\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Variables al\'eatoires}
\newcommand{\Cl}{1S}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

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\setcounter{NumLecon}{1}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\Chacha{wire.eps}{The Wire}{David Simon}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{
Sur écoute (The Wire) est une série télévisée américaine, créée par David Simon et Ed Burns.\\
Elle a pour sujet la criminalité dans la ville de Baltimore, à travers la vision de ceux qui la vivent au 
quotidien : policiers, trafiquants en tous genres, politiques, enseignants, journalistes, résidents de 
Baltimore, etc.
\\
Avec un aspect de quasi-documentaire par son réalisme et son non-manichéisme, la série est acclamée par la 
critique, bien qu'elle n'ait pas connu un succès commercial important. Elle est souvent considérée comme la 
meilleure série télévisée jamais diffusée à la télévision, et l'une des fictions les plus abouties dans les 
années 2000, notamment pour sa représentation réaliste quasi littéraire de la vie urbaine, et son 
exploration profonde des thèmes socio-politiques de l'Amérique. 
\\
Le tour de force de la série est de s'engager, sur le plan social, en montrant sans détour les pans les 
plus sombres du décor américain, son revers le plus inavouable, tout en mettant en scène une multitude de 
points de vue réalistes qui multiplient les questions dérangeantes sans jamais proposer de solution miracle. Il n'y a pas de fausse objectivité rassurante et pas de subjectivité accusatrice sous-jacente, l'épisode ne fait que montrer le plus passivement possible, il en résulte un étrange bourdonnement qui persiste longtemps après sa diffusion.
}{0.5}{0.5}{
\item Déterminer et exploiter la loi d'une variable aléatoire
 \item Connaître les formules d'espérance, variance et écart-type d'une variable aléatoire
 \item Interpréter ces caractéristiques 
}

\TITRE{des.eps}{0.8}



\begin{Intro}{Au fil du temps}
Alors que les êtres humains se sont intéressés à la géométrie depuis la nuit des temps, et qu’une première 
présentation rigoureuse ( les mathématiciens disent axiomatique ) en a été proposée trois siécles avant JC par le 
grec Euclide, il a fallu attendre le 
XVI$^e$ siècle pour qu'on s'intéresse enfin aux probabilités, et encore était-ce pour aider les princes à améliorer 
leurs gains au jeu (c'est d'ailleurs pourquoi on en a gardé le vocabulaire). \newline

Parmi toutes les définitions possibles du hasard, nous en retiendrons deux qui ont influencé la théorie des 
probabilités :
\begin{itemize}
\item pour certains, tout a une cause, et le hasard n'est le reflet que de l'ignorance que nous avons des lois de la 
Nature. Cet esprit souffla particulièrement au XVIII ème siècle au moment où Laplace posa les bases d'une première 
théorisation des probabilités. 
Les probabilités sont alors déterminées a priori, par des considérations non expérimentales. Par exemple, un dé a 
six faces, donc, on peut poser 
d’avance que l’événement \og obtenir 5 \fg\, a une probabilité de $\dfrac16$. Cette symétrie, cette \og
géométrie du hasard \fg\, selon les 
termes de Pascal, permet de calculer sans ressentir le besoin de recourrir à l’expérience. 
Elle implique la notion centrale d'équiprobabilité : une probabilité est égale au rapport du nombre de cas 
favorables sur le nombre de cas possibles. \newline
Cette conception peut apparaître assez naïve : il est illusoire de penser qu’un dé puisse être parfaitement 
équilibré, mais doit-on être gêné pour autant ? 
\item pour d’autres, le hasard constitue notre univers, i.e qu'il n'est pas qu'une abstraction mathématiques mais 
une réalité physique. 
La théorie du chaos mise en forme par René Thom en 1955 montre en 
effet que dans certaines situations, on aura beau observer un phénomène pendant un temps très long, on ne pourra 
prévoir son évolution. De même en physique quantique, la connaissance du passé et du présent ne permettent pas 
de prévoir mieux des états possibles futurs. 
\end{itemize}
Alors, le hasard, une réalité physique ou une invention mathématiques ?
Au lieu de s’opposer, ces deux visions se complètent et il faut les avoir en tête.
Ces deux notions ont en commun de postuler que l’issue de l’expérience (le jeté d’un dé)
est indépendant de l’observateur, mais ceci peut ne plus être vrai dans certains domaines, comme par exemple 
l’économie ou la physique quantique.\\

Dans ce chapitre, nous allons revoir les bases des probabilités, à savoir la construction de modèles
pour décrire des expériences aléatoires, ainsi que le vocabulaire et les propriétés de base. 
Le besoin d'avoir une méthode systématique de modélisation est justifié 
par le fait que certains résultats nous semblent parfois intuitivement 
évidents mais sont en réalité faux, comme en témoignent les problèmes d'introduction ci-dessous.\\
Ensuite, nous découvrirons les variables aléatoires, qui associent des résultats 
d'expériences aléatoires à des variables telles qu'un gain éventuel. Nous apprendrons alors à déterminer certains paramètres
de ces expériences, telles que le gain que l'on peut espérer gagner ou le risque d'un jeu,
sans avoir à le réaliser.
\end{Intro}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 0. Position du pb
%\newpage


\section{Rappels au travers d'exercices}
\subsection{Notion de hasard et modélisation}
%\subsubsection{Problèmes d'introduction}

\Pbl{A votre avis, quelle est la probabilité que dans un groupe de 35 personnes indépendantes, deux personnes aient leur 
anniversaire le même jour de l'année ?  Dans un groupe de 70 personnes ? \newline 
A votre avis, combien doit-on réunir de personnes pour avoir au moins une chance sur deux que deux personnes de ce groupe
aient leur anniversaire le même jour de l'année ? 
} 

\Sol{
Respectivement : $\simeq 81 \%$, $\simeq 99 \%$, 23 personnes. En fait à partir de $57$ personnes, 
la probabilité dépasse $99\%$ !
}


\Pbl{Un jeu t\'el\'evis\'e se d\'eroule de la mani\`ere suivante : il y a trois portes, derri\`ere l'une d'entre elles
se trouve $10 000\euro$ et rien derri\`ere les deux autres. Un candidat choisit au hasard l'une des trois. 
Ensuite le pr\'esentateur \'elimine une des deux mauvaises portes, tout en conservant celle choisie par le candidat. 
Le candidat peut alors conserver son choix ou le changer. 
\newline 
Que vaut-il mieux faire pour le candidat, changer ou conserver son choix ? 
}\\\\

\Pbl{
Au XVI$^e$ siècle, le Grand Duc de Toscane demanda au vénérable Galilée pourquoi il était plus difficile d'obtenir 9 que 10 
au jeu de passe-dix (jeu consistant à jeter 3 dés et à faire plus que 10), même s'il n'y a dans les deux cas que 6 
combinaisons pour les obtenir. \\
La grande expérience du Duc en matière de jeu lui avait permis de remarquer ce phénomène, alors que théoriquement, 
\og sur le papier \fg, il aurait dû y avoir la même fréquence d’apparition des deux nombres, puisqu’il y a dans 
chaque cas 6 manières de les obtenir. \\
Proposer une explication à ce phénomène.
}\\



\textbf{\underline{Objectifs} :} 
\begin{itemize}
 \item Etablir une discussion au sein de la classe et éveiller la curiosité, 
 \item Percevoir les intuitions de chacun (il n'est pas prévu de les faire répondre rigoureusement, 
simplement de trouver des pistes de solution),
 \item Rappeler ce qu'est une modélisation mathématique et constater son utilité,
 \item Rappeler le vocabulaire ainsi que quelques bases sur les probabilités.\\
\end{itemize}
 

\Cadre[Conclusion]{
Lors de la \textbf{modélisation} d'une expérience aléatoire, on est amené à choisir successivement :
\begin{itemize}
 \item Un \textbf{univers}, souvent noté $\Omega$ (ensemble contenant au moins toutes les issues possibles de l'expérience)
 \item Des parties de cet univers (appelé \textbf{événements})
 \item Une \textbf{loi de probabilité} sur cet univers, souvent présentée sous forme de tableau.\\
\textit{Lorsque toutes les issues d'une expérience aléatoire ont même probabilité, on dit qu'il y a \textbf{équiprobabilité} ou que 
la loi de probabilité est \textbf{équirépartie}.}
\end{itemize}
}


\Rq{
Il existe des expériences aléatoires qui comportent une infinité d'issues :
\begin{itemize}
 \item Choisir au hasard un entier naturel $\Omega = \N$ (ce type d'ensemble est dit \textit{infini dénombrable})
 \item Choisir un nombre premier au hasard : $\Omega=\{\text{Nombres premiers}\}$ (\textit{infini dénombrable})
 \item Choisir au hasard un réel entre 0 et 1 : $\Omega=[0;1]$ (\textit{infini non dénombrable})
\end{itemize}

\textbf{Dans tout ce chapitre, à partir de maintenant, $\Omega$ désignera un ensemble \textit{fini}, 
de cardinal $n$.}
}

\subsection{Loi de probabilité}

\begin{ExoF}
Considérons un dé truqué où tous les nombres ont les mêmes chances d'apparitions sauf $1$ et $2$ qui 
apparaîssent deux fois plus. 
On notera $a$ la probabilité d'apparition de la face $6$.
\begin{enumerate}
 \item Etablir la loi de probabilité de cette expérience sous forme d'un tableau.
\item Calculer la probabilité de l'événement $A=$\og obtenir un résultat inférieur ou égal à 4 \fg.
\item Calculer la probabilité de l'événement $B=$\og obtenir un nombre premier \fg.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\textbf{\underline{Objectifs} :} Rappeler les bases sur les lois de probabilités

\Sol{
\begin{enumerate}
 \item La loi de probabilité convenant à cette expérience est telle que : 
$$ P(1)=P(2)=2a \quad \text{ et } P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=a$$
Comme   $\sum_{i=1}^{6} P(i)=1$ \quad on a $2a+2a+a+a+a+a=1\Longleftrightarrow 8a=1\Longleftrightarrow a=\dfrac{1}{8}$
\newline
Au final, on peut résumer la loi de probabilité que l'on choisira pour modéliser cette expérience dans le 
tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{2cm}|}
\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} Eventualité & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & Total \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} Probabilité & $ \dfrac{1}{4} $ & $ \dfrac{1}{4} $ & $ \dfrac{1}{8} $ & $ \dfrac{1}{8} $ & $ \dfrac{1}{8} $ & $ \dfrac{1}{8}  $ & $1$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item $P(A)=P({1,2,3,4})=P(1)+P(2)+P(3)+P(4) = \dfrac14 + \dfrac14 + \dfrac18 + \dfrac18 = \dfrac34$
\item $P(B)=P({2,3,5})= P(2)+P(3)+P(5)= \dfrac14 + \dfrac18 + \dfrac18 = \dfrac12$
\end{enumerate}
}

\begin{defi}
 Définir une loi de probabilité $P$ sur $\Omega $ c'est associer à chaque issue de $\Omega$ un nombre 
$p_i\in [0;1]$ de sorte que :
\begin{itemize}
  \item $\overset{n}{\underset{i=1}{\begin{Large}\Sigma \end{Large}}} p_i=p_1+p_2+\dots+p_n=1$
 \item La probabilité d'un événement $A$, notée $P(A)$, est la somme des probabilités des 
événements élémentaires qui le composent.
\end{itemize}
\end{defi}


\Rqs{
%\item Les nombres $p_i$ sont les probabilités des événements élémentaires $\omega_i$. On a $p_i=P\left({\omega_i}\right)$.
%\item L'univers peut contenir des événements impossibles, à partir du moment où l'on définit la loi $P$ de
%telle sorte que leur probabilité soit nulle.
\item On a $P(\Omega)=1$ et $P(\emptyset)=0$
 \item  Pour tout événement $A$, on a $0\leq P(A) \leq 1$.
\item \underline{Loi des Grands Nombres} :\\
On considère une issue d'une expérience aléatoire, de probabilité $p$.\\
Quand on répète un grand nombre de fois l'expérience,
la fréquence de réalisation de l'issue se stabilise aux environs de $p$. 
}



\subsection{Théorie des ensembles et propriétés}

\begin{ExoF}
On dispose de deux urnes. Dans la première notée $U1$, il y a 5 boules Rouges et 3 boules Noires. 
Dans la seconde notée $U2$, il y a 4 Rouges et 6 Noires. \\
On tire au hasard une boule dans $U1$. Si elle est Rouge, sans la remettre, on en pioche une deuxième 
dans la même urne. Si elle est Noire, on pioche une deuxième boule dans $U2$.
\begin{enumerate}
 \item Modéliser l'expérience à l'aide d'un arbre.
 \item Ecrire sous forme d'ensemble les événements suivants, puis déterminer leur probabilité :\\
A : \og Obtenir deux boules Noires \fg \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad 
C : \og Obtenir deux boules de la même urne \fg\\
B:\og Obtenir deux boules de même couleur \fg
 \item Définir en français les événements suivants, puis déterminer leur probabilité :
\begin{multicols}{5}
 \begin{enumerate}
  \item $A\cap C $
 \item $A\cup C$
\item  $\overline{A}$
 \item    $A\cap B $
  \item  $A\cup B $
\item  $\overline{B}$
 \item  $B\cap C $
  \item  $B\cup C $
\item  $\overline{C}$
 \end{enumerate}
\end{multicols}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}



\textbf{\underline{Objectifs} : } 
Utiliser les arbres de probabilité vu en seconde et travailler sur les ensembles.




\begin{center}
\newcolumntype{C}[1]{>{\center}m{#1}}
\begin{tabular}{|C{4cm}|C{4cm}|C{4cm}|C{4cm}|} \hline 
$A\cap B$ & $A\cup B$  & $\overline{A}$ &  $A\cap B = \emptyset$ \tabularnewline\hline
\textbf{Intersection de $A$ et $B$ :} Eléments communs de $A$ et $B$
 & \textbf{Réunion de $A$ et $B$ : } Eléments de $A$ ou $B$ (voire les deux)
& \textbf{Complémentaire de $A$ :} Eléments de $\Omega$ non dans $A$
& \textbf{ $A$ et $B$ sont disjoints} : Aucun élément commun à $A$ et $B$ \tabularnewline\hline
 \begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.50,0.2) circle (1cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.5,-0.1) circle (0.8cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)}
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleO; 
\begin{scope} 
\clip \cercleA; 
\draw[color=black,fill=red] \cercleB; 
\end{scope} 
\node at (-1,1) {$\Omega$};
\node at (-0.9,0) {$B$};
\node at (0.7,0.7) {$A$};
\end{tikzpicture}
 &
\begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.5,0.2) circle (1cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.5,-0.1) circle (0.8cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)} 
\draw[color=black,fill=yellow] \cercleA; 
\draw[color=black,fill=yellow] \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB;
\draw[color=black] \cercleO; 
\node at (-1,1) {$\Omega$};
\node at (-0.9,0) {$B$};
\node at (0.7,0.7) {$A$};
\end{tikzpicture} 
&\begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.50,0.2) circle (1cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)}
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleO; 
\draw[color=black,fill=blue!50] \cercleO; 
\begin{scope} 
\clip \cercleA; 
\draw[color=black,fill=white] \cercleO; 
\end{scope} 
\node at (-1,1) {$\Omega$};
\node at (0.7,0.7) {$A$};
\node at (-0.9,-0.5) {$\overline{A}$};
\end{tikzpicture}
 & \begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.6,0.5) circle (0.9cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.7,-0.7) circle (0.7cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)}
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleO; 
\node at (-1,1) {$\Omega$};
\node at (-0.9,-0.5) {$B$};
\node at (0.7,0.9) {$A$};
\end{tikzpicture}
\tabularnewline\hline
 \end{tabular}
\end{center}


\Rq{On a toujours
$$\emptyset \subset A \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad A\cup \overline{A}=\Omega \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 
A\cap \overline{A}=\emptyset$$
}

%\begin{ExoL}
% Repère n$^{\circ}$ 24 p 196 (symboles)
%\end{ExoL}


%\subsection{Quelques propriétés}



\Ptec{Si deux événements $A$ et $B$ sont \textbf{incompatibles}, alors la probabilité de leur réunion est égale à la somme 
de leurs probabilités :
$$ \text{Si } A\cap B=\emptyset \text{ alors }P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$}

\Dem{Si l'un des événements $A$ et $B$ est l'ensemble vide, alors la relation précédente est évidente.\newline
Dans le cas contraire, $P(A)$ est la somme des probabilités des éléments de $A$ et $P(B)$ est la somme des probabilités des éléments de $B$. Puisque $A$ et $B$ sont disjoints, $A\cup B$ contient exactement tous les éléments de $A$ et tous ceux de $B$. Par conséquent $P(A)+P(B)$ est égal à la somme des probabilités des élements de $A\cup B$, i.e $P(A\cup B)$}

\Propc{Pour tous événements $A$ et $B$ de $\Omega$ on a :
$$P(\emptyset)=0 \qquad \qquad \qquad P(\overline{A})=1-P(A) 
\qquad \qquad \qquad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$$
}

\Dem{
\begin{enumerate}
\item  $$1=P(\Omega)=P(\emptyset \cup \Omega) = P(\emptyset) + P(\Omega) = P(\emptyset) +  1 $$
D'où $P(\emptyset) =0$.
 \item $$1=P(\Omega)=P(A \cup \overline{A})=P(A)+P(\overline{A})$$
D'où $P(\overline{A})=1-P(A)$
 \item Tout repose sur ces découpages en événements disjoints deux à deux :
\begin{multicols}{2}
   $$ A =  \left( A\setminus B \right)\cup \left(A \cap B  \right)$$
$$ B =  \left( B\setminus A \right)\cup \left(A \cap B  \right)$$
$$A \cup B =  \left( A\setminus B \right)\cup \left(A \cap B  \right) \cup \left( B \setminus A \right)$$
\begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.5,0.2) circle (1.2cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.5,-0.3) circle (1cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)} 
\draw[color=black,fill=red] \cercleA; 
\draw[color=black,fill=yellow] \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleO; 
\node at (-1,1) {$\Omega$};
\node at (-0.8,-0.75) {$B\setminus A$};
\node at (0.7,0.7) {$A\setminus B $};
\begin{scope} 
\clip \cercleA; 
\draw[color=black,fill=orange] \cercleB; 
\end{scope} 
\node at (-0.1,-0.1) {$A\cap  B $};
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB;
\end{tikzpicture} 
\end{multicols}
\end{enumerate}
Ainsi 
\begin{eqnarray*}
P(A) + P(B) - P(A\cap B) & = & P\bigg(\left( A\setminus B \right)\cup \left(A \cap B  \right)\bigg) + P\bigg( \left( B\setminus A \right)\cup \left(A \cap B  \right) \bigg) - P(A\cap B)\\
& = &  P\bigg(A\setminus B \bigg)+ P\bigg(A \cap B  \bigg) + P\bigg( B\setminus A \bigg)+P\bigg(A \cap B  \bigg) - P(A\cap B)\\
& = & P\bigg(A\setminus B \bigg)+ P\bigg(A \cap B  \bigg) + P\bigg( B\setminus A \bigg)\\
& = & P \bigg(\left( A\setminus B \right)\cup \left(A \cap B  \right) \cup \left( B \setminus A \right) \bigg) \\
& = & P(A\cup B)
\end{eqnarray*}
D'où $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$.
}


%\begin{ExoF}
%Lors d'une épidémie, $4\%$ de la population d'une île est atteinte par un virus. On met en place un test 
%biologique qui devrait être négatif si la personne n'est pas contaminée.\\
%On a observé les résultats suivants :
%\begin{itemize}
% \item Quand la personne est contaminée, le test est positif dans $99\%$ des cas.
% \item Quand la personne n'est pas contaminée, le test est négatif dans $97\%$ des cas.
%\end{itemize}
%On voudrait savoir la confiance à placer dans ce test.\\
%On considère les événements suivants :
%\begin{itemize}
% \item A : \og La personne est contaminée \fg
% \item B : \og La personne a un test positif \fg
%\end{itemize}
%\begin{enumerate}
% \item Modéliser la situation à l'aide d'un arbre.
% \item Déterminer la probabilité $p$ que le test donne un résultat faux.
 %\item Le test est positif, quelle est la probabilité que la personne soit contaminée ?
%\end{enumerate}
%\end{ExoF}



%\begin{ExoF}
%On souhaite répondre à la question suivante : dans une même classe, y a-t-il plus d'une chance sur deux pour qu'au moins deux élèves de la classe
%aient la même date d'anniversaire ?\\
%On considérera une classe de $35$ élèves et, pour simplifier, on dira qu'une année comporte 365 jours.
%\begin{enumerate}
% \item Combien existe-t-il de listes différentes contenant $30$ dates d'anniversaire (identiques ou non) ? %\\
%%\textit{On pourra raisonner à l'aide d'un arbre, sans toutefois le réaliser !}
%\item Notons $A$ l'événement \og au moins deux élèves de la classe ont la même date d'anniversaire \fg.
%\begin{enumerate}
% \item Exprimer en français l'événement $\overline{A}$.
%\item Quel est le nombre de cas favorables à $\overline{A}$ ?%\\
%%\textit{On pourra à nouveau raisonner à l'aide d'un arbre.}
%\item Répondre à la question posée en début d'exercice.
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%\end{ExoF}

\begin{ExoL}
\textbf{Repère} : n$^{\circ}$ 27 p 197 (algobox + aire sous parabole) 
\end{ExoL}

\newpage
\section{Variable aléatoire}

\subsection{Définition}
\Act{
L'éducation coûte trop cher. Afin de réaliser des économies, le
gouvernement syldave  a décidé de se passer à la fois de
correcteurs et d'élèves. Tout est géré dans les bureaux du
ministère, en si\-mulant sur odinateur le lancé d'un dé pour chaque élève virtuel, 
le but étant d'obtenir une moyenne nationale
satisfaisante à présenter aux investisseurs étrangers qui se
rueront en Syldavie pour profiter d'une main d'\oe uvre aussi
qualifiée.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Préciser l'univers $\Omega$ de cette expérience.
	\item Déterminer la probabilité $p$ de l'événement A : \og  Obtenir un nombre impair \fg
       \end{enumerate}
 \item On convient que lorsque le candidat virtuel jette un dé virtuel~: s'il sort un 6, il a 20, s'il
tombe sur un autre numéro pair il a 14, s'il tombe sur un numéro impair, il a 5.\\
On désigne par $X$ le procédé qui, selon la simulation, associe à chaque face la note d'un élève.
\begin{enumerate}
 \item Compléter $X(6)= \dots$, $X(4)= \dots $, $X(5)= \dots$.\\
  Quel \og objet mathématique \fg \, reconnaissez-vous dans $X$ ?
 \item Quel est l'univers, noté $X(\Omega)$, de cette nouvelle expérience aléatoire ? 
 \item On note $(X=5)$ l'événement \og L'élève obtient la note $5$ \fg\\
Quel lien existe-t-il entre A et $(X=5)$ ? En déduire $P(X=5)$.
\item On note $x_i$ les différentes valeurs prises par $X$.\\
Compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $x_i$ & $5$ &  &  & Total  \tabularnewline\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $P(X=x_i)$ &  &  &  & \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
Doit-on s'étonner du résultat de la case Total ?
\end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
        \item Quelle moyenne nationale peut espérer obtenir le ministre ? 
	\item Cette moyenne nationale est-elle une moyenne ?
	\item Cette moyenne nationale sera-t-elle effectivement atteinte~?
        \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\textbf{\underline{Objectifs} :} 
\begin{itemize}
 \item Introduire la notion de variable aléatoire, 
 \item Etablir la loi de probabilité d'une variable aléatoire,
 \item Introduire la notion d'espérance et la critiquer.
 \end{itemize}


\begin{defi}
On appelle \textbf{variable aléatoire} toute fonction d'un univers $\Omega$ à valeurs dans $\R$, notée en général $X$.\\
Autrement dit, définir une variable aléatoire sur un univers c'est associer à chaque issue un réel, 
appelé de manière générale \og gain \fg, pouvant être positif, négatif ou nul. 
\end{defi}


%\Expl{On lance trois pièces de monnaie. Le jeu qui consiste à 
%gagner $1$ $\euro$ chaque fois que $F$ apparaît et à perdre $1$ $\euro$ chaque fois que $P$ apparaît.\\
%La fonction $X$ qui, à chaque issue, associe le gain (positif ou négatif) correspondant, 
%est une variable aléatoire sur $\Omega$.
%On a : \\
%$X(PPP)=-3$, \quad $X(PPF)=X(PFP)=X(FPP)=-1$, \quad $X(PFF)=X(FFP)=X(FPF)=1$ \quad
%et \quad $X(FFF)=3$.
%}


\begin{defi}[et Proposition \textit{Admise}]
Avec les notations précédentes, si $x_1, x_2, \dots , x_m$ désignent les valeurs prises par $X$, on note $(X=x_i)$ l'événement \og la variable 
aléatoire $X$ prend la valeur $x_i$ \fg .\\
La \textbf{loi de probabilité} d'une variable aléatoire $X$ est la fonction de 
$\{x_1, x_2, \dots , x_m\}$ dans $[0;1]$, qui à chaque gain $x_i$ associe le nombre $P(X=x_i)$.
\end{defi}

\Rqs{\item Il s'agit bien d'une loi de probabilité sur $\{x_1, x_2, \dots , x_m\}$. Toutes les propriétés
rappelées dans le I) sont donc encore vraies.
\item On représente en général cette loi à l'aide d'un tableau du type :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{2cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} Valeurs $x_i$ & $x_1$ & $x_2$ & $\dots$ & $x_m$  & Total \tabularnewline\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $P(X=x_i)$ & $ p_1$ & $ p_2 $ & $ \dots $ & $ p_m $  & $1$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}

\textbf{On utilisera désormais toutes ces notations.}
}

%\Expl{Dans l'exemple ci-dessus, la loi de probabilité du gain $X$ est résumée dans le tableau suivant :}
%\begin{table}[h]
%\center
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{2cm}|}
%\hline
%\rule[-1ex]{0pt}{4ex} gain $x_i$ & $-3$ & $-1$ & $1$ & $3$  & Total \tabularnewline\hline
%\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $P(X=x_i)$ & $ \dfrac{1}{8}$ & $ \dfrac{3}{8} $ & $ \dfrac{3}{8} $ & $ \dfrac{1}{8} $  & $1$\tabularnewline\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%\end{table}

\Expl{
Les derniers syldaves fonctionnaires touchant un salaire pour leur travail
coûtent encore trop cher à l'état. Un nouveau système de
rémunération en neurones a été mis au point :\\
Le fonctionnaire doit chaque mois verser un impôt de $1\,000$
neurones à l'état puis il lance un dé. S'il sort un $6$, il
touche $3\,000$ neurones. Dans les autres cas, l'état ne lui verse rien.\\
On appelle $X$ la variable aléatoire sur $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ qui, à chaque issue associe le gain
(positif ou négatif) en neurones d'un fonctionnaire. On a :\\
$$X(1)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)=-1000 \qquad \text{ et } \qquad X(6)=2000 $$
La loi de probabilité du gain $X$ est résumée dans le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{2cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} gain $x_i$ & $-1000$ & $2000$ & Total \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $P(X=x_i)$ & $ \dfrac{5}{6}$ & $ \dfrac{1}{6} $ & $1$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
}\\\\




\begin{ExoF}
Dans un club, plusieurs activités sont proposées dont le tir à l'arc et le golf. La cotisation de base 
pour adhérer au club est de $30\euro$ auxquels s'ajoutent éventuellement :
\begin{itemize}
 \item $50\euro$ pour pratiquer le tir à l'arc
 \item $80\euro$ pour pratiquer le golf.
\end{itemize}
Parmi les $50$ adhérents, $30$ pratiquent le tir à l'arc, $18$ le golf et $6$ les deux sports. On choisit 
un adhérent au hasard et on désigne par $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque adhérent sa cotisation.
\begin{enumerate}
 \item Quelles sont les différentes valeurs prises par $X$ et dans quels cas ?
  \item Donner la loi de probabilité de $X$.
  \item En déduire la probabilité qu'un adhérent pratique au moins l'un des deux sports.
\end{enumerate}
\end{ExoF}





\begin{ExoL}
\textbf{Repère} : n$^{\circ}$ 35 (définition et propriétés) + 36 (arbres) + 41 (cartes) + 42 (tennis) p 199 + 44 (arbres) p 200\\
\textbf{Odyssée} : problème ouvert 3 p 299
\end{ExoL}




\subsection{Espérance}

\Act{Dans l'activité précédente :
On donne l'algorithme suivant :
\Algo{12cm}{
\Var{
Dé, i, N sont des nombres entiers\\
Effectif est une liste à deux éléments
}
\Deb{
 Saisir  N\\
 Effectif$[1]$ et Effectif$[2]$ prennent la valeur 0\\
 \For{i allant de 1 à N}
  {Affecter à Dé un entier aléatoire entre 1 et 6\\
   \IfThenElse{$Dé==6$}
    {Affecter à Effectif[1] la valeur Effectif[1]+1}
    {Affecter à Effectif[2] la valeur Effectif[2]+1}\\
}\\\\
Afficher Effectif[1]\\
}
}
\begin{enumerate}
 \item Programmer cet algorithme sur Algobox et le tester.
 \item Que fait-il ? \\
\textit{On précisera ce que représente chacune des variables)}
\item Modifer ce programme pour qu'il simule l'attribution des notes en Syldavie et qu'il renvoit
les effectifs de chaque note. Le tester.
 \item Modifier votre dernier programme pour qu'il renvoit la moyenne nationale obtenue.
\item Effectuer un simulation pour $10$ élèves, puis $100$ puis $1\,000$. \\
Que constatez-vous ?
\end{enumerate}
}

\textbf{\underline{Objectifs} :} 
\begin{itemize}
 \item Manipuler Algobox 
 \item Donner du sens à la notion d'espérance, 
 \item Observer la loi des grands nombres.
\end{itemize}


\begin{defi}
L'espérance mathématique de $X$ est le nombre $E(X)$ définie par : 
$$ E(X)=\ds\sum_{i=1}^mx_i\times p(X=x_i)= \ds\sum_{i=1}^mx_ipi= p_1x_1+p_2x_2+\dots +p_mx_m $$
\end{defi}

\Rqs{
 \item Lors d'un grand nombre d'expériences, le gain moyen d'un joueur se stabilise aux environs de $E(X)$.
 \item On interprète l'espérance comme le gain moyen que peut espérer un joueur par partie, 
s'il joue un grand nombre de fois. On parlera donc de jeu favorable, défavorable ou équitable en 
fonction du signe de $E(X)$.
}

\Expls{
\begin{enumerate}
  \item Dans l'exemple précédent du salaire des fonctionnaires en Syldavie, calculer $E(X)$.
\item Les entreprises privées décident de payer leurs salariés selon le même modèle, mais elles 
proposent $6\,000$ neuronnes à la place de $3\,000$ (avec la même mise initiale).\\
Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X_S$ correspondante et calculer $E(X_S)$.
\item Les banques se calquent aussi sur ce modèle mais elles utilisent un dé à $100$ faces, 
une mise initiale de $1$ million de neurones et un gain éventuel de $1$ milliard de neurones.\\
Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X_A$ correspondante et calculer $E(X_A)$.
\item Interpréter et critiquer l'ensemble de vos résultats. 
\end{enumerate}
}

\begin{ExoL}
\textbf{Repère} : n$^{\circ}$ 48 ou 50 p 200 (classiques) 
+ 72 p 205 (avec $n$ et tableau de valeurs) + 74 p 206 (algo pièces de monnaie)  \\
\end{ExoL}



\subsection{Variance et écart-type}
\Act{
On reprend l'activité sur les notes d'élèves de Syldavie. \\
Pour rentrer à l'université de Springfield, ils sont mis en compétition avec les élèves de Groland. \\
Cette université privilégie les élèves du pays au meilleur résultat moyen espéré et à leur régularité.\\
A Groland également, on a décidé de tirer les résultats du baccalauréat aux dés. Voici la règle :
Lorsqu'on obtient 6 au dé, l'élève a 20. Un autre nombre pair fournit un 7 à l'élève. 
Ensuite s'il sort 1, l'élève a 
5, s'il sort 3, l'élève a 10 et enfin, s'il sort 5, l'élève a 14.
\begin{enumerate}
 \item Calculer la moyenne nationale que peut espérer obtenir Groland.
 \item De quels moyens dispose-t-on pour comparer la régularité de chacun des pays ?
\end{enumerate}
}

\textbf{\underline{Objectifs} :} 
\begin{itemize}
 \item Réinvestir ce que les élèves viennent d'apprendre sur les variables aléatoires.
 \item Parler d'étendue, écart interquartile, écart à la moyenne (sans valeur absolue, avec) ... suivant leurs idées (recherche en groupe)
 \item Introduire le sens de la variance et de l'écart-type.
\end{itemize}


\begin{defi}
La variance de $X$ est le nombre $V(X)$ définie par : 
$$ V(X)=\ds\sum_{i=1}^m [x_i-E(X)]^2 p(X=x_i) =\ds\sum_{i=1}^m  [x_i-E(X)]^2 pi=[x_1-E(X)]^2p_1+\dots +[x_m-E(X)]^2p_m$$
L'écart-type de $X$ est le nombre $\sigma(X)$ définie par : 
$$ \sigma(X)=\sqrt{V(X)}$$
\end{defi}


\Rqs{
\item On a choisi d'utiliser les carrés pour la variance de manière arbitraire pour ne pas avoir de problèmes de signes ; 
on aurait pu choisir une autre méthode, mais celle-ci a l'avantage de rappeler la distance euclidienne bien connue.
La variance est en ce sens homogène au carré d'une distance. L'écart-type définit donc une distance proprement 
dite.
\item L’écart-type est une caractéristique de la dispersion des valeurs de $X$ autour de $E(X)$, 
autrement dit, cela représente le risque du jeu.
}

\begin{prop}
La variance se calcule plus facilement grâce à la formule :
$$V(X)=\ds\sum_{i=1}^mx_i^2pi-\big(E(X)\big)^2$$
\end{prop}

\Rq{
 On note cela $V(X)=E(X^2)-\big[E(X)\big]^2$
 }

\Dem{
\begin{eqnarray*}
 V(X) & = & \sum_{i=1}^m \big(x_1-E(X)\big)^2p_i \\
&=& \sum_{i=1}^m \left(x_i^2-2x_i E(X) + \left(E(X)\right)^2 \right) p_i\\
&=& \sum_{i=1}^m x_i^2p_i-2E(X)\sum_{i=1}^m x_ip_i + \big(E(X)\big)^2 \sum_{i=1}^m  p_i\\
 &=& \sum_{i=1}^m x_i^2p_i-2E(X)E(X) + \big(E(X)\big)^2 \times 1\\
&=& E(X^2)-2\big(E(X)\big)^2 + \big(E(X)\big)^2 \\
&=& E\big(X^2\big)-\big(E(X)\big)^2
\end{eqnarray*}
}


\Expl{Dans l'exemple précédent sur les différents salaires en Syldavie, 
\begin{enumerate}
 \item Calculer la variance et l'écart-type de $X$, $X_S$ et $X_A$. 
 \item Interpréter vos résultats.
 \item Vérifier vos résultats grâce aux indicateurs statistiques de votre calculatrice, en suivant 
l'une des procédures suivantes
\end{enumerate}
}


\Cadre[TI82, 83 et 84]{
 \textbf{Entrer les valeurs prises par la variable aléatoire et leurs probabilités :}
\begin{itemize}
 \item  Taper \fbox{stats} et valider le choix de \textbf{\texttt{EDIT}} et 
\textbf{\texttt{1:Edite}} par \fbox{enter}
 \item Entrer les valeurs prises par la variable
aléatoire dans la liste L1, et les probabilités dans la liste L2.\\
On se déplace dans le tableau grâce aux flèches.\\
\end{itemize}
 \textbf{Afficher les indicateurs des listes :}
\begin{itemize}
 \item Par \fbox{stats}, choisir \textbf{\texttt{CALC}} et 
\textbf{\texttt{1:Stats 1-Var}} en validant par \fbox{enter}
 \item \textbf{\texttt{Stats 1-Var}} apparait à l'écran. \\
Préciser les listes concernées en saisissant à la suite $L_1,L_2$ grâce aux touches 
\fbox{2nde} \fbox{1} \fbox{,} \fbox{2nde} \fbox{2}
 \item Valider par \fbox{enter} pour obtenir les indicateurs.\\
  La flèche \fbox{$\blacktriangledown$} permet d'afficher la suite des indicateurs.\\
\end{itemize}
 \textbf{Effacer les listes :}
\begin{itemize}
 \item Par \fbox{stats} \fbox{4}, choisir \textbf{\texttt{4:EffListe}} 
 \item \textbf{\texttt{EffListe}} apparaît à l'écran. \\
Préciser les listes concernées en saisissant à la suite leur nom, 
séparés d'une virgule.
 \item Valider par \fbox{enter}
\end{itemize}
}

\vspace{1.5cm}

\Cadre[TI89]{
 \textbf{Entrer les valeurs prises par la variable aléatoire et leurs probabilités :}
\begin{itemize}
 \item Pour accéder au menu de statistiques, appuyer sur la touche \fbox{APPS} 
\item Sélectionner \textbf{\texttt{6:Data/Matrix Editor}} puis 
\textbf{\texttt{3:New}}
 \item Donner un nom à la variable (par exemple \textit{salaires}) qui désigne le dossier où seront enregistrer
les listes. 
 \item Entrer les valeurs prises par la variable aléatoire dans la liste c1, et les probabilités dans la liste c2.\\
On se déplace dans le tableau grâce aux flèches.\\
\end{itemize}
  \textbf{Afficher les indicateurs des listes :}
\begin{itemize}
 \item Taper \fbox{F5}, et vérifier que vous avez :
\begin{itemize}
 \item \textbf{\texttt{Calculation Type : OneVar}}
 \item  \textbf{\texttt{Freq and Categories : YES}}
 \item \textbf{\texttt{Freq : c2}} 
\end{itemize}
\item Valider par \fbox{enter}\\
 La flèche \fbox{$\blacktriangledown$} permet d'afficher la suite des indicateurs.\\
\end{itemize}
 \textbf{Effacer les listes :}
\begin{itemize}
 \item Dans l'éditeur de matrice courant, choisir \textbf{\texttt{1:Current}} 
 \item Choisir \textbf{\texttt{F1}} puis \textbf{\texttt{8: Clear Editor}}. 
\end{itemize}
}

\vspace{1.5cm}

\Cadre[Casio 35+, 65 et 85]{
 \textbf{Entrer les valeurs prises par la variable aléatoire et leurs probabilités :}
\begin{itemize}
 \item  Par \fbox{Menu}, choisir le menu \textbf{\texttt{STAT}} et 
valider par \fbox{EXE}
 \item Entrer les valeurs prises par la variable
aléatoire dans la liste List 1, et les probabilités dans la liste List 2.\\
On se déplace dans le tableau grâce aux flèches.\\
\end{itemize}
  \textbf{Afficher les indicateurs des listes :}
\begin{itemize}
 \item Sur le même écran, choisir \textbf{\texttt{CALC}} par la touche \fbox{F2} située en dessous.
 \item Choisir \textbf{\texttt{SET}} par \fbox{F6} pour définir les listes concernées.\\
Vérifier que vous avez :
\begin{itemize}
 \item \textbf{\texttt{XList : List1}}
 \item \textbf{\texttt{Freq : List2}}
\end{itemize}
\item Valider par \fbox{EXE}.
 \item Choisir \textbf{\texttt{1 VAR}} par \fbox{F1} pour obtenir les indicateurs.\\
 La flèche \fbox{$\blacktriangledown$} permet d'afficher la suite des indicateurs.\\
\end{itemize}
 \textbf{Effacer les listes :}
\begin{itemize}
 \item Dans le menu \textbf{\texttt{STAT}}, sélectionner un élément de la liste à effacer.
 \item Puis choisir \textbf{\texttt{DEL-A}} par les touches \rotatebox{90}{\fbox{$\triangledown$}} \fbox{F4}
 \item Valider par \fbox{EXE}
\end{itemize}
}
\vspace{1cm}

Dans les trois cas, la calculatrice affiche dans l'ordre :
\begin{itemize}
 \item $\overline{x}$ : la moyenne pondérée 
 \item $\sum x$ : la somme pondérée des valeurs, ie $\sum x_ip_i$ (ici c'est la même chose que $\overline{x}$)
 \item $\sum x^2$ : la somme pondérée des carrés des valeurs, ie $\sum x_i^2p_i$  (utile pour le calcul de la variance)
 \item $Sx$ : sans valeur quand les coefficients sont des probabilités)
 \item $\sigma x$ : l'écart-type 
 \item $n$ : l'effectif, ie $\sum p_i$ (donc ici $n=1$)
 \item minX : la plus petite valeur prise par $X$
 \item $Q_1$ : le premier quartile
 \item Med : la médiane 
 \item $Q_3$ : le troisième quartile 
 \item maxX : la plus grande valeur de $X$\\
\end{itemize}

\begin{ExoF}
On lance $n$ dés ($n\geq 1$). \\
Le jeu consiste à miser $2\euro$, puis si on obtient au moins un $6$, 
on remporte $3\euro$.
\begin{enumerate}
 \item On note $A$ l'événement \og obtenir au moins un $6$\fg
\begin{enumerate}
\item Décrire $\bar{A}$ en français puis exprimer en fonction de $n$ la probabilité $P(\bar{A})$.
\item En déduire que $P(A)$ en fonction de $n$.
\item Compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} Nombres de dés $n$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$  & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ \tabularnewline\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $P(A)$ &  &  &   &   & & & &\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Combien de dés faut-il pour que la probabilité d'obtenir au moins un six soit supérieure à $ \dfrac{2}{3}$ ?
\end{enumerate}
\item On désigne par $X$ la variable aléatoire correspondant au gain du joueur.
\begin{enumerate}
 \item Donner la loi de probabilité de $X$ en fonction de $n$.
 \item Calculer $E(X)$ en fonction de $n$.\\
% \item 
Combien de dés faut-il pour que le jeu soit favorable au joueur ? Est-on surpris ?
 \item Calculer $V(X)$ puis $\sigma(X)$ dans ce cas. Interpréter.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoL}
\textbf{Repère} : n$^{\circ}$ 61 p 202 (TI et somme de va, rajouter $E(X+Y)$) + 68 p 204 (arbres)\\
+ 59 p 202 (implication) + 74 p 206 (algo) \\
\textbf{Odyssée} p 298 (sur TI)
\end{ExoL}


\subsection{Linéarité}

\Act{
A Groland, le système de rémunération des fonctionnaires est le même que celui de Syldavie, mais la
monnaie est le moustique, dont le taux est de $4$ moustiques pour $1$ neurone. De plus, un salarié doit
verser un impôt supplémentaire de $1000$ moustiques au départ.
 \begin{enumerate}
  \item Donner l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire $Y$ donnant le gain d'un
fonctionnaire en moustiques.
 \item Exprimer la variable aléatoire $Y$  en fonction de la variable $X$ 
de l'exemple précédent.
 \item Quelle est la loi de probabilité de $Y$ ?
 \item Sans calculer $E(Y)$, démontrer que $E(Y)=4E(X)-1000$. En déduire $E(Y)$
 \item Sans calculer $E(Y)$, démontrer que $V(Y)=16E(X)$, sans calculer $V(Y)$. En déduire $V(Y)$.
 \end{enumerate}
}

\begin{prop}
Soient $a$ et $b$ deux réels.\\% et $Y$ une variable aléatoire sur $\Omega$.\\
L'espérance est linéaire : $E(aX+b)=aE(X)+b$\\
On en dédut la formule : $V(aX+b)=a^2V(X)$
\end{prop}


\Dem{
\begin{eqnarray*}
 E(aX+b)= \sum_{i=1}^m   \big(ax_i+b\big)p_i &=& \sum_{i=1}^m \big(ax_ip_i + bp_i \big) \\
&=& \sum_{i=1}^m ax_ip_i + \sum_{i=1}^m bp_i \\
&=& a\sum_{i=1}^m x_ip_i + b\sum_{i=1}^m p_i \\
&=& a E(X) + b
\end{eqnarray*}
}
\DemS{
\begin{eqnarray*}
 V(aX+b)&=&\sum_{i=1}^m \big(ax_i+b)^2pi-\big(E(aX+b)\big)^2\\
&=& \sum_{i=1}^m \big(a^2x_i^2+2abx_i+b^2)pi-\big(aE(X)+b\big)^2\\
&=& \sum_{i=1}^m a^2x_i^2p_i + 2ab\sum_{i=1}^m x_ip_i+b^2\sum_{i=1}^m pi-\big(a^2E^2(X)+2abE(X)+b^2\big)\\
&=& a^2\sum_{i=1}^m x_i^2p_i + 2abE(X)+b^2-a^2E^2(X)-2abE(X)-b^2\\
&=& a^2\left(\sum_{i=1}^m x_i^2p_i-E^2(X) \right)\\
&=& a^2V(X)
\end{eqnarray*}
}

\Expl{
A Groland, le système de rémunération des salariés et des actionnaires est le même qu'en Syldavie, 
mais en moustiques. De plus, le premier ne demande pas de mise initial, et le
second donne systématiquement une prime de $500 000$ moustiques.
\begin{enumerate}
 \item Exprimer les variables aléatoires $Y_S$ et $Y_A$ donnant respectivement le salaire des salariés et des actionnaires
à Groland.  
 \item En déduire $E(Y_S)$, $\sigma(Y_S)$, $E(Y_A)$ et $\sigma(Y_A)$.
 \item Interpréter.
\end{enumerate}
}


\begin{ExoL}
\textbf{Repère} : n$^{\circ}$ 79 p 206 + 84 p 207 + 81 p 207 (équivalence) + 82 p 207 
\end{ExoL}

%\section{Répétition d'expériences identiques et indépendantes}
\section{Algorithmes de loi géométrique tronquée}

\Expl{Le \og président \fg \, de Syldavie pense que les filles de son pays sont trop intelligentes et 
risquent de renverser son pouvoir, pourtant bien établi depuis $30$ ans.\\
Pour limiter le nombre de filles en Syldavie il décide que chaque famille aura au moins un enfant et
arrêtera de procréer après la naissance d'un garçon, dans un maximum de 4 enfants par famille.\\
On considère que chaque enfant autant de chances d'être un garçon qu'une 
fille, indépendamment du sexe d'éventuel(s) enfant(s) précédent(s).  \\
On se demande si ce choix a la conséquence attendue, à savoir de diminuer le nombre de filles 
dans la population.}
\begin{enumerate}
 \item On présente l'algorithme suivant :
\Algo{12cm}{
\Var{
X, NbeEnfants, NbeFilles sont des nombres entiers
}
\Deb{
  $n=0$, $X=0$\\
    \While{$X==0$ et NbeEnfants$<4$}
  {Affecter à X un entier aléatoire entre 0 et 1\\
    $n=n+1$}
    \IfThenElse{$X==1$}
      {NbeFilles$=n-1$\\
Afficher \og La famille a eu \fg , NbeFilles , \og fille(s) et $1$ garçon\fg}
    {La famille a eu $4$ filles et $0$ garçon}\\
\\
}
}
\begin{enumerate}
 \item Que fait-il ?
 \item Modifier cet algorithme pour qu'il simule les naissances dans $N$ familles quelconque en Syldavie et qu'il
renvoit le nombre de garçons et le nombre de filles.
 \item Programmer votre algorithme sur Scilab.
 \item Conjecturer une réponse au problème posé.
\end{enumerate}
\item Le \og président \fg \, de Syldavie appelle $S$ (pour Succès) et $E$ (pour Echec) 
les événements suivants :\\
$S$ : \og La famille a un garçon \fg \qquad \qquad et \qquad \qquad $E$ : \og La famille n'a pas de garçon \fg
\begin{enumerate}
       \item Schématiser la situation par un arbre.
 \item On appelle $X$ la variable aléatoire égale à $k$ si le premier Succès est rencontré au $k^{ième}$ 
enfant, et à $0$ si aucun Succès n'a été obtenu.\\
Déterminer la loi de $X$.
\item Répondre au problème posé.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}


\Expl{
Le jeu du lièvre et de la tortue \\
Le jeu consiste à affronter un lièvre et une tortue pour parcourir
un plateau de 6 cases, selon les règles suivantes :
\begin{itemize}
 \item On lance un dé équilibré à 6 faces,
 \item Si le 6 sort, le lièvre avance directement de 6 cases (et donc gagne) ; 
 \item Sinon, la tortue avance d'une case. 
 \item Le jeu continue jusqu'à ce qu'il y ait un gagnant.
\end{itemize}
On appelle $p$ la probabilité de gagner du lièvre. 
\begin{enumerate}
 \item Conjectures :
\begin{enumerate}
        \item Conjecturer la situation la plus enviable, celle du lièvre ou de la tortue ?
 \item Conjecturer la valeur de $p$.
       \end{enumerate}
 \item Simulation :
\begin{enumerate}
        \item Simuler ce jeu sur Algobox, avec en affichage la fréquence de gain du lièvre.\\
\textit{On commencera par demander à l'utilisateur le nombre de parties qu'il souhaite faire.
}
 \item Les résultats de la simulation pour $50$ expériences vous semblent-ils en accord 
avec votre conjecture ? Pour $100$ ? $10\,000$ ?
       \end{enumerate}
 \item Modélisation :
\begin{enumerate}
 \item Schématiser la situation à l'aide d'un arbre.
 \item On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de lancers de dés qu'il a fallu au lièvre
pour gagner et égale à $0$ si le lièvre a perdu.\\
Déterminer $P(X=0)$ puis l'expression de $P(X=k)$ en fonction de $k$, pour $1 \leq k \leq 6$.
 \item En déduire $p$.
 \item Calculer $E(X)$. Interpréter.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Expl[Le paradoxe de Saint Pétersbourg]{
Un joueur joue contre la banque au jeu de \og pile ou face \fg, en misant toujours sur face. Il adopte la
stratégie suivante : il mise un euro au premier coup, et s’il perd, double la mise au coup suivant, tant que
face ne sort pas. S’il gagne, il récupère sa mise augmentée d’une somme équivalente à cette mise. Le
joueur dispose d’une fortune limitée, qui lui permet de perdre au maximum $n$ coups consécutifs et, si 
pile sort $n$ fois de suite, le joueur ne peut plus miser et arrête le jeu. La fortune de la banque, 
elle, n’est pas limitée.
Une partie consiste pour le joueur à jouer, si sa fortune le lui permet, jusqu’à ce que face sorte.
Il s’agit de déterminer la probabilité qu’a le joueur de gagner une partie, son gain algébrique moyen par
partie, et d’analyser l’intérêt pour le joueur de jouer à ce jeu, par rapport à la banque.\\
}
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la mise du joueur s'il gagne au $3^{ième}$ coup, puis au $10^{ième}$, 
puis au $k^{ième}$, avec $k\in\N^*$.
 \item On envisage le cas où le joueur dispose d’une fortune de $1\,000\euro$.
  \begin{enumerate}
         \item Sa fortune lui permet de tenir $n$. Déterminer $n$ grâce à un tableau de valeurs.
 \item Simulation
\begin{enumerate}
 \item Sur tableur, reproduire la feuille de calculs ci-après, qui simule $1\,000$ parties en $9$ coups.\\
On a codé la sortie de Face par $1$ et celle de Pile par $0$ et on à utiliser notamment les formules suivantes :
\begin{itemize}
 \item \texttt{=ALEA.ENTRE.BORNES(0,1)}
 \item \texttt{=SI(OU(A2=1;A2="");"";ALEA.ENTRE.BORNES(0,1))}
 \item \texttt{=SI(SOMME(A2:I2)=0;"Tortue";"Lièvre")}
 \item \texttt{=NB.SI(K2:K1001;"Tortue")}
 \item \texttt{=NB.SI(A2:I2;0)+NB.SI(A2:I2;1)}
\end{itemize}
 \item Puis tracer l'histoire correspondant à la plage $L6:M14$. Cela vous parait-il cohérent ?
 \item Discuter l'intérêt de ce jeu.
\end{enumerate}
\item Modélisation : on appelle $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le rang de la première face, et l’on convient que ce 
rang est égal à $0$ si face ne sort pas et on appelle $Y$ la variable aléatoire qui donne le gain 
algébrique du joueur.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer $P(X=0)$ puis l'expression de $P(X=k)$ en fonction de $k$, pour $1 \leq k \leq n$.
 \item Déterminer les valeurs possibles de $Y$
 \item Déterminer la loi de $Y$.
 \item Calculer $E(Y)$.
 \item Conclure en terme de gain moyen et de risque.
\end{enumerate}
\item Désormais on considère que la banque joue $n$ et on reprend les notations précédentes.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer $P(X=0)$ et en déduire la probabilité de gagner pour la banque.
 \item De quoi se rapproche celle valeur quand $n$ est très grand ?
 \item Conclure.
 \end{enumerate}
       \end{enumerate}
\end{enumerate}
\includegraphics[scale=0.48]{Paradoxe_St_Petersbourg.eps}\\

\textit{La notion de risque, liée à celle de la dispersion de la variable aléatoire \og gain \fg, 
est un élément décisif d’appréciation d’un jeu.
Le paradoxe de Saint-Pétersbourg est l’un des problèmes ayant donné naissance à la
théorie de la décision en économie. Dans cette théorie, on formalise en particulier la notion de fonction
d’utilité, qui mesure le degré de satisfaction d’un consommateur.
}

\begin{ExoF}(Challenge)\\
Combien y a-t-il de \og couples \fg de délégués possibles dans de votre classe ? 
\end{ExoF}


\end{document}
