\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Variables Al\'eatoires}
\newcommand{\Cl}{1S}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.5cm,bmargin=1.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 
%\subsection{Quelques problèmes d'introduction}


\Pbl{A votre avis, quelle est la probabilité que dans un groupe de 35 personnes indépendantes, deux personnes aient leur 
anniversaire le même jour de l'année ?  Dans un groupe de 70 personnes ? \newline 
A votre avis, combien doit-on réunir de personnes pour avoir au moins une chance sur deux que deux personnes de ce groupe
aient leur anniversaire le même jour de l'année ? 
}\\\\ 


\Pbl{Un jeu t\'el\'evis\'e se d\'eroule de la mani\`ere suivante : il y a trois portes, derri\`ere l'une d'entre elles
se trouve $10 000\euro$ et rien derri\`ere les deux autres. Un candidat choisit au hasard l'une des trois. 
Ensuite le pr\'esentateur \'elimine une des deux mauvaises portes, tout en conservant celle choisie par le candidat. 
Le candidat peut alors conserver son choix ou le changer. 
\newline 
Que vaut-il mieux faire pour le candidat, changer ou conserver son choix ? 
}\\\\

\Pbl{
Au XVI$^e$ siècle, le Grand Duc de Toscane demanda au vénérable Galilée pourquoi il était plus difficile d'obtenir 9 que 10 
au jeu de passe-dix (jeu consistant à jeter 3 dés et à faire plus que 10), même s'il n'y a dans les deux cas que 6 
combinaisons pour les obtenir. \\
La grande expérience du Duc en matière de jeu lui avait permis de remarquer ce phénomène, alors que théoriquement, 
\og sur le papier \fg, il aurait dû y avoir la même fréquence d’apparition des deux nombres, puisqu’il y a dans 
chaque cas 6 manières de les obtenir. \\
Proposer une explication à ce phénomène.
}

\vspace{1.5cm}

\Expl{
Les derniers syldaves fonctionnaires touchant un salaire pour leur travail
coûtent encore trop cher à l'état. Un nouveau système de
rémunération en neurones a été mis au point :\\
Le fonctionnaire doit chaque mois verser un impôt de $1\,000$
neurones à l'état puis il lance un dé. S'il sort un $6$, il
touche $3\,000$ neurones. Dans les autres cas, l'état ne lui verse rien.
}

\vspace{1.5cm}

\Expls{
\begin{enumerate}
  \item Dans l'exemple précédent du salaire des fonctionnaires en Syldavie, calculer $E(X)$.
\item Les entreprises privées décident de payer leurs salariés selon le même modèle, mais elles 
proposent $6\,000$ neuronnes à la place de $3\,000$ (avec la même mise initiale).\\
Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X_S$ correspondante et calculer $E(X_S)$.
\item Les banques se calquent aussi sur ce modèle mais elles utilisent un dé à $100$ faces, 
une mise initiale de $1$ million de neurones et un gain éventuel de $1$ milliard de neurones.\\
Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X_A$ correspondante et calculer $E(X_A)$.
\item Interpréter et critiquer l'ensemble de vos résultats.
\end{enumerate}
}



\Expl{Dans l'exemple précédent sur les différents salaires en Syldavie, 
\begin{enumerate}
 \item Calculer la variance et l'écart-type de $X$, $X_S$ et $X_A$. 
 \item Interpréter vos résultats.
 \item Vérifier vos résultats grâce aux indicateurs statistiques de votre calculatrice, en suivant 
l'une des procédures suivantes
\end{enumerate}
}

\vspace{1.5cm}

\Expl{
A Groland, le système de rémunération des salariés et des actionnaires est le même qu'en Syldavie, 
mais en moustiques. De plus, le premier ne demande pas de mise initial, et le
second donne systématiquement une prime de $500 000$ moustiques.
\begin{enumerate}
 \item Exprimer les variables aléatoires $Y_S$ et $Y_A$ donnant respectivement le salaire des salariés et des actionnaires
à Groland.  
 \item En déduire $E(Y_S)$, $\sigma(Y_S)$, $E(Y_A)$ et $\sigma(Y_A)$.
 \item Interpréter.
\end{enumerate}
}

\vspace{1.5cm}


\Act{
L'éducation coûte trop cher. Afin de réaliser des économies, le
gouvernement syldave  a décidé de se passer à la fois de
correcteurs et d'élèves. Tout est géré dans les bureaux du
ministère, en si\-mulant sur odinateur le lancé d'un dé pour chaque élève virtuel, 
le but étant d'obtenir une moyenne nationale
satisfaisante à présenter aux investisseurs étrangers qui se
rueront en Syldavie pour profiter d'une main d'\oe uvre aussi
qualifiée.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Préciser l'univers $\Omega$ de cette expérience.
	\item Déterminer la probabilité $p$ de l'événement A : \og  Obtenir un nombre impair \fg
       \end{enumerate}
 \item On convient que lorsque le candidat virtuel jette un dé virtuel~: s'il sort un 6, il a 20, s'il
tombe sur un autre numéro pair il a 14, s'il tombe sur un numéro impair, il a 5.\\
On désigne par $X$ le procédé qui, selon la simulation, associe à chaque face la note d'un élève.
\begin{enumerate}
 \item Compléter $X(6)= \dots$, $X(4)= \dots $, $X(5)= \dots$.\\
  Quel \og objet mathématique \fg \, reconnaissez-vous dans $X$ ?
 \item Quel est l'univers, noté $X(\Omega)$, de cette nouvelle expérience aléatoire ? 
 \item On note $(X=5)$ l'événement \og L'élève obtient la note $5$ \fg\\
Quel lien existe-t-il entre A et $(X=5)$ ? En déduire $P(X=5)$.
\item On note $x_i$ les différentes valeurs prises par $X$.\\
Compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $x_i$ & $5$ &  &  & Total  \tabularnewline\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $P(X=x_i)$ &  &  &  & \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
Doit-on s'étonner du résultat de la case Total ?
\end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
        \item Quelle moyenne nationale peut espérer obtenir le ministre ? 
	\item Cette moyenne nationale est-elle une moyenne ?
	\item Cette moyenne nationale sera-t-elle effectivement atteinte~?
        \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Act{Dans l'activité précédente :
On donne l'algorithme suivant :
\Algo{12cm}{
\Var{
Dé, i, N sont des nombres entiers\\
Effectif est une liste à deux éléments
}
\Deb{
 Saisir  N\\
 Effectif$[1]$ et Effectif$[2]$ prennent la valeur 0\\
 \For{i allant de 1 à N}
  {Affecter à Dé un entier aléatoire entre 1 et 6\\
   \IfThenElse{$Dé==6$}
    {Affecter à Effectif[1] la valeur Effectif[1]+1}
    {Affecter à Effectif[2] la valeur Effectif[2]+1}\\
}\\\\
Afficher Effectif[1]\\
}
}
\begin{enumerate}
 \item Programmer cet algorithme sur Algobox et le tester.
 \item Que fait-il ? \\
\textit{On précisera ce que représente chacune des variables)}
\item Modifer ce programme pour qu'il simule l'attribution des notes en Syldavie et qu'il renvoit
les effectifs de chaque note. Le tester.
 \item Modifier votre dernier programme pour qu'il renvoit la moyenne nationale obtenue.
\item Effectuer un simulation pour $10$ élèves, puis $100$ puis $1\,000$. \\
Que constatez-vous ?
\end{enumerate}
}

\vspace{2.5cm}

\Act{
On reprend l'activité sur les notes d'élèves de Syldavie. \\
Pour rentrer à l'université de Springfield, ils sont mis en compétition avec les élèves de Groland. \\
Cette université privilégie les élèves du pays au meilleur résultat moyen espéré et à leur régularité.\\
A Groland également, on a décidé de tirer les résultats du baccalauréat aux dés. Voici la règle :
Lorsqu'on obtient 6 au dé, l'élève a 20. Un autre nombre pair fournit un 7 à l'élève. 
Ensuite s'il sort 1, l'élève a 
5, s'il sort 3, l'élève a 10 et enfin, s'il sort 5, l'élève a 14.
\begin{enumerate}
 \item Calculer la moyenne nationale que peut espérer obtenir Groland.
 \item De quels moyens dispose-t-on pour comparer la régularité de chacun des pays ?
\end{enumerate}
}
\newpage


\Act{
A Groland, le système de rémunération des fonctionnaires est le même que celui de Syldavie, mais la
monnaie est le moustique, dont le taux est de $4$ moustiques pour $1$ neurone. De plus, un salarié doit
verser un impôt supplémentaire de $1000$ moustiques au départ.
 \begin{enumerate}
  \item Donner l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire $Y$ donnant le gain d'un
fonctionnaire en moustiques.
 \item Exprimer la variable aléatoire $Y$  en fonction de la variable $X$ 
de l'exemple précédent.
 \item Quelle est la loi de probabilité de $Y$ ?
 \item Sans calculer $E(Y)$, démontrer que $E(Y)=4E(X)-1000$. En déduire $E(Y)$
 \item Sans calculer $E(Y)$, démontrer que $V(Y)=16E(X)$, sans calculer $V(Y)$. En déduire $V(Y)$.
 \end{enumerate}
}

\vspace{1.5cm}

\Cadre[TI82, 83 et 84]{
 \textbf{Entrer les valeurs prises par la variable aléatoire et leurs probabilités :}
\begin{itemize}
 \item  Taper \fbox{stats} et valider le choix de \textbf{\texttt{EDIT}} et 
\textbf{\texttt{1:Edite}} par \fbox{enter}
 \item Entrer les valeurs prises par la variable
aléatoire dans la liste L1, et les probabilités dans la liste L2.\\
On se déplace dans le tableau grâce aux flèches.\\
\end{itemize}
 \textbf{Afficher les indicateurs des listes :}
\begin{itemize}
 \item Par \fbox{stats}, choisir \textbf{\texttt{CALC}} et 
\textbf{\texttt{1:Stats 1-Var}} en validant par \fbox{enter}
 \item \textbf{\texttt{Stats 1-Var}} apparait à l'écran. \\
Préciser les listes concernées en saisissant à la suite $L_1,L_2$ grâce aux touches 
\fbox{2nde} \fbox{1} \fbox{,} \fbox{2nde} \fbox{2}
 \item Valider par \fbox{enter} pour obtenir les indicateurs.\\
  La flèche \fbox{$\blacktriangledown$} permet d'afficher la suite des indicateurs.\\
\end{itemize}
 \textbf{Effacer les listes :}
\begin{itemize}
 \item Par \fbox{stats} \fbox{4}, choisir \textbf{\texttt{4:EffListe}} 
 \item \textbf{\texttt{EffListe}} apparaît à l'écran. \\
Préciser les listes concernées en saisissant à la suite leur nom, 
séparés d'une virgule.
 \item Valider par \fbox{enter}
\end{itemize}
}


\vspace{1.5cm}

\Cadre[TI89]{
 \textbf{Entrer les valeurs prises par la variable aléatoire et leurs probabilités :}
\begin{itemize}
 \item Pour accéder au menu de statistiques, appuyer sur la touche \fbox{APPS} 
\item Sélectionner \textbf{\texttt{6:Data/Matrix Editor}} puis 
\textbf{\texttt{3:New}}
 \item Donner un nom à la variable (par exemple \textit{salaires}) qui désigne le dossier où seront enregistrer
les listes. 
 \item Entrer les valeurs prises par la variable aléatoire dans la liste c1, et les probabilités dans la liste c2.\\
On se déplace dans le tableau grâce aux flèches.\\
\end{itemize}
  \textbf{Afficher les indicateurs des listes :}
\begin{itemize}
 \item Taper \fbox{F5}, et vérifier que vous avez :
\begin{itemize}
 \item \textbf{\texttt{Calculation Type : OneVar}}
 \item  \textbf{\texttt{Freq and Categories : YES}}
 \item \textbf{\texttt{Freq : c2}} 
\end{itemize}
\item Valider par \fbox{enter}\\
 La flèche \fbox{$\blacktriangledown$} permet d'afficher la suite des indicateurs.\\
\end{itemize}
 \textbf{Effacer les listes :}
\begin{itemize}
 \item Dans l'éditeur de matrice courant, choisir \textbf{\texttt{1:Current}} 
 \item Choisir \textbf{\texttt{F1}} puis \textbf{\texttt{8: Clear Editor}}. 
\end{itemize}
}

\vspace{1.5cm}

\Cadre[Casio 35+, 65 et 85]{
 \textbf{Entrer les valeurs prises par la variable aléatoire et leurs probabilités :}
\begin{itemize}
 \item  Par \fbox{Menu}, choisir le menu \textbf{\texttt{STAT}} et 
valider par \fbox{EXE}
 \item Entrer les valeurs prises par la variable
aléatoire dans la liste List 1, et les probabilités dans la liste List 2.\\
On se déplace dans le tableau grâce aux flèches.\\
\end{itemize}
  \textbf{Afficher les indicateurs des listes :}
\begin{itemize}
 \item Sur le même écran, choisir \textbf{\texttt{CALC}} par la touche \fbox{F2} située en dessous.
 \item Choisir \textbf{\texttt{SET}} par \fbox{F6} pour définir les listes concernées.\\
Vérifier que vous avez :
\begin{itemize}
 \item \textbf{\texttt{XList : List1}}
 \item \textbf{\texttt{Freq : List2}}
\end{itemize}
\item Valider par \fbox{EXE}.
 \item Choisir \textbf{\texttt{1 VAR}} par \fbox{F1} pour obtenir les indicateurs.\\
 La flèche \fbox{$\blacktriangledown$} permet d'afficher la suite des indicateurs.\\
\end{itemize}
 \textbf{Effacer les listes :}
\begin{itemize}
 \item Dans le menu \textbf{\texttt{STAT}}, sélectionner un élément de la liste à effacer.
 \item Puis choisir \textbf{\texttt{DEL-A}} par les touches \rotatebox{90}{\fbox{$\triangledown$}} \fbox{F4}
 \item Valider par \fbox{EXE}
\end{itemize}
}



\end{document}

 