\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 10}
\newcommand{\Ch}{Une nouvelle op\'eration sur les vecteurs}
\newcommand{\Cl}{1G6}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
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%\setlength{\parindent}{0pt}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 \pagestyle{empty}
%\setcounter{Acti}{1} 

\section{Dans un repère orthonormal}
Dans toute cette partie, on se place dans un repère \textbf{orthonormé} \Oij . \\
On considère $\vec u \left(\begin{array}{c}
                       x \\ y
                      \end{array}\right)$ et $\vec v \left(\begin{array}{c}
                                                            x' \\ y'
                                                           \end{array} \right)$
deux vecteurs dans ce repère.

\subsection{Vecteurs orthogonaux}

\begin{defi}
 On dit que deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont \textbf{orthogonaux} lorsque deux droites de vecteurs directeurs
 $\vec u$ et $\vec v$ sont $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$. \hfill
 On note naturellement $\vec u \ldots\ldots \vec v$.
\end{defi}

\Cadre[Rappels]{
  $\vec u \left(\begin{array}{c}
                       x \\ y
                      \end{array}\right)$ et $\vec v \left(\begin{array}{c}
                                                            x' \\ y'
                                                           \end{array} \right)$
sont \textbf{colinéaires} si et seulement si $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$\\

La norme du vecteur $\vec u $ est \quad $||u|| = \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots 
\iff ||\vec u ||^2 =  \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots $
}

\begin{theo}
 Les vecteurs $\vec u \left(\begin{array}{c}
                       x \\ y
                      \end{array}\right)$ et $\vec v \left(\begin{array}{c}
                                                            x' \\ y'
                                                           \end{array} \right)$
sont \textbf{orthogonaux} si et seulement si $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$
\end{theo}


\noindent \begin{minipage}{8cm}
\Dem{
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-0.2)(5.2,5.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{5} \def\ymin{-1} \def\ymax{5}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-1.2)(5.2,5.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
%\uput{0.3000}[-90.0000](0.0000,0.0000){A}
%\uput{0.3000}[0.0000](3.0000,1.0000){B}
%\uput{0.3000}[120.0000](-1.3000,4.0000){C}
\psline(0.0000,0.0000)(3.0000,1.0000)
\psline(0.0000,0.0000)(-1.3000,4.0000)
\psline(3.0000,1.0000)(-1.3000,4.0000)
%\psline(0.2846,0.0949)(0.1919,0.3802)(-0.0927,0.2853)
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(3,1) \uput[d](1.5,0.5){\small $\vec v$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-1.3,4)(0,0) \uput[d](-0.9,2){\small $\vec u$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-1.3,4)(3,1) \uput[d](1.7,2.9){\small $\vec u+\vec v$}
\endpsclip
\end{pspicture*}
}
     \end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
D'après le théorème de Pythagore on a les équivalences suivantes :
\begin{eqnarray*}
 \vec u \perp \vec v
 &\Longleftrightarrow & \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad \qquad ~ \\
 &\Longleftrightarrow & \\
 &\Longleftrightarrow & \\
 &\Longleftrightarrow & \\
 &\Longleftrightarrow & 
\end{eqnarray*}
\end{minipage}


\Expl{Soient les points $A(1,-2)$, $B(2,3)$, $C(6,1)$ et $D(-4,3)$. 
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles perpendiculaires ?
}

\vspace{3cm}

\subsection{Définition analytique}

\begin{defi}
Soient deux vecteurs $\vec u \left(\begin{array}{c}
                       x \\ y
                      \end{array}\right)$ et $\vec v \left(\begin{array}{c}
                                                            x' \\ y'
                                                           \end{array} \right)$.\\
On appelle \textbf{produit scalaire} de $\vec u$ et $\vec v$, le nombre \textbf{réel} noté
$\vec u\cdot\vec v$ défini par :$$ \vec u \cdot \vec v=\ldots\ldots\ldots\ldots$$
\end{defi}


\Expl{On donne $\vec u(2;3)$ , $\vec v(6;-3)$ et $\vec w (6,-4)$\\
Calculer les produits scalaires des vecteurs deux à deux. Que peut-on en conclure ?}

\vspace{6cm}

\Rqs{\item Ainsi $\vec u \perp \vec v \iff \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$\\
Le produit scalaire nous servira essentiellement à montrer que des vecteurs sont
orthogonaux.\\
\item $\vec u\cdot \vec u=\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$. \hfill
On notera par convention : $\vec u\cdot \vec u=\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$\\\\
De même, si $A$ et $B$ désignent deux points, on a 
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}=\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$\\
\item Si $\vec u=\vec 0$ ou si $\vec v=\vec 0$ alors $\vec u\cdot \vec v=\ldots\ldots$. \hfill  La réciproque est $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$ !\\
On l'a vu dans l'exemple. Trouver autres vecteurs pour lesquels c'est le cas.\\
\vspace{1cm}\\
\item Si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires alors $\vec v=k\vec u$ et par conséquent :
$$ \vec u \cdot \vec v=\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$$
En particulier, si $\vec v = \vec u$ on a déjà vu que $ \ldots\ldots\ldots\ldots$\\\\
Si $\vec v = -\vec u$ on a  $ \ldots\ldots\ldots\ldots$}


\subsection{Propriétés immédiates}

\begin{prop}
Soient trois vecteurs $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ et un réel $\lambda$. Le produit scalaire est une forme
\begin{itemize}
\item \textbf{Bilinéaire} (linéarité par rapport aux deux variables) :\\\\
\indent $\vec u\cdot (\vec v+\vec w)=\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$ \qquad (linéarité par rapport à la première variable)\\\\
\indent $(\vec u+\vec v)\cdot \vec w=\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$ \qquad (linéarité par rapport à la seconde variable)\\\\
\indent $\vec u\cdot \lambda\vec v=\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$\\
\item \textbf{Symétrique} : $\vec u\cdot \vec v=\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$\\
\item \textbf{Définie positive} : $\vec u\cdot \vec u=0\Longleftrightarrow \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$
\end{itemize} 
\end{prop}

\Dem{Dans un repère orthonormal, notons $\vec u(x;y)$, $\vec v(x';y')$ et $\vec w(x'';y'')$. On applique simplement la formule.
\begin{itemize}
\item $\vec u\cdot (\vec v+\vec w)=x(x'+x'')+y(y'+y'')=xx'+xx''+yy'+yy''=xx'+yy'+xx''+yy''=\vec u\cdot \vec v+\vec u\cdot \vec w$\\
$(\vec u+\vec v)\cdot \vec w=(x+x')x''+(y+y')y''=xx''+x'x''+yy''+y'y''=xx''+yy''+x'x''+y'y''=\vec u\cdot \vec v+\vec u\cdot \vec w$\\
$\vec u\cdot \lambda\vec v=x\lambda x'+y\lambda y'=\lambda xx'+\lambda yy'=\lambda\vec u\cdot \vec v=\lambda(xx'+yy')=\lambda(\vec u \cdot \vec v)$
\item $\vec u\cdot \vec v=xx'+yy'=x'x+y'y=\vec v\cdot \vec u$
\item $\vec u\cdot \vec u=0\Longleftrightarrow x^2+y^2=0\Longleftrightarrow x=0 \text{ et }y=0\Longleftrightarrow \vec u=\vec 0$
\end{itemize}
}

\Expls{
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BD}-\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}
=-\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BD}$

\vspace{3cm}

\item $ABCD$ est un rectangle de centre $O$ tel que $AB=4$ et $BC=3$.
Calculer $ \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DB}$ 

\begin{multicols}{2}
\underline{\textbf{Solution :}}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-0.6)(2.7,2.)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.2,-3.2)(3.2,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline(-2.0000,0.0000)(2.0000,0.0000)
\psline(-2.0000,1.5000)(2.0000,1.5000)
\psline(2.0000,0.0000)(2.0000,1.5000)
\psline(-2.0000,0.0000)(-2.0000,1.5000)
\uput{0.3000}[200.0000](-2.0000,0.0000){$A$}
\uput{0.3000}[-20.0000](2.0000,0.0000){$B$}
\uput{0.3000}[160.0000](-2.0000,1.5000){$D$}
\uput{0.3000}[20.0000](2.0000,1.5000){$C$}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,0.75000){$O$}
%\uput{0.3000}[90.0000](-1.7000,0.1000){\begin{small}$\dfrac{\pi}{3}$\end{small}}
\psline(-2.0000,1.5000)(2.0000,0.0000)
\psline(2.0000,1.5000)(-2.0000,0.0000)
%\psarc(-2.0000,1.5000){0.5000}{-90.0000}{-20.5560}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{eqnarray*}
  \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DB}
&= & \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ~\\
&= & \qquad \qquad \qquad \\
&= & AB^2-BC^2 \\
&= & \qquad \qquad \qquad 
\end{eqnarray*}
\end{multicols}
\end{enumerate}
}

\Rq{
Pour calculer un produit scalaire, on peut décomposer un vecteur suivant des 
directions orthogonales. 
}


\Applic{Retrouver, à l'aide du produit scalaire, le fait que les hauteurs d'un triangle sont concourantes.
(n$^{\circ}$ 92 p 377)
\begin{multicols}{2}
\underline{\textbf{Solution :}} \\
Notons $B'$ et $C'$ les projetés orthogonaux de $B$ et $C$ 
respectivement sur $(AC)$ et $(AB)$ et $H=(BB')\cap (CC')$ (intersection de deux des hauteurs). \\
On veut montrer que $H$ appartient à la troisième hauteur, ie que $(AH)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires, 
ou encore que $ \overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}= 0$.\\\\
Remarquons déjà que $ \overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{AC}= 0$ et 
$ \overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{AB}= 0 $.
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.6,-0.6)(4.2,3.6)
\def\xmin{-4} \def\xmax{5} \def\ymin{-1} \def\ymax{5}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-4.2,-1.2)(5.2,5.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[-90.0000](-0.3000,0.1000){$A$}
\uput{0.3000}[0.0000](3.0000,1.0000){$B$}
\uput{0.3000}[120.0000](-0.2000,3.0000){$C$}
\psline(0.0000,0.0000)(3.0000,1.0000)
\psline(0.0000,0.0000)(-0.2000,3.0000)
\psline(3.0000,1.0000)(-0.2000,3.0000)
\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(1.2921,2.0674)
\psline(3.0000,1.0000)(-0.0531,0.7965)
\psline(-0.2000,3.0000)(0.7200,0.2400)
\psline(0.2462,0.8164)(0.2263,1.1158)(-0.0731,1.0958)
%\psline(1.1331,1.8130)(0.8787,1.9720)(1.0377,2.2264)
\psline(0.6251,0.5246)(0.9097,0.6195)(1.0046,0.3349)
\uput{0.3000}[180.0000](-0.0531,0.7965){$B'$}
\uput{0.3000}[-90.0000](0.7200,0.2400){$C'$}
\uput{0.3000}[-90.0000](0.6,1.9){$H$}
\uput{0.2500}[180.0000](1.2921,2.0674){?}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
\vspace{-5mm}
\begin{eqnarray*}
\text{Par conséquent :} \qquad \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} 
& = & \overrightarrow{AH} \cdot \Big( \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots  + \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \Big)\\
&=&  \\
&=& \Big( \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots + \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \Big) \cdot \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots 
+  \\
&=& \\
&=&  \\
&=& 
\end{eqnarray*}
Les droites $(AH)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires, donc la droite $(AH)$ est la hauteur 
issue de $A$ du triangle $ABC$. 
}
 
\section{Indépendance du repère : Autres caractérisations du produit scalaire}

Dans cette partie, on se place dans un repère \textbf{quelconque} \Oij du plan. \\
On désigne par $\vec u $ et $\vec v$ deux vecteurs.

%\subsection{L'indépendance du repère choisi}

\begin{theo}[Formules avec les normes]
\begin{minipage}{8cm}
$\begin{array}{cccl}
\text{On a } & \left(\vec u+\vec v\right)^2 & = & \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ~\\\\
\iff & || \vec u+\vec v||^2  & = &  \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ~\\
\end{array}
$
\end{minipage}\qquad  \begin{minipage}{8cm}
On retiendra \\\\
$ \vec u\cdot \vec v  =  \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ~\\ $
\end{minipage}\\\\\\\\
\begin{minipage}{8cm}
$\begin{array}{cccl}
\text{Et }&  \left(\vec u-\vec v\right)^2 & = & \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ~\\\\
\iff & || \vec u-\vec v||^2 & = & \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ~\\
 \end{array}
$
\end{minipage}\qquad  \begin{minipage}{8cm}
On retiendra \\\\
$ \vec u\cdot \vec v  =  \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ~\\$
\end{minipage}
\end{theo}

\Dem{Grâce aux propriétés du produit scalaire, on a 
\begin{enumerate}
\item $\left(\vec u+\vec v\right)^2=$\\\\\\\\
\item $\left(\vec u-\vec v\right)^2=$\\\\\\\\
\end{enumerate}
Les équivalentes dans chaque cas sont évidentes.
}

\Rq{
  Le produit scalaire de deux vecteurs est donc indépendant du repère choisi. La formule avec les coordonnées n'est valable
  que pour un repère orthonormé cependant.
}

\Expls{Dans un repère $(O;\vec i,\vec j)$ on donne $A(1,1)$, $B(4,1)$ et $C(3,3)$. \\
Calculer de trois manières différentes  $ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$. 
}

\vspace{4cm}

%\subsection{Encore deux formules pour calculer un produit scalaire !}
\begin{theo}[Deux autres caractérisations du produit scalaire]
 \begin{itemize}
  \item Lorsque $\vec u\neq \vec 0$ et $\vec v\neq \vec 0$, on a  
  $\vec u\cdot\vec v=$\\
\item Lorsque $\vec u\neq \vec 0$, on a $\vec u\cdot\vec v=$\\
où $\vec v'$ est le \textbf{projeté orthogonal} de $\vec v$ suivant la direction de $\vec u$ 
 \end{itemize}
\end{theo}

\Dem{Supposons que $\vec u\neq \vec 0$ et $\vec v\neq \vec 0$. 
   Commençons par construire un repère orthonormal :\\
Posons $ \vec i=\dfrac{\vec u}{\mid \mid \vec u\mid \mid }$, et $\vec j$ le vecteur tel que : $(\vec i;\vec j)=\dfrac{\pi}{2}$ et $\mid\mid \vec j\mid\mid=1$\\
Ainsi la base $(\vec i;\vec j)$ est orthonormée directe. Dans cette base, en notant $\theta=(\vec u;\vec v)$ on a :
$$ \vec u\left(\mid\mid\vec u\mid\mid,0\right)\qquad , \qquad \vec v\left(\mid\mid\vec v\mid\mid\cos \theta;\mid\mid\vec v\mid\mid\sin\theta\right)\qquad , \qquad \vec v'\left(\mid\mid\vec v\mid\mid\cos \theta;0\right)$$
D'où : $$ \vec u\cdot\vec v=\mid\mid\vec u\mid \mid \mid\mid\vec v\mid\mid \cos\left(\vec u;\vec v\right)\text{ et }\vec u\cdot \vec v'=\mid\mid\vec u\mid \mid \mid\mid\vec v\mid\mid \cos\left(\vec u;\vec v\right)= \vec u\cdot\vec v$$
}

\Expl{
  $ABC$ est un triangle tel que $ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=18$, $AB=6$ et 
$AC=2 \sqrt{3}$.\\
Calculer la mesure exacte en radians de l'angle $ \widehat{BAC}$ 
}

\vspace{3cm}

\Applic{\begin{enumerate}
\item \textbf{Inégalité triangulaire} : n$^{\circ}$ 57 p 373\\
Remarquons déjà que pour tout $\vec u $ et $\vec v$ on a \quad $\vec u\cdot \vec v=  ||\vec u|| \times||\vec v|| \times \cos(\vec u , \vec v) $ \quad Or $\forall \theta$ on a $\cos \left(\theta\right) \leq 1$.\\
Donc \quad $\vec u \cdot \vec v \leq \mid\mid\vec u\mid\mid \times\mid\mid\vec v\mid\mid$ \quad  Ainsi :
\begin{eqnarray*}
 || \vec u+\vec v||^2  &=&  ||\vec u ||^2 + ||\vec v ||^2 - 2\vec u \cdot \vec v \\
& \leq &  \mid\mid\vec u\mid\mid^2+ \mid\mid\vec v\mid\mid^2+2 \mid\mid\vec u\mid\mid \times\mid\mid\vec v\mid\mid
=   \left(\mid\mid\vec u\mid\mid+\mid\mid\vec v\mid\mid\right)^2
\end{eqnarray*}
Comme les normes sont des nombres positifs, on en déduit que 
$\forall \vec u $ et $\vec v$ on a 
$ ||\vec u+\vec v||\leq  \mid\mid\vec u\mid\mid+\mid\mid\vec v\mid\mid $
\item \textbf{Identité du parallélogramme} : n$^{\circ}$ 83 p 373\\
 Avec les identités précédentes, on a $\left(\vec u+\vec v\right)^2+ \left(\vec u-\vec v\right)^2=2(\vec u^2+\vec v^2)$ \\
Si $ABCD$ est un parallélogramme, en notant $ \overrightarrow{AB}=\vec u $ et $ \overrightarrow{AD}=\vec v$ on obtient une relation entre les diagonales et les côtés du parallélogramme : 
$AC^2+BD^2=2(AB^2+AD^2)$
\end{enumerate}
}

\end{document}