\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Annales}
\newcommand{\Ch}{Logarithme, exponentielle, d\'eriv\'ees}
\newcommand{\Cl}{TST2S}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}
\newcommand{\num}{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutExoCha

\textbf{  \fbox{\textsc{Antilles juin 2010} (Exercice 3)}\hfill 8 points}

\medskip

On s'intéresse à l'évolution d'une culture de bactéries de la salmonellose pendant deux heures.
 
Une étude expérimentale permet d'estimer que le nombre de ces bactéries, en fonction du temps $t$ 
exprimé en minutes, est donné par :
 
\[N(t) = 100 \times (1,02)^t\]
 
\begin{enumerate}
\item On admet que la fonction $N$ a le même sens de variation que la fonction $f$ définie sur 
l'intervalle [0~;~120] par $f(t) = (1,02)^t$.
 
Préciser le sens de variation de $f$ puis celui de $N$ sur l'intervalle [0~;~120]. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant, en arrondissant les 
valeurs à l'unité :
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t$&  0 &20 &40 &60 &80 &100 &120\\ \hline
$N(t)$&&&221&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		\item Construire sur du papier millimétré, la courbe représentative de $N$ dans 
un repère orthogonal d'unités graphiques :
		
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] 1 cm pour 10~min sur l'axe des abscisses, 
\item[] 1 cm pour 100~bactéries sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Préciser le nombre initial de bactéries. 
		\item Calculer le nombre de bactéries au bout de 1~h 10~min. Vérifier ce résultat 
graphiquement. On laissera apparentes les constructions nécessaires.
	\end{enumerate} 
\item Résoudre algébriquement l'équation $N(t) = 800$. Interpréter ce résultat. 
\item Soit $N'(t)$ la dérivée de $N$ sur l'intervalle [0~;~120].
 
On admet que la vitesse d'augmentation de cette population à l'instant $t$ est donnée en bactéries 
par minutes par $N'(t)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire \og  au jugé \fg{} la tangente à la courbe représentative de $N$ 
au point d'abscisse $70$. 
		\item Par lecture graphique, estimer le coefficient directeur de cette tangente. 
		\item En déduire une valeur approchée de la vitesse d'augmentation de la 
population de bactéries au bout de 1~h 10~min.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\textbf{  \fbox{\textsc{La Réunion  juin 2010}  (Exercice 1)}\hfill 5 points}

\medskip
 
Une compagnie d'assurance estime que la valeur marchande d'une machine achetée \np{2000}~euros le 
1\up{er} janvier 2010 baisse de 18\,\% par an.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant au centime d'euro si nécessaire : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année & 2010& 2011 & 2012 &2013 &2014 &2015 &2016 &2017 &2018\\ \hline 
Valeur (en euros)&  \np{2000}& &&&904,24 &&&&\\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip 

\item Montrer que ces valeurs sont les termes d'une suite géométrique dont on précisera la raison. 
\item On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~18] par 

\[f(t) = \np{2000} \times  (0,82)^t.\]
 
On admet que $f$ a les mêmes variations sur [0~é;~18] que la fonction qui à $t$ associe $(0, 82)^t$. 
Quel est le sens de variation de la fonction $f$ sur [0~;~18] ? 
\item Résoudre, par le calcul, l'inéquation : $f(t) \leqslant 500$. 
\item En déduire à partir de quelle année la valeur marchande de la machine est inférieure ou 
égale au quart de sa valeur initiale. Est-ce cohérent avec le tableau de la question 1 ? 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{  \fbox{\textsc{Nouvelle Calédonie novembre 2009} (Exercice 3)}\hfill 7 points}

\medskip

Un laboratoire pharmaceutique étudie l'effet d'une nouvelle molécule d'antibiotique sur un rat 
auquel on a injecté des bactéries.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
L'évolution du nombre de bactéries (en millions) présentes dans un échantillon de sang en 
fonction du temps $t$ (en jours), est donnée par la fonction $f$ définie sur [0~;~1] par : 

\[f(t) = t^3 + t^2 + 0,5.\]
 
La courbe $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$ est représentée dans l'annexe (à joindre à la copie).

\medskip
 
La fonction $f'$, dérivée de la fonction $f$, exprime la vitesse de prolifération des bactéries à 
un instant donné.
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer $f'(t)$. 
\item  Calculer  $f'(0,5)$ et l'interpréter en terme de vitesse de prolifération des bactéries.
\end{enumerate} 
 
\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  \emph{Question de cours :}
 
On appelle $g$ la fonction définie sur [1~;~10] par
 
\[g(t) = 0,8^t.\]

 Donner, en justifiant, les variations de $g$. 
\item  Au bout d'une journée, on administre à l'animal sa première dose d'antibiotique.
 
On estime que le nombre de bactéries (en millions) présentes dans un échantillon de sang, en 
fonction du temps (en jours), est donnée par la fonction $h$, définie sur [1~;~10] par :
 
\[h(t) = 3\times(0,8)^t + 0,1\]
 
	\begin{enumerate}
		\item  En admettant que $g$ et $h$ ont le même sens de variation, dresser le 
tableau de variations de la fonction $h$ sur [1~;~10]. 
		\item  Reproduire et compléter le tableau suivant en donnant les 
résultats à $10^{-1}$ près.
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Temps $t$ en jours &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 & 8& 9& 10 \\ \hline% 
\begin{tabular}{l l}
Nombre de bac-\\téries en millions\\ \end{tabular} &  & &1,6 & & &  & &&0,5& \\ \hline%  
\end{tabularx}

\medskip 		 
 
		\item  Construire, \emph{dans le repère donné en annexe}, la représentation 
graphique $\mathcal{C}_{h}$ de la fonction $h$. 
		\item  On considère que l'animal est en bonne voie de guérison quand la quantité 
de bactéries présentes dans l'échantillon devient inférieure à 1 million.
		 
Au bout de combien de jours, après le début du traitement, peut-on considérer l'animal en voie de 
guérison ?
 
\emph{Toute méthode présentée avec cohérence sera acceptée.} 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie (exercice 3)}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.6cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(10.5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(10.5,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=4,gridcolor=gray,subgridcolor=gray](0,0)(10.5,4)
\uput[d](10.4,0){$t$}
\uput[r](0,4){Nombre de bactéries en millions}
\uput[u](10,0){Temps en jours}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1pt]{0}{1}{x dup mul x 1 add mul  0.5 add}
\uput[r](0.75,1.5){$\mathcal{C}_{f}$}
\end{pspicture}

\end{center}

\textbf{  \fbox{\textsc{Métropole septembre 2011} (Exercice 3)}\hfill 9 points}

\medskip

Lorsque l'on consomme de l'alcool, le taux d'alcool dans le sang varie en fonction du temps 
écoulé depuis l'absorption.
 
On appelle \og alcoolémie \fg{} le taux d'alcool dans le sang ; l'alcoolémie est souvent 
mesurée en grammes par litre (g.$\ell^{-1}$). 

Un homme de 80~kg a bu un double whisky et deux verres de vin, ce qui correspond à 60~g d'alcool. 

Le graphique ci-dessous représente l'évolution de son alcoolémie en fonction du temps $t$, 
exprimé en heures, écoulé depuis l'absorption d'alcool.

\medskip

\psset{xunit=1.5cm,yunit=3.75cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.8,-0.2)(7.25,1.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.2,comma=true]{->}(0,0)(7.25,1.25)
\multido{\n=0.00+0.25}{29}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](\n,0)(\n,1.2)}
\multido{\n=0.0+0.1}{13}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](0,\n)(7,\n)}
\uput[d](5,-0.2){Temps écoulé depuis l'absorption en heures}
\rput{90}(-0.8,0.6){Alcool\'emie en g.$\ell^{-1}$}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{0}{0.5}{2.88 x mul 0.032 add x dup mul 1.92 mul sub}
\pscurve[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](0.5,0.992)(0.75,1.06)(1,1.02)(1.25,0.96)(1.5,0.9)(1.75,0.845)(2,0.795)(2.25,0.74)(2.5,0.69)(2.75,0.64)(3,0.6)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{3}{7}{0.8 x exp 1.25 mul 0.04 sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip
 
\textbf{Partie A :}

\medskip 

\emph{Dans cette partie, les résultats seront déterminés graphiquement.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Au bout de quel temps $t$ l'alcoolémie de l'homme est-elle maximale? 
Donner une valeur approchée de cette alcoolémie. 
\item Le code de la route en vigueur autorise la conduite avec une alcoolémie maximale de 
0,5~g.$\ell^{-1}$.
 
Sachant que l'homme doit faire un long trajet pour rentrer chez lui, au bout de combien de temps 
pourra-t-il prendre sa voiture sans être en infraction ? 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B :}

\medskip 

On appelle $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~7] qui est représentée par la courbe 
utilisée dans la partie A.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item L'expression de la fonction $f$ sur l'intervalle [3~;~7] est donnée par : 

\[f(t) = 1,25 \times 0,8^t - 0,04. \] 

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer par le calcul l'alcoolémie de l'homme au bout de 4~h~30~min, 
puis son alcoolémie au bout de 6~h~15~min. Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de 
chacun des résultats. 
		\item Résoudre, sur l'intervalle [3~;~7], l'inéquation 
		
\[1,25 \times 0,8^t - 0,04 < 0,5.\]
		
Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même 
infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
 
L'expression donnée plus haut pour la fonction $f$ sur l'intervalle [3~;~7] ne convient pas pour 
l'intervalle [0~;~1]. L'allure de la courbe de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~1] fait 
penser à la représentation graphique d'une fonction du second degré. 

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~1] par : 

\[g(t) = -1,92 t^2 + 2,88 t + 0, 032.\]
 
Etudier les variations de cette fonction sur l'intervalle [0~;~1]. 

L'expression $-1,92t^2 + 2, 88t + 0, 032$ pourrait-elle convenir pour $f(t)$ sur l'intervalle 
[0~;~1] ? 
\end{enumerate}

\textbf{  \fbox{\textsc{La Réunion juin 2010} (Exercice 3)}\hfill 9 points}

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Le ministère de la santé charge une agence de publicité de faire une campagne de promotion pour un 
nouveau remède. Une étude prouve que la fréquence $f(t)$ de personnes connaissant le nom de ce 
remède après $t$ semaines de publicité est donnée par : 

\[f(t) = \dfrac{3t}{3t + 2} \quad \text{avec}~t \geqslant 0.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(2)$. 
\item En déduire le pourcentage de personnes qui ignorent le nom de ce remède au bout de deux 
semaines. 
\item Comment peut-on interpréter la valeur de l'image de $0$ par $f$ ? 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Une représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~18] est 
donnée en annexe dans un repère orthogonal.
 
Unités graphiques : 1~cm sur l'axe des abscisses et 10~cm sur l'axe des ordonnées.
 
\begin{enumerate}
\item  On admet que $f$ est dérivable sur [0~;~18] et que sa dérivée est donnée par
 $f'(t) =  \dfrac{6}{(3t + 2)^2}$.
 
Etudier les variations de la fonction $f$ sur [0~;~18]. 
\item Calculer le nombre dérivé de $f$ en $t = 1$. 
\item $T$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse 1. Quel est son 
coefficient directeur ? 
\item Tracer $T$ sur la feuille annexe (à rendre avec la copie). 

\item Tracer les droites $D$ d'équation $y = 0,90$ et $D'$ d'équation $y = 0,95$.
 
Déterminer graphiquement le nombre de semaines de campagne nécessaires pour que 90\,\% de la 
population connaisse le nom du remède.
 
Combien de semaines sont nécessaires pour passer de 90\,\% à 95\,\% ?
 
On laissera les traits de construction apparents. 
\item Le ministère a décidé d'arrêter la campagne au bout de six semaines. Justifier ce choix. 
\end{enumerate}


\newpage

\begin{center}\textbf{Annexe à rendre avec la copie :} Exercice 3


\vspace{1.5cm}
 
Représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ (exercice 3) :

\psset{xunit=1cm,yunit=10cm}
\rotateleft{
\begin{pspicture}(-0.5,-0.1)(18.5,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.1)(18.5,1.1)
\uput[d](18.5,0){$t$}\uput[l](0,1.1){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0}{18}{3 x mul 3 x mul 2 add div}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(18,1)
\multido{\n=0.00+0.05}{21}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(18,\n)}
\end{pspicture}} 

\end{center}

\end{document}
