\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Ch}{Variations de fonctions}
\newcommand{\Cl}{1G6}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

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\setcounter{NumLecon}{3}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\Chacha{cuisine.eps}{Et maintenant on va où ?}{Nadine Labaki}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{
Nominé pour plusieurs prix \og \textit{Et maintenant on va où ?} \fg\, , de \textbf{Nadine Labaki}, a remporté le prix du Jury 
Oecuménique – Mention Spéciale à Cannes. Après \og \textit{Caramel} \fg\,, film déjà primé, 
la réalisatrice revient sur un thème extrêmement contemporain : la cohabitation religieuse.\\
Le film s’ouvre sur une scène originale, où, des femmes, drapées de noir, endeuillées, entament une danse 
esthétiquement précise et émotionnellement forte. Les femmes nous regardent comme si elles assistaient à un 
spectacle et que donc nous étions le film ce qui renforce l’aspect contemporain du sujet. 
Il s’agit des femmes d’un village, divisé en deux confessions avec d’un côté les musulmans regroupés derrière leur Cheikh, 
et de l’autre, les catholiques et leur Prêtre. Lors d’une soirée où ils sont tous regroupés devant la télévision, 
les habitants regardent le journal télévisé qui leur apprend des affrontements entre catholiques et musulmans. 
Dès lors, les tensions du passé sont ravivées
 et les hommes ne jurent plus que par leurs religions laissant les femmes abattues par cette situation, mais cherchant
des solutions plus originales les unes que les autres pour garder la paix.
  }{0.75}{0.7}{\item Connaître les représentations graphiques et les tableaux de variations des fonctions affines, polynôme de degré $2$, inverse, racine carrée et valeur absolue.
\item La somme de deux fonctions croissantes (resp. décroissante) sur $I$ est croissante (resp. décroissante) sur $I$.
\item $u$ et $\dfrac{1}{u}$, sens de variation contraire.
\item $u$ et $\sqrt{u}$ même sens de variation.
}

\TITRE{enterrement.eps}{0.7}


\begin{Intro}{Au fil du temps}
Nous allons découvrir de nouvelles fonctions de référence : la fonction racine carré et la fonction valeur absolue. 
Vous connaissez déjà la fonction carré, la fonction inverse et les fonctions affines. \\
Au XVI$^e$ siècle, le mathématicien allemand Christoff Rudolff est à l'origine de la notation $\sqrt{}$ dans un traité
d'arithmétique. Il s'agit probablement d'un $r$ minuscule déformé. En effet, $r$ est la première lettre du mot \og racine \fg\,
en latin (\og radix\fg). La notation se généralise en XVII$^e$, grâce notamment au mathématicien français René Descartes.\\
Karl Weirerstrass (1815-1987), mathématicien allemand considéré généralement comme l'un des plus grands mathématiciens du XIX$^e$, est à l'origine
de la notaion $|x|$ pour la valeur absolue de $x$.
Dans le premier  chapitre, nous avons utilisé la fonction carré pour étudier plus généralement les fonctions polynômes de degré 2.\\
De même ici, nous nous appuieront sur les fonctions de référence pour généraliser des résultats sur d'autres fonctions.
\end{Intro}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 0. Position du pb
%\newpage

\section{Quelques rappels sur les fonctions}
\subsection{Variations}


Soit $f$ une fonction d\'efinie sur un intervalle $I$.

\begin{defi}
On dit que $f$ est strictement croissante si 
pour tous r\'eels $x$ et $y$ de $I$ rang\'es dans un certain ordre, leurs images $f(x)$ et $f(y)$ sont rang\'ees dans le m\^eme ordre :
$$\forall x,\, y \in I, \quad \text{on a }x<y \Longrightarrow f(x)< f(y) $$
Autrement dit, une fonction croissante conserve l'ordre.
\end{defi}

\Rqs{
%\item  Graphiquement, la courbe représentative d'une telle fonction \og monte \fg\,.
\item On définit sur le même principe la stricte décroissance d'une fonction $f$ : 
$$\forall x,\, y \in I, \quad \text{on a }x<y \Longrightarrow f(x)  > f(y) $$
%\item  Graphiquement, la courbe représentative d'une telle fonction \og descend \fg\,.
\item On parle de fonction \textbf{monotone} sur un intervalle $I$ si celle-ci y est soit croissante, soit d\'ecroissante.
\item On ne parle de sens de variation que sur un intervalle, les bornes ouvertes ou ferm\'ees ne jouant aucun r\^ole.
\item On dit que $f$ est constante si  : 
$\forall x,\, y \in I, \quad \text{on a } x<y \Longrightarrow f(x) = f(y) $
\item La repr\'esentation graphique d'une fonction constante \'egale \`a $k$ est une droite parall\`ele \`a l'axe des
ordonn\'ees d'équation $y=k$.
\item On résume les variations d'une fonction dans un tableau (à ne pas confondre avec un tableau de signes).
}
\newpage
\textbf{Illustration graphique} :
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=4.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.36,-1.1)(5.72,1.21)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,labels=none,Dx=1,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.36,-1.1)(5.72,1.21)
\psline(-1.48,-1.53)(-0.15,-1.53)
\psplot[linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{-2.0}{2.0}{1/8*x^3}
\psplot[linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{2.0}{5.0}{-x^0.5+2.41}
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=ccqqqq](-2,0)(-2,-1)
\rput[tl](-2.04,0.10){$a$}
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=ccqqqq](2,1)(2,0)
\rput[tl](1.95,-0.05){$b$}
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=ccqqqq](5,0)(5,0.17)
\rput[tl](4.99,-0.05){$c$}
\rput[tl](-1.96,0.92){$f$ est croissante sur $[a;b]$}
\rput[tl](2.7,-0.42){$f$ est décroissante sur $[b;c]$}
\rput[tl](3.72,0.7){$\qqqqcc{\mathscr C_f}$}
\psline[linestyle=dotted](-1.5,0)(-1.5,-0.42)
\psline[linestyle=dotted](1.5,0.42)(1.5,0)
\psline[linestyle=dotted](0,0.42)(1.5,0.42)
\psline[linestyle=dotted](0,-0.42)(-1.5,-0.42)
\rput[tl](-1.55,0.10){$x$}
\rput[tl](1.45,-0.05){$y$}
\rput[tl](0.05,-0.36){$f(x)$}
\rput[tl](-0.49,0.47){$f(y)$}
\psdots[dotstyle=*](-0.61,-1.53)
\rput[bl](-0.76,-1.46){$k = 1.5$}
\end{pspicture*}\\

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1, Variations/1.5, Signe/1}{$a$,$0$,$b$,$c$}
\tkzTabVar{- / $f(a)$, R / ,+ /$f(b)$, -/$f(c)$}
\tkzTabIma{1}{3}{2}{$0$}
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\Cadre[Méthodes pour étudier le sens de variation d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$]{
\begin{itemize}
 \item[$\bullet$] \textbf{Vues en seconde} :\\
On pose $x$ et $y$ deux nombres quelconques de l'intervalle $I$ tel que $x<y$. \\
Ensuite on peut procéder de deux manières.
\begin{itemize}
 \item[$\rightsquigarrow$] Soit par inégalités successives, on compare $f(x)$ et $f(y)$
 \item[$\rightsquigarrow$] Soit on calcule $f(y)-f(x)$ et on regarde son signe pour conclure.
\end{itemize}
 \item[$\bullet$] \textbf{Objectif de ce chapitre} :\\
On se base sur les sens de variation de fonctions de référence et on utilise des règles sur les opérations de fonctions. 
\end{itemize}
}

\Expl{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2$. On se propose de démontrer que cette fonction 
est strictement croissante sur $\R^+$ et strictement décroissante sur $\R^-$.
\begin{enumerate}
\item On considère deux nombres réels $x$ et $y$, démontrer que \quad $ x^2-y^2=(x-y)(x+y)$
\item Déterminer alors le signe de $x^2-y^2$ lorsque :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $x$ et $y$ sont postifs.
\item $x$ et $y$ sont négatifs.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Conclure.
\end{enumerate} }

\subsection{Fonctions de référence apprises en seconde}
 Les résultats de cette partie sont déjà connus et ont déjà été démontrés en Seconde. Notamment pour ce qui concerne les variations 
 des fonctions, les méthodes utilisées étaient celles décrites ci-dessus.
 Ainsi, nous nous contenterons 
 de les rappeler et de revoir leurs applications.
\subsubsection{Les fonctions affines}
Dans toute cette partie, $a$ et $b$ désignent deux r\'eels fixés. \\
\begin{defi}
Les \textbf{fonctions affines} sont les fonctions $f$ pouvant s'écrire sous la forme $f(x)=ax+b$.
\end{defi}

%\Rqs{\item $b$ est l'ordonnée à l'origine, dans le cas où $b=0$, l'expression de $f$ est linéaire.
%\item $a$ est le coefficient directeur (il indique la pente de la droite représentant $f$), dans le cas où $a=0$ alors la fonction $f$ est constante.}


\Expl{Trouver la fonction affine telle que $f(1)=3$ et $f(-2)=-1$.\newline
$f$ est une fonction affine ce qui \'equivaut \`a dire que $\exists a, \, b \in\ R, \,\forall x\in\R$, on a $f(x)=ax+b$. En particulier,  on a : 
$$\left\{\begin{array}{l}
          f(1)=5 \\ f(-2)=-1
         \end{array}\right. \iff
 \left\{\begin{array}{l}
          a\times 1 + b = 5 \\ -2a+b=-1
         \end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l}
          b=5-a \\ -2a+(5-a) =-1
         \end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l}
          b=5-a \\ -3a=-6
         \end{array}\right.
\iff
\left\{\begin{array}{l}
          a=2 \\ b=3
         \end{array}\right.
$$
La fonction affine $f$ v\'erifiant $f(1)=5$ et $f(-2)=-1$ est $f:x\mapsto 2x +3$.\\
\textit{Vérification} : L'image de $-2$ par $f$ est $f(-2)=2 \times (-2) + 3 = -1$ et l'image de $1$ est $f(1)=2 \times 1 + 3 = 5$. 
}

\begin{prop}[Définition]Soit $f$ une fonction affine d\'efinie par $f(x)=ax+b$.
\begin{itemize}
 \item Son ensemble de d\'efinition est $\R$.
 \item Sa courbe représentative est une \textbf{droite} d'\'equation r\'eduite est $y=ax+b$. \newline
$a$ est appel\'e le \textbf{coefficient directeur}  et 
$b$ l'\textbf{ordonn\'ee \`a l'origine}.
 \item $f(x)=0 \iff ax+b=0 \iff x -\dfrac{b}{a}$ et on a les tableaux suivants :
 \begin{multicols}{2}
\begin{center}
$a<0$\\ 
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1, Variations/1.5, Signe/1}{$-\infty$,$-\dfrac{b}{a}$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+ / , R / ,- / }
\tkzTabIma{1}{3}{2}{$0$}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\end{tikzpicture}\\
$a>0$\\
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1, Variations/1.5, Signe/1}{$-\infty$,$-\dfrac{b}{a}$,$+\infty$}
\tkzTabVar{- / , R / ,+ / }
\tkzTabIma{1}{3}{2}{$0$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\end{tikzpicture}\\
\end{center}
\end{multicols}
\end{itemize}
\end{prop}


%\Dem{Soient $x$ et $y$ deux r\'eels tels que $x<y$. On cherche à savoir si $f(x)=ax+b$ et $f(y)=ay+b$ sont dans le même ordre. On a :
%$$f(y)-f(x)=ay+b-(ax+b) = a(y-x)$$
%On a pris $x<y$ donc $y-x>0$. \\
%Si $a>0$ on a alors $f(y)-f(x)>0$ et la fonction est strictement croissante. \\
%Sinon, on a $f(y)-f(x)<0$ et la fonction est strictement décroissante.
%}

\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
       \item Trouver la fonction affine telle que $f(4)=0$ et $f(0)=3$.
 \item Etablir son tableau de variation, de signe et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
 \item Où peut-on lire sur le graphique l'ordonnée à l'origine de la droite obtenue ? 
 \item Même question pour son coefficient directeur.
      \end{enumerate} 
\end{ExoF}

\Sol{
\begin{enumerate}
 \item $f(0)=3$ donc $b=3$.\\
 De plus $f(4)=0 \iff a \times 4+3=0 \iff 4a=-3 \iff a = - \dfrac34$.\\
Donc on trouve que $f(x)=-\dfrac{3}{4}x+3$.
\item $f(x)=0 \iff x=4$ (donné dans l'énoncé) et $a>0$.\\
Donc on a le tableau :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1, Variations/1.2, Signe/1.2}{$-\infty$,$4$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+ / , R / ,- / }
\tkzTabIma{1}{3}{2}{$0$}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}
On a la représentation graphique suivante :
\begin{center}
 \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-3,-2)(6,4)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-3,-2)(6,4)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-2)(6,4)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,3)(4,3)(4,0)
\psplot{-3}{6}{(--12-3*x)/4}
\rput[u](2,3.3){\zzttqq{4}}
\rput[r](4.7,1.5){\zzttqq{$-3$}}
\rput[bl](1.5,1.7){\zzttqq{$a = -\dfrac34$}}
\rput[d](-1.8,2.9){\zzttqq{$b = 3$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{enumerate}
}

\begin{propo}[Interpr\'etation graphique de $a$ et $b$]
Soit $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ deux points tels que $x_A \neq x_B$.\\
La droite $(AB)$ admet pour coefficient directeur :
$$a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = \dfrac{\Delta y }{ \Delta x}$$ 
Il indique la direction, la pente de la droite $(AB)$.\\
Quant à $b$, il s'agit de l'ordonnée du point de la droite $(AB)$ d'abscisse $x=0$.
\end{propo}

\begin{center}
 \includegraphics[scale=0.7]{coef_dir.eps} \qquad 
 \includegraphics[scale=0.7]{coef_dir_bis.eps}
\end{center}


\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
 \item Trouver le coefficient directeur puis l'ordonnée à l'origine de la droite passant par $A(2;-1)$ et $B(3;5)$. 
En déduire l'expression de la fonction affine représentée par cette droite.
 \item Même question pour les points $C(-1,2)$ et $D(3;-1)$.
\item Calculer les coordonnées du point d'intersection des droites $(AB)$ et $(CD)$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}




\subsubsection{Fonctions polynôme de degré 2}

\Rq{\textbf{Culture}\\
Depuis l'antiquité on étudie les paraboles. Il se trouve qu'elles sont les représentations graphiques des fonctions 
polynômes du second degré. 
Cependant les mathématiciens ne les connaissaient pas ainsi dans le passé, mais comme des formes géométriques obtenues 
par la section d'un cône infini avec un plan comme dans les schémas ci-dessous :
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{para1.eps} \qquad\qquad \includegraphics[scale=0.5]{para2.eps}
\end{center}
Raison pour laquelle les paraboles font partie de la famille des coniques.}


Ces fonctions feront l'objet d'un chapitre entier cette année. Rappelons tout de même les résultats vus en seconde sur ces fonctions.


Dans toute cette partie, $a$, $b$ et $c$ désignent trois r\'eels fixés, avec $a\neq 0$. \\

\begin{defi}Les fonctions polynôme de degré 2 sont les fonctions $f$ pouvant s'écrire sous la forme $f(x)=ax^2+b+c$ avec $a\neq 0$.
\end{defi}

\Rq{$f(x)=ax^2+bx+c$ est la forme \textbf{développée} de la fonction polynôme $f$. Elle est pratique pour :
\begin{itemize}
\item déterminer l'image de $0$ : $f(0)=c$.
\item déterminer les antécédents éventuels de $c$ : 
$$f(x)=c\Longleftrightarrow ax^2+bx=0\Longleftrightarrow x(ax+b)=0\Longleftrightarrow x=0\quad \text{ou}\quad x=-\dfrac{b}{a}$$
\end{itemize}}

\begin{ExoF}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(2x-1)(x+2)$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f$ est une fonction polynôme de degré $2$.
\item Calculer l'image de $0$ par $f$.
\item Déterminer les antécédents éventuels de $-2$ par $f$.
\item Déterminer les antécédents éventuels de $0$ par $f$.
\end{enumerate} 
\end{ExoF}



\begin{prop}[Définition] Soit $f$ une fonction polynôme de degré 2, définie par $f(x)=ax^2+bx+c$.
\begin{itemize}
  \item Son ensemble de définition est $\R$.
 \item Sa courbe représentative est une \textbf{parabole} d'équation $y=ax^2+bx+c$
 \item Il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ uniques 
tels que pour tout réel $x$ on a $f(x)=a(x-\alpha)^2 + \beta$.\\
On appelle cette écriture la \textbf{forme canonique} de $f$.
\item On a les tableaux suivants :
\begin{multicols}{2}
 \begin{itemize}
  \item Si $a>0$ :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=1.5]{$x$/1,$f(x)$/2}{$-\infty$,$\alpha$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+/,-/$\beta$,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item Si $a<0$ :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=1.5]{$x$/1,$f(x)$/2}{$-\infty$,$\alpha$,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/,+/$\beta$,-/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
 \end{itemize}
\end{multicols}
\end{itemize}
\end{prop}


%\Dem{\begin{itemize}
%      \item Existence de $\alpha$ et $\beta$ (unicité admise pour l'instant)\\
%      Si $f$ est une fonction polynôme de degré $2$ alors il existe $a\neq 0$ et deux réels $b$ et $c$ tels que :
%$$ \forall x\in\R\qquad f(x)=ax^2+bx+c=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x\right)+c$$
%Remarquons que $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=x^2+2\times \dfrac{b}{2a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}=x^2+\dfrac{b}{a}x
%+\dfrac{b^2}{4a^2}\Longleftrightarrow \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}=x^2+\dfrac{b}{a}x$
%\\
%Ainsi, $\forall x\in\R$ on a :
%$$ f(x)=a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}\right)+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a}+c$$
%En posant $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=-\dfrac{b^2}{4a}+c$, on obtient le résultat désiré.
% \item Les variations découlent de la forme canonique. Cela a déjà été démontré en seconde, par inégalités successives.
% \item L'extremum :\\
% Si $a>0$ alors :
%$$ \left(x-\alpha\right)^2\geq 0\Longleftrightarrow a\left(x-\alpha\right)^2\geq 0\Longleftrightarrow 
%a\left(x-\alpha\right)^2+\beta\geq \beta$$
%De pus $f(\alpha)=a(\alpha-\alpha)+\beta=\beta$. Ce qui prouve que $\beta$ est le minimum de $f$ atteint pour $x=\alpha$.\\
%Si $a<0$ alors :
%$$ \left(x-\alpha\right)^2\geq 0\Longleftrightarrow a\left(x-\alpha\right)^2\leq 0\Longleftrightarrow 
%a\left(x-\alpha\right)^2+\beta\leq \beta$$
%De plus $f(\beta)=a(\alpha-\alpha)+\beta=\beta$. Ce qui prouve que $\beta$ est le maximum de $f$ atteint pour $x=\alpha$.
%     \end{itemize}
%}

\Expls{
\begin{eqnarray*}
\rightsquigarrow \, 3x^2-24x+5&=&3(x^2-8x)+5 \quad \text{(on a factorisé les termes en } x^2 \text{ et } x \text{ par } a=3 \text{ )}\\
&& \text{On reconnaït que } x^2-8x \text{ est le début de la forme développée de } (x-4)^2=x^2-8x+16\\
&&  \text{Donc }\quad x^2-8x=(x-4)^2-16 \quad  \text{ et on remplace dans l'expression : }\\ 
3x^2-24x+5&=& 3\left((x-4)^2-16\right)+5  \\
&=& 3(x-4)^2-43  \\
\rightsquigarrow \, x^2+3x+5 &=& \left(x+\dfrac32\right)^2-\dfrac94+5 \quad \text{car} \quad \left(x+\dfrac32\right)^2=x^2+3x+\dfrac94 \iff 
x^2+3x = \left(x+\dfrac32\right)^2-\dfrac94\\
&=& \left(x+\dfrac32\right)^2+\dfrac{11}4 \\
\rightsquigarrow \, -2x^2-2x &=&-2(x^2-x) \quad \text{on factorise les termes en } x^2 \text{ et } x \text{ par } a=-2\\
&=& -2\left(\left(x-\dfrac12\right)^2-\dfrac14\right)  \quad \text{car} \quad \left(x-\dfrac12\right)^2=x^2-x+\dfrac14 \iff x^2-x=\left(x-\dfrac12\right)^2 - \dfrac14\\
&=& -2\left(x-\dfrac12\right)^2+\dfrac12
\end{eqnarray*}
}

\Rqs{
\item Le premier intérêt de la forme canonique est d'établir le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Le second intérêt est de trouver l'éventuelle \textbf{forme factorisée} de $f$ : $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, et donc 
ses éventuelles racines $x_1$ et $x_2$ (ie les $x$ tels que $f(x)=0$).\\
En effet, si $a$ et $\beta$ sont de même signe, $f$ sera de signe constant (celui de $a$ et $\beta$)
et ne s'annulera pas. \\
Par contre, si $a$ et $\beta$ sont de signes différents, on peut changer l'écriture de $f$ en utilisant une identité 
remarquable. Observons cela sur les exemples précédents.
}

\Expl{
$$f(x) = 3x^2-24x+5=3(x-4)^2-43 = \left(\sqrt{3}(x-4) - \sqrt{43}\right)\left(\sqrt{3}(x-4) + \sqrt{43}\right)$$
\begin{eqnarray*}
\text{Donc } \quad f(x) = 0 &\iff& \sqrt{3}(x-4) - \sqrt{43} = 0 \quad\quad\quad \text{ou} \quad \quad\sqrt{3}(x-4)+ \sqrt{43} = 0 \\
&\iff & x\sqrt{3} = 4\sqrt{3}+\sqrt{43} \quad\quad\quad \text{ou} \quad \quad x\sqrt{3} = 4\sqrt{3}-\sqrt{43}\\
&\iff & x = \dfrac{4\sqrt{3}+\sqrt{43}}{\sqrt{3}} \quad\quad \text{ou} \quad x = \dfrac{4\sqrt{3}+\sqrt{43}}{\sqrt{3}}\\
&\iff & x = \dfrac{12+\sqrt{129}}{3} \quad\quad \text{ou} \quad x = \dfrac{12-\sqrt{129}}{3}
\end{eqnarray*}
On a donc le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1,Variations/2,Signe/1}{$-\infty$,$\dfrac{12-\sqrt{129}}{3}$,$4$,$\dfrac{12+\sqrt{129}}{3}$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+ / , R / , - /$-43$  , R / , + / }
\tkzTabIma{1}{3}{2}{$0$}
\tkzTabIma{3}{5}{4}{$0$}
\tkzTabLine{,+,z,,-,,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

\Expls{
Faire de même avec les autres fonctions de l'exemple :
 $$g(x)= x^2+3x+5=\left(x-\dfrac32\right)^2+\dfrac72 \qquad \qquad \qquad \qquad 
h(x)=-2x^2-2x= -2\left( x+\dfrac{1}{2} \right)^2 + \dfrac{1}{2}$$
}


\begin{prop}
Soit $f$ une fonction polynôme de degré $2$ et $f(x)=a \left(x-\alpha\right)^2+\beta$ sa forme canonique. 
La parabole représentative de $f$ admet la droite verticale d'équation $x=\alpha$ comme axe de symétrie.
\end{prop}

\Dem{Ce résultat n'ayant peut-être pas été démontré en Seconde, prouvons le, en nous appuyant sur un dessin.
%Montrons que toute parabole d'équation $y=a(x-\alpha)^2+\beta$ admet un axe de symétrie d'équation $x=\alpha$.
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\psset{xunit=2cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=6pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.78,-3.98)(4.46,4.22)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=20,Dy=20,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.78,-3.98)(4.46,4.22)
\psplot[linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{-2.7800000000000002}{4.46}{x^2-2*x-2}
\psline[linecolor=ccqqqq](1,-3.98)(1,4.22)
\rput[tl](1.1,3.84){$\ccqqqq{x=\alpha}$}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=darkgray](1.5,-2.75)
\rput[bl](1.68,-2.84){\darkgray{$A$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=darkgray](0.5,-2.75)
\rput[bl](0.14,-2.78){\darkgray{$B$}}
\rput[bl](0.8,-0.4){\darkgray{$\alpha$}}
\rput[bl](1.6,-0.4){\darkgray{$\alpha+\epsilon$}}
\rput[bl](0.5,-0.4){\darkgray{$\alpha-\epsilon$}}
\rput[bl](-0.2,-3.2){\darkgray{$\beta$}}
\psline[linecolor=ccqqqq, linestyle=dashed](0,-3)(1,-3)
\psline[linestyle=dashed](1.5,-2.75)(1.5,0)
\psline[linestyle=dashed](0.5,-2.75)(0.5,0)
\psline{<->}(1,0.2)(1.5,0.2)
\psline{<->}(0.5,0.2)(1,0.2)
\rput[bl](-1,-0.4){\darkgray{$x_1$}}
\rput[bl](2.8,-0.4){\darkgray{$x_2$}}
\rput[bl](1.25,0.3){\darkgray{$\epsilon$}}
\rput[bl](0.75,0.3){\darkgray{$\epsilon$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
Soit $A(x_A ; f(x_A))$ un point de la parabole $\mathscr P$. \quad 
Il existe alors $\epsilon \in \R$ tel que $x_A=\alpha + \epsilon$.\\
Alors $y_A=  f(\alpha+\epsilon))=a(\alpha+\epsilon-\alpha)^2 + \beta = a\epsilon^2 + \beta$. \qquad
Donc $A(\alpha+\epsilon ; a \epsilon^2 + \beta)$.\\
Pour montrer que $\mathscr P$ admet la droite $x=\alpha$ pour axe de symétrie, il suffit de montrer que le point 
$B(\alpha-\epsilon; a\epsilon^2 + \beta )$ est aussi sur $\mathscr P$, ie que $f(\alpha-\epsilon)=a\epsilon^2 + \beta$.\\
Or $f(\alpha-\epsilon))=a(\alpha-\epsilon -\alpha)^2+\beta=a\epsilon^2+\beta=y_B$. \\
Donc $B$ appartient bien à $\mathscr P$ et $x=\alpha$ est un axe de symétrie de $\mathscr P$.
}

\Rq{Ceci permet d'avoir une autre méthode pour retrouver la forme canonique d'une fonction polynôme $f$ de degré 2 à partir de sa
forme développée. 
}

\Expl{
Reprenons l'exemple précédent $f(x) = 3x^2 - 24x + 5$.\\
Pour trouver $\alpha$, il nous faut deux points de la parabole ayant la même ordonnée. \\
Or la forme développée nous permet de résoudre facilement
l'équation $f(x)=5$, qui a deux solutions et nous donnera donc deux points comme voulu.
$$f(x)=5 \iff 3x^2-24x=0 \iff 3x(x-8)=0 \iff x=0 \text{ ou } x=8$$
Donc les points $A(0;5) $ et $B(8;5)$ sont sur la parabole et ont la même ordonnée.\\
Grâce à l'axe de symétrie de la parabole $x=\alpha$, on sait que $\alpha = \dfrac{0+8}{2}=4$ (moyenne des abscisse de $A$ et $B$).\\
De plus, on sait que le sommet de la parabole a pour coordonnées $(\alpha ; \beta )$ donc $\beta = f(\alpha)$.\\
Donc on calcule $f(4)=3 \times 4^2-24 \times 4 + 5 = 3 \times 16 - 92 + 5 = -43$ \\
Et $f(x)=3(x-4)^2-43$. \quad On retrouve bien les valeurs précédentes !
}


\begin{ExoF}
Dans chacun des cas suivants, construire le tableau variations de $f$, trouver ses éventuelles racines, compléter le tableau 
par une ligne décrivant le signe de $f$, puis contrôler les résultats à la calculatrice.
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=4(x+2)^2-5$
\item $f(x)=-3(x-1)^2+9$
\item $f(x)=2x^2+1$
\item $f(x)=7\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2$
%\item $f(x)=9(x+\pi)^2-1$
%\item $f(x)=-(x+1-\sqrt{2})^2+1$.
\end{enumerate}
\end{multicols} 
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Dans chacun des cas suivants, retrouver la forme canonique de la fonction $f$.
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^2+2x-2$
\item $f(x)=3x^2-5x+1$
\item $f(x)=3x^2-12x-1$
\item $f(x)=-3x^2+12+1$
\end{enumerate}
\end{multicols} 
\end{ExoF}


\subsubsection{La fonction inverse}

\begin{defi}
La fonction inverse est la fonction $f$ définie par $f(x)= \dfrac{1}{x}$. 
\end{defi}


\begin{prop}[Définition]
\begin{itemize}
 \item L'ensemble de définition de la fonction inverse est :
$ \left]-\infty ; 0 \right[ \cup \left]0 ; +\infty\right[$
\item Sa courbe représentative est une \textbf{hyperbole}.
 \item On a le tableau suivant :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=3]{$x$/0.8,Variations/2,Signe/0.8}{$-\infty$,$0$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+ / , -D+/ , - / }
\tkzTabLine{,-,d,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\end{prop}

%\Dem{Soient $x$ et $y$ deux nombres négatifs tels que $x<y$.\\
%Alors $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{y-x}{xy}$.\\
%Or $x<y \iff y-x>0$ \qquad et \qquad $x$ et $y$ négatifs donc $xy>0$.\\
%On en déduit que  $\dfrac{y-x}{xy} >0$ ce qui permet de conclure que $\dfrac{1}{x}>\dfrac{1}{y}$ sur les négatifs.\\
%Donc la fonction inverse inverse l'ordre sur les négatifs, elle est strictement décroissante sur $]-\infty ; 0[$.\\
%On procède de même sur les positifs.
%}



\section{Deux nouvelles fonctions de référence}


\subsection{La fonction \og racine carré \fg}

\Act{Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$.
\begin{enumerate}
 \item Etude des variations
\begin{enumerate}
 \item Construire la représentation graphique de $f$ sur l'écran de la calculatrice.\\
Conjecturer le sens de variation de $f$ sur $[0;+\infty[$.
 \item Démontrer que, quels que soient les réels $a$ et $b$ tels que $0 \leq a <b $, on a :
$$f(b)-f(a)=\dfrac{b-a}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$$
En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0;+\infty[$.\\
Dresser son tableau de variations.
\end{enumerate}
\item Etude de la courbe représentative
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que, pour tous réels $x$ et $y$, les points $M(x;y)$ et $M'(y;x)$ sont symétriques par rapport à la droite
$\Delta$ d'équation $y=x$.
 \item Dans un même repère orthonormé $(O; \vec i ; \vec j )$, construire la courbe $\mathscr C$ représentative de la 
fonction $f$, et la courbe $\mathscr P$, représentative de la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=x^2$
 \item Démontrer que $M(x;y) \in \mathscr C$ équivaut à $M'(y;x)\in \mathscr P$
 \item Que peut-on en déduire pour les courbes $\mathscr C$ et $\mathscr P$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Defc{On appelle fonction racine carr\'ee la fonction d\'efinie par $f(x)=\sqrt{x}$.}


%\subsection{Parit\'e}

%\Ptec{La fonction racine carr\'ee n'est ni paire ni impaire.}

%\textit{\underline{Preuve} :}  La fonction racine carr\'ee n'est pas d\'efinie sur un domaine centr\'e en 0. En effet, $1\in R^+$ mais $-1 \notin R^+$\newline
%La fonction racine carr\'ee ne peut donc \^etre ni paire ni impaire.\newline


%\subsection{Sens de variation et tableau de variations}
\Ptec{\begin{itemize}
 \item L'ensemble de définition de la fonction racine carr\'e  $\R^+$.
 \item La courbe preséntative de la fonction racine carré et la courbe représentative de la fonction carré sur $[0; + \infty[$ sont symétriques par 
rapport à la droite d'équation $y=x$.
       \item On a le tableau suivant
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=3]{$x$/1,Variations/1.5,Signe/1}{$0$,$+\infty$}
\tkzTabVar{- /$0$, +/ }
\tkzTabLine{,+,}
\end{tikzpicture}
\end{center}
La fonction racine carr\'ee est strictement croissante sur $\R^{+}$.
      \end{itemize}
}

\Dem{
Cf Activité.}

\Rq{
D'apr\`es le tableau de variations, la fonction racine carr\'ee admet pour minimum 0 sur $\R^+$, atteint en 0.
}

%\subsection{Courbe repr\'esentative}
\underline{Représentation graphique dans un repère orthonormé $(O;\vec i ; \vec j)$ :}
\begin{center}
 \psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(7,4)
\def\xmin{-1} \def\xmax{7} \def\ymin{-1} \def\ymax{4}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-1,-1)(7,4)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-1,-1)(7,4)
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 0.5 exp}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{7}{\F}
 \uput[d](6,3.5){$y=\sqrt{x}$}

\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Exop{On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{x+4}$.
\begin{enumerate}
 \item Donner l'ensemble de définition de $f$.
 \item Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur son ensemble de définition.
\end{enumerate}
}

\subsection{Croissance comparée}

\Act{\begin{enumerate}
      \item Ecrire un algorithme qui lit un nombre $x$ positif et qui affiche alors dans l'ordre croissant  $x^2$ et $x$. 
 \item Même question pour $x$ et $\sqrt{x}$.
 \item Conjecturer en fonction de $x$, l'ordre des nombres $x^2$, $x$ et $\sqrt{x}$.
\item Etudier en fonction de $x$ le signe de $x^2-x$.
\item Même question pour $x-\sqrt{x}$.
 \item Conclure sur la validité de votre conjecture.
 \item En déduire la position relative des courbes représentatives 
des fonctions $f$, $g$ et $h$ définies par $f(x)=x^2$, $g(x)=x$ et $h(x)=\sqrt{x}$.
     \end{enumerate}
}

\Ptec{
Si $x =0 $ ou $x=1$ alors $x^2=x=\sqrt{x}$.\\
Si $0 < x < 1$ alors $x^2 < x < \sqrt{x}$.\\
Si $x>1$ alors $x^2> x > \sqrt{x}$. 
}

\Propc{On appelle respectivement $\mathscr C_f$, $\mathscr C_g$ et $\mathscr C_h$ les courbes 
représentatives des fonctions $f : x \longmapsto x^2$, $g : x \longmapsto x$ et $h:x \longmapsto \sqrt{x}$
sur $[0 ; +\infty [$.\\
Les points de coordonnées $(0;0)$ et $(1;1)$ sont communs aux trois courbes $\mathscr C_f$, 
$\mathscr C_g$ et $\mathscr C_h$.\\
Sur l'intervalle $]0;1[$ : la courbe $\mathscr C_f$ est en dessous de la courbe $\mathscr C_g$, elle-même en dessous
de la courbe $\mathscr C_h$.\\
Sur l'intervalle $]1; + \infty[$ : la courbe $\mathscr C_f$ est au-dessus de la courbe $\mathscr C_g$, elle-même au-dessus
de la courbe $\mathscr C_h$.\\
}

\begin{center}
 \psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(4,4)
\def\xmin{-1} \def\xmax{4} \def\ymin{-1} \def\ymax{4}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-1,-1)(4,4)
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\H{x 0.5 exp}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{4}{\H}
 \uput[d](3.5,1.9){$y=\sqrt{x}$}
\def\G{x}
\psplot[linecolor=green,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{4}{\G}
 \uput[ur](3,2.6){$y=x$}
\def\F{x 2 exp}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{4}{\F}
 \uput[d](1.2,4){$y=x^2$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}


\Expls{Ranger dans l'ordre les nombres suivants :
\begin{enumerate}
 \item $\pi$, $\pi^2$ et $\sqrt{\pi}$
 \item $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi^2}{16}$ et $\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$
\end{enumerate}
}

\Exop{Donner le signe de la fonction $\Phi$ définie sur $[0;+\infty[$ par $\Phi(x)=\sqrt{x}-x^2$
}

\Exop[Challenge]{
\begin{enumerate}
 \item Donner le tableau de signes de la fonction $\Psi$ définie sur $\R$ par $\Psi(x)=x^{n+1}-x^n$, en fonction de $n$.
 \item En déduire celui de la fonction $\xi$ définie sur $\R^*$ par $\xi(x)=\dfrac{1}{x^{n+1}}-\dfrac{1}{x^n}$, en fonction de $n$.
\end{enumerate}
}

\newpage
\subsection{La fonction \og valeur absolue \fg}

\Act{Activité \og Soif d'absolu \fg p 9 du livre Repère
\begin{enumerate}
 \item[4.] En considérant successivement la fonction valeur absolue sur les intervalle $]-\infty ; 0 [$ et $]0 ; + \infty[$, déterminer le sens
de variation de cette fonction. \\
En déduire son tableau de variations.
 \item[5.] Comparer $|x|$ et $|-x|$.\\
Quelle propriété sur la courbe représentative de la fonction valeur absolue peut-on en déduire ? 
\end{enumerate}
}

\Defc{La distance entre deux r\'eels $x$ et $y$ est la distance, sur une droite gradu\'ee, entre les points d'abscissses $x$ et $y$. On la note $d(x;y)$.}

\Expls{$d(5;3)=2$, $d(-4;-1)=3$ et $d(3;-2)=5$.}

\Defc{On appelle fonction valeur absolue la fonction qui \`a tout r\'eel $x$ associe sa distance \`a 0. On note $f(x)=|x|$.}

\Expls{$|5|=5$, $|-2|=2$, $|0|=0$, \newline
$|3-\pi |= -(3-\pi) = \pi - 3$ car $3-\pi <0$, \newline
$|2-\sqrt{2}|=2-\sqrt{2}$ car $2-\sqrt{2} >0$. }

\Rqs{ \item La fonction valeur absolue peut se d\'efinir explicitement ainsi :
$$|x|=\left\{\begin{array}{ll}
              x & \textrm{Si } x\geq 0 \\
		-x & \textrm{Si } x\leq 0 
             \end{array}\right.$$
 \item La valeur absolue d'un nombre est toujours positive.
 \item Pour tous réels $x$ et $y$ on a $d(x;y)=|x-y|$.
}

\Expl{Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=|2x+3|$.
\begin{enumerate}
 \item Ecrire pour tout $x\in\R$ la fonction $f$ sans valeur absolue.
\item Représenter graphiquement cette fonction dans un repère orthonormé.
\end{enumerate}
}

\Ptec{\begin{itemize}
       \item La fonction valeur absolue est d\'efinie sur $\R$.
 \item Sa courbe représentative est formé par deux demi-droites. Elle est symétrique par rapport à l'axe $(Oy)$.
 \item On a le tableau suivant :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=3]{$x$/1,Variations/1.5,Signe/1}{$-\infty$,$0$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+ /, -/$0$, +/ }
\tkzTabLine{,,+,}
\end{tikzpicture}
\end{center}
La fonction valeur absolue est strictement d\'ecroissante sur $]-\infty: 0]$ et strictement croissante sur $[0;+\infty[$
      \end{itemize}
}

\Dem{
Cf Activité.}

\Rq{
D'apr\`es le tableau de variations, la fonction valeur absolue admet pour minimum 0 sur $\R$, atteint en 0.
}

%\subsection{Courbe repr\'esentative}
\underline{Représentation graphique dans un repère orthonormé $(O;\vec i ; \vec j)$ :}
\begin{center}
 \psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-4,-1)(4.1,5)
\def\xmin{-4} \def\xmax{4.1} \def\ymin{-1} \def\ymax{5}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-4,-1)(4,5)
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x abs}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{4}{\F}
 \uput[ur](2.5,4){$y=|x|$}

\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}


\Ptec{Soient $x$ et $y$ deux r\'eels.
\begin{enumerate}
  \item $|-x|=|x|$
 \item $|x|=|y| \iff x=y $ ou $x=-y$
 \item $\sqrt{x^2}=|x|$
 \item $|xy|=|x| \times|y|$
 \item Si $y\neq 0$ on a $\left|\dfrac{x}{y}\right|=\dfrac{|x|}{|y|}$
 \item Par contre : $|x+y|\leq |x|+|y|$ \quad (inégalité triangulaire)
\end{enumerate}
}

\Dem{
Revenir \`a la d\'efinition avec la distance \`a 0 et les abscisses de points. Penser \`a distinguer les cas que $x=0$.
}


\Ptec{Soient $x$ un r\'eel et $k$ un r\'eel positif.
\begin{enumerate}
\item $|x|=k \iff x=k$ ou $x=-k$ 
  \item $|x|\leq k \iff -k \leq x \leq k$
 \item $|x| > k \iff x>k $ ou $x<k$
\end{enumerate}
}

\Expls{R\'esoudre analytiquement les \'equations suivantes :
\begin{multicols}{4}
 $| x-7| = 3 $ \newline $| y+4| =6 $ \newline $| 2x-7| = 8 $  \newline $|x-1|=-4$
\end{multicols}
R\'esoudre analytiquement les in\'equations suivantes :
\begin{multicols}{3}
 $| x-7| \leq 3 $ \newline $| y+4| <6 $ \newline $| 2x-7| > 8 $  
\end{multicols}
}

\Ptec{Soient $a$ et $x$ deux r\'eels, et $k$ un r\'eel positif ou nul. Les assertions suivantes sont \'equivalents :
\begin{enumerate}
 \item $|x-a|=k$
 \item $d(x;a)=k$
 \item $a-k \leq x  \leq a+k$
 \item $x\in [a-k;a+k]$
\end{enumerate}
}

\Expls{Dresser le tableau de variations des fonctions suivantes
$f_1:x \mapsto |1+2x|$ et $f_2:x \mapsto |2x+3|+|x|$ d\'efinies sur $\R$.  
}

\Exop{Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=|3x|-|2x-2|+2-x$
\begin{enumerate}
 \item Etudier les variations de $f$
 \item Tracer la courbe repr\'esentative de la fonction $f$ dans un rep\`ere orthonorm\'e d'unit\'e graphique 1 cm.
\end{enumerate}
}

\Exos[Repère]{
n$^{\circ}$ 87 à 90 p 38 + 92 à 94 p 38
}



\section{Variations et opérations sur les fonctions}

\subsection{Opérations sur les fonctions}

\Act{On considère la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=0.5x^2-3x+2.5$. Avec la calculatrice, on souhaite comparer les variations
de $u$ avec certaines fonctions associées à $u$. On pose $k$ un réel.
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Fonction $u$ :}
\begin{enumerate}
 \item Tracer sur votre calculatrice la courbe représentative de la fonction $u$.
 \item Etablir le tableau de variations de la fonction $u$.
\end{enumerate}
 \item \textbf{Fonction $u+k$ :}\\
Soit $v_k$ la fonction définie par $v_k(x)=u(x)+k$.
%On choisit d'étudier d'abord le cas $k=4$. 
\begin{enumerate}
 \item Comparer l'ensemble de définition de $v_4$ et celui de $u$.
 \item Tracer à la calculatrice la courbe représentative de la fonction $v_4$ et celle de $u$.
 \item Comment peut-on obtenir la courbe de $v_4$ à partir de celle de $u$ ?
 \item En déduire le tableau de variations de la fonction $v_4$.
 \item Reprendre les questions $2.a$ à $2.d$ avec d'autres valeurs de $k$. 
 \item Conjecturer les relations entre l'ensemble de définition d'une fonction $f$ et celui d'une fonction $g$ 
de la forme $f+k$, ainsi que les relations entre leurs variations.
\end{enumerate}
 \item \textbf{Fonction $ku$ :}\\
On suppose que $k\neq 0$. On appelle $w_k$ la fonction définie par $w_k(x)=ku(x)$.
\begin{enumerate}
 \item Comparer l'ensemble de définition des fonctions $w_2$, $w_{0.5}$, $w_{-1}$ et $w_{-3}$ avec celui de $u$.
 \item Tracer à la calculatrice les courbes représentatives de ces fonctions et celle de $u$.
 \item Comparer les variations de ces fonctions avec celles de $u$.
 \item Conjecturer le tableau de variations de la fonction $w_k$ en distinguant deux cas.
 \item Conjecturer les relations entre l'ensemble de définition d'une fonction $f$ et celui d'une fonction $g$ de la 
forme $kf$, ainsi que les relations entre leurs variations.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


Dans tout ce paragraphe, $u$ désigne une fonction définie sur une partie $\mathscr D$ de $\R$ et $k$ une constante.

\Defc{
\begin{itemize}
 \item La fonction $u+k$ est la fonction qui à chaque réel $x \in \mathscr D$ associe le réel $u(x)+k$
 \item La fonction $ku$ est la fonction qui à chaque réel $x \in \mathscr D$ associe le réel $ku(x)$
 \end{itemize}
}

\Propc{Soit $I$ un intervalle de $\mathscr D$ sur lequel $u$ est monotone.
\begin{itemize}
 \item Les fonctions $u$ et $u+k$ ont le même sens de variation sur $I$.
\item Si $k>0$, les fonctions $u$ et $ku$ ont le même sens de variation sur $I$, sinon des sens contraires.
\end{itemize}
}

\Dem{\begin{itemize}
      \item Si $u$ est croissante sur $I$ : on pose deux réels $a$ et $b$ de $I$ tels que $a<b$.
Alors on a :
\begin{eqnarray*}
 a<b &\iff& u(a)<u(b) \quad \text{ car } u \text{ conserve l'ordre sur } I \\
  & \iff & u(a)+k < u(b) +k 
\end{eqnarray*}
Donc la fonction $u+k$ est croissante sur $I$.\\
De même, si $u$ est décroissante sur $I$, on pose $a$ et $b$ sont deux réels de $I$ tels que $a<b$. Alors :
\begin{eqnarray*}
 a<b &\iff& u(a)>u(b) \quad \text{ car } u \text{ inverse l'ordre sur } I \\
  & \iff & u(a)+k > u(b) +k 
\end{eqnarray*}
Donc la fonction $u+k$ est décroissante sur $I$.\\
D'où, $u$ et $u+k$ ont le même sens de variation sur $I$ (et donc, les mêmes variations sur $\mathscr D$).\\

\item Si $u$ est croissante sur $I$ : on pose deux réels $a$ et $b$ de $I$ tels que $a<b$.
Alors on a :
\begin{eqnarray*}
 a<b &\iff& u(a)<u(b) \quad \text{ car } u \text{ conserve l'ordre sur } I \\
  & \iff & ku(a) < ku(b) \quad \text{ si } k>0 \qquad \text{ ou } \qquad   ku(a) > ku(b) \quad \text{ si } k<0.
\end{eqnarray*}
Donc la fonction $ku$ est croissante sur $I$ si $k>0$, décroissante sinon.\\
De même, si $u$ est décroissante sur $I$, on pose $a$ et $b$ sont deux réels de $I$ tels que $a<b$. Alors :
\begin{eqnarray*}
 a<b &\iff& u(a)>u(b)  \quad \text{ car } u \text{ inverse l'ordre sur } I \\
  & \iff & ku(a) > ku(b)  \quad \text{ si } k>0 \qquad \text{ ou }  \qquad  ku(a) < ku(b) \quad \text{ si } k<0.
\end{eqnarray*}
Donc la fonction $ku$ est décroissante sur $I$ si $k>0$, croissante sinon.\\
D'où, les fonctions $u$ et $ku$ ont le même sens de variation sur $I$ si $k>0$, sinon des sens contraires (ce qui donc 
se généralise sur $\mathscr D$).
\end{itemize}
}


\Expls{Etablir le tableau de variations des fonctions suivantes sur leur ensemble de définition :
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
 \item $f:x \longmapsto 3-\sqrt{x}$
 \item $g: x \longmapsto 10-0.5 x^2$
 \item $h: x \longmapsto 2|x|-6$
 \item $k : x \longmapsto 6-2|x|$
\end{itemize}
\end{multicols}
}


\Rq{Sur le même principe de démonstration, on peut constater que :
\begin{itemize}
 \item une somme de fonctions croissantes sur un intervalle $I$ est
une fonction croissante sur $I$,
 \item une somme de fonctions décroissante sur $I$ est une fonction décroissante sur $I$.
 \item par contre, on n'a pas de règle pour une somme de fonction de sens de variation différents sur $I$.
\end{itemize}
\indent Qu'en est-il du produit ?
}


\subsection{Composée de fonction}

\Act{On considère la fonction $u$ de l'activité précédente (définie sur $\R$ par $u(x)=0.5x^2-3x+2.5$). On appelle $v$ la fonction définie par $v(x)=\sqrt{u(x)}$
et $w$ la fonction définie par $w(x)=\dfrac{1}{u(x)}$. 
\begin{enumerate}
 \item Donner les ensembles de définition de $v$ et $w$.
 \item Tracer sur votre calculatrice les courbes représentatives des fonctions $u$, $v$ et $w$.
 \item Conjecturer le tableau de variations des fonctions $v$ et $w$.
 \item Soit $J$ un intervalle sur lequel une fonction $f$ est positive ou nulle.\\
Conjecturer les relations entre les variations de $f$ et celles d'une fonction $g$ 
de la forme $\sqrt{f}$ sur $J$.
 \item Soit $K$ un intervalle sur lequel une fonction $f$ ne s'annule pas.\\
Conjecturer les relations entre les variations de $f$ et celles d'une fonction $h$ 
de la forme $\dfrac1{f}$ sur $K$.
\end{enumerate}
}

Dans ce paragraphe, $u$ désigne une fonction définie sur une partie $\mathscr D_u$ de $\R$, positive ou nulle,
et $v$ une fonction définie sur une partie $\mathscr D_v$ de $\R$, qui ne s'annule pas.

\Defc{
\begin{itemize}
 \item La fonction $\sqrt{u}$ est la fonction qui à chaque réel $x \in \mathscr D_u$ associe le réel $\sqrt{u(x)}$.
 \item La fonction $\dfrac{1}{v}$ est la fonction qui à chaque réel $x \in \mathscr D_v$ associe le réel $\dfrac{1}{v(x)}$
 \end{itemize}
}

\Propc{ 
\begin{itemize}
 \item Soit $J$ un intervalle de $\mathscr D_u$ sur lequel $u$ est monotone.\\
Les fonctions $u$ et $\sqrt{u}$ ont le même sens de variation sur $J$.
\item Soit $K$  un intervalle de $\mathscr D_v$
sur lequel $v$ est monotone et ne change pas de signe.\\
Les fonctions $v$ et $\dfrac{1}{v}$ ont des sens de variation contraires sur $K$.
\end{itemize}
}

\Dem{\begin{itemize}
      \item Si $u$ est croissante sur $J$ : on pose deux réels $a$ et $b$ de $J$ tels que $a<b$.
Alors on a :
\begin{eqnarray*}
 a<b & \Longrightarrow & 0 \leq u(a)<u(b) \quad \text{ car } u \text{ conserve l'ordre sur } J \text{ et est positive ou nulle} \\
  & \Longrightarrow & 0 \leq \sqrt{ u(a) } <  \sqrt{u(b)}  \text{ car la fonction racine carré conserve l'ordre sur } \R^+ 
\end{eqnarray*}
Donc la fonction $\sqrt{u}$ est croissante sur $J$.\\
De même, si $u$ est décroissante sur $J$, on pose $a$ et $b$ deux réels de $J$ tels que $a<b$. Alors :
\begin{eqnarray*}
 a<b & \Longrightarrow & u(a)>u(b)\geq 0 \quad \text{ car } u \text{ inverse l'ordre sur } J \\
  & \Longrightarrow & \sqrt{ u(a) } >  \sqrt{u(b)}\geq 0  \text{ car la fonction racine carré conserve l'ordre sur } \R^+
\end{eqnarray*}
Donc la fonction $\sqrt{u}$ est décroissante sur $J$.\\
D'où, $u$ et  $\sqrt{u}$ ont le même sens de variation sur $J$.\\

\item Si $v$ est croissante et strictement positive sur $K$ : on pose deux réels $a$ et $b$ de $K$ tels que $a<b$.
Alors on a :
\begin{eqnarray*}
 a<b & \Longrightarrow& 0 < v(a)<v(b) \quad \text{ car } v \text{ conserve l'ordre sur } K  \text{ et est strictement positive}\\
  & \Longrightarrow & \dfrac{1}{v(a)} > \dfrac{1}{v(b)} >0 \quad \text{ car la fonction inverse change l'ordre sur } \R^+ 
\end{eqnarray*}
Donc la fonction $\dfrac{1}{v}$ est décroissante sur $K$.
\end{itemize}
}
\DemS{\begin{itemize}
\item[] De même, si $v$ est décroissante sur $K$, on pose $a$ et $b$ deux réels de $K$ tels que $a<b$. Alors :
\begin{eqnarray*}
 a<b &\Longrightarrow&  v(a)>v(b)>0 \quad \text{ car } v \text{ inverse l'ordre sur } K  \text{ et est strictement positive}\\
   & \Longrightarrow & 0<\dfrac{1}{v(a)} < \dfrac{1}{v(b)} \quad \text{ car la fonction inverse change l'ordre sur } \R^+ 
\end{eqnarray*}
Donc la fonction  $\dfrac{1}{v}$ est croissante sur $K$.\\
D'où, les fonctions $v$ et  $\dfrac{1}{v}$ ont des sens de variation contraires sur $K$.\\

On procède exactement de même si $v$ est strictement négative sur $K$, car la fonction inverse change aussi l'ordre sur $\R^-$.
\end{itemize}
}



\Expl{
Etablir le tableau de variations des fonctions suivantes sur leur ensemble de définition :
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
 \item $\Phi : x \longmapsto \sqrt{3-x}$
 \item $\Psi : x \longmapsto 2-5\sqrt{1-4x}$
 \item $\varepsilon : x \longmapsto \dfrac4{7-3x}$
\item $\theta :x \longmapsto  3-\dfrac{2}{x^2+1}$
 \end{itemize}
\end{multicols}
}

\Exop{Donner sur $[0;+\infty[$ les variations de $f$ définie par $f(x)=1-\dfrac3{\sqrt{x^2+5}}$
}
\Exos[Repère]{
n$^{\circ}$ 95 à 99 + 101-103 p 38\\
DM : n$^{\circ}$ 102 p 41 légèrement modifé (notion de limite et d'asymptote)
}

\end{document}
