\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
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\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{Trigonom\'etrie}
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\newcommand{\Annee}{2012-2013}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

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\setcounter{NumLecon}{2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\Chacha{wire.eps}{The Wire}{David Simon}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{
Sur écoute (The Wire) est une série télévisée américaine, créée par David Simon et Ed Burns.\\
Elle a pour sujet la criminalité dans la ville de Baltimore, à travers la vision de ceux qui la vivent au quotidien : policiers, trafiquants en tous genres, politiques, enseignants, journalistes, résidents de Baltimore, etc.
\\
Avec un aspect de quasi-documentaire par son réalisme et son non-manichéisme, la série est acclamée par la critique, bien qu'elle n'ait pas connu un succès commercial important. Elle est souvent considérée comme la meilleure série télévisée jamais diffusée à la télévision, et l'une des fictions les plus abouties dans les années 2000, notamment pour sa représentation réaliste quasi littéraire de la vie urbaine, et son exploration profonde des thèmes socio-politiques de l'Amérique. 
\\
Le tour de force de la série est de s'engager, sur le plan social, en montrant sans détour les pans les plus sombres du décor américain, son revers le plus inavouable, tout en mettant en scène une multitude de points de vue réalistes qui multiplient les questions dérangeantes sans jamais proposer de solution miracle. Il n'y a pas de fausse objectivité rassurante et pas de subjectivité accusatrice sous-jacente, l'épisode ne fait que montrer le plus passivement possible, il en résulte un étrange bourdonnement qui persiste longtemps après sa diffusion.
}{0.5}{0.5}{\item Se repérer sur le cercle trigonométrique
\item Déterminer la mesure principale d'un angle
\item Utiliser les notations d'angle de vecteurs
\item Connaître la définition du cosinus et du sinus d'un nombre réel
\item Connaître les valeurs du cosinus et sinus des angles remarquables
\item Utiliser le cercle trigonométrique pour déterminer des angles associés, leur cosinus et sinus, résoudre des (in)équations
trigonométriques
}

\TITRE{trounoir.eps}{0.6}


\begin{Intro}{Au fil du temps}
Les origines de la trigonom\'etrie remontent aux civilisations d'\'Egypte antique, de M\'esopotamie et de la vall\'ee de l'Indus, 
il y a plus de 4000 ans. Il semblerait que les Babyloniens aient bas\'e la trigonom\'etrie sur un syst\`eme num\'erique \`a base 60.
 Lagadha (-1350 ; -1200) est le premier math\'ematicien \`a utiliser la g\'eom\'etrie et la trigonom\'etrie pour l'astronomie. 
La plupart de ses travaux sont aujourd'hui d\'etruits.
La premi\`ere utilisation de sinus appara\^it dans les sulba Sutras en Inde, entre 800 et 500 avant J.C., o\`u le sinus de
 $ \dfrac{\pi}{4}$ est correctement calcul\'e comme $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ dans un probl\`eme de construction d'un cercle
 de m\^eme aire qu'un carr\'e donn\'e (le contraire de la quadrature du cercle).
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.40, angle=80]{fig2.eps} 
\end{center}
Lorsque qu'on cherche une rue sur un plan de ville, on rep\`ere le rectangle o\`u se trouve cette 
rue gr\^ace \`a une lettre qui d\'efinit une colonne et un nombre qui d\'efinit une ligne du quadrillage 
sur le plan. Les marins ou les g\'eographes rep\`erent un point sur la Terre gr\^ace \`a sa longitude 
et sa latitude. Les astronomes ont besoin, eux, de trois mesures pour rep\'erer un objet spatial, 
par exemple deux angles d\'efinissant une direction et une distance caract\'erisant l'\'eloignement 
de l'objet sur la direction. 
Le rep\'erage est donc indispensable d\`es lors qu'on cherche \`a d\'efinir la position d'un objet dans un espace. Les rep\`eres que nous
 avons utilis\'e jusqu'\`a pr\'esent sont dit cart\'esiens, adjectif cr\'e\'e 
en hommage \`a Descartes (1596 - 1650) math\'ematicien et philosophe fran\c cais qui inventa en 
m\^eme temps que Fermat (1601 - 1665) mais ind\'ependamment de lui, le syst\`eme de coordonn\'ees 
que nous utilisons couramment. Les rep\`eres cart\'esiens utilis\'es jusqu'\`a pr\'esent permettent de 
positionner des points dans un plan. Ils peuvent \^etre compl\'et\'es par une troisi\`eme coordonn\'ee 
permettant de se rep\'erer dans l'espace \`a trois dimensions. Ces rep\`eres ne sont pourtant pas 
les seuls permettant de positionner des objets, nous allons d\'ecouvrir dans ce chapitre comment 
se rep\'erer sur un plan avec un angle et un rayon : gr\^ace aux coordonn\'ees polaires.
\end{Intro}

\newpage
\section{Le cercle trigonométrique}
\subsection{Repérage d'un point sur le cercle}
Une unité de longueur est choisie dans le plan.

\begin{minipage}{10cm}
\begin{defi}Un cercle de rayon $1$, munit d'un sens de rotation, sur lequel est fix\'e un point \og d'origine $I$ \fg est appel\'e 
\underline{cercle trigonom\'etrique}.
\end{defi}
 \end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(2.8,3)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.2,-3.2)(3.2,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline(2.0000,0.0000)(-2.0000,0.0000)
\psline(0.0000,2.0000)(0.0000,-2.0000)
\pscircle(0.0000,0.0000){2.0000}
\uput{0.3000}[0.0000](2.0000,0.0000){I}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,2.0000){J}
\uput{0.3000}[220.0000](0.0000,0.0000){O}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](1.4000,1.4000)
\psline(1.4000,1.4000)(1.3000,1.2000)
\psline(1.4000,1.4000)(1.6500,1.4500)
\uput{0.3000}[0.0000](1.4500,1.4500){$+$}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}

Pour tout le chapitre, on utilisera les éléments de la figure ci-dessus. Ainsi :
\begin{itemize}
 \item on notera $\vec i = \overrightarrow{OI}$ et $\vec j = \overrightarrow{OJ}$
 \item le plan est muni du repère orthonormé $(O,\vec i, \vec j)$ ci-dessus
 \item $\mathscr C$ est le cercle trigonométrique de centre $O$ et d’origine $I$ (donc de rayon 1, et orienté positivement)\\
\end{itemize}

\begin{minipage}{10cm}
\Cadre[Repérage d'un point sur le cercle]{
Il y a trois mani\`eres de rep\'erer un point $M$ sur un cercle :
\begin{itemize}
 \item Par ses coordonn\'ees dans le rep\`ere $(O;\vec i; \vec j)$
 \item Par la mesure de l'angle orient\'e $\widehat{IOM}$
 \item Par la mesure de l'arc orient\'e $\wideparen{IM}$
\end{itemize}
}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
 \psset{xunit=1.5cm , yunit=1.5cm,algebraic=true,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(2.5,2.5)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.2,-3.2)(3.2,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pscustom[linecolor=blue,linewidth=1pt]{\parametricplot{0.0}{1.07989761327778}{0.4*cos(t)+0|0.4*sin(t)+0}}%\lineto(0,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{\parametricplot{0.0}{1.07989761327778}{2*cos(t)+0|2*sin(t)+0}}%\lineto(0,0)\closepath}
\psline(2.0000,0.0000)(-2.0000,0.0000)
\psline(0.0000,2.0000)(0.0000,-2.0000)
\pscircle(0.0000,0.0000){3.0000}
\uput{0.3000}[0.0000](2.0000,0.0000){$I$}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,2.0000){$J$}
\uput{0.3000}[220.0000](0.0000,0.0000){$O$}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=red](0.94,1.76)
\rput[bl](1.1,1.9){$M$}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](1.4000,1.4000)
\psline[linewidth=1pt](1.4000,1.4000)(1.400,1.2000)
\psline[linewidth=1pt](1.4000,1.4000)(1.600,1.400)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](0.94,1.76)(0.94,0)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](0.94,1.76)(0,1.76)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](0,0)(0.94,1.76)
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(2,0)
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,2)
%\rput[bl](1,-0.5){$\vec i$}
%\rput[bl](-0.4,0.9){$\vec j$}
\rput[bl](0.8,-0.25){\blue{$x_M$}}
\rput[bl](-0.7,1.5){\blue{$y_M$}}
\rput[bl](0.4,0.08){\blue{$\widehat{IOM}$}}
\rput[bl](1.9,1){\blue{$\wideparen{IM}$}}
%\uput{0.3000}[0.0000](1.4500,1.4500){$\mathbb{+}$}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
 
\end{minipage}\\



\Rq{Nous allons \'etablir un lien entre ces trois mani\`eres de rep\'erer un point sur le cercle trigonom\'etrique.}


\newpage
\subsection{Enroulement de la droite des réels}

\Act{
Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O,I,J)$ comme sur la figure vidéo-projetée.\\
On considère le \textbf{cercle trigonométrique} $\mathscr C$ de centre $O$.\\
On rappelle qu'un cercle trigonométrique est \textbf{un cercle de rayon $1$, orienté, sur lequel on a fixé une \og origine \fg.}\\
Ici, $\mathscr C$ a donc pour rayon $OI=1$ (unité graphique), son sens de parcours (sens direct) est indiqué 
l'inverse de celui des aiguilles d'une montre et on choisit comme origine $I$.\\
On appelle $\mathscr D$ la droite numérique (ou \textbf{droite des réels}), tangente à $\mathscr C$ en $I$ et 
muni du repère $(I, \overrightarrow{OJ})$. Autrement dit, $\mathscr D$ est graduée dans la même unité que le 
plan et dirigée vers le \og haut \fg. \\
Le point $I$ restant fixé, on \og enroule \fg ensuite $\mathscr D$ sur le cercle $\mathscr C$.\\
En tenant compte de l'orientation de l'enroulement, on associe alors à tout réel :
\begin{itemize}
 \item $t>0$ le point $M$ de $\mathscr C$ tel que $\wideparen{IM}=t$, 
 \item $t<0$ le point $M$ de $\mathscr C$ tel que $\wideparen{IM}=-t$.
\end{itemize}
\textit{On dira qu'à tout réel $t$, on associe le point $M\in\mathscr C$ tel que $\wideparen{IM}=|t|$ 
(\textbf{se dit valeur absolue de} $t$).}
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Faire un schéma du cercle vidéo-projeté, sur lequel vous placerez au mieux les points correspondants aux entiers de $-3$ à $9$.
 \item Que constatez-vous ?
 \item Donner trois réels positifs et un négatifs correspondants au point $I$ sur $\mathscr C$. Même question pour $J$.
       \end{enumerate}
\item Tracer un nouveau cercle trigonométrique, d'unité graphique 4cm et 
placer sur le cercle les points associés aux réels $t$ suivants :
\begin{enumerate}
  \item $0$\quad ;\quad $\pi$\quad; \quad$2\pi$\quad; \quad$-\pi$\quad;\quad $3\pi$\quad; \quad$-5\pi$
 \hfill \textbf{b.} \quad $\dfrac{\pi}{2}$\quad;\quad $\dfrac{3\pi}{2}$\quad; \quad$-\dfrac{\pi}{2}$\quad; \quad$\dfrac{5\pi}{2}$\quad;
\quad $\dfrac{7\pi}{2}$
 \item[\textbf{c.}] $\dfrac{\pi}{4}$\quad; \quad$-\dfrac{\pi}{4}$\quad;\quad $\dfrac{3\pi}{4}$\quad;\quad $-\dfrac{3\pi}{4}$\quad;
\quad $\dfrac{11\pi}{4}$\quad;\quad $-\dfrac{15\pi}{4}$
\end{enumerate}
\item On considère le cercle trigonométrie suivant, partagé en $6$ \og parts \fg égales.
\begin{center}
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=4.0cm,yunit=4.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.1,-1.1)(1.1,1.1)
\pscircle(0,0){4}
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0.5,-0.87)(-0.5,0.87)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0.5,0.87)(-0.5,-0.87)
\psline{->}(0,-1)(0,1)
\psline{->}(-1,0)(1,0)
\rput[bl](0.52,0.89){\darkgray{$A$}}
\rput[bl](0.51,-0.98){\darkgray{$D$}}
\rput[bl](-0.57,0.89){\darkgray{$B$}}
\rput[bl](-0.56,-0.98){\darkgray{$C$}}
\rput[bl](0,-1.08){{$L$}}
\rput[bl](-0.02,1.04){\xdxdff{$J$}}
\rput[bl](-1.08,0.){{$K$}}
\rput[bl](1.05,0.){\xdxdff{$I$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item Déterminer deux réels positifs et deux réels négatifs associés aux points $A$, $B$, $C$ et $D$.
 \item Quels sont les points associés aux réels $\dfrac{9\pi}{3}$\quad;\quad $\dfrac{4\pi}{3}$\quad; \quad$\dfrac{25\pi}{3}$\quad;
 \quad$-\dfrac{7\pi}{3}$\quad; \quad$\dfrac{-25\pi}{3}$ ?
 \item Quelles sont les longueurs des arcs $\wideparen{IA}$, $\wideparen{IB}$, $\wideparen{IC}$ et $\wideparen{ID}$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Ptec{A chaque réel $t$, on associe le point $M$ de $\mathscr C$ tel que $\widehat{IM}=|t|$ (valeur absolue de $t$), selon le principe de l'enroulement
de la droite des réels décrit dans l'activité.\\
Tout point $M$ de $\mathscr C$ est associé à une infinité de réels.\\
Si $t$ est l'un d'entre eux, les autres sont les réels $t+k\times 2\pi$, où $k\in\Z$.\\
Autrement dit, pour tout réel $t$ et tout entier relatif $k$, les points $M(t)$ et $M(t+2k\pi)$ sont confondus sur $\mathscr C$.
}

\begin{minipage}{10cm}
\Dem{Un point $M$ de $\mathscr C$ est notamment associé au réel $t$ tel que $\wideparen{IM}=|t|$.\\
Comme le périmètre du cercle $\mathscr C$ vaut $2\pi R = 2\pi$, le point $M$ est aussi associé aux réels de la forme $t+2k\pi$.
}\\

\Rq{Le point d'abscisse $t+2\pi$ de la droite $\mathscr D$ se retrouve aussi sur le point $M$, c'est aussi le cas du point 
d'abscisse $t-2\pi$ ou encore $t+4\pi$, etc ...
}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
 \begin{center}
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=0.25cm,yunit=0.25cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-12,-11)(11,13)
\pscircle(0,0){2.5}
\psline(10,-11)(10,13)
\parametricplot{0.0}{1.1969172715896446}{1*10*cos(t)+0*10*sin(t)+0|0*10*cos(t)+1*10*sin(t)+0}
%\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{1.1969172715896446}{1*cos(t)+0|1*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=red,linestyle=dashed]{\parametricplot{1.3784501448043294}{2.5650278488693794}{1*6.17*cos(t)+0*6.17*sin(t)+8.82|0*6.17*cos(t)+1*6.17*sin(t)+5.95}}
\parametricplot[linecolor=red]{0.0}{1.1969172715896446}{1*10*cos(t)+0*10*sin(t)+0|0*10*cos(t)+1*10*sin(t)+0}
\rput[tl](8.5,-10){$\mathscr D$}
\psline[linewidth=1pt](6.700,7.4000)(6.700,6.800)
\psline[linewidth=1pt](6.7000,7.4000)(7.30,7.400)
\psline(0,0)(3.65,9.31)
\psline{->}(0,0)(0,10)
\psline{->}(0,0)(10,0)
\psline{->}(0,0)(3.65,9.31)
\psline{->}(10,0)(10,10)
\psline[linecolor=red](10,0)(10,12)
\rput[tl](-10.,7.55){$\mathscr C$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](-1.2,-1.2){$O$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](10,0)
\rput[bl](10.5,-0.3){$I$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](10,10)
\rput[bl](10.5,9.6){$1$}
\rput[bl](5,-1.5){$1$}
\psdots[dotstyle=x](10,12)
\rput[bl](10.5,12){$t$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](3.65,9.31)
\rput[bl](5,9){$M(t)$}
\rput[bl](8,7){\red{$t$}}
\psdots[dotstyle=x,](10,-10)
\rput[bl](10.2,-10.2){$-1$}
\rput[bl](-0.1,10.5){$J$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}

%\vspace*{-5mm}



\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{cercle_trigo.6}
\end{center}

\Rq{
On peut désormais décrire la position d'un point $M$ sur le cercle en donnant l'un des réels qui lui sont associés ou encore la longueur 
de l'arc $\wideparen{IM}$, cependant ce n'est pas la manière la plus simple ...
}


\subsection{Le Radian}

\Act{
\begin{enumerate}
 \item Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O ; I ; J)$ direct, tracer le cercle trigonométrique $\mathscr C$ de centre $O$ 
et d'origine $I$.
 \item Placer au mieux sur $\mathscr C$ les points $K$, $L$, $A$, $B$ et $C$, respectivement associés aux réels
$\pi$, $\dfrac{3\pi}{2}$, $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{\pi}{3}$.
\item Quelles sont les longueurs des arcs $\wideparen{IJ}$, $\wideparen{IK}$, $\wideparen{IA}$, $\wideparen{IB}$ et $\wideparen{IC}$ ?
 \item Et les mesure en degré des angles $\widehat{IOJ}$, $\widehat{IOK}$, $\widehat{IOA}$, $\widehat{IOB}$ et $\widehat{IOC}$ ?
 \item Que constatez-vous ?
\end{enumerate}
}

\textit{En profiter pour expliquer aux élèves comment placer précisément les angles remarquables, ainsi que leurs angles associés.}

\begin{defi}\begin{multicols}{2}
Soit $A$ le point de $\mathscr C$ associé au réel 1. On définit le radian (symbole rad) comme la mesure de l'angle
$\widehat{IOA}$ ainsi construit.\\

Ainsi, la mesure d'un angle $\widehat{IOM}$ en radians est la longueur de son arc associé $\wideparen{IM}$.
\begin{center}
%\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(11,6.5)
\pscustom[linecolor=zzttqq]{\parametricplot{0.0}{0.6073641476410545}{1*10*cos(t)+0*10*sin(t)+0|0*10*cos(t)+1*10*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.6073641476410545}{1*cos(t)+0|1*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\rput[tl](4.84,-0.3){$1$}
\rput[tl](9.8,3.5){$\alpha$}
\rput[bl](-1,-0.3){$O$}
\rput[bl](10.2,-0.3){$I$}
\rput[bl](8.22,5.82){$M$}
\rput[bl](1.53,0.37){$\alpha$ rad}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
\end{defi}

\Rqs{
\begin{multicols}{2}
\item Au collège, le degré comme unité d'angle convenait parfaitement, même pour la trigonométrie (dans un triangle rectangle).
Mais pour mettre en oeuvre des notions qui seront abordées dans les classes ultérieures, il est plus pratique d'utiliser désormais
le radian.
\item Cette définition ne dépend pas de l'unité de longueur choisie. En fait, dans un cercle de rayon $R$, 1 radian est la mesure d'un angle qui intercepte un arc de longueur égale au rayon $R$.
\begin{center}
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(11,10)
\pscustom[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{1.0043052892581679}{1*10*cos(t)+0*10*sin(t)+0|0*10*cos(t)+1*10*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{1.0043052892581679}{1*cos(t)+0|1*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\rput[tl](4.71,-0.3){$R$}
\rput[tl](8.98,5.38){$R$}
\rput[bl](0.2,-0.96){\darkgray{$O$}}
\rput[bl](10.12,0.2){$A$}
\rput[bl](5.58,8.76){$B$}
\rput[bl](1.23,0.64){\qqwuqq{$1 rad$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
}

\begin{prop}
Les mesures d'angles en degrés et en radians sont proportionnelles.
\end{prop}
\Dem{Les longueurs d'arc sont proportionnelles aux angles en degrés.}

\Expls{
Le périmètre de $\mathscr C$ valant $2\pi$, on en déduit facilement qu'un angle plat mesure $\pi$ radians ; un angle droit $\dfrac{\pi}2$ rad.\\
Avec le tableau de proportionnalité suivant, on trouve convertit n'importe quelle mesure.
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
 Mesure en degrés & $180$ & d \\ \hline
 Mesure en radians & $\pi$ & $\alpha$  \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
Ainsi pour convertir $60^{\circ}$ en radian on calcule $\alpha=\dfrac{60\pi}{180}=\dfrac{\pi}3$ rad.\\\\
Pour convertir $\dfrac{5\pi}{6}$ rad en degré, on calcule $d=\dfrac{\frac{5\pi}{6} \times 180}{\pi} = \dfrac{5 \times 180}{6}=5\times 30 = 150^{\circ}$\\
Ou encore on remplace $\pi$ par $180$ dans la mesure d'angle ...
}

\begin{center}
\textbf{Correspondance degré-Radian}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
 mesure en degr\'es & O & $30$ & $45$ & $60$ & 90 & 180 & 270 & 360 \\\hline
 mesure en radians & 0 rad & $ \dfrac{\pi}{6}$ rad & $ \dfrac{\pi}{4} $ rad & $ \dfrac{\pi}{3}$ rad & $ \dfrac{\pi}{2}$ rad 
& $\pi$ rad & $ \dfrac{3\pi}{2}^{} $ rad & $ 2\pi$ \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
  \item Convertir en radians les mesures d'angles exprimées en degrés : $72^{\circ}$, $105^{\circ}$, $50^{\circ}$ et $44^{\circ}$
 \item Convertir en degrés les mesures d'angles exprimées en radians : $\dfrac{7\pi}{24}$, $-\dfrac{5\pi}{18}$, $\dfrac{\pi}{9}$
et $-\dfrac{2\pi}{5}$
 \end{enumerate}
\end{ExoF}



\Rq{
On pourrait désormais décrire la position d'un point $M$ sur le cercle en donnant la valeur de l'angle $\widehat{IOM}$, 
cependant, sans précision supplémentaire, nous aurions le choix entre deux points $M$ ...\\
Il devient donc important de préciser un \og sens \fg pour les angles . On utilise bien sûr le même que celui du cercle.
% et une nouvelle désignation, afin de savoir que l'on tient compte de l'orientation.
}

\Expl{Par exemple, les réels $\dfrac{3\pi}{2}$ et $-\dfrac{\pi}{2}$ sont les mesures d'un même angle orienté en radians.\\
Donner d'autres exemples.\\
Les r\'eels $ \dfrac{7\pi}{5}$ et $ - \dfrac{13\pi}{5}$ sont-ils des mesures d'un m\^eme angle orient\'e en radians ?\\
}

\begin{ExoL}
Repère : n$^{\circ}$ 54-50 p 289
\end{ExoL}

\newpage
\subsection{Mesure Principale d'un angle en radian}
\Act{
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Les r\'eels $\dfrac{13\pi}{4}$ et $-\dfrac{31\pi}4$  sont-ils des mesures d'un m\^eme angle orient\'e en radians ?
\item Même question pour les réels $\dfrac{2011\pi}6$ et $\dfrac{4023\pi}{6}$
 \item Ecrire un algorithme qui demande deux réels $a$ et $b$  
et qui teste s'il s'agit de la mesure d'un même angle orienté en radian.
\end{enumerate}
 \item Soit $r$ un nombre rationnel. On pose $a=r\pi$.
\begin{enumerate}
\item  Donner une méthode de calcul permettant de déterminer la mesure dans l'intervalle $]-\pi ; \pi]$ de l'angle 
correspondant à $a$ en radians.
\item Ecrire un algorithme associé à cette méthode.
\item Programmer cet algorithme.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\begin{prop}[Définition]
Un angle en radian admet une infinit\'ee de mesure mais une seule qui appartient à l'intervalle $]-\pi;\pi]$, 
on dit qu'il s'agit de la \textbf{mesure principale} d'un angle en radian.
\end{prop}


Ci-dessous, quelques mesures principales d'angles en radians sur le cercle trigonom\'etrique (à connaître) : 
\vspace*{-5mm}
\begin{center}
\psset{xunit=4cm , yunit=4cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-1.4)(2.2,1.4)
\def\xmin{-2} \def\xmax{2} \def\ymin{-2} \def\ymax{2}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-2.2)(2.2,2.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pscircle(0.0000,0.0000){4.0000}
\uput{0.3000}[0.0000](1,0){$0$}
\uput{0.3000}[90.0000](0,1){$\dfrac{\pi}{2}$}
\psline[linestyle=dashed](0,-1)(0,0)
\psline[linestyle=dashed](-1,0)(0,0)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](0.7070,0.7070)
\uput{0.3000}[45.0000](0.7070,0.7070){$\dfrac{\pi}{4}$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](0.7070,-0.7070)
\uput{0.3000}[-45.0000](0.7070,-0.7070){$-\dfrac{\pi}{4}$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](-0.7070,0.7070)
\uput{0.3000}[135.0000](-0.7070,0.7070){$\dfrac{3\pi}{4}$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](-0.7070,-0.7070)
\uput{0.3000}[-135.0000](-0.7070,-0.7070){$\dfrac{-3\pi}{4}$}
\psline[linestyle=dashed](0.707,0.707)(-0.7070,-0.707)
\psline[linestyle=dashed](-0.707,0.707)(0.7070,-0.707)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](0.8660,0.5000)
\uput{0.3000}[30.0000](0.8660,0.5000){$\dfrac{\pi}{6}$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](0.8660,-0.5000)
\uput{0.3000}[-30.0000](0.8660,-0.5000){$-\dfrac{\pi}{6}$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](-0.8660,0.5000)
\uput{0.3000}[150.0000](-0.8660,0.5000){$\dfrac{5\pi}{6}$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](-0.8660,-0.5000)
\uput{0.3000}[-150.0000](-0.8660,-0.5000){$\dfrac{-5\pi}{6}$}
\psline[linestyle=dashed](0.866,0.5)(-0.8660,-0.5)
\psline[linestyle=dashed](-0.866,0.5)(0.8660,-0.5)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](0.5000,0.8660)
\uput{0.3000}[60.0000](0.5000,0.8660){$\dfrac{\pi}{3}$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](0.5000,-0.8660)
\uput{0.3000}[-60.0000](0.5000,-0.8660){$-\dfrac{\pi}{3}$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](-0.5000,0.8660)
\uput{0.3000}[120.0000](-0.5000,0.8660){$\dfrac{2\pi}{3}$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](-0.5000,-0.8660)
\uput{0.3000}[-120.0000](-0.5000,-0.8660){$\dfrac{-2\pi}{3}$}
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.866)(-0.5,-0.866)
\psline[linestyle=dashed](-0.5,0.866)(0.5,-0.866)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](-1.0000,0.0000)
\uput{0.3000}[-180.0000](-1.0000,0.0000){$\pi$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](0.0000,-1.0000)
\uput{0.3000}[-90.0000](0.0000,-1.0000){$-\dfrac{\pi}{2}$}
\endpsclip
\uput[dl](0,-0.1){O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Expl{Consid\'erons le point $A$ sur le cercle trigonom\'etrique associ\'e au r\'eel 
$t=\dfrac{13\pi}{4} $. \\
En pla\c cant $A$ sur le cercle on peut facilement trouver la mesure principale de l'angle en radian. \\
Ici, il s'agit de $ \dfrac{13\pi}{4}-4\pi= -\dfrac{3\pi}{4}$.\\

Ou encore, on encadre $\dfrac{13}{4}$ entre deux entiers consécutifs (l'un des deux sera forcément pair) : $3 < \dfrac{13}4 < 4$\\

On en déduit un encadrement de $\dfrac{13\pi}{4}$ par deux multiples consécutifs de $\pi$ :
$ 3 < \dfrac{13}4 < 4 \iff 3\pi < \dfrac{13 \pi}{4} < 4\pi$\\

Ici, on sait donc que la mesure principale de l'angle $\dfrac{13\pi}{4}$ sera dans l'intervalle $]-\pi ; 0]$.\\
\textit{On trouve ainsi le demi-cercle sur lequel se situe $A$, sans avoir à la dessiner.}\\

Or, si $t$ est un angle en radians, tout réel du type $t+2k\pi$  mesure le même angle.\\
De l'inégalité précente on déduit donc que $\dfrac{13\pi}{4}$ désigne le même angle que 
$\dfrac{13\pi}{4} - 4\pi = -\dfrac{3\pi}{4}$ .\\
\textit{On enlève (ou en ajoute) toujours à la mesure de l'angle le multiple de $2\pi$ trouvé dans l'inégalité.}\\

En fait, toutes les mesures d'un même angle s'obtiennent en ajoutant $2k\pi$ o\`u $k\in\Z$. On note alors : 
$$\dfrac{13\pi}{4} =-\dfrac{3\pi}{4} \quad [2\pi] \qquad \qquad \text{(on lit }\og \text{ modulo } 2\pi \fg\text{ )}$$
}

\begin{ExoF}
Sans calculatrice, dire si les r\'eels suivants sont des mesures principales en radians d'angles orientés
$$ \dfrac{7\pi}{5} \qquad \qquad  -\dfrac{13\pi}{5} \qquad \qquad  \dfrac{\pi}{4} \qquad \qquad  -\dfrac{3\pi}{4} 
\qquad \qquad  \dfrac{3\pi}{2} \qquad \qquad  -\dfrac{2\pi}{3} \qquad \qquad  -\dfrac{7\pi}{6} \qquad \qquad  \dfrac{37\pi}{36} $$ 
\end{ExoF}

\begin{ExoL}
Repère : n$^{\circ}$ 45-48 p 288
\end{ExoL}

\newpage
\section{Les angles de vecteurs non nuls}

On conserve les notations précédentes. De plus, $\vec u$ et $\vec v$ désignent deux vecteurs non nuls.

\subsection{D\'efinition}

\Act{\\
\begin{minipage}{10.5cm}
On donne la figure ci-contre :
\begin{enumerate}
 \item Déterminer sur la figure ci-contre des réels associés à chacun des points.\\
\end{enumerate}
L'enroulement de la droite des réels permet de définir des mesures pour les couples de vecteurs unitaires (ie de norme $1$) : \\\\
\textbf{Si $M$ et $N$ sont deux points de $\mathscr C$, associés aux réels $m$ et $n$ respectivement, on définit une mesure du couple 
$\left(\overrightarrow{OM} ; \overrightarrow{ON}\right)$ par la différence $n-m$.}\\\\
Il s'agit en fait ici de la mesure en radians de l'angle orienté $\widehat{MON}$.\\
 \end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
 \begin{center}
 \newrgbcolor{qqccqq}{0 0.8 0}
\newrgbcolor{zzffzz}{0.6 1 0.6}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-7,-6)(6,6)
\pscircle(0,0){3}
\psline[linecolor=qqccqq]{->}(0,0)(2.5,4.33)
\psline[linecolor=qqccqq]{->}(0,0)(-4.33,2.5)
\psline{->}(-5,0)(5,0)
\psline{->}(0,-5)(0,5)
\psline[linecolor=qqccqq]{->}(0,0)(-3.54,-3.54)
\psline[linestyle=dashed](2.5,0)(2.5,4.33)
\psline[linestyle=dashed](-5,0)(0,-5)
\psline[linestyle=dashed](-4.33,2.5)(0,2.5)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-2.31,-2.31)(-2.5,-2.11)(-2.69,-2.31)(-2.5,-2.5)
\rput[bl](0.5,-0.8){$O$}
\rput[bl](5.3,0){$I$}
\rput[bl](0,5.2){$J$}
\rput[bl](-5.7,0){$K$}
\rput[bl](0.,-5.7){$L$}
\rput[bl](0.2,2){$\dfrac12$}
\rput[bl](2.5,-1.5){$\dfrac12$}
\rput[bl](-5,2.7){\darkgray{$B$}}
\rput[bl](2.5,4.6){\darkgray{$A$}}
\rput[bl](-4,-4){\darkgray{$C$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
 \item[\textbf{2.}] Appliquer cette définition pour en déduire des mesures de couples de vecteurs suivants :
\begin{multicols}{4}
 \begin{enumerate}
  \item $\left(\overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OA}\right)$
  \item $\left(\overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OB}\right)$
  \item $\left(\overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OC}\right)$
  \item $\left(\overrightarrow{OJ} ; \overrightarrow{OA}\right)$
  \item $\left(\overrightarrow{OK} ; \overrightarrow{OB}\right)$
  \item $\left(\overrightarrow{OK} ; \overrightarrow{OC}\right)$
  \item $\left(\overrightarrow{OA} ; \overrightarrow{OB}\right)$
  \item $\left(\overrightarrow{OB} ; \overrightarrow{OC}\right)$
  \item $\left(\overrightarrow{OA} ; \overrightarrow{OC}\right)$
  \item $\left(\overrightarrow{OB} ; \overrightarrow{OA}\right)$
  \item $\left(\overrightarrow{OC} ; \overrightarrow{OB}\right)$
  \item $\left(\overrightarrow{OC} ; \overrightarrow{OA}\right)$
 \end{enumerate}
\end{multicols}
%\item[\textbf{3.}] 
\textbf{Que constatez-vous ?}
\item[\textbf{3.}] Déterminer désormais des mesures des angles suivants :
\begin{multicols}{3}
 \begin{enumerate}
  \item $\left(\overrightarrow{AO} ; \overrightarrow{OB}\right)$
  \item $\left(\overrightarrow{AO} ; \overrightarrow{OC}\right)$
  \item $\left(\overrightarrow{CO} ; \overrightarrow{OB}\right)$
    \item $\left(\overrightarrow{OA} ; \overrightarrow{BO}\right)$
  \item $\left(\overrightarrow{OC} ; \overrightarrow{AO}\right)$
  \item $\left(\overrightarrow{OC} ; \overrightarrow{BO}\right)$
    \item $\left(\overrightarrow{AO} ; \overrightarrow{BO}\right)$
  \item $\left(\overrightarrow{CO} ; \overrightarrow{AO}\right)$
  \item $\left(\overrightarrow{CO} ; \overrightarrow{BO}\right)$
 \end{enumerate}
\end{multicols}
%\item[\textbf{5.}] 
\textbf{Que constatez-vous ?}
\item[\textbf{4.}] On souhaite étendre la définition d'angle de vecteurs unitaires à des vecteurs non unitaires.\\
A votre avis, combien mesure les angles suivants :
 \begin{multicols}{3}
 \begin{enumerate}
 \item $\left(\overrightarrow{KL} ; \overrightarrow{OC}\right)$ 
 \item $\left(\overrightarrow{KL} ; \overrightarrow{OA}\right)$ 
 \item $\left(\overrightarrow{KL} ; \overrightarrow{OB}\right)$ 
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
}

\begin{defi}[Angle orienté de vecteurs]
Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs non nuls.\\
On appelle $A$ et $B$ les points tels que $\vec u= \overrightarrow{OA}$ et $\vec v= \overrightarrow{OB}$, avec $O$ le centre
du cercle trigonométrique $\mathscr C$, 
et $A'$ et $B'$ les points d'intersection des demi-droites $[OA)$ et $[OB)$ avec $\mathscr C$.\newline
Si $A'$ est associé au réel $a$ et $B'$ est associé au réel $b$, alors $b-a$ est
une mesure en radians de l'angle orient\'e $(\vec u;\vec v)$.
\end{defi}

\begin{multicols}{2}
 
\begin{center}
 \newrgbcolor{qqccqq}{0 0.8 0}
\newrgbcolor{zzffzz}{0.6 1 0.6}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-8.5,-5)(7.5,6)
\pscircle(0,0){3}
\psline[linecolor=qqccqq]{->}(6,2)(7,4)
\psline[linecolor=qqccqq]{->}(-3,-4.98)(-8,-1.98)
\psline[linecolor=qqccqq]{->}(0,0)(1,2)
\psline[linecolor=qqccqq]{->}(0,0)(-5,3)
\psplot[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=zzffzz]{0}{7.5}{(-0--2*x)/1}
\psplot[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=zzffzz]{-8.5}{0}{(-0--3*x)/-5}
\psline{->}(0,0)(5,0)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{1.1071487177940904}{1*cos(t)+0|1*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(1,1){0}{59.48}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{2.601173153319209}{0.6*cos(t)+0|0.6*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(0.6,0.6){0}{142.1}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{1.1071487177940904}{2.601173153319209}{1.4*cos(t)+0|1.4*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(1.4,1.4){63.43}{146.27}
\rput[bl](-0.5,-0.5){$O$}
\rput[bl](5.08,0.12){$I$}
\rput[bl](6.,3.04){\qqccqq{$\vec u$}}
\rput[bl](-5.34,-3.38){\qqccqq{$\vec v$}}
\rput[bl](1.18,1.9){\darkgray{$A$}}
%\rput[bl](0.64,0.8){\qqccqq{$\vec u$}}
\rput[bl](-4.92,3.12){\darkgray{$B$}}
%\rput[bl](-2.76,1.22){\qqccqq{$\vec v$}}
\rput[bl](2.5,4.52){\darkgray{$A'(a)$}}
\rput[bl](-3.94,2.6){\darkgray{$B'(b)$}}
\rput[bl](1.1,0.38){\qqwuqq{$a$}}
\rput[bl](-0.18,0.72){\qqwuqq{$b$}}
\rput[bl](-1,1.6){\qqwuqq{$b-a$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Rqs{
\item Une mesure de $(\overrightarrow{OA} ; \overrightarrow{OB})$ est en fait une mesure en radians de 
l'angle orient\'e $\widehat{AOB}$ \\
On peut ainsi se passer aisément du cercle trigonométrique pour déterminer des mesures d'angle de vecteur.
\item D\'esormais nous distinguerons angle g\'eom\'etrique (toujours positif, noté avec un \og chapeau \fg) 
et angle orient\'e (dont le signe dépend de
l'orientation du plan, noté souvent comme une angle de vecteurs)
\item On a évidemment : $$(\vec u ; \vec v)=(\overrightarrow{OA} ; \overrightarrow{OB}) = 
(\overrightarrow{OA'} ; \overrightarrow{OB'})= (\overrightarrow{OA} ; \overrightarrow{OB'}) \dots$$
}
\end{multicols}

\Expl{On a la figure suivante, où $ABCD$ est un rectangle direct.
\begin{multicols}{3}
\begin{center}
\underline{Angles g\'eom\'etriques } 
 \newline
$$\widehat{ADB}=\widehat{BDA}=\dfrac{\pi}{3}$$ 
$$\widehat{ADC}=\widehat{CDA}=\dfrac{\pi}{2}$$
$$\widehat{BDC}=\widehat{CDB}=\dfrac{\pi}{6}$$
\newrgbcolor{ffttqq}{1 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\newrgbcolor{qqwwqq}{0 0.4 0}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.3,-0.32)(5.5,3.4)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=ffttqq,opacity=0.1](0,0)(5,0)(5,3)(0,3)
\psline[linecolor=ffttqq](0,0)(5,0)
\psline[linecolor=ffttqq](5,0)(5,3)
\psline[linecolor=ffttqq](5,3)(0,3)
\psline[linecolor=ffttqq](0,3)(0,0)
\psline(0,3)(5,0)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{-1.5707963267948966}{-0.540419500270584}{0.6*cos(t)+0|0.6*sin(t)+3}\lineto(0,3)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,3)(0.6,0.6){-90}{-33.46}
\rput[tl](0.11,2.04){$\qqwwqq{\frac{\pi}{3}}$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0,0)
\rput[bl](0.08,0.08){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](5,0)
\rput[bl](5.08,0.08){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](5,3)
\rput[bl](5.08,3.08){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0,3)
\rput[bl](0.08,3.08){$D$}
\end{pspicture*}
\underline{Angles orient\'es } %(angle entre 2 vecteurs)
\newline
\newline
$(\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DA})=-\dfrac{\pi}{3}$ et $( \overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DB} )=\dfrac{\pi}{3}$\\
$(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DA})=-\dfrac{\pi}{2}$ et $( \overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC} )=\dfrac{\pi}{2}$\\
$(\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC})=\dfrac{\pi}{6}$ et $( \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DB} )=-\dfrac{\pi}{6}$
\end{center}
\end{multicols}
Donner des mesures des angles orientés suivants :
$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$ ; $(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BD}) $ ; $(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{CD})$
}


\begin{defi}
 Un angle de vecteurs a une infinit\'e de mesures, mais une unique dans l'intervalle $]-\pi ; \pi]$, appelée sans surprise \textbf{mesure principale}.
\end{defi}


\Expl{
Sur la figure de l'exemple précédent on aurait pu \'ecrire : 
$$ (\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BD})=\dfrac{11\pi}{6} \qquad\qquad \text{ ou encore } \qquad\qquad ( \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BD} )= \dfrac{-13\pi}{6}$$
Toutes les mesures s'obtiennent en ajoutant $2k\pi$ o\`u $k\in\Z$. On note alors, toujours sans surprise : 
$$ (\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BD})=-\dfrac{\pi}{6} \quad [2\pi] \qquad \qquad \text{(on lit }\og \text{ modulo } 2\pi \fg\text{ )}$$
}

\begin{ExoF}
$MNP$ est un triangle équilatérale direct, ie tel que $(\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{MP})=+\dfrac{\pi}{3}$ et $I$ est le 
milieu de $[NM]$. \\
Faire un schéma de la situation puis lire graphiquement une mesure de chacun des angles ci-dessous :
$$( \overrightarrow{PN}, \overrightarrow{PM}) 
\qquad \qquad ( \overrightarrow{MN}, \overrightarrow{PN}) \qquad \qquad ( \overrightarrow{NM}, \overrightarrow{MP})
 \qquad \qquad ( \overrightarrow{PN}, \overrightarrow{PI})$$
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
$ABCD$ est un carré de centre $O$ direct, ie que si on tourne autour du carré sur son cercle circonscrit dans le sens direct, 
on trouve dans l'ordre nommés les sommets, ou encore on a $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})=+\dfrac{\pi}{2}$.\\
Faire un schéma de la situation puis lire graphiquement  :
\begin{enumerate}
 \item Deux mesure de l'angle $( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$
 \item les mesures principales des angles 
$$( \overrightarrow{CD}, \overrightarrow{CA})\qquad \qquad  ( \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{OB})\qquad \qquad
( \overrightarrow{DO}, \overrightarrow{AC})\qquad \qquad ( \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{AC})\qquad \qquad
( \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{CD})$$ $$ ( \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{AD})\qquad \qquad
( \overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OB}) \qquad \qquad ( \overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OA})
 \qquad \qquad ( \overrightarrow{DA}, \overrightarrow{CO}) $$
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\subsection{Propri\'et\'es}

\begin{prop}[Relation de Chasles, admise]
Soit $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ trois vecteurs non nuls. On a :
$$ (\vec u, \vec v)+ (\vec v, \vec w)= (\vec u, \vec w) \quad [2\pi]$$
\end{prop}

\underline{Illustration} :
\begin{center}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-0.4)(4.5,3)
\psline{->}(0,0)(3,0)
\psline{->}(0,0)(4,3)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.6435011087932844}{1.2*cos(t)+0|1.2*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(1.2,1.2){0}{34.56}
\psline{->}(0,0)(-2,1)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.6435011087932844}{2.677945044588987}{0.8*cos(t)+0|0.8*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(0.8,0.8){36.87}{149.97}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{2.677945044588987}{1.4*cos(t)+0|1.4*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(1.4,1.4){0}{151.46}
\rput[bl](1.46,-0.38){$\vec u$}
\rput[bl](1.62,1.54){$\vec v$}
\rput[bl](-1.42,0.3){$\vec w$}
\end{pspicture*}
\end{center}


\Expl{Sur le cercle trigonom\'etrique $\mathscr C$ de centre $O$, munie du rep\`ere orthonorm\'ee $(0,I,J)$, les points $A$ et $B$ sont tels que : 
$$ \widehat{IOA}=45^\circ \qquad \text{ et } \widehat{IOB}=-120^\circ$$
Donner une mesure en radians des angles orient\'es :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $( \overrightarrow{OI} , \overrightarrow{OA} )$
\item $( \overrightarrow{OI} , \overrightarrow{OB} )$
\item $( \overrightarrow{OB} , \overrightarrow{OA} )$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\begin{coro}Pour tous vecteurs non nuls $\vec u$ et $\vec v$ et pour tous $k$ et $k'$ non nuls et de même signe, on a :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} )=-( \overrightarrow{v} , \overrightarrow{u} )\quad [2\pi]$
\item $(- \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} )=( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} )+\pi \quad [2\pi]$\\
$(\overrightarrow{u} , -\overrightarrow{v} )=( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} )+\pi \quad [2\pi]$
\item $( k\overrightarrow{u} , k'\overrightarrow{v} )=( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} )\quad [2\pi]$
\item  $( -\overrightarrow{u} , -\overrightarrow{v} )=( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} )\quad [2\pi]$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{coro}

\underline{Illustrations de cas particuliers} :
\begin{multicols}{3}
 \begin{center}
\textbf{Angles Opposés :}
$$(\vec u ; \vec v)=-(\vec v ; \vec u) \quad [2\pi]$$
  \newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-3)(9.5,3.5)
\psline{->}(0,0)(3,0)
\psline{->}(0,0)(4,3)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.6435011087932844}{1.2*cos(t)+0|1.2*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(1.2,1.2){0}{34.56}
\psline{->}(5,0)(8,0)
\psline{->}(5,0)(9,3)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.6435011087932844}{1.2*cos(t)+5|1.2*sin(t)+0}\lineto(5,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{<-}(5,0)(1.2,1.2){0}{34.56}
\rput[bl](1.46,-0.5){$\vec u$}
\rput[bl](1.62,1.55){$\vec v$}
\rput[bl](6.6,-0.5){$\vec u$}
\rput[bl](6.64,1.55){$\vec v$}
\end{pspicture*}\\

\textbf{Angles supplémentaires :}
$$(-\vec u ; \vec v)=(\overrightarrow{u} , -\overrightarrow{v} )= (\vec u ; \vec v)+ \pi \quad [2\pi]$$
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.5,-2)(4.5,3.5)
\psline{->}(0,0)(3,0)
\psline{->}(0,0)(4,3)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.6435011087932844}{1.2*cos(t)+0|1.2*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(1.2,1.2){0}{34.56}
\psline{->}(0,0)(-3,0)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{3.141592653589793}{6.9266864159728705}{1.6*cos(t)+0|1.6*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(1.6,1.6){180}{395.14}
\rput[bl](1.6,-0.5){$\vec u$}
\rput[bl](1.62,1.54){$\vec v$}
\rput[bl](-1.6,0.2){$-\vec u$}
\end{pspicture*}\\

\textbf{Angles égaux :}
$$(-\vec u ; -\vec v)=(\vec u ; \vec v) \quad [2\pi]$$
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.5,-3.5)(4.5,3.5)
\psline{->}(0,0)(3,0)
\psline{->}(0,0)(4,3)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.6435011087932844}{1.2*cos(t)+0|1.2*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(1.2,1.2){0}{34.56}
\psline{->}(0,0)(-3,0)
\psline{->}(0,0)(-4,-3)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{3.141592653589793}{3.7850937623830774}{1.2*cos(t)+0|1.2*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(1.2,1.2){180}{214.56}
\rput[bl](1.46,-0.7){$\vec u$}
\rput[bl](1.62,1.54){$\vec v$}
\rput[bl](-1.6,0.2){$-\vec u$}
\rput[bl](-2.2,-2){$-\vec v$}
\end{pspicture*}

 \end{center}

\end{multicols}

\Dem[avec la relation de Chasles, mais relativement évidente avec la définition]{
\begin{enumerate}
\item D'apr\`es la relation de Chasles on a : 
\qquad $ (\vec u,\vec v)+(\vec v,\vec u)=(\vec u,\vec u) \quad [2\pi]$\\
Or $ (\vec u,\vec u) =0\quad [2\pi]$ \qquad\qquad D'o\`u : $\qquad (\vec u,\vec v)+(\vec v,\vec u)=0 \quad [2\pi]$, et finalement :
$$  ( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} )=-( \overrightarrow{v} , \overrightarrow{u} )\quad [2\pi]$$
\item D'apr\`es la relation de Chasles on a : 
\qquad $ (-\vec u,\vec v)+(\vec v,\vec u)=(-\vec u,\vec u) \quad [2\pi]$\\
Or $ (-\vec u,\vec u) =\pi\quad [2\pi]$ \qquad\qquad D'o\`u : $\qquad (-\vec u,\vec v)+(\vec v,\vec u)=\pi \quad [2\pi]$, et finalement :
$$( -\overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} )=( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} )+\pi \quad [2\pi]$$
On procède de même pour montrer que $( \overrightarrow{u} , -\overrightarrow{v} )=( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} )+\pi \quad [2\pi]$
\end{enumerate}
}
\DemS{
\begin{enumerate}
 \item[\textbf{3.}] En utilisant deux fois la relation de Chasles on a :
$$ (k\vec u,k'\vec v)=(k\vec u,\vec u)+(\vec u,\vec v)+(\vec v; k'\vec v) \quad [2\pi]$$
\underline{Cas 1} : $ k$ et $k'$ sont positifs \newline
Dans ce cas, les vecteurs $k\vec u$ et $\vec u$ ont le m\^eme sens et donc : $(k\vec u,\vec u)=0\quad [2\pi] $. \\
De m\^eme $(\vec v; k'\vec v)=0 \quad [2\pi] $, et donc :
$$ (k\vec u,k'\vec v)=(\vec u,\vec v) \quad [2\pi]$$ 
\underline{Cas 2} : $ k$ et $k'$ sont négatifs \newline
Dans ce cas, les vecteurs $k\vec u$ et $\vec u$ n'ont pas le m\^eme sens et donc : $(k\vec u,\vec u)=\pi\quad [2\pi] $. \\
De m\^eme $(\vec v; k'\vec v)=\pi \quad [2\pi] $, et donc :
\begin{eqnarray*}
 (k\vec u,k'\vec v)&=&2\pi + (\vec u,\vec v) \quad [2\pi]\\
&=& (\vec u,\vec v) \quad [2\pi]
\end{eqnarray*}
\item[\textbf{4.}] On applique la propri\'et\'e pr\'ec\'edente pour $k=-1$
\end{enumerate}
}

\Expl{Sachant que $(\vec u ; \vec v)=\dfrac{3\pi}{4}$, déterminer la mesure principale de :
\qquad $(2\vec u ; \vec v) \qquad \qquad (-\vec v ; 2\vec u) \qquad \qquad (3\vec v ; -2\vec u) 
$}


\Expl{
$ABC$ est un triangle de sens direct (ie que $( \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC} )$ est de mesure positive). \\
D\'emontrer que la somme de ses angles orient\'es est \'egales \`a $\pi$.}
\Sol{
Notons $\theta$ la somme des trois angles dans le sens direct. On a :
 $$\theta=( \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC} )+( \overrightarrow{BC} , \overrightarrow{BA} )+( \overrightarrow{CA} , \overrightarrow{CB} )$$
Comme $ ( \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC} )=( \overrightarrow{BA} , \overrightarrow{CA} ) \quad [2\pi]$,
 on peut \'ecrire : 
$$ \theta=( \overrightarrow{BC} , \overrightarrow{BA} )+( \overrightarrow{BA} , \overrightarrow{CA} )+
( \overrightarrow{CA} , \overrightarrow{CB} ) \quad [2\pi] \iff 
 \theta=( \overrightarrow{BC}  , \overrightarrow{CB} )\quad [2\pi]=\pi  \quad [2\pi]$$
}

\Rq{On peut désormais décrire la position d'un point $M$ sur le cercle grâce à la mesure de l'angle $(\overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OM})$.
}


\begin{ExoF}
ABCD est un carr\'e tel que $( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})=\dfrac{\pi}{2}$\newline
$AEB$ et $BCF$ sont des triangles \'equilat\'eraux tels que $ (\overrightarrow{EA}, \overrightarrow{EB})=\dfrac{\pi}{3}$ et  $ (\overrightarrow{FC}, \overrightarrow{FB})=\dfrac{\pi}{3}$
\newline
On se propose de d\'emontrer que les points D, E et F sont align\'es en utilisant les angles orient\'es
\begin{enumerate}
 \item Faire un schéma de la situation.
\item \begin{enumerate}
\item D\'emontrer que le triangle ADE est isoc\`ele
\item D\'emontrer que $ (\overrightarrow{ED}, \overrightarrow{EA})=\dfrac{5\pi}{12}$ 
\end{enumerate}
\item D\'eterminer une mesure de $ (\overrightarrow{BE}, \overrightarrow{BF})$ et en d\'eduire une mesure de $ (\overrightarrow{EB}, \overrightarrow{EF})$
\item \begin{enumerate}
\item Utiliser la relation de Chasles pour calculer une mesure de $ (\overrightarrow{ED}, \overrightarrow{EF})$
\item Que peut-on en déduire sur les points $D$ , $E$ et $F$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
$A$, $B$, $C$ et $D$ sont des points tels que :
$( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})=-\dfrac{\pi}{12}\quad [2\pi]$ et $( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})=\dfrac{5\pi}{12}\quad [2\pi]$.\\
Démontrer que $ACD$ est rectangle.
\end{ExoF}

\Exos[Repère]{%Exercices corrigé p 271\\
n$^{\circ}$ 59 p 289 (figures)\\
n$^{\circ}$ 65-66 p 289 (propriétés)
} 

\section{La trigonom\'etrie}
\subsection{D\'efinition du cosinus et sinus d'un nombre r\'eel et d'un angle orienté}
\begin{defi}Soit $x\in\R$ et $M$ son point associé sur le cercle $\mathscr C$ .\\
On appelle \textbf{cosinus} de $x$, noté $\cos(x)$ l'abscisse de $M$ dans le repère $(O; \overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OJ})$.\\
On appelle \textbf{sinus} de $x$, noté $\sin(x)$ son ordonnée dans le même repère.\\
Le cosinus et le sinus d'un angle orienté sont le cosinus et sinus d'une quelconque de ses mesures. 
\end{defi}

\begin{multicols}{2}
\begin{center}
 \psset{xunit=1.5cm , yunit=1.5cm,algebraic=true,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(2.5,2.5)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.2,-3.2)(3.2,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pscustom[linecolor=blue,linewidth=1pt]{\parametricplot{0.0}{1.07989761327778}{0.4*cos(t)+0|0.4*sin(t)+0}}%\lineto(0,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{\parametricplot{0.0}{1.07989761327778}{2*cos(t)+0|2*sin(t)+0}}%\lineto(0,0)\closepath}
\psline(2.0000,0.0000)(-2.0000,0.0000)
\psline(0.0000,2.0000)(0.0000,-2.0000)
\pscircle(0.0000,0.0000){3.0000}
\uput{0.3000}[0.0000](2.0000,0.0000){$I$}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,2.0000){$J$}
\uput{0.3000}[220.0000](0.0000,0.0000){$O$}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=red](0.94,1.76)
\rput[bl](1.1,1.9){$M$}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](1.4000,1.4000)
\psline[linewidth=1pt](1.4000,1.4000)(1.400,1.2000)
\psline[linewidth=1pt](1.4000,1.4000)(1.600,1.400)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](0.94,1.76)(0.94,0)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](0.94,1.76)(0,1.76)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](0,0)(0.94,1.76)
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(2,0)
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,2)
%\rput[bl](1,-0.5){$\vec i$}
%\rput[bl](-0.4,0.9){$\vec j$}
\rput[bl](0.8,-0.25){\darkgray{$\cos(x)$}}
\rput[bl](-0.7,1.5){\darkgray{$\sin(x)$}}
\rput[bl](0.15,0.08){\blue{$x$}}
\rput[bl](1.9,1){\blue{$x$}}
%\uput{0.3000}[0.0000](1.4500,1.4500){$\mathbb{+}$}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}

\Rqs{\item On vérifie aisément que cet définition coïncide avec celle donnée dans le triangle rectangle pour un angle $\theta$ tel que $0<\theta<\frac{\pi}{2}$.
\item On dispose désormais d'une troisème méthode pour décrire la position d'un point $M$ sur le cercle $\mathscr C$.}
\end{multicols}

\Expl{
Le nombre réel $\dfrac{\pi}2$ est associé au point $J$ de coordonnées $(0,1)$ dans le repère $(O; \overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OJ})$.\\
Donc $\cos \dfrac{\pi}2 = 0$ et $\sin \dfrac{\pi}2 = 1$
}\\

\Ptec[Immédiates]{
Pour tout nombre réel $x$ on a :
$$-1 \leq \cos(x) \leq 1\quad \text{ et } \quad  -1 \leq \sin(x) \leq 1$$
 $$\cos(x+2k\pi)=\cos(x) \quad  \text{ et } \quad  \sin(x+2k\pi)=\sin(x) \quad  \text{ o\`u } k\in\Z$$
 $$\cos^2(x)+\sin^2(x)=1 \quad \text{ (Pythagore)} $$
}

\Rq{On dispose désormais d'une troisème méthode pour décrire la position d'un point $M$ sur le cercle $\mathscr C$.}

\Expl{On donne $ \cos \dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$. On cherche la valeur de  $ \sin \dfrac{\pi}{12}$.\\
On sait que $\cos^2 \dfrac{\pi}{12} + \sin^2 \dfrac{\pi}{12} = 1 \iff \sin^2 \dfrac{\pi}{12} = 1- \left(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)^2$
Donc $$\sin^2 \dfrac{\pi}{12}=1-\dfrac{6+2\sqrt{12}+2}{16}= \dfrac{16-8-2\times 2\sqrt{3}}{16}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}$$
De plus $0 < \dfrac{\pi}{12} < \dfrac{\pi}2$ donc $\sin \dfrac{\pi}{12} >0$. On en déduit :
$$\sin \dfrac{\pi}{12} = \sqrt{\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}} = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$$
On peut également montrer que $ \sin \dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ est une autre écriture du sinus, plus simple .\\

}


\Exos{
n$^{\circ}$ 81 p 291
}
\newpage

\subsection{Valeurs remarquables et angles associés}

Le tableau ci-dessous rappelle les valeurs remarquables du cosinus et du sinus pour des valeurs particuli\`eres d'un angle 
orienté $\theta$ (en radians). Il est connaître par coeur.
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{*{7}{|>{\centering}p{1.5cm}} |}
\hline 
$\theta$  & $0$ & $\dfrac{\pi}{6}$ & $\dfrac{\pi}{4}$ &  $\dfrac{\pi}{3}$ & $\dfrac{\pi}{2}$ & $\pi$  \tabularnewline\hline
$\cos \theta$ & 1 & $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ & $\dfrac{1}{2}$ & $0$  & $-1$ \tabularnewline\hline
$\sin \theta$ & 0 & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ & $1$ & $0$  \tabularnewline\hline
%$\tan \theta $ & 0 & $ \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ & 1 & $\sqrt{3}$ & n'existe pas & 0 \tabularnewline \hline
\end{tabular}
\end{center}


\Dem{
\begin{multicols}{2}
Pour calculer les valeurs de $\sin \dfrac{\pi}{4}$ et de $\cos \dfrac{\pi}{4}$ on 
se place dans le quadrilatère $OHMK$ ci-contre, de diagonale $OM=1$.\\

On sait que $OHMK$ est un carré, car il possède 4 angles droits et que l'angle $(\overrightarrow{OH} ; \overrightarrow{OM})$ mesure $\dfrac{\pi}{4}$.\\
On appelle $a$ la mesure de son côté.\\

Par définition du cosinus et sinus d'un nombre réel, on a $a=\cos \dfrac{\pi}4=\sin\dfrac{\pi}4$. Cherchons cette valeur.\\
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-11,-1.2)(11,11)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](0,0)(7.07,0)(7.07,7.07)(0,7.07)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](7.07,0.71)(6.36,0.71)(6.36,0)(7.07,0)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,6.36)(0.71,6.36)(0.71,7.07)(0,7.07)
\pscircle(0,0){4}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.7853981633974482}{1.5*cos(t)+0|1.5*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(1.5,1.5){0}{40.38}
\psline(0,0)(7.07,7.07)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(7.07,0)
\psline[linecolor=zzttqq](7.07,0)(7.07,7.07)
\psline[linecolor=zzttqq](7.07,7.07)(0,7.07)
\psline[linecolor=zzttqq](0,7.07)(0,0)
\psline{->}(0,-1)(0,10)
\psline{->}(-10,0)(10,0)
\rput[bl](-0.8,-0.8){$O$}
\rput[bl](10.2,-0.2){$I$}
\rput[bl](7.35,7.22){$M$}
\rput[bl](2,0.2){\qqwuqq{$\dfrac{\pi}4$}}
\rput[bl](0.13,10.19){$J$}
\rput[bl](6.8,-0.8){$H$}
\rput[bl](-0.9,7){$K$}
\rput[bl](3.5,-0.7){\darkgray{$a$}}
\rput[bl](-1.2,3.5){\darkgray{$a$}}
\rput[bl](3.4,4){\darkgray{$1$}}
\end{pspicture*}
\end{center} 
\end{multicols}
Dans le triangle $OHM$ rectangle en $H$, d'après le théorème de Pythagore, on a :
$$OM^2=OH^2 + MH^2 \iff 1^2 =2 a^2 + a^2 \iff a^2 = \dfrac{1}{2} \stackrel{a>0}{\iff} a = \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $$
Donc \fbox{$\cos \dfrac{\pi}{4} =\sin \dfrac{\pi}{4}= \dfrac{\sqrt{2}}{2} $}.%\\
}
\DemS{
\begin{multicols}{2}
Pour calculer les valeurs du cosinus et du sinus de $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{6}$,
 on se place dans le triangle $OIM$ ci-contre, de côté $OM=1$. \\

On cherche $OH=\cos\dfrac{\pi}3$ et $OK=\sin\dfrac{\pi}3$.\\

On sait que le triangle $OIM$ est équilatéral car\\
 $OM=OI$ et que $(\overrightarrow{OH} ; \overrightarrow{OM})$ mesure $\dfrac{\pi}{3}$.
\begin{center}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-11,-1.2)(11,11)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](0,0)(10,0)(5,8.66)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](5,0.71)(4.29,0.71)(4.29,0)(5,0)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,7.95)(0.71,7.95)(0.71,8.66)(0,8.66)
\pscircle(0,0){4}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{-2.0943951023931957}{-1.5707963267948966}{2*cos(t)+5|2*sin(t)+8.66}\lineto(5,8.66)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(5,8.66)(2,2){-120}{-94.62}
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(10,0)
\psline[linecolor=zzttqq](10,0)(5,8.66)
\psline[linecolor=zzttqq](5,8.66)(0,0)
\psline{->}(0,0)(0,10)
\psline{->}(0,0)(10,0)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{1.0471975511965976}{1*cos(t)+0|1*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(1,1){0}{55.38}
\psline(5,8.66)(5,0)
\psline(0,8.66)(5,8.66)
\psline(0,0)(-10,0)
\psline(0,0)(0,-10)
\rput[bl](-0.8,-0.8){$O$}
\rput[bl](10.42,-0.2){$I$}
\rput[bl](-0.17,10.3){$J$}
\rput[bl](5.14,8.86){$M$}
\rput[bl](1.3,0.5){\qqwuqq{$\dfrac{\pi}3$}}
\rput[bl](4.77,-0.8){$H$}
\rput[bl](-0.9,8.62){$K$}
\rput[bl](2.,4.62){$1$}
\rput[bl](3.9,4.7){\qqwuqq{$\dfrac{\pi}6$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
Donc sa hauteur $[MH]$ est aussi sa médiane. D'où $H$ est le milieu de $[OI]$ et\quad  $OH=$\fbox{$\cos\dfrac{\pi}3=\dfrac12$}.\\ 
De plus, d'après le théorème de Pythagore dans le triangle $OHM$ rectangle en $H$ on a :
$$OM^2 = OH^2 + MH^2 \iff 1^2 = \left(\dfrac12\right)^2 + OK^2 \iff OK^2 = 1-\dfrac14 = \dfrac34 \stackrel{OK>0}{\iff} OK = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
Donc \fbox{$\sin\dfrac{\pi}3 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$}.\\

De plus la hauteur $[MH]$ du triangle $OIM$ est aussi sa bissectrice donc $(\overrightarrow{MO} ; \overrightarrow{MI})=\dfrac{\pi}6 \quad [2\pi]$.\\
On en déduit dans le triangle $OHM$ rectangle  en $H$ que \quad \fbox{ $\cos\dfrac{\pi}6 = \dfrac{MH}{OM} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ }\quad  et \quad 
\fbox{$\sin\dfrac{\pi}6 = \dfrac{OH}{OM} = \dfrac{1}{2}$ }
}


\begin{prop}$\forall \theta \in \R$ on a :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\cos \theta=\cos (-\theta)$
\item $ \sin (-\theta)=-\sin \theta$
\item $ \cos (\pi-\theta)=-\cos \theta$
\item $ \sin (\pi-\theta)=\sin \theta$
\item $ \cos (\pi+\theta)=-\cos \theta$
\item $ \sin(\pi+\theta)=-\sin \theta$
\item $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin \theta$
\item $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos \theta$
\item $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)=-\sin \theta$
\item $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)=\cos \theta$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{prop}

\Dem{On obtient cette propri\'et\'e par une lecture astucieuse du cercle trigonom\'etrique :
Soit $M$ le point associé à un réel $x$. Dans le repère $(O ; \overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OJ})$ on a 
$M(\cos(x) ; \sin(x))$.  \\
Grâce à de nombreuses propriétés de symétrie sur le cercle $\mathscr C$, 
on peut déduire les coordonnées des points associés aux réels  $-x$, $\pi-x$, $\pi+x$, $\dfrac{\pi}{2}-x$ et $\dfrac{\pi}{2}+x$
(donc la valeur de leur cosinus et sinus).\\
Sur le schéma ci-dessous, ces points permettent de définir ce que l'on appelle des angles associés.
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-10,-5.5)(10,7)
\pscircle(0,0){5}
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(4.57,2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(-4.57,2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(-4.57,-2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(4.57,-2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(2.02,4.57)
%\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(-2.02,4.57)
\psplot[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red]{-4.5}{4.5}{(-0--0.71*x)/0.71}
\psline{->}(-5,0)(5,0)
\psline{->}(0,-5)(0,5)
\rput[lt](5.5,-1.8){\fcolorbox{black}{yellow}{\parbox{2.9 cm}{$\cos(-x)=\cos(x)\\ \sin(-x)=-\sin(x)$}}}
\rput[lt](-9.7,-1.8){\fcolorbox{black}{yellow}{\parbox{3.4 cm}{$\cos(\pi+x)=-\cos(x)\\ \sin(\pi+x)=-\sin(x)$}}}
\rput[lt](-9.7,2.7){\fcolorbox{black}{yellow}{\parbox{3.4 cm}{$\cos(\pi-x)=-\cos(x)\\ \sin(\pi-x)=\sin(x)$}}}
\rput[lt](3.5,6.5){\fcolorbox{black}{yellow}{\parbox{3.4 cm}{$\cos\left(\dfrac{\pi}2-x\right)=\sin(x)\\ \sin\left(\dfrac{\pi}2-x\right)=\cos(x)$}}}
%\rput[lt](-6.5,6.5){\fcolorbox{black}{yellow}{\parbox{3.4 cm}{$\cos\left(\dfrac{\pi}2+x\right)=-\sin(x)\\ \sin\left(\dfrac{\pi}2+x\right)=\cos(x)$}}}
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red](-4.57,2.02)(4.57,2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red](4.57,2.02)(4.57,-2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red](4.57,-2.02)(-4.57,-2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red](-4.57,-2.02)(-4.57,2.02)
\rput[bl](-0.3,-0.68){$O$}
\rput[bl](5.2,-0.56){$I$}
\rput[bl](4.84,2.14){$x$}
\rput[bl](0.16,5.1){$J$}
\rput[bl](4.84,-2.2){$-x$}
\rput[bl](-5.6,2.16){$\pi-x$}
\rput[bl](-5.6,-2.2){$\pi+x$}
\rput[bl](2.1,4.7){$\dfrac{\pi}{2}-x$}
%\rput[bl](-2.38,4.7){$\dfrac{\pi}{2}+x$}
\end{pspicture*}
\end{center}
}

\Expl{Simplifier les expressions suivantes : 
$\cos (-\pi-\theta)$, $\sin\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)$, $\cos^2(-x)+\sin^2(\pi-x)$
}

\newpage
\begin{multicols}{2}
\Expl{
Grâce aux angles associés, trouver les valeurs des cosinus et sinus des angles suivants :
$$\dfrac{3\pi}4 \qquad \qquad \dfrac{5\pi}4 \qquad \qquad -\dfrac{\pi}4 \qquad \qquad \dfrac{7\pi}4 $$
$$-\dfrac{\pi}3 \qquad \qquad \dfrac{2\pi}3 \qquad \qquad -\dfrac{2\pi}3 \qquad \qquad \dfrac{5\pi}3$$
$$\dfrac{5\pi}6 \qquad \qquad \dfrac{11\pi}6 \qquad \qquad -\dfrac{\pi}6 \qquad \qquad -\dfrac{5\pi}6 $$
}

\begin{center}
\psset{xunit=3.7cm , yunit=3.7cm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-1.2)(1.2,1.3)
\def\xmin{-2} \def\xmax{2} \def\ymin{-2} \def\ymax{2}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-2.2)(2.2,2.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pscircle(0.0000,0.0000){3.70000}
\uput{0.3000}[0.0000](1.0000,0.0000){0}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,1.0000){$\dfrac{\pi}{2}$}
\uput{0.3000}[180.0000](-1.0000,0.0000){$\pi$}
%\uput{0.3000}[-90.0000](0.0000,-1.0000){$-\frac{\pi}{2}$}
\psline(1.0000,0.0000)(-1.0000,0.0000)
\psline(0.0000,1.0000)(0.0000,-1.0000)
\uput{0.3000}[30.0000](0.8600,0.5000){$\dfrac{\pi}{6}$}
\psline(0.8600,0.5000)(-0.8600,-0.5000)
\uput{0.3000}[45.0000](0.7070,0.7070){$\dfrac{\pi}{4}$}
\psline(0.7070,0.7070)(-0.7070,-0.7070)
\uput{0.3000}[60.0000](0.5000,0.8600){$\dfrac{\pi}{3}$}
\psline(0.5000,0.8600)(-0.5000,-0.8600)
\psline(-0.7070,0.7070)(0.7070,-0.7070)
\psline(-0.8600,0.5000)(0.8600,-0.5000)
\psline(-0.5000,0.8600)(0.5000,-0.8600)
	
\endpsclip
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.09,0.86)(0.5,0.86)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.09,0.707)(0.707,0.707)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.09,0.5)(0.86,0.5)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](0.86,-0.09)(0.86,0.5)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](0.707,-0.09)(0.707,0.707)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](0.5,-0.09)(0.5,0.86)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.5,-0.86)(0.5,-0.86)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.707,-0.707)(0.707,-0.707)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.86,-0.5)(0.86,-0.5)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.86,0.5)(-0.86,-0.5)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.707,0.707)(-0.707,-0.707)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.5,0.86)(-0.5,-0.86)
\uput{0.3000}[-90.0000](0.5000,0.0000){$\frac{1}{2}$}
\uput{0.3000}[-90.0000](0.7070,0.0000){$\frac{\sqrt{2}}{2}$}
\uput{0.3000}[-90.0000](0.8600,0.0000){$\frac{\sqrt{3}}{2}$}
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](0.86,-0.22)(0.86,-0.5)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](0.707,-0.22)(0.707,-0.707)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](0.5,-0.22)(0.5,-0.86)
\uput{0.3000}[180.0000](0.000,0.5000){$\frac{1}{2}$}
\uput{0.3000}[0.0000](0.0,0.707){$\frac{\sqrt{2}}{2}$}
\uput{0.3000}[180.0000](0.0,0.8600){$\frac{\sqrt{3}}{2}$}
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.15,0.86)(-0.5,0.86)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.19,0.707)(-0.707,0.707)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.19,0.5)(-0.86,0.5)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}


\begin{ExoF}
Exprimer \`a l'aide de $\sin(x)$ et $\cos(x)$ les expressions suivantes :
\begin{itemize}
 \item $A=\cos(x+\pi)-\cos(-x)+5\cos(x)$
 \item $B=\sin(\pi-x)+2\sin(x+2\pi)+\sin(x+3\pi)$
 \item $C=\sin(\pi+x)\cos(\pi-x)-\sin(\pi-x)\cos(\pi+x)$
 \item $D=\sin(x+11\pi)+\sin(11\pi-x)-\cos(11\pi-x)$
\end{itemize}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Soit $a=\sin\left(\dfrac{\pi}7\right)$ . Exprimer en fonction de $a$ :
$$\sin\left(-\dfrac{\pi}7\right) \qquad \qquad \sin\left(\dfrac{8\pi}7\right) \qquad \qquad \sin\left(\dfrac{6\pi}7\right)
\qquad \qquad \cos\left(\dfrac{5\pi}{14}\right)$$
\end{ExoF}

\begin{ExoL}
 n$^{\circ}$ 75-82-83 p 291
\end{ExoL}

\subsection{\'Equations trigonom\'etriques}

\Act{\\
\textbf{Partie A : Equation $\cos x = a$}
\begin{enumerate}
 \item Soit l'équation $\cos x = \dfrac12$ à résoudre dans $\R$.
\begin{enumerate}
 \item Placer sur le cercle trigonométrique les points $M$ et $M'$ d'abscisse $\dfrac12$
\item Déterminer les mesures principales des angles $(\overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OM})$ et $(\overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OM'})$.\\
En déduire l'ensemble des solutions dans $]-\pi ; \pi]$ de l'équation $\cos x = \dfrac12$.
\item Résoudre dans $\R$ cette équation.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item Par une méthode analogue, résoudre dans $\R$ l'équation $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}2$.
 \item En déduire les solutions dans $[0; 2 \pi[$ de cette équation.
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item Examiner le cas des équations $\cos x = 1.5$ et $\cos x = -3$.
 \item Donner une condition sur $a$ pour que l'équation $\cos x = a$ puisse admettre des solutions.
      \end{enumerate}
\item Soit l'équation $\cos x =0.25$.
\begin{enumerate}
       \item Sur le cercle trigonométrique, placer les images des solutions de l'équation.
\item On note $\theta$ la solution de cette équation dans $[0; \pi[$.\\
Exprimer en fonction de $\theta$ les solutions de l'équation $\cos x = 0.25$ sur $\R$.
\item Résoudre cette équation dans $[0;2\pi[$.\\
Donner, à l'aide de la calculatrice des valeurs approchées de ces solutions à $10^{-4}$ près.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie B : Equation $\sin x = a$}
\begin{enumerate}
 \item En suivant la même méthode que dans la partie A, résoudre l'équation $\sin x = \dfrac12$ dans $]-\pi ; \pi]$ puis dans $\R$.
 \item Même question pour $\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}2$. Donner ensuite les solutions de cette équation dans $[0;2\pi[$.
 \item Soit l'équation $\sin x = 0.3$. On note $\alpha$ la solution de cette équation dans $\left]-\dfrac{\pi}2 ; \dfrac{\pi}2 \right]$.\\
Exprimer en fonction de $\alpha$ les solutions sur $\R$ de l'équation $\sin x = 0.3$.\\
\end{enumerate}
}

Le cercle trigonométrique et la configuration des angles associés nous permettent de résoudre des équations 
du type $\cos x = \cos a$ et $\sin x = \sin a$ où $a$ est un réel connu.

\begin{prop}
L'équation $\cos x = \cos a$ où $a\in\R$ admet pour solutions les nombres réels $x=a+2k\pi$ et $x=-a+2k'\pi$ où $k$ et $k'$ sont des entiers relatifs.\\
L'équation $\sin x = \sin a$ où $a\in\R$ admet pour solutions les nombres réels $x=a+2k\pi$ et $x=\pi-a+2k'\pi$ où $k$ et $k'$ sont des entiers relatifs.
\end{prop}

\Expl{
Résoudre dans $]-\pi; \pi]$, puis dans $\R$ et enfin dans $[0;2\pi[$ les équations suivantes :
$$\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \qquad \qquad \sin x = -\dfrac{1}{2} \qquad \qquad \cos (x) = \sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)  
 \qquad \qquad \cos (2x) = \dfrac{1}{2}   \qquad \qquad \sin \left(x-\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} 
$$
}


\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
  \item Par lecture sur le cercle trigonométrique, déterminer les réels $t$ de $]-\pi; \pi]$ tels que $\cos(t)=-\dfrac12$
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $\cos(t)=-\dfrac12$.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item $\cos(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 
\item $\sin(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
\item $\cos(x)=-1$
\item $\sin(x)=0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
Dans chaque cas, donner les solutions de l'intervalle $[2\pi ; 5\pi[$
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
\`A l'aide d'une figure, r\'esoudre les \'equations et in\'equations suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item $\cos(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ pour $x\in[0;2\pi[$
\item $\sin(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ pour $x\in[-\pi;\pi[$
\item $\cos(x)\geq \dfrac{1}{2}$ pour $x\in[-\pi;\pi[$
\item $\sin(x)<\dfrac{1}{2}$ pour $x\in[0;2\pi[$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Par lecture sur le cercle trigonométrique, déterminer les réels $t$ de $]-\pi; \pi]$ puis ceux de $[0;2\pi[$ tels que
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
 \item $-\dfrac12\leq \sin(t) \leq \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 
\item $\cos(t)\leq 0$ 
\item $1-2\sin(t)>0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
On consid\`ere l'\'equation $(E)$ : $\sin x=\cos \dfrac{\pi}{3}$
\begin{enumerate}
\item R\'esoudre dans $\R$ l'\'equation $(E)$
\item R\'esoudre dans $]-\pi;\pi]$ l'\'equation $(E)$
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoL}
 n$^{\circ}$ 113-131-133-134-141 p 295
\end{ExoL}

\newpage


\subsection{Cercles trigonométriques qui résume l'essentiel}

Voici deux cercles trigonom\'etriques qui r\'esument l'essentiel :

 
 \begin{center}
\includegraphics[scale=1.5]{cercle_complet.1}
\end{center}


 \begin{center}
 \psset{linecolor=blue, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\newrgbcolor{yellow}{.8 .82 .86}
\psset{unit=6.00cm}
\pspicture*(-1.6500,-1.6500)(1.7000,1.7000)
\psset{linewidth=0.1250pt}
\psset{linecolor=green}
\psline(0.0000,0.0000)(0.4157,0.2400)
\psline(0.5629,0.3250)(0.7015,0.4050)
\psline(0.7881,0.4550)(0.8660,0.5000)
\psline(0.0000,0.0000)(0.3394,0.3394)
\psline(0.4596,0.4596)(0.5728,0.5728)
\psline(0.6435,0.6435)(0.7071,0.7071)
\psline(0.0000,0.0000)(0.2400,0.4157)
\psline(0.3250,0.5629)(0.4050,0.7015)
\psline(0.4550,0.7881)(0.5000,0.8660)
\psline(0.0000,0.0000)(-0.2200,0.3811)
\psline(-0.3250,0.5629)(-0.3750,0.6495)
\psline(-0.4600,0.7967)(-0.5000,0.8660)
\psline(0.0000,0.0000)(-0.3111,0.3111)
\psline(-0.4596,0.4596)(-0.5303,0.5303)
\psline(-0.6505,0.6505)(-0.7071,0.7071)
\psline(0.0000,0.0000)(-0.3811,0.2200)
\psline(-0.5629,0.3250)(-0.6495,0.3750)
\psline(-0.7967,0.4600)(-0.8660,0.5000)
\psline(0.0000,0.0000)(-0.3811,-0.2200)
\psline(-0.5802,-0.3350)(-0.6409,-0.3700)
\psline(-0.7881,-0.4550)(-0.8660,-0.5000)
\psline(0.0000,0.0000)(-0.3111,-0.3111)
\psline(-0.4738,-0.4738)(-0.5233,-0.5233)
\psline(-0.6435,-0.6435)(-0.7071,-0.7071)
\psline(0.0000,0.0000)(-0.2200,-0.3811)
\psline(-0.3350,-0.5802)(-0.3700,-0.6409)
\psline(-0.4550,-0.7881)(-0.5000,-0.8660)
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 \epigraphe{La physique est bien trop dure pour les phycisiens}{David Hilbert}{mathématicien} 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours
\end{document}