\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 4}
\newcommand{\Ch}{Loi Binomiale}
\newcommand{\Cl}{1S}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=2cm,lmargin=1.8cm,rmargin=1.8cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 
\setcounter{Acti}{1} 
 
\Act{\\ 
\textbf{\textit{L'objectif de cette activité est de déterminer les éventuelles racines d'un trinôme dans le cas général.}}\\
On sait que tout trinôme $T(x)=ax^2+bx+c$ ($a\neq 0$) admet une forme canonique du type $a(x-\alpha)^2+\beta$ et 
on a déjà vu deux méthodes pour retrouver cette forme. \\
\textit{Je rappelle que cette forme nous est utile pour déterminer le tableau de variations du trinôme, 
ainsi que ses éventuelles racines.}
\begin{enumerate}
 % \item \textbf{Etablissement d'une condition sur $a$ et $\beta$ pour l'existence de racines :}
 % \begin{enumerate}
 %   \item Montrer que $T(x) = 0 \iff (x-\alpha)^2=-\dfrac{\beta}{a}$
 %   \item A quelle condition nécessaire et suffisante cette dernière équation admet-elle deux solutions ? 
 %   une seule ? zéro ?
 %       \end{enumerate}
 %  \textit{On souhaite trouver une condition qui nous éviterait d'avoir à chercher $\beta$.\\
 %   Pour cela, commençons par chercher l'expression de $\alpha$ et $\beta$ en fonction de $a$, $b$ et $c$.}
\item \textbf{Détermination de $\alpha$ et $\beta$ en fonction de $a$, $b$ et $c$ :}
 \begin{enumerate}
    \item  Développer l'expression $a(x-\alpha)^2+\beta$ et l'ordonner suivant les puissances de $x$.
    \item En déduire que $T(x)=a(x-\alpha)^2+\beta \iff \left\{\begin{array}{l}
                                                               \alpha = -\dfrac{b}{2a} \\ \beta = \dfrac{4ac-b^2}{4a}
                                                              \end{array}\right.$
       \end{enumerate}
 %   \textit{Utilisons désormais ces formules pour simplifier notre condition établie en 1b).}
    \item \textbf{Etablissement d'une condition sur $a$, $b$ et $c$ pour l'existence de racines :}
  \begin{enumerate}
 %   \item Montrer que $-\dfrac{\beta}{a}=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$.
     \item Montrer que $T(x) = 0 \iff (x-\alpha)^2=-\dfrac{\beta}{a} $
     \item Déduire des questions précédentes que $T(x)=0\iff \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$
     \item On note $\Delta$ le nombre $b^2-4ac$. On a donc montrer que 
     $$T(x) = 0 \iff \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$$
     Conclure sur le nombre de solutions de l'équation $ax^2+bx+c=0$ en fonction du signe de $\Delta$% = b^2-4ac$.
     \end{enumerate}
 \item \textbf{Détermination des éventuelles racines :} %On note donc $\Delta$ le nombre $b^2-4ac$. 
 \begin{enumerate}
% \item Grâce aux questions précédentes, montrer que $T(x) = 0 \iff \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$
  \item Déterminer la racine du trinôme quand $\Delta =0$ en fonction de $a$ et $b$.
  \item Déterminer les racines du trinôme quand $\Delta >0$ en fonction de $a$, $b$ et $\Delta$.
  \item Cette dernière formule permet-elle de retrouver la racine quand $\Delta=0$ ?
 \end{enumerate}
 \item \textbf{Application :} Trouver les éventuelles racines réelles du trinôme $2x^2-4x-1$.
\end{enumerate}
}

\vspace{1cm}

\Act{
\textbf{\textit{L'objectif de l'activité est de chercher l'éventuelle forme factorisée du
trinôme \\ $T(x)=ax^2+bx+c$. }}
\begin{enumerate}
 \item Rappeler la forme canonique de $T$ en fonction des coefficients $a$ et $b$ et de son discriminant $\Delta$.
 \item Déterminer la forme factorisée de $T$ si $\Delta =0$.
 \item On se place désormais dans le cas $\Delta \neq 0$.
 \begin{enumerate}
  \item Factoriser par $a$ la forme canonique de $T$ établie en 1).
 \item A quelle condition nécessaire et suffisante sur $\Delta$ peut-on davantage factoriser 
 l'expression trouvée en 2) ?
  \end{enumerate}
 \item On suppose désormais que cette condition est remplie (et $\Delta \neq 0$).
 \begin{enumerate}
 \item Que cela implique-t-il sur l'équation $T(x)=0$ ?
 \item Factoriser alors l'expression de la question 2) pour 
 montrer que $T(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ où $x_1$ et $x_2$ désignent les racines de $T$.
\end{enumerate}
 \end{enumerate}
}

\Act{
\textbf{\textit{L'objectif de l'activité est d'étudier le signe du trinôme $T(x)=ax^2+bx+c$ 
suivant les valeurs de $x$}}.
\begin{enumerate}
 \item \underline{Cas 1 : $\Delta>0$}  \\
 Soient $x_1$ et $x_2$ les racines de $T$, avec $x_1<x_2$. 
 \begin{enumerate}
  \item Rappeler la forme factorisée de $T$ en fonction de $a$, $x_1$ et $x_2$.
   \item  Grâce à cette expression, établir le tableau de signes de $T$ en fonction du signe de $a$ .
 \end{enumerate}
 \item \underline{Cas 2 : $\Delta\leqslant0$}  
 \begin{enumerate}
  \item Rappeler la forme canonique de $T$ en fonction de $a$, $b$ et $\Delta$.
   \item Expliquer pourquoi cette forme est toujours du signe de $a$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\vspace{1cm}
\setcounter{Acti}{3} 

\Act{
\textbf{\textit{L'objectif de l'activité est d'étudier le signe du trinôme $T(x)=ax^2+bx+c$ 
suivant les valeurs de $x$}}.
\begin{enumerate}
 \item \underline{Cas 1 : $\Delta>0$}  \\
 Soient $x_1$ et $x_2$ les racines de $T$, avec $x_1<x_2$. 
 \begin{enumerate}
  \item Rappeler la forme factorisée de $T$ en fonction de $a$, $x_1$ et $x_2$.
   \item  Grâce à cette expression, établir le tableau de signes de $T$ en fonction du signe de $a$ .
 \end{enumerate}
 \item \underline{Cas 2 : $\Delta\leqslant0$}  
 \begin{enumerate}
  \item Rappeler la forme canonique de $T$ en fonction de $a$, $b$ et $\Delta$.
   \item Expliquer pourquoi cette forme est toujours du signe de $a$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\vspace{1cm}
\setcounter{Acti}{3} 

\Act{
\textbf{\textit{L'objectif de l'activité est d'étudier le signe du trinôme $T(x)=ax^2+bx+c$ 
suivant les valeurs de $x$}}.
\begin{enumerate}
 \item \underline{Cas 1 : $\Delta>0$}  \\
 Soient $x_1$ et $x_2$ les racines de $T$, avec $x_1<x_2$. 
 \begin{enumerate}
  \item Rappeler la forme factorisée de $T$ en fonction de $a$, $x_1$ et $x_2$.
   \item  Grâce à cette expression, établir le tableau de signes de $T$ en fonction du signe de $a$ .
 \end{enumerate}
 \item \underline{Cas 2 : $\Delta\leqslant0$}  
 \begin{enumerate}
  \item Rappeler la forme canonique de $T$ en fonction de $a$, $b$ et $\Delta$.
   \item Expliquer pourquoi cette forme est toujours du signe de $a$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\vspace{1cm}
\setcounter{Acti}{3} 

\Act{
\textbf{\textit{L'objectif de l'activité est d'étudier le signe du trinôme $T(x)=ax^2+bx+c$ 
suivant les valeurs de $x$}}.
\begin{enumerate}
 \item \underline{Cas 1 : $\Delta>0$}  \\
 Soient $x_1$ et $x_2$ les racines de $T$, avec $x_1<x_2$. 
 \begin{enumerate}
  \item Rappeler la forme factorisée de $T$ en fonction de $a$, $x_1$ et $x_2$.
   \item  Grâce à cette expression, établir le tableau de signes de $T$ en fonction du signe de $a$ .
 \end{enumerate}
 \item \underline{Cas 2 : $\Delta\leqslant0$}  
 \begin{enumerate}
  \item Rappeler la forme canonique de $T$ en fonction de $a$, $b$ et $\Delta$.
   \item Expliquer pourquoi cette forme est toujours du signe de $a$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\end{document}

 