\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Ch}{D\'eriv\'ee de fonctions}
\newcommand{\Cl}{TST2S}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,vmargin=1.9cm,hmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutExoCha

\emph{Les exercices 1, 2 et 3 sont des Questionnaires à Choix Multiple.}
\emph{Aucune justification n'est demandée.}
\emph{Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées} (\textbf{a, b} ou \textbf{c}) 
\emph{est correcte. La recopier sur la copie.}\\

\textbf{\textsc{Exercice 1}   \hfill 5 points}

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[- 4~;~ 5]$, et $\mathcal{C}_{f}$ sa représentation graphique 
dans le repère orthogonal donné ci-dessous.

La courbe $\mathcal{C}_{f}$ passe par les points A$(-4 ; 49)$ ; B$(-3 ; 0 )$ ; C $(1 ; -16)$ et D$( 5 ; -32)$ 
ainsi que par les points S$_{1}(-1 ; -32 )$ et
S$_{2}$(3 ; 0 ).

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1.1cm,yunit=0.08cm}
\begin{pspicture}(-4,-52)(5,52)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=8]{->}(0,0)(-4,-52)(5.2,54)
\uput[d](5,0){$x$} \uput[l](0,52){$y$}
\uput[r](-4,49){A} \uput[ur](-3,0){B} \uput[ul](1,-16){C} 
\uput[dl](5,-32){D} \uput[u](-1,-32){S$_{1}$} \uput[u](3,0){S$_{2}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000]{-4}{5}{x 2 exp 3 mul x 3 exp sub 9 x mul add 27 sub}
\multido{\n=-4+0.25}{37}{\psline[linestyle=dotted,griddots=10](\n,-52)(\n,52)}
\multido{\n=-52+4}{27}{\psline[linestyle=dotted,griddots=10](-4,\n)(5,\n)}
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(-1.5,-32)(-0.5,-32)
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(2.5,0)(3.5,0) 
\psdot[dotstyle=x](-4,49)\psdot[dotstyle=x](-3,0) \psdot[dotstyle=x](1,-16) 
\psdot[dotstyle=x](5,-32) \psdot[dotstyle=x](-1,-32) \psdot[dotstyle=x](3,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{6.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
&\textbf{a}& \textbf{b}& \textbf{c}& \textbf{Points}\\ \hline
\textbf{1.} $f(0) =$& $-3$ et 3& $-27$& 0 &0,5\\ \hline
\textbf{2.} Les solutions de l'équation $f(x) = 0$ sont :& $-27$& $-3$ et 3& Aucune& 0,5\\ \hline
\textbf{3.} Le nombre de solutions de l'équation $f(x) = - 6$ est :& 1& 2& 3& 0,5\\ \hline
\textbf{4.} $f'(- 1) =$& $-1$&  0& 1& 1\\ \hline
\textbf{5.} $f(x)$ est strictement positif sur : &$[ -4 ~;~ -3 [$& [ 0~ ;~ 3 [& ] 3~ ; ~5]& 0,5\\ \hline
\textbf{6.} La droite (BC) a pour équation :& {\small $y = -4x + 12$}&  $y = 4x - 12$& $y = - 4x - 12$& 0,5\\ \hline
\textbf{7.} Les solutions de l'équation $f'(x)= 0$ sont :& $-1$ et 3& $-3$ et 3& 0& 1\\ \hline
\textbf{8.} Les solutions de l'inéquation $f'(x) \geqslant  0$ sont :& $[ -4 ~;~ 3 ]$ &$[ -1 ~;~ 3 ]$& [ 0~;~ 5 ]& 0,5\\ \hline
\end{tabularx}\\


\textbf{\textsc{Exercice 2}   \hfill 6 points}

\emph{Chaque réponse correcte rapportera 1 point.}

\medskip

Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative dans un repère orthogonal d'une fonction $f$ de la 
variable $t$, définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~7].

La fonction dérivée de $f$ est notée $f'$. On donne : $f'(1) = 0$.

\medskip

\psset{unit=1.25cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(8,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=5](0,0)(8,3)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000]{0}{7}{6.7957 x mul 2.71828
x exp div}
\uput[d](8,0){$t$} \uput[l](0,3){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  L'équation $f(t) = 1$ admet sur [0~;~7] :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a} deux solutions ;& \textbf{b} une solution ;& \textbf{c} aucune solution\\ 
\end{tabularx}
\item Sur l'intervalle [1~;~4] :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.} $f$ est croissante ;& \textbf{b.} $f$ est décroissante ;& \textbf{c.} $f$ n'est ni croissante ni 
décroissante\\
\end{tabularx}
\item Sur l'intervalle [0~;~7] :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.} $f'(t) \geqslant 0$ ;& \textbf{b.} $f'$ change de signe ;& \textbf{c.} $f'(t)\leqslant  0$\\
\end{tabularx}

Une substance est injectée par voie intramusculaire. Elle passe progressivement du muscle au sang puis est 
éliminée par les reins. On admet que la quantité de substance contenue dans le sang (exprimée en cg) en 
fonction du temps $t$ (exprimé en heures) peut être modélisée par la fonction $f$ définie ci-dessus.
\item La quantité de substance contenue dans le sang est maximale :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.} au bout de 7 heures ;& \textbf{b.} au bout de 3 heures ;& \textbf{c.} au bout d'une heure\\
\end{tabularx}
\item On peut estimer la quantité de substance contenue dans le sang au bout de 1 heure et 30 minutes à environ :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.} 2,5 cg ;& \textbf{b.} 2,3 cg ;& \textbf{c.} 3 cg\\
\end{tabularx}

\item La substance n'est efficace que si la quantité présente dans le sang est supérieure ou égale à 1~cg.
L'intervalle de temps durant lequel la substance est efficace est approximativement :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.} [0,2~;~3] ;& \textbf{b.}  [0~;~0,2] ;& \textbf{c.} [3~;~7]\\
\end{tabularx}

\end{enumerate}


\textbf{\textsc{Exercice 3}   \hfill 6 points}

\emph{Chaque réponse correcte rapportera 1 point.}

\medskip

On étudie la concentration d'un médicament dans le sang à partir du moment où il est absorbé. 
Cette concentration $c$, exprimée en mg par litre de sang, est donnée en fonction du temps (exprimé en minutes). 
Elle est représentée par la courbe suivante :

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.05cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-20,-5)(220,65)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=10]{->}(0,0)(-10,-5)(220,65)
\multido{\n=0+10}{23}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,65)}
\multido{\n=0+5}{14}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(220,\n)}
\uput[u](210,0){temps} \rput{90}(-20,50){concentration (mg/l)}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000]{0}{220}{x 20 div 2.71828 3 x sub 20 div  exp mul 140 mul}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La concentration est maximale au bout de :
\begin{center}\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~ 60 minutes ; &\textbf{b.}~  20 minutes ; &\textbf{c.}~ 160 minutes\\
\end{tabularx} \end{center}
\item   La concentration du médicament est supérieure à 50 mg/l pendant
\begin{center}\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~ moins de minutes ; &\textbf{b.}~ environ 25 minutes ; &\textbf{c.}~ environ 35 minutes\\
\end{tabularx} \end{center}
\item   Au bout de 20 minutes, la concentration
\begin{center}\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~  diminue à vitesse constante ; &\textbf{b.}~ diminue rapidement puis lentement ; &\textbf{c.}~ 
augmente fortement puis diminue\\
\end{tabularx} \end{center}
\item   Au bout d'une heure, la dérivée de la fonction c est :
\begin{center}\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~  positive ; &\textbf{b.}~ négative ; &\textbf{c.}~ nulle\\
\end{tabularx} \end{center}
\item   Entre 30 et 60 minutes la dérivée de la fonction vaut environ :
\begin{center}\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~  $-2$ ; &\textbf{b.}~ $-4$ ; &\textbf{c.}~ $-1$\\
\end{tabularx} \end{center}
\item   Entre 40 et 80 minutes la courbe représentative de la fonction $c$ :
\begin{center}\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~  est au dessus de toutes ses tangentes ; &\textbf{b.}~ est en dessous de toutes ses tangentes ; &\textbf{c.}~ traverse l'une de ses tangentes\\
\end{tabularx} \end{center}
\end{enumerate}




\textbf{\textsc{Exercice 4}   \hfill 5 points}

Le graphique ci-dessous représente l'évolution de la quantité en mg d'un médicament en fonction du temps en 
heure après
injection dans le sang.

On note $f(t)$ cette quantité à l'instant $t$ et $\mathcal{C}$ sa représentation graphique. On suppose $f$ 
définie et dérivable sur [0~;~10].
Les droites (OA) et (BB$'$) sont les tangentes à $\mathcal{C}$ respectivement en O et en B.

\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-1.9,-2.5)(11,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.75,-2.5)(11,11)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-1,-3)(11,11)
\psplot{-0.75}{1.1}{x 10 mul}
\psplot{-0.5}{7.416}{6.4 1.2 x mul sub}
%\psplot[linecolor=purple]{0}{2}{4 x mul 2.71828 x 1 sub  exp div 1 add}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=1000]{0}{1}{x 3 exp 55 mul x 2 exp 330 mul add x 640 mul sub x 3 exp 55 mul 44 x mul add x  2 exp 86 mul sub 64 sub div}
\psbezier[linecolor=blue](1,5)(1.2,5)(1,5.2)(2,4)
\psbezier[linecolor=blue](2,4)(3,3.1)(3,2.8)(4,2.3)
\psbezier[linecolor=blue](4,2.3)(5,1.9)(5,1.9)(6,1.6)
\psbezier[linecolor=blue](6,1.6)(8,1.08)(8,1.18)(10,1)
\uput[u](10.75,0){$t$} \uput[r](0,10.75){$y$}\uput[dr](1,10){A} \uput[ur](2,4){B}\uput[ur](7,-2){B$'$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](1,10)(2,4)(7,-2)\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item  Lire graphiquement le tableau de variations de la fonction $f$ sur [0~;~10].
\item   Quelle est la quantité maximale atteinte par $f$ ? A quel instant observe-t-on ce maximum ?
\item   La droite (OA) est tangente à la courbe de la fonction $f$.

A partir d'une lecture graphique, donner la valeur de $f'(0)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la 
fonction $f$.

Que représente $f'(0)$ pour le médicament injecté, en précisant l'unité.
\item   De même, déterminer graphiquement le nombre dérivé $f'(2)$.
Quel est son signe ? Qu'est-ce que cela signifie pour la quantité de médicament dans le sang ?
\item   Le médicament est efficace à partir de 2~mg. Déterminer graphiquement, à 0,1~près, 
l'instant à partir duquel le médicament
commence à être efficace et celui à partir duquel il cesse de l'être. En déduire sa durée d'efficacité en minutes.

A quel instant faudrait-il refaire une injection du médicament afin d'assurer la continuité de son 
efficacité ? Expliquer le raisonnement.
\end{enumerate}

%\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 5}   \hfill 6 points}

A la suite d'une épidémie de gastroentérite dans une région, on a modélisé le nombre de personnes malades, 
$t$ jours après l'apparition des premiers cas, par la fonction $f$, définie et dérivable sur l'intervalle 
[0~;~45], d'expression : 
\[f(t) = 45t^2 - t^3.\]

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la fonction $f'$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$, est définie sur [0~;~45] par : 
$f'(t) = 3t(30 - t)$.
\item  Etudier le signe de $f'$ sur [0~;~45] puis dresser le tableau de variation de $f$ sur [0~;~45].

Combien de jours après le début de cette épidémie le nombre maximal de malades est-il atteint ?
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

On donne la représentation de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère.\\

\begin{center}
\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.0006cm}
\begin{pspicture}(-5,0)(60,14000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=1000]{->}(0,0)(-5,0)(60,14000)
\multido{\n=-5+2.5}{27}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,14000)}
\multido{\n=0+500}{29}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.3pt](-5,\n)(60,\n)}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000]{0}{45}{x 2 exp 45 mul x 3 exp sub}
\uput[d](63,0){$t$ (en jours)}
\uput[r](-7,14500){nombre de malades}
\end{pspicture}\\
\end{center}

Le nombre dérivé $f'(t)$ modélise la vitesse de l'évolution de la maladie $t$ jours après le début de l'épidémie.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $f'(1)$. Un jour après le début de l'épidémie, quelle est l'augmentation par jour du nombre de 
malades ?
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter le tableau de valeurs suivant :
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
$t$	& 0	& 5	& 10	& 15	& 20	& 25	& 30	& 35	& 40\\ \hline
$f'(t)$	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item  Combien de jours après le début de l'épidémie la maladie cesse-t-elle de progresser ?
		\item  D'après ce tableau, au bout de combien de jours la progression de la maladie 
semble-t-elle la plus rapide ?
		\item  Le nombre dérivé $f'(45)$ a-t-il une signification dans le contexte de cette étude ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}