\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 9}
\newcommand{\Ch}{Pourquoi avons-nous d\'eriv\'e ?}
\newcommand{\Cl}{1G6}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.4cm,bmargin=1.4cm,lmargin=1.8cm,rmargin=1.8cm}


%\setlength{\parindent}{0pt}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 \pagestyle{empty}
%\setcounter{Acti}{1} 
 \Cadre[Rappels]{Soient $a$ et $h$ deux réels tels que $h\neq 0$.\\
\begin{enumerate}
 \item Si $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ \textbf{existe et est un nombre réel $\ell$}, alors 
le nombre dérivée en $a$ de la \\\\
fonction $f$ est le nombre $\ell$, noté $f'(a)$, et donc tel que :
$$f'(a)=\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$$
\item Graphiquement, si $f$ est dérivable en $a$, alors $f'(a)$ est  \\\\
à la courbe représentative de $f$ 
au point d'abscisse $a$.\\
Plus exactement, l'équation réduite de cette tangente est : $$ $$
\item $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ si $f$ est dérivable en tout $a$ appartenant à $I$.\\
On note $f'$ la fonction ainsi définie, qui à tout $x\in I$ associe le nombre dérivé $f'(x)$. 
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{5cm}|>{\centering}p{4cm}|>{\centering}p{4cm}|}
\hline
\multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $f(x)$} & 
\multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {$f'(x)$} & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} 
{Domaine de d\'erivabilit\'e} \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{-5pt}{8ex} $k$ (nombre fix\'e) &  & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{-5pt}{8ex} $x$ &  & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{-5pt}{8ex} $ax+b$ ($a$ et $b$ fixés) & $ $ & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{-5pt}{8ex} $x^2$  & $ $ & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{-5pt}{8ex} $\dfrac{1}{x}$  & $ $ & $]-\infty;0[\cup ]0 ; + \infty[$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{-5pt}{8ex} $x^n$, $n \in \Z^*$  & $ $ & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{-5pt}{8ex} $\sqrt{x}$  & $ $ & $]0 ; + \infty[$ \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}
}

\newpage

\begin{act}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac13 x^3-2x^2+3x+1$.\\
Sur Géogébra, on a tracé la courbe $\mathscr C_f$ représentant la fonction $f$ et placé un point $A \in\mathscr C_f$,  
d'abscisse $a$.
\begin{enumerate}
\begin{minipage}{8cm}
\item \textbf{Rappels :}
 \begin{enumerate}
  \item Donner l'ordonnée de $A$ en fonction de $a$.
 %\item Rappeler l'interprétation graphique de $f'(a)$.
 \item %En déduire graphiquement les valeurs de $f'(a)$ pour $a=0$, $a=2$ et $a=4$, ainsi que les équation des tangentes
 %à $\mathscr C_f$ aux mêmes points.
 On donne $f'(x)=x^2-4x+3$ pour tout $x\in\R$.\\
 En déduire les équations des tangentes à $\mathscr C_f$  au point d'abscisse $a$ pour $a=0$, $a=2$, $a=4$ et $a=-1$.
  \end{enumerate}
\end{minipage} \quad 
\begin{minipage}{10cm}
\newrgbcolor{ffqqtt}{1 0 0.2}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(5,4)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-2)(5,4)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=7pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle, labels=none,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-2,-2)(5,4)
\psline(5.7,3.32)(6.79,3.32)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=ffqqtt,plotpoints=200]{-2.0}{5.0}{1/3*x^3-2*x^2+3*x+1}
\psline[linestyle=dotted](2,1.67)(2,0)
\psdots[dotstyle=*](6.06,3.32)
\rput[bl](5.94,3.44){$a = 2$}
\rput[bl](-1.2,-1.7){\ffqqtt{$\mathscr C_f$}}
\psdots[dotstyle=x](2,1.67)
\rput[bl](2,1.85){{$A$}}
\rput[bl](1.84,-0.4){\darkgray{$a$}}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\rput[bl](0.5,-0.5){\darkgray{$\vec i$}}
\rput[bl](-0.5,0.3){\darkgray{$\vec j$}}
\rput[tr](-0.05,-0.15){\darkgray{$O$}}
\end{pspicture*}
\end{minipage}
 \item \textbf{Lien entre la dérivée $f'$ de $f$ et les variations de $f$ }:\\
 Sur Géogébra, on a désormais tracé la tangente $T$ en $A$ à la courbe $\mathscr C_f$.
 \begin{enumerate}
  \item En observant la figure dynamique vidéo-projetée, conjecturer :
 \begin{enumerate}
  \item Les valeurs de $a$ pour lesquelles \quad $f'(a)=0$ \qquad $f'(a) >0$ \quad et \quad $f'(a)<0$.
  \item Le tableau de signes de la fonction $f'$.
  \item Le tableau de variations de $f$.
   \end{enumerate}
 \item Quel lien peut-on remarquer entre ces deux tableaux ? L'expliquer de façon intuitive.
 \item On a désormais tracé la courbe $\Gamma$ représentative de la fonction $f'$ et placé un point $M \in \Gamma$,
 de la même abscisse que $A$, donc $x_M=a$.
 \begin{enumerate}
  \item Quelle est l'ordonnée de $M$ ?
 % \item Comment peut-on lire graphiquement son ordonnée de deux manières différentes ?
  \item Que se passe-t-il pour la fonction $f$ sur un intervalle où la courbe $\Gamma$ est en-dessous de l'axe 
  des abscisses ? Au dessus ? Quand elle coupe l'axe des abscisses ?
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 \item \textbf{Applications :}
 \begin{enumerate}
  \item On donne le tableau de signes sur $\R$ de la dérivée $g'$  d'une fonction $g$.
 \begin{center}
  \begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /1,Signe de $g’(x)$/1,Variations de $g$/3 }{$-\infty$,$2$,$6$, $+\infty$}% 
\tkzTabLine{ , - , z , + ,z , - }
\end{tikzpicture} 
 \end{center}
 On sait de plus que $g(2)=-3$ et $g(6)=4$.\\
 Conjecturer le tableau de variation de $g$.
  \end{enumerate}
 \item On appelle $h$ la fonction cube. 
 \begin{enumerate}
  \item En utilisant le signe de $h'$, retrouver les variations de $h$.
  \item Que se passe-t-il pour $h$ quand $h'(x)=0$ ? Quelle est la différence avec les fonctions vues précédemment ?
  \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{act}

\newpage

\begin{theo}
 Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$
\begin{enumerate}
\item $f$ est strictement croissante sur $I$ si, et seulement si pour tout réel $x$ de $I$ on a
\item $f$ est constante sur $I$ si, et seulement si pour tout réel $x$ de $I$ on a
\item $f$ est strictement décroissante sur $I$ si, et seulement si pour tout réel $x$ de $I$ on a 
\end{enumerate}
\end{theo}

\Expl{
Soit $f$ la fonction définie par :
$$f(x) = \dfrac{x^2+1}{-3x^2+2x-1}$$
\begin{enumerate}
 \item Déterminer le domaine de définition de fonction $f$.
 \item On donne pour tout $x\in\R$ :
 $$f'(x)=\dfrac{2\left(x^2+2x-1\right)}{\left(-3x^2+2x-1\right)^2}$$
 \begin{enumerate}
   \item Etablir le tableau de signes de $f'$.
  \item En déduire les tableaux de variations de $f$.
  \item Vérifier graphiquement à la calculatrice vos résultats.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\vspace{4cm}


\begin{act}
 Soient $f$, $g$ et $h$ les fonctions définies par :
$$u(x)=5x-7 \qquad \qquad v(x)= -3 x^2 + 2x-1 \qquad\qquad f(x)=(5x-7)(-3x^2+2x-1) \qquad \qquad g(x)=\dfrac{5x-7}{-3x^2+2x-1} $$
\begin{enumerate}
 \item Déterminer les domaines de définition des fonctions $u$, $v$, $f$ et $g$.
 \item On donne 
 $$u'(x)=5 \qquad \qquad v'(x)=-6x+2 \qquad \qquad f'(x)=-45x^2+62x-19 \qquad \qquad g'(x)=\dfrac{15x^2-42x+9}{(5x-7)^2} $$
 \begin{enumerate}
  \item Aviez-vous les formules nécessaires pour retrouver $u'$, $v'$, $f'$ et $g'$ ?
  \item Calculer et simplifier $u'v+v'u$. Que constatez-vous ?
  \item Calculer et simplifier $u'v-v'u$. Que constatez-vous ?
  \item Etablir les tableaux de signes de $f'$ et $g'$.
  \item En déduire les tableaux de variations de $f$ et $g$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{act}

\newpage

 On a déjà vu le côté pratique de connaître les fonctions dérivées pour établir les variations d'une fonction.
Voyons désormais quelques formules pour trouver les dérivées plus simplement qu'avec la limite du taux de variations.\\

 Dans le tableau suivant, $u$ et $v$ sont deux \textbf{fonctions} d\'erivables sur un intervalle $I$
 et $k$ d\'esigne un nombre r\'eel.\newline
Remarquons que les fonctions ci-dessous sont d\'erivables sur $I$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{5cm}|>{\centering}p{5cm}|} \hline
\multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-3ex]{0pt}{8ex} \textbf{Fonctions}} & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {\textbf{D\'eriv\'ees}} \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $ku$ &    \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $u+v$ &    \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $u\times v$ &      \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $u^n$, $n \in \Z^*$ &      \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $\dfrac{1}{v}$ &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $\dfrac{u}{v}$ &  \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}


\Expls{
Identifier les fonctions $u$ et $v$ dans les fonctions suivantes, puis les dériver, en précisant les domaines de définitions :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
 \item $f_1(x)=5x^3$
 \item $f_2(x)=-2x+\dfrac{1}{x}$
 \item $f_3(x)=3x^2\sqrt{x}$ 
 \item $f_4(x)=(5x^2-2x+3)^7$
 \item $f_5(x)=\dfrac{1}{x^2-1}$
 \item $f_6(x)=\dfrac{3x+2}{4-2x}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\end{document}