\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 4}
\newcommand{\Ch}{Loi Binomiale}
\newcommand{\Cl}{1S}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=2cm,lmargin=1.8cm,rmargin=1.8cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 
%\subsection{Quelques problèmes d'introduction}


\Act{
Un vieux professeur d'histoire-géo, se décrivant lui-même \og entre deux âges et très séduisant\fg, 
décide de séquestrer des gens pour le fun.  (\og Lol ! \fg dixit le vieux prof d'histoire-géo) 
Il en a kidnappé cinq : deux filles qu'il n'arrive 
pas à distinguer et qu'il appelle toutes les deux \og Lolo \fg, son fils Hugo et ses collègues Dédé et Gougou.\\
Le vieux professeur d'histoire-géo choisit au hasard l'un d'entre eux et le séquestre en le pinçant.\\
Il considère que son expérience est un Succès lorsqu'il 
séquestre l'une des Lolos, un Echec sinon.\\
On appelle $X$ la variable aléatoire égale à $1$ en cas de Succès et $0$ sinon. 
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
\item Calculer l'espérance de $X$ et sa variance.
\end{enumerate}
}

\vspace{2cm}

\Act{On reprend le contexte et les notations de l'activité précédente. \\
Le vieux professeur d'histoire-géo considère toujours que son expérience est un Succès 
lorsqu'il séquestre l'une des Lolos, un Echec sinon et $X$ désigne toujours 
la variable aléatoire qui compte le nombre de Succès.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Le vieux professeur d'histoire-géo choisit au hasard, successivement et avec remise
deux personnes parmi les cinq.}
\begin{enumerate}
 \item Quelles valeurs $k$ peut prendre $X$ ?
 \item  On note $\binom{2}{k}$ (se lit \og $k$ parmi $2$ \fg) le nombre de chemins dans l'arbre à deux étapes 
 décrivant la situation, qui mènent  à l'événement $(X=k)$, pour $k\in\{0;1;2\}$ . \\
 Ainsi $\binom{2}{0}$ désigne le nombre de chemins menant  à l'événement $(X=0)$ parmi les deux expériences.\\
Que valent $\binom{2}{0} $ ? $\binom{2}{1} $ et $\binom{2}{2} $ ?
 \item Déterminer la loi de $X$, son espérance et sa variance.
\end{enumerate}
\item \textbf{Le vieux professeur d'histoire-géo choisit au hasard, successivement et avec remise
trois personnes parmi les cinq.}
\begin{enumerate}
  \item A votre avis, comment note-t-on le nombre de chemins dans l'arbre décrivant la situation menant à $0$ Succès ? 
  Combient vaut-il ?
  \item Même question pour $1$ Succès, puis $2$, puis $3$.
 \item Déterminer alors la loi de $X$, son espérance et sa variance.
  \end{enumerate}
 \item \textbf{Le vieux professeur d'histoire-géo choisit au hasard, successivement et avec remise
$n$ personnes parmi les cinq.}
\begin{enumerate}
 \item  Conjecturer une formule déterminant $P(X=k)$ en fonction du nombre $n$ d'expériences, du nombre $k$ de Succès 
 et de la probabilité $p$ d'un Succès \textit{ (on utilisera notamment la notation} $\binom{n}{k}$\textit{)}.
  \item Conjecturer une formule pour déterminer l'espérance de $X$ en fonction du nombre $n$ d'expériences et de la 
  probabilité $p$ d'un Succès. 
 \item Ces formules sont-elles valables si le vieux professeur d'histoire-géo choisit au hasard $n$ personnes succesivment et sans remise ? Expliquer.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Expl{
Dans lequel des cas suivants $X$ suit-elle une loi binomiale ? 
Si oui, donner les paramètres de la loi et calculer $P(X=3)$ si c'est possible, puis l'espérance et la variance de $X$.
\begin{enumerate}
 \item Dans une classe, on tire au sort sans remise 5 élèves, $X$ est le nombre d'élèves abonnés 
 à Star'Ac mag dans le lot tiré au sort.
\item Dans un sac de 20 billes contenant 7 noires et 13 blanches, 
on tire avec remise 3 d'entre elles, $X$ étant le nombre de billes noires obtenues.
\item On lance 4 dés, $X$ est le nombre de 5 obtenus.
\item Un circuit comprend 2 lampes en série. Pour chacune d'elle, la probabilité qu'elle fonctionne est de $0.03$. $X$ est le nombres de lampes qui s'allument lorsqu'on
appuie sur l'interrupteur. \\
Même question avec cette fois des lampes en parallèles.
\end{enumerate} 
}

\vspace{1cm}

\begin{ExoF}
On lance $n$ dés ($n \geq 1$). On note $A$ l'événement \og obtenir au moins deux $4$ (sur l'ensemble des $n$ lancers) \fg , 
et $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de $4$ obtenus.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de $X$.
\item On considère le cas $n=3$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(X=2)$, $P(X=3)$.
\item En déduire $p(A)$.
\item Calculer $E(X)$ et $\sigma(X)$.
\end{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose $n$ quelconque. 
\begin{enumerate}
 \item Décrire l'événement  $\overline{A}$ à l'aide d'une phrase.
  \item Calculer $P(X=0)$ et $P(X=1)$ en fonction de $n$.
  \item En déduire $p(A)$ en fonction de $n$.
 \item A l'aide d'un tableau de valeurs, déterminer le nombre de dés qu'il faut lancer pour que la 
probabilité d'obtenir au moins un quatre soit supérieure à $\dfrac{3}{4}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\newpage

\Act{
Le vieux professeur d'histoire-géo a décidé de piquer ses otages au cure-dent, juste pour le fun
(\og Lol ! \fg dixit le vieux prof d'histoire-géo complètement aveugle).\\
L'expérience consiste à choisir au hasard l'un des cinq otages, puis à tenter (car l'otage se débat) de le piquer au cure-dent. 
La probabilité qu'il touche sa cible est de $\dfrac23$ quand il s'agit d'un garçon et de $\dfrac12$
 quand il s'agit d'une fille (les deux Lolos étant plus menues que Dédé et plus petites que Hugo et Gougou, 
il est plus difficile de les atteindre). \\
Hugo a eu un avertissement travaille ce trimestre-ci, ainsi, le vieux professeur d'histoire-géo considère que son expérience
est un Succès lorsqu'il arrive à le piquer.
\begin{enumerate}
 \item Quelle est la probabilité que le vieux professeur d'histoire-géo choisisse et pique Hugo avec un cure-dent ?
 \item Le vieux professeur d'histoire-géo répète $n$ fois cette expérience, de manière indépendante.
On appelle $X_n$ la variable aléatoire qui compte le nombre $k$ de Succès $S$ sur les $n$ expériences.
\begin{enumerate}
 \item Quelle loi suit $X_n$ ?
 \item Pour $n=2$, lister intelligemment les chemins de  l'arbre décrivant la situation pour déterminer les valeurs 
 de $\binom{n}{k}$ possibles.
 \item Même question pour $n=3$, puis $n=4$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Grâce aux résultats des questions \textbf{2.b.} à \textbf{2.c.}, compléter les lignes correspondantes du tableau ci-contre, donnant
les valeurs de $\binom{n}{k}$  en fonction de $n$ et de $k$.
\begin{center}
\def\Casehachuree{%
  \begin{pspicture}(0,0)(1,0.1)
    \psframe[fillstyle=hlines,linecolor=white](-0.3,-0.3)(1.3,0.7)
  \end{pspicture}
}
\setlength{\arrayrulewidth}{0.5pt}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{yellow}}c|*{7}{>{\centering}p{1.2cm}|}}\hline 
\rowcolor{yellow}\backslashbox{$n$}{$k$}&$0$&$1$&$2$ &$3$ &$4$ &$5$ & $6$\tabularnewline\hline 
$0$ & 			& \Casehachuree		& \Casehachuree		& \Casehachuree 	& \Casehachuree 	& \Casehachuree & \Casehachuree	\tabularnewline\hline 
$1$ & 			& 		  	& \Casehachuree		& \Casehachuree		& \Casehachuree		& \Casehachuree & \Casehachuree \tabularnewline\hline 
$2$ & 			& 		 	& 			& \Casehachuree 	& \Casehachuree		& \Casehachuree & \Casehachuree \tabularnewline\hline 
$3$ &\cellcolor{cyan!30}&\cellcolor{cyan!30} 	& 			& 			& \Casehachuree 	& \Casehachuree & \Casehachuree \tabularnewline\hline 
$4$ & 			&\cellcolor{cyan!70}	& 			&\cellcolor{red!30}	&\cellcolor{red!30}	& \Casehachuree & \Casehachuree \tabularnewline\hline 
$5$ & 			&\cellcolor{green!30}	&\cellcolor{green!30}	& 			&\cellcolor{red!70}	& 		& \Casehachuree  \tabularnewline\hline 
$6$ & 			& 			&\cellcolor{green!70}	& 			& 			& 		& 		\tabularnewline\hline 
\end{tabular}
\end{center}
\item A l'aide de la définition de $\binom{n}{k}$ et de votre tête, compléter les lignes $n=0$ et $n=1$.
\item A l'aide de la calculatrice, compléter les lignes $n=5$ et $n=6$.\\
\Cadre[Calculatrices]{
\begin{tabular}{*{3}{|>{\centering}p{3cm}}|>{\centering}p{4.45cm}|}\hline
\textbf{Casio 35+} & \textbf{TI 82 à 84} & \textbf{TI 89} & \textbf{TI Npisre CX CAS} \tabularnewline\hline
  $6$  \texttt{nCr} $2$ & $6$ \texttt{Combinaison}  $2$ & \texttt{nCr}$(6,2)$ \\ ou  \\ \texttt{nbrComb}$(6,2)$
  & \texttt{nCr}$(6,2)$ \\
 \tabularnewline\hline
 \fbox{OPTN} \\ puis choisir \\\texttt{PROB} &  \fbox{math}\\ puis choisir \\\texttt{PRB} avec  \fbox{$\blacktriangleright$}  &
 \fbox{2ND} + \fbox{5} + \fbox{7} & \fbox{catalogue} + \fbox{2} \\
 puis choisir \\ \texttt{Probabilités} avec \fbox{$\blacktriangledown$}\\
 puis \\ \texttt{Nombre de combinaisons}\tabularnewline\hline
\end{tabular}
}
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Quelle(s) première(s) constatation(s) pouvez-vous faire sur la valeur des coefficients binomiaux sur une même ligne ?
\item On veut désormais établir un lien entre deux lignes consécutives. Pour cela, on a fait apparaître en couleur 
trois séries de $3$ cellules. \\
Trouver une relation simple entre ces 3 cellules.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\def\Casehachuree{%
  \begin{pspicture}(0,0)(1,0.1)
    \psframe[fillstyle=hlines,linecolor=white](-0.3,-0.3)(1.3,0.7)
  \end{pspicture}
}
\setlength{\arrayrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{yellow}}c| *{5}{>{\centering}p{1.2cm}|}{>{\centering}p{0.5cm}|}*{2}{>{\centering}p{1.2cm}|}{>{\centering}p{0.5cm}|}*{2}{>{\centering}p{1.2cm}|}}\cline{1-6}\cline{8-9}\cline{11-12}
\rowcolor{yellow}\backslashbox{$n$}{$k$}&$0$&$1$&$2$ &$3$ &$4$ &  \multirow{9}*{\cellcolor{white}} &$k$&$k+1$& \multirow{9}*{\cellcolor{white}} &$n$&$n+1$\tabularnewline \cline{1-6}\cline{8-9}\cline{11-12}
$0$ & 	& \Casehachuree		& \Casehachuree		& \Casehachuree & \Casehachuree &	& \Casehachuree	& \Casehachuree &	& \Casehachuree &  \Casehachuree\tabularnewline \cline{1-6}\cline{8-9}\cline{11-12}
$1$ & 	& 		  	& \Casehachuree		& \Casehachuree	& \Casehachuree	&  	& \Casehachuree & \Casehachuree & 	& \Casehachuree&  \Casehachuree \tabularnewline\cline{1-6}\cline{8-9}\cline{11-12}
$2$ & 	& 		 	& 			& \Casehachuree & \Casehachuree	&  	& \Casehachuree & \Casehachuree & 	& \Casehachuree & \Casehachuree\tabularnewline\cline{1-6}\cline{8-9}\cline{11-12}
$3$ &	&\cellcolor{cyan!30} 	& \cellcolor{cyan!30}	& 		& \Casehachuree &  	& \Casehachuree & \Casehachuree & 	& \Casehachuree & \Casehachuree\tabularnewline\cline{1-6}\cline{8-9}\cline{11-12} 
$4$ & 	&			& \cellcolor{cyan!70}	&		&		&  	& \Casehachuree & \Casehachuree & 	& \Casehachuree & \Casehachuree\tabularnewline\cline{1-6}\cline{8-9}\cline{11-12}
\multicolumn{12}{c}{\cellcolor{white} } \tabularnewline\cline{1-6}\cline{8-9}\cline{11-12}
$k$ & 			&			& 			& 		& 	& 	& & \Casehachuree & & \Casehachuree& \Casehachuree\tabularnewline\cline{1-6}\cline{8-9}\cline{11-12}
$k+1$&  		&  			& 			& 		& 	& 		& &  &  & \Casehachuree & \Casehachuree \tabularnewline\cline{1-6}\cline{8-9}\cline{11-12}
\multicolumn{12}{c}{\cellcolor{white} } \tabularnewline\cline{1-6}\cline{8-9}\cline{11-12}
$n$ & 			&			& 			& 		& 	& 	& \cellcolor{yellow!40}& \cellcolor{yellow!40} & & & \Casehachuree\tabularnewline\cline{1-6}\cline{8-9}\cline{11-12}
$n+1$&  		&  			& 			& 		& 	& 		& & \cellcolor{yellow!70} &  & & \tabularnewline\cline{1-6}\cline{8-9}\cline{11-12}
\end{tabular}\\ 
\end{center}

\end{document}

 