aire $S=27$ et de périmètre $21$ a pour longueur $6$ et pour largeur $4,5$.
}

\underline{But du chapitre :} On cherche un algorithme qui automatiserait ce genre de démarche. 

\begin{defi}
On appelle \textbf{polyn\^ome du second degr\'e} ou encore \textbf{trinôme} toute expression pouvant s'\'ecrire 
$ax^2+bx+c$ o\`u $a$, $b$ et $c$ sont des r\'eels avec $a\neq0$
\end{defi}
\Expls{\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $x^2-4x+1$ \hspace{8mm}$(a=1;b=-4;c=1)$
\item $-7x^2+4x$ \hspace{8mm}$(a=-7;b=4;c=0)$
\item $\sqrt{2}x^2$ \hspace{8mm}$(a=\sqrt{2};b=0;c=0)$
\item $(x+1)^2$ \hspace{8mm}$(a=1;b=2;c=1)$ 
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Cexpl{
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $3x+1$ est un bin\^ome du premier degr\'e
\item $x^3+2x+3$ est un polyn\^ome du $3^{\text{\`e}me}$ degr\'e
\item $(x+1)^2-x^2$ est un bin\^ome du premier degr\'e.
\item $2x^2+\dfrac{1}{x}$ n'est pas un trin\^ome du $2^{nd}$ degr\'e.
\end{enumerate}
\end{multicols}
}


\begin{prop}
 Soit $P(x)=ax^2+bx+c$ et $Q(x)=a'x^2+b'x+c'$ deux trin\^omes.\newline
$P$ et $Q$ sont \'egaux si, et seulement si $\left\{\begin{array}{l}
                                                     a=a' \\ b=b' \\ c=c'
                                                    \end{array}\right. $
\end{prop}

\Rq{
On dit que $P=Q$ si, et seulement si $P(x)=Q(x) , \quad \forall x\in\R$.
}

\Dem{
\fbox{$\Longleftarrow$} Supposons que $\left\{\begin{array}{l}
                                                     a=a' \\ b=b' \\ c=c'
                                                    \end{array}\right. $. \qquad \qquad \qquad 
Il est alors clair que $P=Q$.\\

\fbox{$\Longrightarrow$} Supposons maintenant que $P=Q$.\\
On a alors : \qquad \qquad \qquad 
$ ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c', \quad \forall x\in\R$\\
Si l'égalité est vraie pour tout réel $x$, elle l'est en particulier pour $x=0$. \\
On obtient alors que $c=c'$.\\
L'égalité devient donc :
$$ ax^2+bx=a'x^2+b'x, \quad \forall x\in\R$$
En particulier, si on choisit $x=1$ on obtient : \quad $a+b=a'+b'$\newline
Si on choisit maintenant $x=-1$ on obtient : \quad $a-b=a'-b'$\newline
On a donc le système $\left\{\begin{array}{l}
                              a+b=a'+b' \\ a-b=a'-b'
                             \end{array}\right.$
formé par les deux conditions trouvées sur les coefficients. 
}
\DemS{
En ajoutant membre \`a membre les deux lignes, on obtient : \quad  $2a=2a' \iff a=a'$.\\
En soustrayant désormais membre à membre les deux lignes, on obtient : \quad  $2b=2b' \iff b=b'$.\\

Donc si $P=Q$ alors $\left\{\begin{array}{l}
                                                     a=a' \\ b=b' \\ c=c'
                                                    \end{array}\right. $ \qquad \qquad
Au final, on a montré que : $ \qquad P=Q \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
                                                     a=a' \\ b=b' \\ c=c'
                                                    \end{array}\right. '$
\flushright{\textbf{CQFD}}
}


\Expl{Soient $P(x)=x^2-x-1$ et $Q(x)=\left(x-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\left(x-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)$. 
D\'emontrer que $P=Q$\\
\textit{On dit que $Q$ est la forme factorisée de $P$.}
}

\begin{defi}
Soit $P(x)=ax^2+bx+c$ un trin\^ome. On appelle \textbf{racine} de $P$ 
toute valeur de la variable $x$ solution de l'\'equation du second degr\'e :
$$ ax^2+bx+c=0$$
\end{defi}

\Expls{
\begin{enumerate}
 \item $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ et $\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ sont des racines du trinôme de l'exemple précédent.
 \item Vérifier que $3$ est racine du trin\^ome $2x^2-5x-3$. En a-t-il d'autre(s) ? En déduire sa forme factorisée.
 \item Trouver les racines du polyn\^ome $x^2-7=0$
     \end{enumerate}
}

\Question{D'une mani\`ere g\'en\'erale, comment trouver les racines du polyn\^ome $ax^2+bx+c$ ? 
Existe-t-il un algorithme permettant de 
trouver toutes les racines de n'importe quel trin\^ome ?}

\begin{ExoL}
 Repère : n$^{\circ}$ 58 p 32 et 66 p 34 (détermination des coefficients à partir de trois images)
\end{ExoL}


\newpage
\section{R\'esolution des \'equations du second degr\'e}
\subsection{Résolution de l'équation $X^2=a$}

\begin{prop}
L'équation $X^2=a$ admet :
\begin{itemize}
\item 2 solutions si $a>0$ : $X_1=\sqrt{a}$ ou $X_2=-\sqrt{a}$.
\item 1 solution si $a=0$, il s'agit de $X=0$.
\item 0 solution si $a<0$.
\end{itemize}
\end{prop}


\Expls{Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $2x^2-3=0$ ;
\item $(4x+1)^2-1=0$ ;
\item $3(x-1)^2=7$ ;
\item $ (x+1)^2+1=0$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\begin{ExoF}
 \og Canoniser \fg le trin\^ome $x^2-7x+12$ , établir son tableau de variations et déterminer ses 
   éventuelles racines.
\end{ExoF}


\subsection{R\'esolution de $ax^2+bx+c=0$}
\Act{\\ 
\textbf{\textit{L'objectif de cette activité est de déterminer les éventuelles racines d'un trinôme dans le cas général.}}\\
On sait que tout trinôme $T(x)=ax^2+bx+c$ ($a\neq 0$) admet une forme canonique du type $a(x-\alpha)^2+\beta$ et 
on a déjà vu deux méthodes pour retrouver cette forme. \\
\textit{Je rappelle que cette forme nous est utile pour déterminer le tableau de variations du trinôme, 
ainsi que ses éventuelles racines.}
\begin{enumerate}
 % \item \textbf{Etablissement d'une condition sur $a$ et $\beta$ pour l'existence de racines :}
 % \begin{enumerate}
 %   \item Montrer que $T(x) = 0 \iff (x-\alpha)^2=-\dfrac{\beta}{a}$
 %   \item A quelle condition nécessaire et suffisante cette dernière équation admet-elle deux solutions ? 
 %   une seule ? zéro ?
 %       \end{enumerate}
 %  \textit{On souhaite trouver une condition qui nous éviterait d'avoir à chercher $\beta$.\\
 %   Pour cela, commençons par chercher l'expression de $\alpha$ et $\beta$ en fonction de $a$, $b$ et $c$.}
\item \textbf{Détermination de $\alpha$ et $\beta$ en fonction de $a$, $b$ et $c$ :}
 \begin{enumerate}
    \item  Développer l'expression $a(x-\alpha)^2+\beta$ et l'ordonner suivant les puissances de $x$.
    \item En déduire que $T(x)=a(x-\alpha)^2+\beta \iff \left\{\begin{array}{l}
                                                               \alpha = -\dfrac{b}{2a} \\ \beta = \dfrac{4ac-b^2}{4a}
                                                              \end{array}\right.$
       \end{enumerate}
 %   \textit{Utilisons désormais ces formules pour simplifier notre condition établie en 1b).}
    \item \textbf{Etablissement d'une condition sur $a$, $b$ et $c$ pour l'existence de racines :}
  \begin{enumerate}
 %   \item Montrer que $-\dfrac{\beta}{a}=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$.
     \item Montrer que $T(x) = 0 \iff (x-\alpha)^2=-\dfrac{\beta}{a} $
     \item Déduire des questions précédentes que $T(x)=0\iff \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$
     \item On note $\Delta$ le nombre $b^2-4ac$. On a donc montrer que 
     $$T(x) = 0 \iff \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$$
     Conclure sur le nombre de solutions de l'équation $ax^2+bx+c=0$ en fonction du signe de $\Delta$% = b^2-4ac$.
     \end{enumerate}
 \item \textbf{Détermination des éventuelles racines :} %On note donc $\Delta$ le nombre $b^2-4ac$. 
 \begin{enumerate}
% \item Grâce aux questions précédentes, montrer que $T(x) = 0 \iff \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$
  \item Déterminer la racine du trinôme quand $\Delta =0$ en fonction de $a$ et $b$.
  \item Déterminer les racines du trinôme quand $\Delta >0$ en fonction de $a$, $b$ et $\Delta$.
  \item Cette dernière formule permet-elle de retrouver la racine quand $\Delta=0$ ?
 \end{enumerate}
 \item \textbf{Application :} Trouver les éventuelles racines réelles du trinôme $2x^2-4x-1$.
\end{enumerate}
}

\begin{defi}[Discriminant]
On appelle \textbf{discriminant} de l'équation $ax^2+bx+c=0$ (avec $a\neq 0$) le nombre réel, noté $\Delta$, qui vaut  :
$$ \Delta=b^2-4ac$$
\end{defi}

\begin{theo}
On cherche à résoudre l'équation $ax^2+bx+c=0$.
\begin{enumerate}
\item \underline{Si $\Delta<0$} : l'\'equation n'a pas de solution r\'eelle
\item \underline{Si $\Delta=0$} : l'\'equation a une solution $x_0=-\dfrac{b}{2a}$
\item \underline{Si $\Delta>0$} : l'\'equation a deux solutions r\'eelles : 
$$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \text{ et } \qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$
\end{enumerate}
\end{theo}

\Dem{Cf Activité}


\Expls{
R\'esoudre dans $\R$ les \'equations suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $6x^2+x-1=0$
\item $9+x^2+6x=0$
\item $\dfrac17x^2-\dfrac17x-\dfrac17=0$
\item $x^2-5=0$
\item $\dfrac2{5}x-\dfrac13x^2=1$
\item $x^2-2x=0$
\end{enumerate}
\end{multicols} 
}


\Rqs{
\item Les formules obtenues pour $\Delta>0$ s'\'etendent \`a $\Delta\geq0$.\\
En effet dans le cas $\Delta=0$, on trouve $x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}$. \quad
On parle de \og racine double \fg.
\item On appelle $T$ le trinôme défini sur $\R$ par $T(x)=ax^2+bx+c$. On a :
$$ac<0 \, \Longrightarrow \, \exists x_1 , x_2 \in\R \, \text{ avec } \, x_1\neq x_2 \, , \quad T(x_1)=T(x_2)=0$$
Ce qui signifie littéralement : \\
$ac<0$ \textbf{implique} qu'\textbf{il existe} $x_1$ et $x_2$ deux nombres réels différents \textbf{tels que} $T$ s'annule en $x_1$ et $x_2$.\\
Concrètement cela signifie :\\
Si les coefficients $a$ et $c$ sont de signes oppos\'es, alors $T$ admet forcément
deux racines distinctes. \\
Ceci est vrai puisque dans ce cas, $\Delta=b^2-4ac>0$. \textbf{La réciproque est fausse}.
}

\Cadre[Astuces]{
  \begin{itemize}
   \item Si $b$ ou $c$ est nul, on sait déjà résoudre ce genre d'équation, plus rapidement. Il est donc inutile de sortir 
tout l'attirail appris ici, même s'il donne évidemment les mêmes réponses.
\item Lorsque l'on doit résoudre une équation avec des coefficients rationnels, 
pensez à vous ramener à une équation équivalente à coefficients entiers avant de faire tous les calculs !
  \end{itemize}
}

\begin{ExoF}
Déterminer les éventuelles racines réelles  des trinômes suivants :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $x^2-2x-4$
\item $x^2+10+7x$
\item $2x^2-2x+5$
\end{enumerate}
\end{multicols} 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 R\'esoudre dans $\R$ les \'equations suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $20x-80x^2=130$
\item $x^2-x=\dfrac{15}4$
\item $49x^2+16=56x$
\end{enumerate}
\end{multicols} 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Peut-on trouver trois carrés ayant pour côtés des \textbf{entiers consécutifs} et dont la somme des aires est $15\,125$ ? 
Si oui, préciser quelles sont les valeurs que doivent avoir les côtés. \\
Même question avec $15\,127$.
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Trouver deux nombres entiers dont la somme est égale à 57 et le produit à 540.
\end{ExoF}

\begin{ExoL}
 Repère : n$^{\circ}$ 49-50-59 p 30 (avec paramètre) 
\end{ExoL}

\section{Tournons en rond !}
\subsection{Retrouver la forme canonique grâce aux racines}
On appelle $T$ une fonction trinôme $T(x)=ax^2+bx+c$ ($a\neq 0$) admettant deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$.\\
On a déjà vu que l'axe de symétrie $x=\alpha$ de la parabole $\mathscr C$ représentative de $T$ 
nous permettait de retrouver $\alpha$ à partir de deux points de la courbe de même ordonnée. \\
Or, $T(x_1)=T(x_2)=0$ donc les points $A(x_1, T(x_1))$ et $B(x_2 ; T(x_2))$ (qui appartiennent à $\mathscr C$) 
sont symétriques par rapport à l'axe $x=\alpha$.\\
D'où $\alpha = \dfrac{x_1+x_2}2$ et l'on retrouve $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ après simplification.\\
Pour trouver $\beta$, on procède comme avant en disant que $\beta = T(\alpha)$.\\\\
\Rq{
Le cas où $\Delta =0$ nous permet aussi de retrouver la forme canonique de $T$.\\
En effet, on peut dire que $x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}$ 
et on constate que $\alpha = \dfrac{x_1+x_2}2 = \dfrac{2x_1}2=x_1=-\dfrac{b}{2a}$
}\\\\
Lorsque le trinôme n'admet pas de racines, on peut toujours utiliser l'ancienne méthode en résolvant l'équation 
$T(x)=c$.\\
Sinon, dans l'activité précédente, on a également démontré que $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et 
$\beta = -\dfrac{\Delta}{4a}$. On a donc :
$$T(x)=a(x-\alpha)^2+\beta = a \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a}$$

\begin{ExoL}
 Repère : n$^{\circ}$ 68 à 70 p 34 (lien entre des racines)
\end{ExoL}

\subsection{Factorisation du trin\^ome}
\Act{
\textbf{\textit{L'objectif de l'activité est de chercher l'éventuelle forme factorisée du
trinôme \\ $T(x)=ax^2+bx+c$. }}
\begin{enumerate}
 \item Rappeler la forme canonique de $T$ en fonction des coefficients $a$ et $b$ et de son discriminant $\Delta$.
 \item Déterminer la forme factorisée de $T$ si $\Delta =0$.
 \item On se place désormais dans le cas $\Delta \neq 0$.
 \begin{enumerate}
  \item Factoriser par $a$ la forme canonique de $T$ établie en 1).
 \item A quelle condition nécessaire et suffisante sur $\Delta$ peut-on davantage factoriser 
 l'expression trouvée en 2) ?
  \end{enumerate}
 \item On suppose désormais que cette condition est remplie (et $\Delta \neq 0$).
 \begin{enumerate}
 \item Que cela implique-t-il sur l'équation $T(x)=0$ ?
 \item Factoriser alors l'expression de la question 2) pour 
 montrer que $T(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ où $x_1$ et $x_2$ désignent les racines de $T$.
\end{enumerate}
 \end{enumerate}
}

\begin{theo}
Soit $\Delta=b^2-4ac$ le discriminant du trin\^ome $ax^2+bx+c$. Le trin\^ome se factorise ainsi :
\begin{itemize}
\item Si $\Delta=0$ : $ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$
\item Si $\Delta>0$ : $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ o\`u $x_1$ et $x_2$ sont les racines du trin\^ome
\end{itemize}
\end{theo}

\Dem{Cf Activité ou :
\begin{itemize}
\item Si $\Delta=0$ : le trin\^ome s'\'ecrit, \`a l'aide de la forme canonique : $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$
\item Si $\Delta>0$ on a $a(x-x_1)(x-x_2)=a\left(x-\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x-\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)=ax^2+bx+c$ après développement.
\end{itemize}
}

\Rq{Lorsque $\Delta<0$, comme le trin\^ome n'a pas de racine r\'eelle, il faut abandonner l'espoir de pouvoir 
le factoriser (du moins dans $\R$) sinon, on pourrait trouver des solutions à l'équation produit nulle obtenue.
}

\Expl{Etablir la forme factorisée, si elle existe, des trinômes suivants
$$P(x)=3x^2+5x+1 \qquad Q(x) = 25x^2+80x-64 \qquad \text{et} x^2-3x+5$$
}

\begin{ExoL}
 Repère : n$^{\circ}$ 54 à 56 p 32 (expression à partir du graphique)
\end{ExoL}

\section{Signe du trin\^ome}
\Act{
\textbf{\textit{L'objectif de l'activité est d'étudier le signe du trinôme $T(x)=ax^2+bx+c$ 
suivant les valeurs de $x$}}.
\begin{enumerate}
 \item \underline{Cas 1 : $\Delta>0$}  \\
 Soient $x_1$ et $x_2$ les racines de $T$, avec $x_1<x_2$. 
 \begin{enumerate}
  \item Rappeler la forme factorisée de $T$ en fonction de $a$, $x_1$ et $x_2$.
   \item  Grâce à cette expression, établir le tableau de signes de $T$ en fonction du signe de $a$ .
 \end{enumerate}
 \item \underline{Cas 2 : $\Delta\leqslant0$}  
 \begin{enumerate}
  \item Rappeler la forme canonique de $T$ en fonction de $a$, $b$ et $\Delta$.
   \item Expliquer pourquoi cette forme est toujours du signe de $a$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\begin{theo}
Le trin\^ome $ax^2+bx+c$ est toujours du signe de $a$ sauf entre les racines lorsqu'elles existent. 
En particulier, lorsque $\Delta<0$, le trin\^ome est de signe \underline{constant}.
\end{theo}
\Dem{
  Si $\Delta >0$ on a $T(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ et 
  \input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{x_1}&&\tx{x_2}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{x-x_1}&&\tx{-}&\txt{0}&\tx{+}&&\tx{+}&\cr
\tx{x-x_2}&&\tx{-}&&\tx{-}&\txt{0}&\tx{+}&\cr
\tx{(x-x_1)(x-x_2)}&&\tx{+}&\txt{0}&\tx{-}&\txt{0}&\tx{+}&\cr
\tx{T(x)}&&\tx{\text{signe de a}}&\txt{0}&\tx{\text{oppos\'e de a}}&\txt{0}&\tx{\text{signe de a}}&\cr
}$$
Sinon, $$ T(x)=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$$
Comme $\Delta$ est n\'egatif, l'expression entre crochets est positive, le signe de $T(x)$ 
est donc le m\^eme que celui de $a$ pour tout $x\in\R$.
}

\Expl{
R\'esoudre les in\'equations suivantes 
$$x^2-4x+1\leqslant0 \qquad 3x^2\leq 4x \qquad 7x^2-3x+2>0$$
}


\newpage
\thispagestyle{empty}
\begin{landscape}
\begin{center}
\large{\textbf{R\'esum\'e} sur $ P(x)=ax^2+bx+c $ \quad avec $a \neq 0$ :\qquad On note $\Delta=b^2-4ac$ \qquad  
Et on a  $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ \quad avec \quad $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ \quad et \quad $\beta=-\dfrac{\Delta}{4a}$}
\end{center}
%\vspace{2mm}
%\newline
    \begin{large}
  \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}%{|>{\centering}p{1.5cm}|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{4cm}|>{\centering}p{5cm}|
%>{\centering}p{4cm}|}
  \hline
  $\Delta$ & \textbf{Factorisation} & \textbf{Racines} & \textbf{Signe} de $P(x)$ & \textbf{Parabole}  \\ 
  \hline
$\Delta >0$ &  $a(x-x_1)(x-x_2)$ 
& 
\begin{tabular}{c} Deux racines : \\\\$x_{1}=\dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}  $ \\\\$x_{2}=\dfrac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a}  $
\end{tabular} 
& 
\begin{tabular}{c} \\
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\tkzTabInit{$x$/1,\text{Signe de } $P(x)$/2}{$-\infty$,$x_1$ ou $x_2$,$x_2$ ou $x_1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,\text{Signe de }a,z,\text{Opposé de } a,z,\text{Signe de } a}
\end{tikzpicture}
\end{tabular}
 &
 \begin{small}
 \begin{tabular}{c} 
  \psset{xunit=0.6cm , yunit=0.5cm,dotstyle=x,dotsize=7pt 0}
\begin{pspicture*}(-3.5,-3.)(3,3)
\def\xmin{-3.7} \def\xmax{4} \def\ymin{-3.3} \def\ymax{3}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 1 sub x 1 add mul}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\uput[u](-3,2){$a>0$}
\uput[ur](-2.2,0){$x_1$}
 \uput[ur](1.2,0){$x_2$}
 \uput[l](1,-2){$S\left(\alpha ; \beta\right)$}
\psdot(1,0) \psdot(-1,0) \psdot(0,-1)
\endpsclip
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-3,0)(3,0) \uput[d](3,0){\small $x$}
\end{pspicture*}
\\
  \psset{xunit=0.6cm , yunit=0.5cm,dotstyle=x,dotsize=7pt 0}
\begin{pspicture*}(-3.7,-2)(3,1.3)
\def\xmin{-3.7} \def\xmax{4} \def\ymin{-2} \def\ymax{1}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0 x 1 sub x 1 add mul sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\uput[u](-3,-2){$a<0$}
\psdot(1,0) \psdot(-1,0) \psdot(0,1)
\uput[ur](-2.2,0){$x_2$}
 \uput[ur](1.2,0){$x_1$}
\endpsclip

\pcline[linewidth=1pt]{->}(-3,0)(3,0) \uput[d](3,0){\small $x$}

\end{pspicture*}
\end{tabular} 

\end{small}

 \\
\hline

$\Delta = 0$ &   $a(x-x_0)^2$ &
\begin{tabular}{c} \\ Une racine : \\\\$x_0=\dfrac{-b}{2a}  $\\
\end{tabular} 
& \begin{tabular}{c} \\
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\tkzTabInit{$x$/1,\text{Signe de } $P(x)$/2}{$-\infty$,$x_0$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,\text{Signe de }a,z,\text{Signe de } a}
\end{tikzpicture}
\end{tabular}
 & 
 \begin{small}
 \begin{tabular}{c} 
 \\
  \psset{xunit=0.6cm , yunit=0.5cm,dotstyle=x,dotsize=7pt 0}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(3.5,3)
\def\xmin{-3} \def\xmax{5} \def\ymin{-3} \def\ymax{4}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2,-2.1)(4,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 1 sub x 1 sub mul}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\uput[ur](-3,2){$a>0$}

\psdot(1,0) 
\uput[ur](0.5,0.5){$x_0$}
\uput[r](0,-1.4){$S\left(\alpha ; \beta\right)$}

\endpsclip
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-3,0)(4,0) \uput[d](3.6,0){\small $x$}
\end{pspicture*}
 \\
  \psset{xunit=0.6cm , yunit=0.5cm,dotstyle=x,dotsize=7pt 0}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(3.5,0.3)
\def\xmin{-3} \def\xmax{5} \def\ymin{-2.5} \def\ymax{0.1}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2,-2.1)(4,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0 x 1 sub x 1 sub mul sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\uput[ur](-3,-2){$a<0$}

\psdot(1,0) 
\uput[ur](0.5,-1.5){$x_0$}

\endpsclip
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-3,0)(4,0) \uput[d](3.6,0){\small $x$}
\end{pspicture*}
\end{tabular} 

\end{small}

 \\
\hline

$\Delta <0$  &  \begin{tabular}{c} pas  \\de \\  factorisation
\end{tabular}  
&
\begin{tabular}{c} Aucune  \\ racine \\  r\'eelle
\end{tabular} 
& \begin{tabular}{c} \\
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\tkzTabInit{$x$/1,\text{Signe de } $P(x)$/2}{$-\infty$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,\text{Signe de }a,}
\end{tikzpicture}
\end{tabular}
 & 
\begin{small}
 \begin{tabular}{c}  \\    
 \psset{xunit=0.6cm , yunit=0.5cm,dotstyle=x,dotsize=7pt 0}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(3.5,3)
\def\xmin{-3} \def\xmax{5} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2,-2.1)(4,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 1 sub x 1 sub mul 1 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\def\G{0}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{4}{\G}
\uput[ur](-3,2){$a>0$}
\psdot(1,1)
\uput[ur](0,-2){$S\left(\alpha ; \beta\right)$}

\endpsclip
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-2,0)(4,0) \uput[d](3.6,0){\small $x$}
\end{pspicture*}
 \\
  \psset{xunit=0.6cm , yunit=0.5cm,dotstyle=x,dotsize=7pt 0}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(3.5,0.1)
\def\xmin{-3} \def\xmax{5} \def\ymin{-5} \def\ymax{0.1}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2,-5.1)(4,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0 x 1 sub x 1 sub mul sub 1 sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\def\G{0}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{4}{\G}
\uput[ur](-3,-2.5){$a<0$}

\psdot(1,-1)

\endpsclip
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-2,0)(4,0) \uput[d](3.6,0){\small $x$}
\end{pspicture*}
\end{tabular}
 \end{small}

 \\
\hline
  \end{tabular}  
  \end{large}
%\end{tiny}
\end{landscape}


 \begin{ExoF}R\'esoudre les (in)\'equations suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $-3x^2-5x\leq 0$
%\item $5m^2-3m+\dfrac{9}{20}<0$
\item $\sqrt{a+1}=2a-3$
\item $\dfrac{2z-5}{z-1}=\dfrac{z-1}{z+1}$
\item $(t^2+2t+1)^2<16$
 \item $\dfrac{3b^2+b+1}{b^2-3b-10}>0$
 \item $(2s+1)(5-s)<(5-s)(s+4)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Soit $f$ une fonction d\'efinie par $f(x)=-3x^2+2x+1$ pour tout r\'eel $x$.\newline
On note $C_f$ sa repr\'esentation graphique dans un repère $(O;\vec i, \vec j)$
\begin{enumerate}
\item Pr\'eciser la nature de la courbe $C_f$ et les coordonn\'ees de son sommet $S$
\item Montrer que la courbe coupe l'axe des abscisses en deux points $A$ et $B$ dont on d\'eterminera 
les coordonn\'ees.
\item Pour quelles valeurs de $x$ la courbe est-elle situ\'ee au dessus de l'axe des absisses ?
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Soit $u$ une fonction $u$. polynôme de degré 2. On donne son tableau de variations ci-dessous.
 \begin{center}
  \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1, Variations de $u$/1.5%,Variations de $\sqrt{u}$/1.5, Variations de $\dfrac1u$/1.5, Variations de $|u|$/1.5
}{$-\infty$,$1$, $4$, $\dots$,$+\infty$}
\tkzTabVar{- / , R / ,+ /$18$, R/,-/ }
\tkzTabIma{1}{3}{2}{$0$}
\tkzTabIma{3}{5}{4}{$0$}
\end{tikzpicture}\\
 \end{center}
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la seconde racine de $u$.
 \item Déterminer $a$.
 \item Etablir les tableaux de variations des fonctions $g=\sqrt{u}$ , $h=\dfrac1u$ et $k=|u|$
 sur le plus grand ensemble possible.
\end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoL}
 Repère : n$^{\circ}$ \textbf{75} p 36 (signe d'un trinôme) \\
 Positions relatives : \textbf{79} p 37 (retrouver les expressions de $f$ et $g$ en plus) + \textbf{80} p 37\\
 Corriger le DM 3bis\\
 Proba : 72-\textbf{82} p 205 (espérance de degré 2) + \textbf{52-53} p 247 (paramètres de loi binomiale à partir de l'écart type)\\
 Trigo : \textbf{121}-124 p 295
\end{ExoL}



\section{Pour aller plus loin}

\subsection{Exercices originaux mais faisables}

\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
 \item $f$ est le polyn\^ome d\'efini par $f(x)=4x^3+2x^2-2x-1$
\begin{enumerate}
 \item Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $\forall x\in\R$, on ait $f(x)=(2x+1)(ax^2+bx+c)$.
\item R\'esoudre alors l'\'equation $f(x)=0$
 \item Etablir le tableau de signe de $f$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Trouver une racine évidente $x_0$ de $g(x)=x^3-x^2-14x+24$.
\item Déterminer alors les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $\forall x\in\R$, on ait $g(x)=(x-x_0)(ax^2+bx+c)$.
\item Résoudre $x^3-x^2-14x+24\leq 0$
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}R\'esoudre l'\'equation : \qquad $6x^4-5x^2+1=0$\\
\textit{\underline{Indication} : Poser $X=x^2$ (ce type d'équation s'appelle une équation \textbf{bicarré})}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}R\'esoudre l'\'equation : \qquad $x+x^3+x^5+x^7=0$\\
\textit{\underline{Indication} : Peut-il y avoir une solution r\'eelle strictement n\'egative ? Et 
strictement positive ?}
\end{ExoF}

\subsection{Algorithme et programmation}
\Cadre[Un peu d'histoire]{

\noindent Dans l'antiquit\'e, les math\'ematiques sont utilis\'ees pour les besoins quotidiens, tels que des calculs 
d'aires de champs, d'imp\^ots lors des crues du Nil, de constructions.
Elles servent aussi \`a r\'esoudre des probl\`emes dans lesquels figure une (ou plusieurs) quantit\'e inconnue \`a trouver. \\
Vers 1800-1500 avant JC, les Babyloniens savent déjà résoudre des équations du $1^{er}$ et du $2^{nd}$ degré.
On parle de ''chose'' à trouver et on suit un discours logique phrasé (peu clair pour nous aujourd'hui) pour arriver à une solution.\\
Ce n'est qu'au VIII$^e$ si\`ecle, avec l'introduction de la num\'eration positionnelle, des chiffres arabes et du z\'ero, 
que la th\'eorie générale prend place peu \`a peu. Le point de d\'epart est de d\'esigner dans des calculs l'inconnue 
par un symbole (aujourd'hui souvent la lettre $x$)  puis de mettre en \'equation les probl\`emes. \\
Rapidement, on comprend l'int\'er\^et d'une telle m\'ethode. C'est \textit{Al-Khawarizmi} qui le premier s'int\'eresse \`a cela et
classifie les différents types d'équations, afin que dans chaque problème, 
on n'ait plus qu'à reconnaitre le type d'équation et suivre la méthode générale appropriée, menant à la solution.
Le mot \textit{\textbf{algorithme}} découle de son nom et d\'esigne aujourd'hui \textbf{\textit{une proc\'edure \`a suivre, \`a partir d'un 
\'el\'ement donn\'e, pour arriver \`a une solution unique}}. \\
\noindent Jusqu'au d\'ebut du XIX$^e$, trouver des algorithmes de r\'esolutions d'\'equations constituent la 
pr\'eoccupation principale des alg\'ebristes. Ils d\'eveloppent la notation symbolique et la conventionnent :
au XVI$^e$ Viete s\'epare l'alphabet en deux, le d\'ebut d\'esignant plut\^ot 
les param\`etres, la fin les inconnues, ce qui est encore utilisé de nos jours. 
On cat\'egorise les \'equations suivants leurs param\`etres, leur degr\'e et 
leur nombre d'inconnues, afin de g\'en\'eraliser le plus possible leur r\'esolution.Parallèlement, la notion de fonction prend forme.\\
Les équations de degré 3 sont résolues par les italiens Tartaglia et Cardan au XVI$^e$ si\`ecle, et celles de degré 4
par l'élève de ce dernier, Ferrari. 
L'histoire des formules de résolution s'arrête là, car le français Evariste Galois (1811-1832) montre au XIX$^e$ qu'il
est impossible de trouver des formules de résolution pour les équations de degré supérieur ou égal à 5.\\
}\\



\Expl[Vocabulaire, démarche et rédaction]{
On souhaite un algorithme qui donne le type d'extremum d'une fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$f(x)=ax^2+bx+c$, sa valeur approchée et quand il est atteint. }
\begin{enumerate} \item \textbf{Analyse préliminaire}
\begin{enumerate}
 \item Quelles sont les informations initiales dont nous avons besoin ?\\
On les appelle les \textit{entrées} de l'algorithme.
 \item Quelle condition avons-nous sur l'une de ces entrées ?
 \item Que doit-on calculer ?\\
On prendra l'habitude de faire afficher le(s) résultat(s) de l'algorithme, que l'on appelle \textit{sortie(s)}.\\
L'ensemble des données de l'algorithme pouvant variées (entrées-sorties) sont les \textit{variables}. 
\end{enumerate}
\item  \textbf{Compréhension de l'algorithme  :} Compléter l'algorithme suivant
\Algo[Extremum d'un trinôme]{12cm}{
\Var{ 
 ...., ...., ...., ...., ....  sont des nombres réels}
\Deb{
  Saisir  .... \\
  \While{ ......... }
    {Afficher "Erreur : ........................................................"\\
    Saisir ....}
  Saisir  ........ et ........\\
  Affecter à ........ la valeur .....\\
  Affecter à ........ la valeur .....\\
  \IfThenElse{ ........ }
    {    Afficher "La fonction f admet pour  ............ "}
    {    Afficher "La fonction f admet pour   ............ "}
  Afficher ...... " atteint en " ......
}
}
\item \textbf{La programmation : sur Algobox et sur TI}\\
Trouver comment programmer cet algorithme sur Algobox et sur votre calculatrice (ie avec le vocabulaire 
adapté au support) .\\
\end{enumerate}


\begin{ExoF}
Ecrire un algorithme qui donne la valeur du $\Delta$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$f(x)=ax^2+bx+c$, ainsi que son nombre de racines éventuelles et leurs valeurs. \\
Le programmer sur votre calculatrice.
\end{ExoF}

\section*{Hors Programme : polynômes de degré quelconque}
\Rq{
Le vocabulaire découvert ici est le même que celui employé pour un polynôme de degré $n\in\N$ quelconque, ie de la forme 
$$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0 \text{ o\`u $a_0$, $a_1$, $\dots$, $a_n$ sont des r\'eels avec $a_n\neq0$} $$
\begin{itemize}
 \item Les éventuelles solutions de l'équation $P(x)=0$ s'appellent encore les racines de $P$.
 \item Le discriminant (s'il existe, ie si $n\geq 4$) se notera encore $\Delta$, 
 mais s'obtiendra par une autre formule.
\end{itemize}
On peut également démontrer que deux polynômes sont égaux si et seulement s'ils ont le même degré et 
les mêmes coefficients.\\
Enfin si $x_1$ est une racine de $P$, alors on peut montrer que $P$ est factorisable par $(x-x_1)$.
}


\Expl{
\begin{itemize}
 \item La fonction $P$ d\'efinie par : $P(x)=x^8-6x^7+3x^2-5$ est une fonction polyn\^ome de degr\'e $8$
\item Toutes les fonctions puissances d'exposants entiers : $P(x)=x^p$ avec $p\in\N$ sont des fonctions polyn\^omes de degr\'e $p$.
\item Les fonctions affines et constantes (diff\'erente de la fonction nulle) sont des fonctions polyn\^omes de degr\'e $1$ et $0$
\end{itemize}
}

\Cexpl{
\begin{itemize}
 \item La fonction $Q$ d\'efinie par $Q(x)=x^3+\dfrac{2}{x}$ n'est pas une fonction polyn\^ome
\item La fonction $g$ d\'efinie par $g(x)=\dfrac{x^4-1}{x^2-1}$ n'est pas une fonction polyn\^ome car non d\'efinie pour $x=1$ ou $x=-1$
\item En revanche la fonction $h$ d\'efinie par $h(x)=\dfrac{x^4-1}{x^2+1}$ est une fonction polyn\^ome de degr\'e $2$ puisque $h(x)=x^2-1$ 
\end{itemize}
}

\Expl{Trouver les racines du polyn\^ome $P$ d\'efinie sur $\R$ par $P(x)=(x-1)(x^2-x-1)$}

\Rq{
\begin{itemize}
\item Les fonctions polyn\^ome de degr\'e $1$ ($x\longmapsto ax+b$) admettent toutes une seule racine $\lambda=-\dfrac{b}{a}$
\item Certaines fonctions polyn\^omes n'ont aucune racine r\'eelle, par exemple $P$ avec $P(x)=x^2+1 \geq 1$.
\end{itemize}
}


 \epigraphe{La physique est bien trop dure pour les phycisiens}{David Hilbert}{mathématicien} 


\end{document}
