\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 4}
\newcommand{\Ch}{Loi Binomiale}
\newcommand{\Cl}{1G6}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{hmargin=1.8cm,vmargin=2.2cm}

\setcounter{NumLecon}{4}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\Chacha{cuisine.eps}{Et maintenant on va où ?}{Nadine Labaki}{Si les gens ne croient pas que les mathématiques sont simples, c’est seulement parce qu’ils ne 
réalisent pas combien la vie est compliquée !}{John Louis von Neumann (réaliste$\dots$)}{
Nominé pour plusieurs prix \og \textit{Et maintenant on va où ?} \fg\, , de \textbf{Nadine Labaki}, a remporté le prix du Jury 
Oecuménique – Mention Spéciale à Cannes. Après \og \textit{Caramel} \fg\,, film déjà primé, 
la réalisatrice revient sur un thème extrêmement contemporain : la cohabitation religieuse.\\
Le film s’ouvre sur une scène originale, où, des femmes, drapées de noir, endeuillées, entament une danse 
esthétiquement précise et émotionnellement forte. Les femmes nous regardent comme si elles assistaient à un 
spectacle et que donc nous étions le film ce qui renforce l’aspect contemporain du sujet. 
Il s’agit des femmes d’un village, divisé en deux confessions avec d’un côté les musulmans regroupés derrière leur Cheikh, 
et de l’autre, les catholiques et leur Prêtre. Lors d’une soirée où ils sont tous regroupés devant la télévision, 
les habitants regardent le journal télévisé qui leur apprend des affrontements entre catholiques et musulmans. 
Dès lors, les tensions du passé sont ravivées
 et les hommes ne jurent plus que par leurs religions laissant les femmes abattues par cette situation, mais cherchant
des solutions plus originales les unes que les autres pour garder la paix..
  }{0.75}{0.7}{
\item Revoir les variables aléatoires et les arbres
\item Découvrir les coefficients binomiaux
\item Découvrir une loi particulière et les formules s'y appliquant
\item Visualiser sur un tableur l'allure de l'histogramme de la loi binomiale
}

\TITRE{enterrement.eps}{0.7}


\begin{Intro}{Au fil du temps}
Alors que les êtres humains se sont intéressés à la géométrie depuis la nuit des temps, 
et qu'une première présentation rigoureuse, ie \textbf{axiomatique} en a été proposée 
trois siécles avant JC par le grec Euclide, il a fallu attendre le XVI$^{eme}$ siècle pour qu'on s'intéresse enfin aux 
probabilités, et encore était-ce pour aider les princes à améliorer leurs gains au jeu ...\\
Ainsi, la théorie des probabilités est jeune par rapport aux autres grandes disciplines mathématiques : 
elle prend réellement forme au XVII$^e$ siècle, dans la correspondance entre Blaise Pascal, 
philosophe, théologien et mathématicien, et Pierre de Fermat,
avocat et mathématicien \og amateur \fg comme il se qualifiait lui-même,
alors qu'il est l'une des grandes figures mathmétiques modernes (deux théorèmes d'arithmétiques portent son nom, 
dont l'un ne fut démontré qu'en 1994).\\
Si les probabilités ont attendu si longtemps avant de voir le jour, c'est peut-être à cause de l'étrangeté philosophique
qu'elles véhiculent, à savoir l'idée qu'un événement du monde physique soit pensé non pas dans les termes \og 
il se produit ou il ne se produit pas \fg, mais \og il peut se produire avec $x \, \%$ de chances \fg ...\\
Si on dit qu'il y a $35,4\%$ de chances qu'il pleuve demain à Carcassonne à 11h, cela signifie-t-il qu'il pleuvra
réellement à Carcassonne mais seulement à $35,4\%$ et qu'il fera en même temps soleil à $64,6\%$ ? Cela semble 
un pur non sens ... Ou cela sigifie-t-il que la dynamique atmosphérique porte en elle une indétermination
physique qui interdit de prévoir \og à $100\%$ \fg ? Ou enfin qu'il n'y a aucune indétermination physique mais
que nous, êtres pensants, n'avons pas assez d'informations et de moyens de calculs pour prédire parfaitement son 
évolution ? En fait, ces trois façons d'interpréter un résultat de probabilité sont valables, chacune dans un
certain domaine.\\
Ainsi, en mécanique quantique, une particule peut se trouver \og ici à $35,4\%$ et là-bas à $64,6\%$ \fg tant qu'on n'a pas
mesuré concrètement sa position (et non pas \og ici ou là-bas \fg !). Les physiciens admettent qu'avant
une mesure, une particule unique peut être en plusieurs lieux simultanément...\\
En ce qui concerne les deux autres interprétations, indétermination physique objective ou manque d'informations du physicien,
le débat est ouvert depuis 1958, date à laquelle James Maxwell introduit les probabilités en physique.
Pour lui, la température d'un gaz est liée aux probabilités de mouvement des milliards de particules
qui le composent ... Très choquant pour les physiciens de l'époque : comment un phénomène aussi
réel et objectif que la température d'un gaz peut-il dépendre d'un état de connaissance, c'est-à-dire d'une donnée
 subjective ? Pourtant, cette théorie est l'une des grandes réussites de la physique moderne ...\\
Ainsi, si la théorie mathématique des probabilités est aujourd'hui bien comprise et acceptée, dès qu'on cherche à en comprendre
le sens physique, l'étonnement reprend le dessus et motive des générations de futurs chercheurs.\\

C'est en XVIII$^e$ siècle que les statistiques endossent quant à elles leur premier grand rôle dans la vie moderne : celui
d'un outil de prévision. Le mathématicien Antoine Deparcieu établit dans un livre le \og profil \fg de la mortalité
de populations à partir de données statistiques. En se servant des méthodes d'échantillonnage, de calculs de
moyennes et d'écart-type, il crée les premières \og tables de mortalité \fg permettant d'évaluer le risque moyen
de mort d'un individu en fonction de son profil. Ce risque est alors directement transformé en pécule, rente
versée à quelqu'un durant toute sa vie en contrepartie de l'acquisition de son bien à sa mort. Avec Deparcieu,
la statistique fait son entrée dans le monde de l'économie.\\
Mais ce n'est qu'au XIX$^e$ siècle que la statistique finit de prendre la place qu'est la sienne aujourd'hui :
celle d'une science mathématique mais aussi humaine, omniprésente dans le débat publique. C'est Adolphe Quételet,
astronome belge, qui intègre dans un ouvrage toutes les lois de probabilités développées depuis Pascal et Fermat :
mesure des erreurs, loi binomiale que vous allez découvrir ici, etc.\\
Il tente d'établir des lois statistiques des suicides et des crimes en fonction de paramètres comme l'origine
sociale, l'âge, le sexe, le climat, le niveau d'études, le revenu, etc. Mais Quételet se voit reprocher de faire de 
l'homme un être dont le comportement est prédéterminé par des lois mathématiques...\\
De plus, avec les statistiques sociales, une question se pose : sont-ce les statistiques qui déterminent nos comportements
ou l'inverse ? Par exemple, si le taux de meurtriers dans la population est de $5\%$ par an, cela signifie-t-il
qu'il existe une sorte de loi qui nous dépasse et qui \og oblige\fg $5\%$ de personnes à se transformer en meutriers ?\\
Ce type de questionnement hantera tout le XX$^e$ siècle et conduira à de tragiques dérapages où l'on voudra \og neutraliser\fg
 dès le berceau tout homme né avec les \og paramètres statistiques du crime \fg ... 
\end{Intro}

\begin{Intro}{}
 A-t-on besoin de savoir tout ça pour réussir au Bac ? Par exemple, depuis votre tendre enfance, 
vous calculez avec les nombres entiers sans connaître les axiomes de Peano, vous travaillez en géométrie euclidienne 
même si elle ne correspond pas à la réalité : avez-vous déjà rencontré un véritable triangle rectrangle ? 
Et pourtant vous arrivez quand même à démontrer le théorème de Pythagore.\\
Mais le débat est plus passionné au sujet des  probabilités car il a fallu attendre 1933 et le Russe
Kolmogorov pour enfin les axiomatiser, alors qu'Euclide avait fait cela pour la géométrie 2300 ans plus tôt...

C'est ce sujet encore brûlant que nous allons explorer cette année à travers quelques chapitres qui sauront, 
je n'en doute pas, vous passionner !
\end{Intro}

\section{Schéma de Bernoulli}

\subsection{Loi de Bernoulli}

\Act{
Un vieux professeur d'histoire-géo, se décrivant lui-même \og entre deux âges et très séduisant\fg, 
décide de séquestrer des gens pour le fun.  (\og Lol ! \fg dixit le vieux prof d'histoire-géo) 
Il en a kidnappé cinq : deux filles qu'il n'arrive 
pas à distinguer et qu'il appelle toutes les deux \og Lolo \fg, son fils Hugo et ses collègues Dédé et Gougou.\\
Le vieux professeur d'histoire-géo choisit au hasard l'un d'entre eux et le séquestre en le pinçant.\\
Il considère que son expérience est un Succès lorsqu'il 
séquestre l'une des Lolos, un Echec sinon.\\
On appelle $X$ la variable aléatoire égale à $1$ en cas de Succès et $0$ sinon. 
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
\item Calculer l'espérance de $X$ et sa variance.
\end{enumerate}
}

\begin{defi}[Proposition]
Une \textbf{épreuve de Bernoulli} est une expérience aléatoire ne comportant que 2 issues (Succès et Echec). 
On note $p$ la probabilité de Succès. \\
Soit $X$ la variable aléatoire qui est égale à $1$ en cas de succès et $0$ sinon. \\
Alors, on dit que $X$ suit 
une \textbf{loi de Bernoulli de
paramètre  $p$}. On note $X\hookrightarrow B(1;p)$.\quad 
Dans ce cas, on a $$ E(X)=p\qquad \text{et} \qquad V(X)=p(1-p)$$
\end{defi}

\Expl{\begin{itemize}
\item Pile ou Face.
\item Aimer ou non Mireille Matthieu.
\item Etre ou ne pas être.
\item Séquestrer ou non l'une des Lolos : $X\hookrightarrow B\left(1;\dfrac25\right)$
 et $E(X)=\dfrac25$, $V(X)=\dfrac25 \times \dfrac35 = \dfrac6{25}$
\item Lancer un dé et gagner si l'on obtient 5 : $X\hookrightarrow B\left(1;\dfrac16\right)$
 et $E(X)=\dfrac16$, $V(X)=\dfrac16 \times \dfrac56 = \dfrac5{36}$
\end{itemize}}


\Dem{$$ E(X)=P(X=0)\times 0 + P(X=1)\times 1=0+p=p$$
$$ V(X)=E(X^2)-E(X)^2=p-p^2=p(1-p)$$}

\Rq{Interprétation des paramètres : Si l'on répète un grand nombre de fois une même expérience de Bernoulli de paramètre $p$, 
et de manière indépendante, la fréquence d'un succès sera proche de $p$, avec un écart-type (ou risque) de
$\sqrt{p(1-p)}$.}



%\newpage
\subsection{Répétition d'épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes}

\Act{On reprend le contexte et les notations de l'activité précédente. Le vieux professeur d'histoire-géo considère toujours que son expérience est un Succès 
lorsqu'il séquestre l'une des Lolos, un Echec sinon et $X$ désigne toujours 
la variable aléatoire qui compte le nombre de Succès.
\begin{enumerate}
 %\item \textbf{Le vieux professeur d'histoire-géo choisit au hasard, successivement
 %et sans remise, deux des cinq personnes kidnappés.}
%\begin{enumerate}
% \item Déterminer la probabilité de l'événement $A$ : \og la personne séquestrée choisie en premier est l'une des
% Lolos \fg
% \item On sait désormais que le vieux professeur d'histoire-géo a choisi l'une des Lolos en 
%premier.\\
%Déterminer alors la probabilité de l'événement $B$ : \og la personne séquestrée choisie en deuxième est l'une 
%des Lolos \fg.
%\item Les probabilités $P(A)$ et $P(B)$ sont-elles égales ? Expliquer ce résultat.
%\item Déterminer la loi de $X$, son espérance et sa variance.
%\end{enumerate}
\item \textbf{Le vieux professeur d'histoire-géo choisit au hasard, successivement et avec remise
deux personnes parmi les cinq.}
\begin{enumerate}
 \item Quelles valeurs $k$ peut prendre $X$ ?
 \item  On note $\binom{2}{k}$ (se lit \og $k$ parmi $2$ \fg) le nombre de chemins dans l'arbre à deux étapes 
 décrivant la situation, qui mènent  à l'événement $(X=k)$, pour $k\in\{0;1;2\}$ . \\
 Ainsi $\binom{2}{0}$ désigne le nombre de chemins menant  à l'événement $(X=0)$ parmi les deux expériences.\\
Que valent $\binom{2}{0} $ ? $\binom{2}{1} $ et $\binom{2}{2} $ ?
 \item Déterminer la loi de $X$, son espérance et sa variance.
\end{enumerate}
\item \textbf{Le vieux professeur d'histoire-géo choisit au hasard, successivement et avec remise
trois personnes parmi les cinq.}
\begin{enumerate}
  \item A votre avis, comment note-t-on le nombre de chemins dans l'arbre décrivant la situation menant à $0$ Succès ? 
  Combient vaut-il ?
  \item Même question pour $1$ Succès, puis $2$, puis $3$.
 \item Déterminer alors la loi de $X$, son espérance et sa variance.
  \end{enumerate}
 \item \textbf{Le vieux professeur d'histoire-géo choisit au hasard, successivement et avec remise
$n$ personnes parmi les cinq.}
\begin{enumerate}
 \item  Conjecturer une formule déterminant $P(X=k)$ en fonction du nombre $n$ d'expériences, du nombre $k$ de Succès 
 et de la probabilité $p$ d'un Succès \textit{ (on utilisera notamment la notation} $\binom{n}{k}$\textit{)}.
  \item Conjecturer une formule pour déterminer l'espérance de $X$ en fonction du nombre $n$ d'expériences et de la 
  probabilité $p$ d'un Succès. 
 \item Ces formules sont-elles valables si le vieux professeur d'histoire-géo choisit au hasard $n$ personnes succesivement et sans remise ? Expliquer.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\begin{defi}
On dit que deux expériences aléatoires sont \textbf{indépendantes} lorsque les résultats de l'une n'influencent pas les 
probabilités des issues de l'autre.
\end{defi}

\Rq{
Pour résoudre des problèmes étudiant une répétition de $n$ expériences aléatoires indépendantes, on utilise
très souvent un arbre. Cependant, lorsqu'il s'agit d'une épreuve de Bernoulli répétée indépendamment $n$ fois, on pourra 
désormais utiliser la propriété définition suivante.
}

\begin{defi}
 Soit $n\in\N^*$. La répétition de $n$ épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes, 
de paramètre $p$, s'appelle un \textbf{schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$}.\\
On considère l'arbre de probabilité représentant une telle situation.\\
On note $\binom{n}{k}$ le nombre de chemins réalisant $k$ Succès parmi 
les $n$ épreuves de Bernoulli, avec $k\in\{0,1,\dots , n\}$. \\
Ce nombre (entier) s'appelle un \textbf{coefficient binomial} 
et se lit \og $k$ parmi $n$ \fg
\end{defi}

\Expl[cf exo 64 p 248]{%D'après l'activité : 
%\begin{multicols}{4}
%\begin{itemize}
%\item[]  $\binom{2}{0}=\dots$
%\item[]  $\binom{2}{1}=\dots$
%\item[]  $\binom{2}{2}=\dots$
% \item[]  $\binom{3}{0}=\dots$
%\item[] $\binom{3}{1}=\dots$
%\item[]  $\binom{3}{2}=\dots$
%\item[] $\binom{3}{3}=\dots$
%\end{itemize}
%\end{multicols}
Combien de branches contient un arbre représentant un schéma de Bernoulli à 4 étapes ?\\
Déterminer dans cet ordre à l'aide de la définition  \quad $\binom{4}{0}$, \quad $\binom{4}{4}$, \quad $\binom{4}{1}$ \quad et \quad  $\binom{4}{3}$.\\
En déduire \quad  $\binom{4}{2}$.
}

\begin{theo}[Définition]
On considère un schéma de Bernoulli de paramètre $n$ et $p$.\\
Soit $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de succès ($X$ est à valeurs dans $\{0;1;\dots; n\}$). \\
Alors, on dit que $X$ suit une \textbf{loi binomiale de paramètres $n$ et  $p$}. 
On note $X\hookrightarrow B(n;p)$.\\
Dans ce cas, pour tout $k\in \{0;1;\dots; n\}$ on a :
$$ P(X=k)=\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} $$
De plus :
$$E(X)=np\qquad \text{ et }\qquad V(X)=np(1-p)$$ 
\end{theo}



\Dem{La probabilité d'avoir $k$ succès suivis de $n - k$ échecs est : 
$$ p^k (1-p)^{n-k}$$
Mais les Succès et les Echecs n'apparaissent pas nécessairement dans cet ordre$\dots$.
Cependant, on sait par définition qu'il y a  $\binom{n}{k}$ chemins de l'arbre 
qui contiennent $k$ succès parmi les $n$ épreuves (donc $n-k$ échecs) et ces chemins ont tous la même probabilité $ p^k (1-p)^{n-k}$
d'être réalisés, car les expériences sont identiques et indépendantes.\\
On en déduit : 
$$ P(X=k)=\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$
Le reste est admis.}


\Rqs{
\item Si on note $q$ la probabilité d'échec alors $P(X=k)=\binom{n}{k} p^k q^{n-k}$
\item La probabilité d'avoir $n$ succès est : $P(X=n)=p^n$
\item La probabilité de n'avoir aucun succès est : $P(X=0)=q^n$\\
Par conséquent, on retrouve des résultats déjà connus, comme la probabilité d'avoir au moins un succès est :
$$ P(X\geq 1)=1-P(X=0)=1-q^n$$}

\Expl{
Dans lequel des cas suivants $X$ suit-elle une loi binomiale ? 
Si oui, donner les paramètres de la loi et calculer $P(X=3)$ si c'est possible, puis l'espérance et la variance de $X$.
\begin{enumerate}
 \item Dans une classe, on tire au sort sans remise 5 élèves, $X$ est le nombre d'élèves abonnés 
 à Star'Ac mag dans le lot tiré au sort.
\item Dans un sac de 20 billes contenant 7 noires et 13 blanches, 
on tire avec remise 3 d'entre elles, $X$ étant le nombre de billes noires obtenues.
\item On lance 4 dés, $X$ est le nombre de 5 obtenus.
\item Un circuit comprend 2 lampes en série. Pour chacune d'elle, la probabilité qu'elle fonctionne est de $0.03$. $X$ est le nombres de lampes qui s'allument lorsqu'on
appuie sur l'interrupteur. \\
Même question avec cette fois des lampes en parallèles.
\end{enumerate} 
}

\begin{ExoF}
On lance $n$ dés ($n \geq 1$). On note $A$ l'événement \og obtenir au moins deux $4$ (sur l'ensemble des $n$ lancers) \fg , 
et $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de $4$ obtenus.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de $X$.
\item On considère le cas $n=3$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(X=2)$, $P(X=3)$.
\item En déduire $p(A)$.
\item Calculer $E(X)$ et $\sigma(X)$.
\end{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose $n$ quelconque. 
\begin{enumerate}
 \item Décrire l'événement  $\overline{A}$ à l'aide d'une phrase.
  \item Calculer $P(X=0)$ et $P(X=1)$ en fonction de $n$.
  \item En déduire $p(A)$ en fonction de $n$.
 \item A l'aide d'un tableau de valeurs, déterminer le nombre de dés qu'il faut lancer pour que la 
probabilité d'obtenir au moins un quatre soit supérieure à $\dfrac{3}{4}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\Sol{\begin{enumerate}
\item $X$ suit la loi $B\left(n; \dfrac16\right)$.
\item \begin{enumerate}
       \item $P(X=2) = \binom{3}{2} \times \left(\dfrac16\right)^2 \times \left(\dfrac56\right)^1$. Il y a trois chemins 
       dans l'arbre représantant la situation qui mène à $2$ Succès (SSE, SES, ESS). \\
       Donc $P(X=2) = 3\times \dfrac1{36} \times \dfrac56 = \dfrac{15}{216}$ . \\
       $P(X=3) = \binom{3}{3} \times \left(\dfrac16\right)^3 \times \left(\dfrac56\right)^0$. Il y a un seul chemin 
       dans l'arbre représantant la situation qui mène à $3$ Succès (SSS). \\
       Donc $P(X=3) = 1\times \dfrac1{216} \times 1 = \dfrac{1}{216}$ . 
\item $p(A)=P(X=2) + P(X=3) = \dfrac{15}{216} + \dfrac1{216} = \dfrac{16}{216}$.
\item $E(X)=np = 3\times \dfrac16 = \dfrac12$ \qquad $V(X)=np(1-p)=3 \times \dfrac16 \times \dfrac56 = \dfrac5{12}$ 
\qquad donc \qquad $\sigma(X) = \sqrt{\dfrac5{12}}$
      \end{enumerate}
\item $\overline{A}$ est l'événement \og Ne pas obtenir de $4$ \fg.
\item  $P(X=0) = \binom{n}{0} \times \left(\dfrac16\right)^0 \times \left(\dfrac56\right)^n$. Il y a un seul chemin 
       dans l'arbre représantant la situation qui mène à $0$ Succès (EEE$\dots$ E). \\
       Donc $P(X=0) = 1\times 1 \times \left(\dfrac5{6}\right)^n  = \left(\dfrac5{6}\right)^n$ .\\
       $P(X=1) = \binom{n}{1} \times \left(\dfrac16\right)^1 \times \left(\dfrac56\right)^{n-1}$. Il y a $n$ chemins 
       dans l'arbre représantant la situation qui mène à $1$ Succès ($n$ positions possibles pour le Succès dans un tel chemin). \\
       Donc $P(X=1) = n\times \dfrac1{6} \times \left(\dfrac56\right)^{n-1}$ . 
\item Par conséquent $ P(A)=1-P(\overrightarrow{A})=1-P(X=0)-P(X=1)=1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n - n\times \dfrac1{6} \times \left(\dfrac56\right)^{n-1}$
\item On cherche le plus petit entier $n$ tel que $P(A)\geq \dfrac{3}{4} \Longleftrightarrow 
1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n- n\times \dfrac1{6} \times \left(\dfrac56\right)^{n-1}\geq \dfrac{3}{4}$.\\
\textit{Nous ne savons pas encore résoudre ce type d'inéquation, mais nous l'apprendrons l'an prochain ...}\\
A la calculatrice, avec un tableau de valeur, on trouve que pour $n=8$, $P(A) \simeq 0.72$ et pour $n=9$, $P(A)\simeq 0.76$.\\
Donc il faut au minimum $9$ dés pur que la probabilité d'obtenir au mois deux quatre soit supérieur à $0.75$.
\end{enumerate}
}


\begin{ExoL}
\textbf{Repère : }n$^{\circ}$ 76 p 250 (appli) + 48 (métro) + 54 (cartes) p 246 + 58 (QCM) p 248  + 51 (param)  p 246 + 86 p 252 (loterie) \\
Algo : n$^{\circ}$ 50 p 246 (tableur) + 56 p 247 (algobox) + 77 (algobox) p 250
\end{ExoL}

\section{Pour aller plus loin}
\subsection{Les coefficients binômiaux}
\Act{
Le vieux professeur d'histoire-géo a décidé de piquer ses otages au cure-dent, juste pour le fun
(\og Lol ! \fg dixit le vieux prof d'histoire-géo complètement aveugle).\\
L'expérience consiste à choisir au hasard l'un des cinq otages, puis à tenter (car l'otage se débat) de le piquer au cure-dent. 
La probabilité qu'il touche sa cible est de $\dfrac23$ quand il s'agit d'un garçon et de $\dfrac12$
 quand il s'agit d'une fille (les deux Lolos étant plus menues que Dédé et plus petites que Hugo et Gougou, 
il est plus difficile de les atteindre). \\
Hugo a eu un avertissement travaille ce trimestre-ci, ainsi, le vieux professeur d'histoire-géo considère que son expérience
est un Succès lorsqu'il arrive à le piquer.
\begin{enumerate}
 \item Quelle est la probabilité que le vieux professeur d'histoire-géo choisisse et pique Hugo avec un cure-dent ?
 \item Le vieux professeur d'histoire-géo répète $n$ fois cette expérience, de manière indépendante.
On appelle $X_n$ la variable aléatoire qui compte le nombre $k$ de Succès $S$ sur les $n$ expériences.
\begin{enumerate}
 \item Quelle loi suit $X_n$ ?
 \item Pour $n=2$, lister intelligemment les chemins de  l'arbre décrivant la situation pour déterminer les valeurs 
 de $\binom{n}{k}$ possibles.
 \item Même question pour $n=3$, puis $n=4$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Grâce aux résultats des questions \textbf{2.b.} à \textbf{2.c.}, compléter les lignes correspondantes du tableau ci-contre, donnant
les valeurs de $\binom{n}{k}$  en fonction de $n$ et de $k$.
\begin{center}
\def\Casehachuree{%
  \begin{pspicture}(0,0)(1,0.1)
    \psframe[fillstyle=hlines,linecolor=white](-0.3,-0.3)(1.3,0.7)
  \end{pspicture}
}
\setlength{\arrayrulewidth}{0.5pt}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{yellow}}c|*{7}{>{\centering}p{1.2cm}|}}\hline 
\rowcolor{yellow}\backslashbox{$n$}{$k$}&$0$&$1$&$2$ &$3$ &$4$ &$5$ & $6$\tabularnewline\hline 
$0$ & 			& \Casehachuree		& \Casehachuree		& \Casehachuree 	& \Casehachuree 	& \Casehachuree & \Casehachuree	\tabularnewline\hline 
$1$ & 			& 		  	& \Casehachuree		& \Casehachuree		& \Casehachuree		& \Casehachuree & \Casehachuree \tabularnewline\hline 
$2$ & 			& 		 	& 			& \Casehachuree 	& \Casehachuree		& \Casehachuree & \Casehachuree \tabularnewline\hline 
$3$ &\cellcolor{cyan!30}&\cellcolor{cyan!30} 	& 			& 			& \Casehachuree 	& \Casehachuree & \Casehachuree \tabularnewline\hline 
$4$ & 			&\cellcolor{cyan!70}	& 			&\cellcolor{red!30}	&\cellcolor{red!30}	& \Casehachuree & \Casehachuree \tabularnewline\hline 
$5$ & 			&\cellcolor{green!30}	&\cellcolor{green!30}	& 			&\cellcolor{red!70}	& 		& \Casehachuree  \tabularnewline\hline 
$6$ & 			& 			&\cellcolor{green!70}	& 			& 			& 		& 		\tabularnewline\hline 
\end{tabular}
\end{center}
\item A l'aide de la définition de $\binom{n}{k}$ et de votre tête, compléter les lignes $n=0$ et $n=1$.
\item A l'aide de la calculatrice, compléter les lignes $n=5$ et $n=6$.\\
\Cadre[Calculatrices]{
\begin{tabular}{*{3}{|>{\centering}p{3cm}}|>{\centering}p{4.45cm}|}\hline
\textbf{Casio 35+} & \textbf{TI 82 à 84} & \textbf{TI 89} & \textbf{TI Npisre CX CAS} \tabularnewline\hline
  $6$  \texttt{nCr} $2$ & $6$ \texttt{Combinaison}  $2$ & \texttt{nCr}$(6,2)$ \\ ou  \\ \texttt{nbrComb}$(6,2)$
  & \texttt{nCr}$(6,2)$ \\
 \tabularnewline\hline
 \fbox{OPTN} \\ puis choisir \\\texttt{PROB} &  \fbox{math}\\ puis choisir \\\texttt{PRB} avec  \fbox{$\blacktriangleright$}  &
 \fbox{2ND} + \fbox{5} + \fbox{7} & \fbox{catalogue} + \fbox{2} \\
 puis choisir \\ \texttt{Probabilités} avec \fbox{$\blacktriangledown$}\\
 puis \\ \texttt{Nombre de combinaisons}\tabularnewline\hline
\end{tabular}
}
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Quelle(s) première(s) constatation(s) pouvez-vous faire sur la valeur des coefficients binomiaux sur une même ligne ?
\item On veut désormais établir un lien entre deux lignes consécutives. Pour cela, on a fait apparaître en couleur 
trois séries de $3$ cellules. \\
Trouver une relation simple entre ces 3 cellules.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\begin{prop}
 \begin{itemize}
  \item \textbf{Cas particuliers :} Pour tout $n\in\N^*$ on a  \qquad $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$
\qquad et \qquad $\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n$.
\item \textbf{Symétrie :} Pour tous entiers naturels $n$ et $k$ tels que $0\leq k \leq n$ on a 
$$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$$
\item \textbf{Triangle de Pascal :} Pour tous entiers naturels $n$ et $k$ tels que $0\leq k \leq n-1$ on a 
$$\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$$
 \end{itemize}
\end{prop}

\Dem{On considère un schéma de Bernoulli à $n$ épreuves représenté par un arbre, 
et $k$ un entier naturel tel que $0 \leq k \leq n$.
\begin{enumerate}
 \item Il y a un seul chemin de l'arbre conduisant à $0$ Succès (c'est celui correspondant à $n$ Echecs) et inversement.\\
 Il y a $n$ chemins dans l'arbre conduisant à $1$ Succès (celui où le Succès est placer en 1$^{er}$, en 2$^{eme}$, \dots , en dernier)
 et inversement.
 \item Compter le nombre de chemins de l'arbre contenant $n$ succès revient par complémentarité
à compter le nombre de chemins de l'arbre contenant $n-k$ échecs.\\
Par symétrie des rôles des succès et des échecs on a donc :
$$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$$
\end{enumerate}
}
\DemS{
\begin{enumerate}
 \item[\textbf{3.}] On considère un schéma de Bernoulli à $n+1$ épreuves représenté par un arbre, 
et $k$ un entier naturel tel que $0 \leq k \leq n-1$.\\
$\binom{n+1}{k+1}$ est, par définition, le nombre de chemins réalisant $k+1$ succès lors des 
$n+1$ épreuves.\\
On peut distinguer deux façons d'obtenir ce type de chemin : 
\begin{itemize}
 \item Ceux finissent par un succès, ie qui contiennent $k$ succès parmi les $n$ premières épreuves : 
il y en a $\binom{n}{k}$
 \item Ceux finissent par un échec, ie qui contiennent $k+1$ succès parmi les $n$ premières épreuves : 
il y en a $\binom{n}{k+1}$
\end{itemize}
On obtient alors que $$\binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1}$$
\end{enumerate}
}

\def\Casehachuree{%
  \begin{pspicture}(0,0)(1,0.1)
    \psframe[fillstyle=hlines,linecolor=white](-0.3,-0.3)(1.3,0.7)
  \end{pspicture}
}
\setlength{\arrayrulewidth}{0.5pt}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{yellow}}c| *{5}{>{\centering}p{1.2cm}|}{>{\centering}p{0.5cm}|}*{2}{>{\centering}p{1.2cm}|}{>{\centering}p{0.5cm}|}*{2}{>{\centering}p{1.2cm}|}}\cline{1-6}\cline{8-9}\cline{11-12}
\rowcolor{yellow}\backslashbox{$n$}{$k$}&$0$&$1$&$2$ &$3$ &$4$ &  \multirow{9}*{\cellcolor{white}} &$k$&$k+1$& \multirow{9}*{\cellcolor{white}} &$n$&$n+1$\tabularnewline \cline{1-6}\cline{8-9}\cline{11-12}
$0$ & 	& \Casehachuree		& \Casehachuree		& \Casehachuree & \Casehachuree &	& \Casehachuree	& \Casehachuree &	& \Casehachuree &  \Casehachuree\tabularnewline \cline{1-6}\cline{8-9}\cline{11-12}
$1$ & 	& 		  	& \Casehachuree		& \Casehachuree	& \Casehachuree	&  	& \Casehachuree & \Casehachuree & 	& \Casehachuree&  \Casehachuree \tabularnewline\cline{1-6}\cline{8-9}\cline{11-12}
$2$ & 	& 		 	& 			& \Casehachuree & \Casehachuree	&  	& \Casehachuree & \Casehachuree & 	& \Casehachuree & \Casehachuree\tabularnewline\cline{1-6}\cline{8-9}\cline{11-12}
$3$ &	&\cellcolor{cyan!30} 	& \cellcolor{cyan!30}	& 		& \Casehachuree &  	& \Casehachuree & \Casehachuree & 	& \Casehachuree & \Casehachuree\tabularnewline\cline{1-6}\cline{8-9}\cline{11-12} 
$4$ & 	&			& \cellcolor{cyan!70}	&		&		&  	& \Casehachuree & \Casehachuree & 	& \Casehachuree & \Casehachuree\tabularnewline\cline{1-6}\cline{8-9}\cline{11-12}
\multicolumn{12}{c}{\cellcolor{white} } \tabularnewline\cline{1-6}\cline{8-9}\cline{11-12}
$k$ & 			&			& 			& 		& 	& 	& & \Casehachuree & & \Casehachuree& \Casehachuree\tabularnewline\cline{1-6}\cline{8-9}\cline{11-12}
$k+1$&  		&  			& 			& 		& 	& 		& &  &  & \Casehachuree & \Casehachuree \tabularnewline\cline{1-6}\cline{8-9}\cline{11-12}
\multicolumn{12}{c}{\cellcolor{white} } \tabularnewline\cline{1-6}\cline{8-9}\cline{11-12}
$n$ & 			&			& 			& 		& 	& 	& \cellcolor{yellow!40}& \cellcolor{yellow!40} & & & \Casehachuree\tabularnewline\cline{1-6}\cline{8-9}\cline{11-12}
$n+1$&  		&  			& 			& 		& 	& 		& & \cellcolor{yellow!70} &  & & \tabularnewline\cline{1-6}\cline{8-9}\cline{11-12}
\end{tabular} 
\end{center}

\begin{ExoL}
n$^{\circ}$ 66-67 p 249
\end{ExoL}



\Cadre[Suggestions d'Applications]{
\begin{itemize}
 \item La dernière propriété nous permet de construire le triangle de Pascal et de retrouver rapidement la valeurs des premiers 
coefficients binomiaux.\\
\item Formule du binôme pour développer $(a+b)^n$ \\
\item La somme des coefficients binomiaux d'une ligne $n$ vaut $2^n$.\\
\begin{ExoL}
\textbf{Repère :} n$^{\circ}$ 68-69 (algo) p 249\\
\end{ExoL}
\item Dénombrement : exercice du yams menteur (cf TS) \\
\item ...
\end{itemize}
}

\subsection{Table des valeurs et représentation graphique de la loi binomiale}

\Act{
Sur un tableur, on a calculé la table de valeurs et représenté l'histogramme d'une loi binomiale dans trois cas.
\begin{enumerate}
 \item Comment décririez-vous l'allure générale de ces histogrammes ?
 \item A quoi correspondent les trois premiers paramètres de la ligne de commande entrée en \textbf{B6} ?\\
 \textit{Le dernier paramètre égal à $0$ indique au tableur de calculer $P(X=k)$.\\
 Il peut également prendre la valeur $1$, et dans ce cas, il indiquerait au tableur de calculer $P(X\leq k)$.}
 Déterminer alors la commande écrite  en \texttt{B10}.
 \item Regardons le cas 1. 
 \begin{enumerate}
 \item Autour de quelle valeur sont situées les valeurs de $X$ les plus probables ?
 \item Cela vous semble-t-il logique ?
 \item A quel paramètre de la loi cela correspond-il ?
 \item Quelles valeurs de $X$ vous semblent obsolètes ? Pourquoi ? 
\end{enumerate}
 \item Regardons le cas 2.
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer la valeur de $n$ sur l'histogramme.
  \item Déterminer alors la commande écrite  en \texttt{J6}.
  \item Autour de quelle valeur sont situées les valeurs de $X$ les plus probables ?
 \item Cela vous semble-t-il logique ?
 \item Pourquoi cette valeur ne correspond-elle pas à l'espérance de $X$ ?
 \item Quelles valeurs de $X$ vous semblent obsolètes ? Pourquoi ?
 \end{enumerate}
\item Regardons le cas 3.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la valeur de $n$ sur l'histogramme.
 \item Autour de quelle valeur sont situées les valeurs de $X$ les plus probables ?
 \item En supposant qu'il s'agit exactement de l'espérance de $X$, déterminer $p$.
 \item Déterminer alors les commandes écrites  en \texttt{B14}  et \texttt{100}.
 \item Quelles valeurs de $X$ vous semblent obsolètes ? Pourquoi ? Votre critère vous semble-t-il rigoureux ?
\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 }
 \newpage
\rotatebox{-90}{\includegraphics[scale=0.5]{ReprBinom.eps}}


 \Exos[Repère]{
n$^{\circ}$  55 p 247 (représentation graphique)
}

\textbf{Programmes de l'exo 68 p 249 sur TI Nspire et TI 89 :}
\begin{center}
 \includegraphics[scale=0.7]{Scomb1NSPIRE.eps} \quad \includegraphics[scale=1.1]{Scomb1TI89.eps}
\end{center}


\section{TP}
\subsection{Hasard et QCM}
\textbf{\underline{Objectif : }
Etudier, pour une situation modélisable par un schéma de Bernoulli, des variables aléatoires qui suivent ou non une loi binomiale.}\\

Un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) est composé de $10$ questions numérotées de $1$ à $10$. Pour chacune d'elles, quatre réponses possibles
sont proposées, dont une seule est exacte.\\
La difficulté réside dans le fait que ce QCM Syldave est en chinois, et que notre candidat Fabrice ne lit pas 
le chinois (bien qu'il le parle couramment, évidemment). Il se voit donc obligé de répondre à chaque question au hasard, de façon indépendante (Fabrice
déteste ne pas répondre du tout, il veut tenter sa chance coûte que coûte).

\textbf{Partie A :} 
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item Justifier que la méthode de Farice pour répondre à une question est une épreuve de Bernoulli.\\
 Préciser le succès et la probabilité qu'il se réalise.
 \item Que peut-on dire de l'expérience de Fabrice sur le QCM entier ?
\end{enumerate}
 \item \textbf{Temps d'attente de la première bonne réponse}\\
 On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le numéro de la première question à laquelle Fabrice répond juste.
 On convient que $X$ prend la valeur $11$ si toutes les réponses sont fausses.
 \begin{enumerate}
  \item Préciser quelles valeurs peut prendre $X$.
  \item Calculer $P(X=11)$ et $P(X=k)$ pour $1\leq k \leq 10$
  \item $X$ suit-elle une loi binomiale ?
 \end{enumerate}
 \item \textbf{Attribution d'une note}\\
 On décide de donner à Fabrice un point par réponse exacte. Soit $Y$ la variable aléatoire associant aux réponses de Fabrice sa note obtenue sur $10$.
 \begin{enumerate}
  \item Justifier que $Y$ suit une loi binomiale et en préciser les paramètres.
  \item Sur la calculatrice ou le tableur, obtenir les valeurs arrondies à $10^{-6}$ de $P(Y=k)$ pour $0\leq k \leq 10$.\\
  Les présenter dans un tableau, puis sous la forme d'un histogramme.
   \item Quelle est la probabilité que Fabrice obtienne la note maximale ?
  \item Quelle est la probabilité qu'il obtienne au moins la moyenne ?
  \item Quelle est la note la plus probabilité de Fabrice ?
  \item Quelle note Fabrice peut-il espérer obtenir (ie quelle note moyenne obtiendrait-il s'il remplissait au hasard un très grand nombre de QCM
  de ce type)
 \end{enumerate}
 \item Pour pénaliser les candidats qui ne comptent que sur le hasard comme Fabrice, le gouvernement Syldave décide de toujours
 accorder $1$ point par réponse exacte, mais cette fois d'enlever $0.2$ point par réponse fausse.
 \begin{enumerate}
  \item Prouver qu'avec cette nouvelle règle, la variable aléatoire $Z$ donnant la note obtenue par Fabrice s'exprime
  par $Z=1,2Y-2$
  \item En déduire la probablité que Fabrice obtienne une note négative, puis une note supérieur à $5$.
  \item Quelle note Fabrice peut-il espérer obtenir ? L'objectif vous paraît-il atteint ?
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie B :} On suppose que $n$ candidats ($n\in\N^*$) répondent à ce QCM et qu'aucun d'entre eux ne lisant le chinois, 
ils suivent tous la méthode de Fabrice et sans copier.
\begin{enumerate}
 \item Quelle est la probabilité $P_n$ qu'au moins un candidat obtienne la note $10$ ?
 \item Pour quelles valeurs de $n$ cet événement se produira-t-il avec une probabilité supérieur à $0.99$ ?
\end{enumerate}

 \Cadre[Loi Binomiale à la calculatrice]{
    Pour calculer $P(X=k)$ :
  \begin{itemize}
   \item \textbf{TI 82-83-84} : Taper \fbox{2nde} + \fbox{var} puis descendre avec 
   \fbox{$\blacktriangledown$} et choisir \textbf{\texttt{0:binomFdp}}\\
   Il s'affiche \texttt{binomFdp(} que vous devez compléter par les valeurs \texttt{n,p,k)}
   \item \textbf{TI 89} : Taper \fbox{CATALOG} + \fbox{F3} puis se déplacer avec 
   \fbox{$\blacktriangledown$} et \fbox{$\blacktriangle$} et choisir \textbf{\texttt{binomDdP}}\\
   Il s'affiche \texttt{TIStat.binomDdP(} que vous devez compléter par les valeurs \texttt{n,p,k)}
   \item \textbf{TI Nspire CX CAS} :  Taper \fbox{CATALOG} + \fbox{2} puis se déplacer avec 
   \fbox{$\blacktriangledown$} et \fbox{$\blacktriangle$} et sélectionner \textbf{\texttt{Probabilités}} que l'on ouvre avec \fbox{enter}\\
   Ensuite, sélectionner \textbf{\texttt{Distributions}}, que l'on ouvre avec \fbox{enter}, et enfin choisir  \textbf{\texttt{Binomiale DdP}}\\
   Il s'affiche \texttt{binomPdf()} que vous devez compléter par les valeurs \texttt{n,p,k}
   \item \textbf{Casio} : Dans \fbox{MENU}, choisir l'icône \texttt{STAT}, puis \texttt{DIST>BINM BPD}\\
   \texttt{Numtrial} correspond au paramètre $n$.\\
  \end{itemize}
 Pour calculer $P(X\leq k)$ : Même méthode, il suffit de choisir à la fin :
   \begin{itemize}
   \item \textbf{TI 82-83-84} :  \textbf{\texttt{A:binomFRép}}
   \item \textbf{TI 89} :  \textbf{\texttt{binomFdR}}
   \item \textbf{TI Nspire CX CAS} :  \textbf{\texttt{Binomiale FdR}}
   \item \textbf{Casio} : \texttt{DIST>BINM ?}\\
   \texttt{Numtrial} correspond au paramètre $n$.
  \end{itemize}
  }

\subsection{Méthode du poolage}
\textbf{\underline{Objectif : }
Etudier une méthode utilisée par exemple pour les tests sanguins}\\
La méthode de poolage est utilisée dans la détection des porteurs d'un parasite au sein d'un ensemble donnée de $N$ individus tirés au sort de façon indépendante,
dans une population très vaste par rapport à $N$ (ce qui permet de considérer que le tirage est équivalent à un tirage avec remise).\\
La proportion de porteurs du parasite dans la population est $p$ ($0<p<1$).\\
On dispose d'un test permettant de savoir de façon certaine qu'un échantillon de sang contient ou non le parasite, le résultat du test étant dit positif dans le premier cas, négatif dans le second.\\
Pour chacun des $N$ individus, on possède un prélèvement sanguin.\\
La méthode de poolage consiste à répartir les $N$ prélèvements par groupes de $n$ prélèvements ($n<N$).\\
On mélange les prélèvements des $n$ individus et on teste ces mélanges.\\
Si le mélange est positif dans un des groupes, on teste le prélèvement de chaque individu du groupe concerné.\\
La question est de savoir dans quelles conditions le poolage permet d'économiser des tests par rapport au fait de tester 
chacun des $N$ prélèvements.\\

\textbf{Partie A :} Etude d'un cas particulier.\\
On prend $N=60$ et on fait $20$ groupes de $3$, que l'on numérote de $1$ à $20$.\\
Pour chaque groupe $i$ ($i$ entier de 1 à 20), on note $H_i$ le mélange des prélèvements des trois individus du groupe.\\
Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de groupes pour lesquels le test de $H_i$ est négatif.\\
Soit $T$ la variable aléatoire qui correspond au nombre total de tests effectués.
\begin{enumerate}
 \item Justifier que la probabilité que le test de $H_i$ soit négatif est $(1-p)^3$.
 \item Quelle est la loi de la variable $X$ ? En déduire son espérance mathématique.
 \item Prouver que $T=80-3X$ et en déduire l'espérance mathématique de $T$ en fonction de $p$.
 \item Le nombre de tests à effectuer étant de $60$ lorsque l'on teste les prélèvements de chaque individu, on consièdre que le poolage est rentable si $E(T)$
 est inférieur ou égal à $60$.
 \begin{enumerate}
  \item Justifier que $E(T)\leq 60 \iff \dfrac13-(1-p)^3 \leq 0$
  \item Etudier le sens de variation de la fonction $g$ définie sur $[0;1]$ par $g(x)=\dfrac13-(1-x)^3$.
  \item En déduire que l'équation $g(x)=0$ a une unique solution, puis en déterminer une valeur approchée à $0,1$ près.\\
  \textit{On pourra utiliser un tableau de valeurs}
  \item Conclure en précisant pour quelles valeurs de $p$ la méthode du poolage est rentable.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie B : } Autre cas particulier \\
On a toujours $N=60$, mais cette fois, on fait 15 groupes de 4, que l'on numérote de $1$ à $15$.\\
En s'inspirant de la méthode précédente, préciser pour quelles valeurs de $p$ ce poolage est rentable.\\

\textbf{Partie C : } Un problème d'optimisation\\
Si $N$ est le nombre d'individus, on fait $\dfrac{n}{n}$ groupes de $n$ individus (on suppose que $N$ est assez grand devant $n$
pour négliger le fait qu'un groupe pourrait ne pas être complet).\\
La démarche et les notations restent celles de la partie $A$.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la loi suivie par $X$.
 \item Exprimer $T$ en fonction de $X$, puis déduire que $E(T)=N\left(1+\dfrac1n - (1-p)^n\right)$
 \item Montrer que $E(T)$ est minimal si et seulement si $1+\dfrac1n-(1-p)^n$ est minimale.
 \item Pour chacune des valeurs suivantes de $p$ : $0,1 \, ; \, 0.01 \, $ et $ \, 0.001 \,$ déterminer à l'aide d'une calculatrice
 ou d'un tableur la valeur de $n$ telle que $E(T)$ soit minimale.
 \item Vérifier dans chacun de ces cas que le poolage est rentable.
\end{enumerate}

\subsection{Affaire Castaneda contre Partida}
Des arguments de type probabiliste peuvent être avancés et pris en compte dans les cours de justice. En novembre 1976, 
Rodrigo Partida, d'originie mexicaine, était condamné à huit ans de prison
pour vol et tentative de viol dans un comté du sud du Texas. Il attaqua le jugement sous motif que la désignation des jurés 
dans l'Etat du Texas était discriminatoire pour les Américains d'origine mexicaine. 
Son argument était que ceux-ci 
n'étaient pas suffisamment représentés dans les jurys populaires.
\Cadre[Attendu de la Cour Suprême des Etats-Unis (affaire Castaneda contre Partida)]{
 \og Si les jurés étaient tirés au hasard dans l'ensemble de la population, le nombre d'américains 
 mexicains dans l'échantillon
 pourrait alors être modélisé par une distribution binomiale ... \\
 Etant donnée que $79.1\%$ de la population est mexico-américaine, 
 le nombre attendu d'américains mexicains parmi les $870$ personnes convoquées en tant que grands jurés
 pendant la période de 11 ans est approximativement de $688$.
 Le nombre observé est $339$. \\
 Bien sûr, dans n'importe quel tirage considéré, une certaine fluctuation par rapport au nombre 
 attendu est prévisible.
 Le point essentiel, cependant, est que le modèle statistique montre que les résultats d'un tirage au 
 sort tombent vraisemblablement
 dans le voisinage de la valeur attendue ...\\
 La mesure des fluctuations prévues par rapport à la valeur attendue est l'écart-type, défini 
 pour la distribution
 binomiale comme la racine carré de la taille de l'échantillon (ici $870$) multiplié par la probabilité de sélectionner un américain mexicain 
 (ici $0.791$) et par la probabilité de sélectionner un non américain mexicain (ici $0.209$) ...
 Ainsi, dans ce cas, l'écart-type est approximativement de $12$. \\
 En règle générale, pour de si grands échantillons, si la différence entre la valeur attendue
 et le nombre observé est plus grande que deux ou trois écarts-types, alors l'hypothèse que le tirage 
 du jury 
 était au hasard serait suspecte à un spécialiste des sciences humaines. \\
 Les données sur 11 années reflètent ici une différence d'environ
 29 écarts-types. Un calcul détaillé revèle qu'un éloignement aussi important de la valeur attendue 
 se produirait avec
 moins d'une chance sur $10^{140}$.\fg\\
\quad \hfill \begin{small}Source : \og \textit{Prove it with Figures (Statistics for Social Science and Behaviour Sciences)}\fg, 
 Hans Zeisel et David Kaye ; Springer (2006)          \end{small}     
}
\begin{enumerate}
 \item Définir la variable aléatoire $X$ qui, dans cette situation, suit une loi binomiale.\\
 Quels sont les paramètres de cette loi binomiale ?
 \item A quel calcul correspond la valeur $688$ ?
 \item Effectuer le calcul de l'écart-type de $X$. A quoi correspond la \og différence de $29$ écarts-types \fg ?
 \item A quel événement correspond la probabilité de $10^{-140}$ ? Faites le calcul à l'aide d'un tableur. Etes-vous d'accord ?
 \item Peut-on considérer que la consitution des jurys résultait du hasard ?
 \item La cour d'appel a donc finalement donné raison à la défense Partida. Cependant, elle exclut une démonstration
 mathématique de discrimination raciale. N'allez pas croire qu'il y ait eu un complot !\\
 Quel critique pouvez-vous faire sur la modélisation ?\\
 A votre avis, qu'est-ce qui peut justifier une telle composition de jury ?
\end{enumerate}

 Il est alors aussi de notre responsabilité d’être critique à l’égard des chiffres sur lesquels toute la 
simulation repose. Reprenons donc l’attendu :

\og Alors que $79,1\%$ de la population de comté était d’origine mexicaine, sur les 870 personnes convoqués 
pour être jurés lors d’une certaine période de référence, il n’y eût que 339 personnes d’origine mexicaine. \fg

Que signifie : \og lors d’une certaine période de référence \fg ? En réalité, cette période de référence correspond 
à l’étude des listes des jurés lors des 11 années qui ont précédé le jugement de Partida. Sur ces listes, 339 
citoyens d’origine mexicaine ont été comptabilisés sur 870. Or, non seulement il n’est pas raisonnable de penser 
que durant cette longue période la proportion de citoyens d’origine mexicaine est resté constante et égale à $79,1\%$
mais en plus sur la période de deux ans et demi précédent le jugement de l’affaire opposant le shérif 
Castaneda au prévenu Partida, la proportion de citoyens d’origine mexicaine ayant été membre d’un jury dans ce 
même comté était d’environ $56\%$. Cet argument a été soutenu par l’accusation sans succès car la sous 
représentation des citoyens d’origine mexicaine restait trop importante.

Une deuxième piste pour contredire la thèse du complot repose sur l’étude des modalités de sélection des jurés. 
D’abord des listes de citoyens sont éditées de manière aléatoire mais ensuite, conformément à la loi, 
le juge du comté vérifie que le citoyen est alphabétisé et de \og bonnes m\oe urs \fg. Ainsi, la loi elle-même 
impose une sous représentation d’une partie de la population qui est moins alphabétisée.

Enfin, il faut remarquer que la cour suprême ne conclut pas à la démonstration formelle de discrimination raciale. 
Elle précise, en effet: \og Etant donné les nombreuses facettes de la motivation humaine, il serait peu approprié de 
prendre comme loi établie que des humains appartenant à un groupe ne pratiqueront pas de discrimination à l’égard 
des membres d’un autre groupe \fg.
 
\subsection{Loi géométrique tronquée}

Le \og président \fg \, de Syldavie pense que les filles de son pays sont trop intelligentes et 
risquent de renverser son pouvoir, pourtant bien établi depuis $30$ ans.\\
Pour limiter le nombre de filles en Syldavie il décide que chaque famille aura au moins un enfant et
arrêtera de procréer après la naissance d'un garçon, dans un maximum de 4 enfants par famille.\\
On considère que chaque enfant autant de chances d'être un garçon qu'une 
fille, indépendamment du sexe d'éventuel(s) enfant(s) précédent(s).  \\
On se demande si ce choix a la conséquence attendue, à savoir de diminuer le nombre de filles 
dans la population.
\begin{enumerate}
 \item On présente l'algorithme suivant :
\Algo{12cm}{
\Var{
X, NbeEnfants, NbeFilles sont des nombres entiers
}
\Deb{
  NbeEnfants$=0$, $X=0$\\
    \While{$X==0$ et NbeEnfants$<4$}
  {Affecter à X un entier aléatoire entre 0 et 1\\
    NbeEnfants$=$NbeEnfants$+1$}
    \IfThenElse{$X==1$}
      {NbeFilles$=$NbeEnfants$-1$\\
Afficher \og La famille a eu \fg , NbeFilles , \og fille(s) et $1$ garçon\fg}
    {La famille a eu $4$ filles et $0$ garçon}\\
\\
}
}
\begin{enumerate}
 \item Que fait-il ?
 \item Modifier cet algorithme pour qu'il simule les naissances dans $N$ familles quelconque en Syldavie et qu'il
renvoit le nombre de garçons et le nombre de filles.
 \item Programmer votre algorithme sur Scilab.
 \item Conjecturer une réponse au problème posé.
\end{enumerate}
\item Le \og président \fg \, de Syldavie appelle $S$ (pour Succès) et $E$ (pour Echec) 
les événements suivants :\\
$S$ : \og La famille a un garçon \fg \qquad \qquad et \qquad \qquad $E$ : \og La famille n'a pas de garçon \fg
\begin{enumerate}
       \item Schématiser la situation par un arbre.
 \item On appelle $X$ la variable aléatoire égale à $k$ si le premier Succès est rencontré au $k^{ième}$ 
enfant, et à $0$ si aucun Succès n'a été obtenu.\\
Déterminer la loi de $X$.
\item Répondre au problème posé.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
