\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 7}
\newcommand{\Ch}{Nombre d\'eriv\'e}
\newcommand{\Cl}{1S}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.4cm,bmargin=1.4cm,lmargin=1.8cm,rmargin=1.8cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 
%\setcounter{Acti}{1} 
 
\Act{En Syldavie, Fabrice, grand amateur de Kôsho\footnote{
Le Kôsho est un sport de combat se pratiquant sur deux trampolines séparés d'une mini-piscine. 
L'objectif est de faire tomber son adversaire dans l'eau, en sautant n'importe où et en allant au contact.\\
Ce sport est apparu pour la première fois
de manière fictive, dans la série \og Le prisonnier \fg de Patrick Mc Goohan, à la fin des années 60.\\
Peu après, les fans de la série
ont décidé de lui donner vie de manière officieuse, au niveau amateur. 
Peu à peu, le Kôsho prend de l'ampleur par le bouche à oreille, mais reste encore assez méconnu. \\
Fabrice est actuellement ceinture bleue de Kôsho, mais espère bien obtenir sa ceinture
noire l'an prochain.\\
Notez bien que tout ceci est sans rapport avec notre activité, mais je tenais à le signaler} ,
aime lâcher les sacs des élèves studieux, sans vitesse 
initiale, du haut du quatre-vingt-septième étage des bâtiments du lycée de Gattaca. \\
L'objectif (car il y en a un) est d'étudier la vitesse des sacs. %\\ 
Par ailleurs, chacun sait que la distance parcourue, en mètres, 
par un objet en chute libre sans vitesse initiale, est : 
$$d(t)=\dfrac12 gt^2  \qquad \qquad \text{ où } g \text{ est la constante de pesanteur et vaut environ } 9.81 m.s^{-2}$$
Dans géogébra, Fabrice a tracé la courbe représentative de $d$ :
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=2.cm,yunit=0.06cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-1,-10)(6,130)
\psgrid[xunit=0.5cm,yunit=0.3cm, subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(30,40)
\psset{algebraic=true,dotstyle=x,dotsize=8pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,
arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=10,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)
(0,0)(6,130)
\psplot[linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{0.0}{6.0}{4.9*x^2}
\psline(0.19,186.65)(1.83,186.65)
\rput[bl](5.5,120){\blue{$\mathscr C$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item A partir de la courbe représentative de $d$, comparez les variations de la fonction $d$ sur les intervalles
$[0;2]$, $[2 ; 4]$ et $[4 ; 5]$.
\item Proposez une méthode calculatoire pour quantifier les variations de $d$ sur ces intervalles.
\item Généraliser votre formule pour quantifier les variations de $d$ sur un intervalle $[a;b]$, où $a$ et $b$
sont des réels positifs.
\item Interprétez vos calculs en termes de vitesse d'un sac.
\end{enumerate}
}

\newpage
 
\Act{On reprend le contexte de l'activité précédente.
\begin{enumerate}
 \item Fabrice cherche désormais à estimer une valeur approchée de la vitesse instantanée
 d'un sac au bout de $2$ s. 
  \begin{enumerate}
  \item Proposez-lui une méthode, ainsi qu'une estimation. 
  \item Comment pouvez-vous obtenir une meilleure estimation que celle de votre voisin ? 
\end{enumerate}
  %\item Généraliser votre formule pour quantifier la pente de $d$ en un point d'abscisse $t$.
 \item Fabrice affirme : \og La vitesse instantanée à l'instant $t$ est $v(t) = 9.81 t$ m.s$^{-1}$ \fg. 
 \begin{enumerate}
  \item Expliquez cette affirmation. 
\item Interprétez cette affirmation en terme de pente de la courbe représentative de $d$.
 \end{enumerate}
\item \textbf{Application} : un sac est lâché sans vitesse initiale du quatre-vingt-septième étage.
En considérant que chaque étage fait 3m de haut, calculez, en km/h, 
la vitesse du sac au moment de l'impact au sol.
\end{enumerate}
}

\vspace{1.5cm}

\Act{On reprend le contexte de l'activité précédente.\\
Fabrice, avide de tout savoir, souhaite comprendre l'interprétation graphique du nombre dérivée.
Pour cela, il a complété son graphique dans géogébra ainsi :\\
\begin{minipage}{7cm}
\begin{itemize}
 \item la courbe $\mathscr C$, représentative de la fonction $d$ sur l'intervalle $[0;5]$
(échelle : X:Y = 1:20). 
\item un point $M$ quelconque sur la courbe $\mathscr C$, d'abs\-cisse $t$,
\item un curseur $h$ allant de $-5$ à $5$, d'incrémentation $0.01$, 
 \item le point $M_h$ de la courbe $\mathscr C$ et d'abscisse $t+h$, 
 \item la droite $(MM_h)$, \\\\
%\textit{A ce stade, on fait varier le curseur $h$ pour observer le comportement de la droite $(MM_h)$}.
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-8)(5,80)
\psset{algebraic=true,dotstyle=x,dotsize=8pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,
arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=10,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)
(0,0)(5,80)
\psplot[linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{0.0}{6}{4.9*x^2}
\psline(0.19,186.65)(1.83,186.65)
\psplot{0}{5}{(-42.88--55.13*x)/2.5}
%\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red]{0}{5}{(--4.9-9.8*x)/-1}
\psline[linestyle=dotted,dash=15pt 15pt](0,60.03)(3.5,60.03)
\psline[linestyle=dotted,dash=15pt 15pt](3.5,60.03)(3.5,0)
\psline[linestyle=dotted,dash=15pt 15pt](1,0)(1,4.9)
\psline[linestyle=dotted,dash=15pt 15pt](1,4.9)(0,4.9)
\rput[bl](1.18,0.95){$M$}
\rput[bl](3.62,55.74){$M_h$}
\rput[bl](3.7,74){\blue{$\mathscr C$}}
\rput[b](1,-8){$t$}
\rput[bl](3.3,-5){$t+h$}
\rput[br](-0.1,3){$d(t)$}
\rput[br](-0.1,55){$d(t+h)$}
%\rput[br](3.9,25){\red{$\Delta(t)$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
       \item Déteminez le coefficient directeur de la droite $(MM_h)$ en fonction de $t$ et $h$.
       \item Quel lien peut-on établir avec l'activité précédente ?
\item Faire varier $h$ sur le logiciel puis 
proposez une interprétation graphique du nombre dérivé à Fabrice.
\end{enumerate}
}

\vspace{1.5cm}

\Act{
On reprend le contexte de l'activité précédente. \\
Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $g$ au point d'abscisse :
$$0 \qquad \qquad ; \qquad\qquad 1 \qquad \qquad ;\qquad \qquad 2 \qquad  \qquad ;\qquad \qquad a \text{ avec } a>0$$
}

\newpage

\Cadre[A la calculatrice]{
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$  par $f(x)=x^3-5$. Voici comment faire pour  obtenir $f'(2)$ à la calculatrice :
 \begin{center}
  \begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
  \textbf{Modèle} & \textbf{Affichage dans} & \textbf{Pour obtenir l'instruction}\\
  & \textbf{l'écran de calcul} & \\\hline
 && Appuyer sur \fbox{OPTN} \\
 \textbf{Casio} &
  \texttt{d/dx($x^3-5$,$2$)} & Choisir \, \texttt{CALC}\,  avec \fbox{F4} \\
 &&  Puis \, \texttt{d/dx}\,  avec \fbox{F2}  \\
 %&& Enfin compléter l'instruction comme ci-contre\\
 \hline
  \textbf{ TI 82 à 84} & \texttt{nbreDérivé($x^3-5$,$x$,$2$)} &  Appuyer sur \fbox{math} \\ 
 & &  Choisir \, \texttt{8:nbreDérivé}\\
 %&& Puis compléter l'instruction comme ci-contre\\
 \hline 
 %&& Dans l'écran de calcul\\
  \textbf{TI 89} & $d(x^3-5,x)|x=2$ & Appuyer sur \, \fbox{F3 : Calc}\\
 & puis  $\dfrac{d}{dx}\left(x^3-5\right)|x=2$ & Choisir \, \texttt{1:d( \,\, dérivée}
  % Puis compléter l'instruction comme ci-contre\\
 %&& $d(x^3-5,x)|x=2$ \\
 \\\hline
 %&& Dans l'écran de calcul\\
 && Dans le \, \fbox{Catalogue}\, , Choisir \, \fbox{$2:\int\sum$} \\
  \textbf{TI Nspire} & $\dfrac{d}{dx}\left(x^3-5\right)|x=2$ & Puis dérouler le menu \, \texttt{Analyse}\,
  %avec \, \fbox{$\blacktriangledown$}\,  et \, \fbox{enter}
  \\
 %&& Puis \texttt{\fbox{+} Analyse} avec \fbox{$\blacktriangledown$} et \fbox{enter}\\
 && Choisir  \texttt{ Dérivée en un point ...} 
 %\, avec \, \fbox{$\blacktriangledown$} \, et \, \fbox{enter}
 \\
 && Compléter \texttt{ Variable :} $x$ \, et \,  \texttt{Valeur :} $2$%\\
 %&& Puis compléter l'instruction comme ci-contre
 \\\hline
 \end{tabular}
\end{center}
}
\end{document}

 