\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Ch}{D\'eriv\'ees de fonctions}
\newcommand{\Cl}{TST2S}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2cm, tmargin=2cm}

\setcounter{NumLecon}{3}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


\debutCha{larmes.eps}{Larmes}{Man Ray}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{
Man Ray, né Emmanuel Rudzitsky en 1890, à Philadelphie, est un peintre, 
photographe et réalisateur de films, acteur du dadaïsme à New York, puis du surréalisme à Paris. \\
Sa carrière commence à New York, avec son ami proche Marcel Duchamp. Ils forment la branche américaine du mouvement 
Dada. Après quelques expériences artistiques infructueuses, Man Ray conclut que « Dada ne peut pas vivre à New York ».\\
En 1921 Man Ray arrive à Paris où il rencontre divers surréalistes. 
Il s'installe dans le quartier du Montparnasse, rencontre 
et tombe amoureux de la chanteuse française et modèle Kiki de Montparnasse. Man Ray révolutionne l'art photographique. \\
Avec notamment Max Ernst, Joan Miró et Pablo Picasso, il présente ses oeuvres à la première exposition surréaliste 
de la galerie Pierre à Paris en 1925.
En 1928, il tourne son troisième film Les Mystères du château de Dé.\\
En 1940, après la défaite de la France, Man Ray s'embarque pour les États-Unis 
en compagnie du couple Dalí et du cinéaste René Clair.  
A Hollywood, il reçoit des propositions d'exposition, rencontre une femme, Juliet, et décide de se remettre 
à peindre.\\
Man Ray est mort le 18 novembre 1976, à Paris. 
Inhumé au cimetière du Montparnasse), on peut lire sur sa tombe son épitaphe : « Unconcerned, but not indifferent » (« Détaché, mais pas indifférent »).
  }{0.7}{0.8}

\TITRE{violon_Ingres.eps}{1}


\begin{abstract}

\end{abstract}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours
Dans tout le chapitre, le plan est rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal $\left( O ; \vec i ; \vec j \right)$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Rappels sur les fct
\section{G\'en\'eralit\'es sur les fonctions}
\subsection{Vocabulaire}
\Defc{
Une \textbf{fonction} est un proc\'ed\'e qui fait correspondre \`a un \'el\'ement d'un ensemble de d\'epart \textbf{au plus} un \'el\'ement
 d'un ensemble d'arriv\'ee (donc 0 ou 1 élément).\newline
L'\textbf{image} d'un nombre $x$ (de l'ensemble de d\'epart) par la fonction $f$ est \textbf{le} nombre $f(x)$ correspondant (dans l'ensemble d'arriv\'ee), 
s'il existe.\newline
Un \textbf{ant\'ec\'edent} d'un nombre $y$ (de l'ensemble d'arriv\'ee) par la fonction $f$ est \textbf{un} nombre $x$ (dans l'ensemble de d\'epart) 
tel que $f(x)=y$, s'il existe.
}

\Rq{
Cette année, on ne s'intéresse qu'aux fonctions qui transforment un nombre réel en un autre.
}

\begin{center}
\scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(0,-3.225182)(15.809301,3.200182)
\psbezier[linewidth=0.04](1.8037467,1.4698179)(2.771089,1.7232912)(5.510614,-0.37842974)(5.203747,-1.3301821)(4.8968797,-2.2819345)(1.1955498,-2.4362645)(0.6037467,-1.6301821)(0.011943579,-0.82409954)(0.8364043,1.2163446)(1.8037467,1.4698179)
\psbezier[linewidth=0.04](12.003747,2.669818)(11.143788,2.1594536)(10.146678,-0.4997159)(10.703747,-1.3301821)(11.260816,-2.1606483)(13.926682,-2.2596028)(14.703747,-1.6301821)(15.480811,-1.0007614)(15.789301,1.2591846)(15.203747,2.069818)(14.618193,2.8804512)(12.863705,3.180182)(12.003747,2.669818)
\psdots[dotsize=0.12](1.5037467,0.0698179)
\uput{0.20000}[150.0000](1.5037467,0.0698179){$d$}
\psdots[dotsize=0.12](12.503747,2.069818)
\uput{0.3000}[0.0000](12.503747,2.069818){$c$}
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\uput{0.3000}[100.0000](14.203747,0.0698179){$y=f(x)$}
\psdots[dotsize=0.12](14.803747,1.1698179)
\uput{0.3000}[0.0000](14.803747,1.1698179){$e$}
\psdots[dotsize=0.12](11.503747,-0.6301821)
%\uput{0.3000}[0.0000](11.503747,-0.6301821){$e$}
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\psdots[dotsize=0.12](4.103747,-0.7301821)
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\uput{0.2000}[-120.0000](1.0037467,-0.9301821){$x$}
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%\uput{0.3000}[0.0000](3.0037467,-1.730182){$r$}
\pscustom[linewidth=0.04]
{
\newpath
\moveto(2.2037468,0.7698179)
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}
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}
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{
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\moveto(2.6037467,-0.5301821)
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\curveto(10.378747,-0.055182096)(10.603746,-0.1801821)(10.703747,-0.2301821)
\curveto(10.803747,-0.2801821)(11.003747,-0.3801821)(11.103746,-0.4301821)
\curveto(11.203747,-0.4801821)(11.353746,-0.5551821)(11.503747,-0.6301821)
}
\pscustom[linewidth=0.04]
{
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\moveto(3.4037466,-1.230182)
\lineto(5.6537466,-1.5301821)
\curveto(6.7787466,-1.6801821)(8.853746,-1.8051821)(9.803747,-1.7801821)
\curveto(10.753747,-1.7551821)(12.028747,-1.6301821)(12.353746,-1.5301821)
\curveto(12.678747,-1.4301821)(12.978746,-1.3301821)(12.903747,-1.3301821)
}
\pscustom[linewidth=0.04]
{
\newpath
\moveto(0.97467,-0.9301821)
\lineto(2.1537466,-1.6801821)
\curveto(2.7787466,-2.055182)(4.4037466,-2.630182)(5.4037466,-2.830182)
\curveto(6.4037466,-3.0301821)(7.853747,-3.205182)(8.303747,-3.180182)
\curveto(8.753747,-3.1551821)(9.678747,-3.1051822)(10.153747,-3.080182)
\curveto(10.628747,-3.055182)(11.653747,-2.9051821)(12.203747,-2.7801821)
\curveto(12.753747,-2.6551821)(13.478746,-2.330182)(13.653747,-2.130182)
\curveto(13.828747,-1.9301821)(14.028747,-1.5551821)(14.053747,-1.3801821)
\curveto(14.078747,-1.2051821)(14.103746,-0.8801821)(14.103746,-0.7301821)
\curveto(14.103746,-0.5801821)(14.128747,-0.3051821)(14.153747,-0.1801821)
\curveto(14.178747,-0.055182096)(14.203747,0.09481791)(14.203747,0.16981791)
}
\pscustom[linewidth=0.04]
{
\newpath
\moveto(4.8237467,-1.3301821)
\lineto(6.6537466,-0.9801821)
\curveto(7.578747,-0.8051821)(9.203747,-0.3551821)(9.903747,-0.0801821)
\curveto(10.603746,0.1948179)(11.353746,0.4698179)(11.503747,0.4698179)
}
\psline[linewidth=0.04cm](14.003747,-0.030182097)(14.203747,0.16981791)
\psline[linewidth=0.04cm](14.203747,0.16981791)(14.303747,-0.030182097)
\psline[linewidth=0.04cm](12.703747,-1.20182)(12.903747,-1.3301821)
\psline[linewidth=0.04cm](12.903747,-1.3301821)(12.703747,-1.5801821)
\psline[linewidth=0.04cm](11.403747,-0.4301821)(11.503747,-0.6301821)
\psline[linewidth=0.04cm](11.503747,-0.6301821)(11.303747,-0.7301821)
\psline[linewidth=0.04cm](11.303747,0.5698179)(11.503747,0.4698179)
\psline[linewidth=0.04cm](11.503747,0.4698179)(11.403747,0.2698179)
\psline[linewidth=0.04cm](12.403747,2.369818)(12.503747,2.069818)
\psline[linewidth=0.04cm](12.503747,2.069818)(12.103746,2.069818)
\psline[linewidth=0.04cm](12.103746,1.9698179)(12.503747,2.069818)
\psline[linewidth=0.04cm](12.503747,2.069818)(12.303747,1.8698179)
\uput{1.50000}[-90.0000](2.5000,-2.0000){\textbf{Ensemble de d\'epart $\R$ :  antécédents}}
\uput{1.5000}[-90.0000](13.0000,-2.0000){\textbf{Ensemble d'arriv\'ee $\R$ : images}}
\uput{1.5000}[-90.0000](8.30000,4.50000){\textbf{Fonction $f$}}
\end{pspicture} 
}

\end{center}

\vspace{5mm}

\Rqs{
%\item On note souvent une fonction $f$ (mais on peut les appeler comme on veut).
\item Un nombre de départ possède 0 ou 1 image par $f$.\\
Ici, $a$ possède une image par $f$, c'est $c$. On note $f(a)=c$.\\
Tandis que $d$ ne possède pas d'image par $f$. On dit que $d$ est une 
\textbf{valeur interdite} de $f$. \\
Attention : $e$ n'est pas une valeur interdite !.
\item Un nombre de départ ne peut pas avoir plusieurs image à l'arrivée, 
par contre, plusieurs éléments de départ peuvent avoir la même image à l'arrivée.\\
Ici, il ne peut pas y avoir une deuxième flèche partant de $a$.\\
Mais $a$ et $b$ sont tous les deux reliés à $c$.
 \item Un élément de l'arrivée peut avoir plusieurs d'antécédents au départ, comme un seul, 
ou aucun.\\
Ici, $e$ ne possède pas d'antécédent par $f$. \\
Par contre, $y$ en possède 1, c'est $x$. On a donc $f(x)=y$.\\
Et, $c$ possède 2 antécédents par $f$, il s'agit de $a$ et $b$. On a donc $f(a)=f(b)=c$
}



\Expls{Certaines formules apprises en géométrie sont des fonctions : elles associent aux dimensions d'une figure géométrique
une unique longueur, aire, volume ... 
\begin{itemize}
 \item La formule du p\'erim\`etre d'un cercle est la fonction qui \`a tout nombre positif $R$ associe \textbf{le} nombre 
$ 2\pi R$.
\item La formule de l'aire d'un triangle est la fonction qui à tout couple de nombres positifs $(b;h)$ associe \textbf{le} nombre $\dfrac{b\times h}{2}$\\
\end{itemize}
}


\Cadre[Méthodes]{
Pour trouver l'image d'un nombre par une fonction, on remplace l'inconnue dans l'expression de la fonction par ce nombre
et on compte.\\
Pour trouver les éventuelles antécédents d'un nombre par une fonction, on résoud l'équation avec d'un côté du \og $=$ \fg\, 
l'expression de la fonction, de l'autre, le nombre.
}

\Expl{Soit la fonction 
\begin{eqnarray*}
f:&\R &\rightarrow \R  \\
&x& \mapsto x^2-3
 \end{eqnarray*}
D\'eterminer l'image de 3, puis celle de $-1$. \newline
D\'eterminer les éventuels ant\'ec\'edents de 12, $-3$, et de $-6$.
}


\Exop{Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par : $f(x)=2x^2+x+3$.\newline
Calculer l'image de $0$, l'image de $1$ et l'image de $\sqrt{2}$.\newline
D\'eterminer le(s) ant\'ec\'edent(s) de 3 par $f$
}


\Defc{L'\textbf{ensemble de définition} d'une fonction $f$, noté $D_f$, est l'ensemble de tous les réels, 
sauf ceux qui ne possèdent pas d'image par $f$ (appelés valeurs interdites).\\
Les valeurs interdites sont les valeurs de l'inconnue qui mènent à un calcul impossible dans l'expression de $f$.
Les calculs impossibles sont la division par $0$ et la racine carré d'un nombre négatif.
}


\Expls{L'ensemble de d\'efinition de la fonction carr\'e est $\R$,car on peut toujours calculer le carré d'un nombre.\\
Celui de la fonction inverse est $\R^*$, car on nne peut pas diviser par $0$.\\
Celui de la fonction racine carr\'ee est $\R^+$, car on ne peut pas calculer la racine carré d'un nombre négatif.
}

\Exop{
\begin{enumerate}
 \item Soit $f$ la fonction d\'efinie par $f(x)=x^2-3x+1$. Trouver son ensemble de d\'efinition.
 \item Soit $g$ la fonction d\'efinie par $g(x)=\dfrac{3x-1}{4-x}$. Trouver son ensemble de d\'efinition.
 \item Soit $h$ la fonction d\'efinie par $h(x)=\sqrt{x+1}$. Trouver son ensemble de d\'efinition.
\end{enumerate}
}

\Defc{
La \textbf{courbe repr\'esentative} d'une fonction $f$ d\'efinie sur $D_f$ est l'ensemble des points de 
coordonn\'ees $\left(x;f(x)\right)$ o\`u $x$ parcourt $D_f$.
}


\Expl{Soit la fonction $a$ d\'efinie par $a(x)=x^3 -3x +1$. Tracer l'allure de sa courbe repr\'esentative.
}


\Cadre[Méthode]{
Pour vérifier qu'un point $A(x_A ; y_A)$ appartient à la courbe représentative d'une fonction $f$, on remplace
l'inconnue dans l'expression de $f$ par $x_A$, on compte, et on compare avec $y_A$ pour conclure.
}

\subsection{Variations}


\Defc{Soit $f$ une fonction d\'efinie sur un intervalle $I$.  On dit que :
\begin{itemize}
 \item  $f$ est strictement croissante sur $I$ si $f$ conserve l'ordre sur $I$. \\
Autrement dit, pour tous r\'eels $a$ et $b$ de $I$ tels que $a<b$, 
leurs images sont dans le même ordre ($f(a)< f(b)$).
 \item  $f$ est strictement décroissante sur $I$ si $f$ inverse l'ordre sur $I$. \\
Autrement dit, pour tous r\'eels $a$ et $b$ de $I$ tels que $a<b$, leurs images sont dans l'ordre inverse ($f(a) > f(b)$).
\item  $f$ est constante sur $I$ si pour tous r\'eels $a$ et $b$ de $I$, leurs images sont égales ($f(a)= f(b)$).
\end{itemize}
}
\Rqs{
\item Graphiquement, une fonction est strictement croissante sur $I$, si et seulement si sa courbe repr\'esentative \og monte \fg sur $I$
\item Graphiquement, une fonction est strictement d\'ecroissante sur $I$, si et seulement si sa courbe repr\'esentative \og descend \fg sur $I$
\item Graphiquement, une fonction est constante sur $I$, si et seulement si sa courbe repr\'esentative est une droite parall\`ele \`a l'axe des 
abscisses sur $I$
}

\Expls{\begin{multicols}{3}
\begin{center}
    \psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
    \begin{pspicture*}(-3,-5)(1.8,2)
    \def\xmin{-3} \def\xmax{2} \def\ymin{-5} \def\ymax{2}
    \psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.1,-5.1)(2.1,2.1)
    \def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
    \def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
    \psclip{%
    \psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
    }
    \newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
    \newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
    \newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
    \def\F{0.5 x 3 exp mul}
    \psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2.5}{2}{\F}
    \psdot(-2,-4) \uput[u](-2,0){$a$}\uput[r](0,-4){$f(a)$}
    \psline[linestyle=dashed](-2,0)(-2,-4)(0,-4)

    \psdot(1,0.5) \uput[d](1,0){$b$}\uput[r](-1.3,0.5){$f(b)$}
    \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,0.5)(0,0.5)

    \endpsclip
    \psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
    \uput[dl](0,0){0}
    \pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
    \pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
    \end{pspicture*}
\newline
Pour $a<b$ on a $f(a)<f(b)$\newline
$f$ est croissante \newline
%\end{center}
%\begin{center}
    \psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
    \begin{pspicture*}(-1,-1)(4.8,6)
    \def\xmin{-1} \def\xmax{5} \def\ymin{-1} \def\ymax{6}
    \psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-1.1,-1.1)(5.1,6.1)
    \def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
    \def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
    \psclip{%
    \psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
    }
    \newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
    \newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
    \newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
    \def\F{1 0.5 x mul div}
    \psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.0001}{5}{\F}
    \psdot(0.5,4) \uput[d](0.5,0){$a$}\uput[l](0,4){$f(a)$}
    \psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,4)(0,4)

    \psdot(4,0.5) \uput[d](4,0){$b$}\uput[l](0,0.5){$f(b)$}
    \psline[linestyle=dashed](4,0)(4,0.5)(0,0.5)

    \endpsclip
    \psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
    \uput[dl](0,0){0}
    \pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) 
    \pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) 
    \end{pspicture*}
\newline
Pour $a<b$ on a $f(a)>f(b)$\newline
$f$ est d\'ecroissante \newline
%\end{center}
%\begin{center}
    \psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
    \begin{pspicture*}(-1.5,-2)(3.3,5)
    \def\xmin{-1.5} \def\xmax{3.5} \def\ymin{-2} \def\ymax{5}
    \psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-1.6,-2.1)(3.6,5.1)
    \def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
    \def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
    \psclip{%
    \psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
    }
    \newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
    \newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
    \newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
    \def\F{2}
    \psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{3.5}{\F}
    \psdot(-1,2) \uput[d](-1,0){$a$}\uput[ul](0,2){$f(a)$}
    \psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,2)

    \psdot(2,2) \uput[d](2,0){$b$}\uput[ur](0,2){$f(b)$}
    \psline[linestyle=dashed](2,0)(2,2)

    \endpsclip
    \psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
    \uput[dl](0,0){0}
    \pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
    \pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
    \end{pspicture*}
\newline
Pour $a<b$ on a $f(a)=f(b)$\newline
$f$ est constante \newline
\end{center}
\end{multicols}
}

On r\'esume les variations d'une fonction dans des tableaux de variations.

\Expls{
 \begin{multicols}{2}
Tableau de variations des fonctions affines
\begin{center}
$a<0$\\ 
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1, Variations de $ax+b$/2, Signe de $ax+b$/1.5}{$-\infty$,$-\dfrac{b}{a}$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+ / , R / ,- / }
\tkzTabIma{1}{3}{2}{$0$}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\end{tikzpicture}\\
$a>0$\\
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1,Variations de $ax+b$/2, Signe de $ax+b$/1.5}{$-\infty$,$-\dfrac{b}{a}$,$+\infty$}
\tkzTabVar{- / , R / ,+ / }
\tkzTabIma{1}{3}{2}{$0$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\end{tikzpicture}\\

%\end{center}
%\begin{center}
Tableau de variations de la fonction carr\'e\\

 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1,Variations de $x^2$/2, Signe de $x^2$/1.5}{$-\infty$,$0$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+ / ,  - /$0$ ,  + / }
\tkzTabLine{,+,z,+}
\end{tikzpicture}\\

%\end{center}
Tableau de variations de la fonction inverse\\

%\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1,Variations de $\dfrac{1}{x}$/2,Signe de $\dfrac{1}{x}$/1.5}{$-\infty$,$0$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+ / , -D+/ , - / }
\tkzTabLine{,-,d,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}
       \end{multicols}
}


\Exos[Intervalle]{n$^{\circ}$ 82-83 p 107 (associer des tableaux de variations \`a des courbes repr\'esentatives de fonctions et r\'eciproquement) }


\newpage
\section{D\'eriv\'ees}

\subsection{Tangente et nombre d\'eriv\'e}


\Defc[Tangente]{
Beaucoup trop difficile pour \^etre expos\'ee ici, on se contentera de l'id\'ee suivante : la tangente d'une courbe au point d'abscisse A 
est une droite qui passe par A en fr\^olant la courbe (sauf pour les droites où la tangente est confondue avec la droite).}

\Expl{\begin{multicols}{2}
       Voici une courbe dont nous avons trac\'e la tangente en $0,5$
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2,-3)(3,3)
\def\xmin{-2} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=3](0,0)(-5,-5)(5,5)
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{2 x 5 exp mul 2 x 4 exp mul sub 3 x 2 exp mul sub x add 1 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-5}{5}{\F}
\def\G{0 2.375 x mul sub 1.875 add}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-5}{5}{\G}

\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture*}
\end{center}
      \end{multicols}
}
\Defc{\textbf{(Aspect Graphique)}\newline
On dit qu'une fonction $f$ est d\'erivable en $a$ si elle admet une tangente au point d'abscisse $a$ \underline{non verticale} .\newline
Le coefficient directeur de cette tangente est alors appel\'e \textbf{nombre d\'eriv\'ee de $f$ en $a$} et not\'e $f'(a)$.
}

\begin{multicols}{2}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-1)(3,5)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-1} \def\ymax{5}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=3](0,0)(-3,-1)(3,5)
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 2 exp}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-5}{5}{\F}
\def\G{2 x mul 0 1 sub add}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{3}{\G}
\psline{->}(2,1)(2,3)
\psline{->}(1,1)(2,1)
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture*}

\Expl{Consid\'erons la courbe de la fonction carr\'ee et sa tangente au point d'abscisse 1. Par lecture graphique on obtient $f'(1)=2$} 
\end{multicols}

\Exop{La représentation graphique $\mathscr C_f$ d'une fonction $f$ est donnée ci-dessous. En chacun des points indiqués, $\mathscr C_f$ admet une tangente qui est tracée.\newline
Lisez, en vous servant du quadrillage, les nombres dérivés :
$$ f'(-5)\qquad f'(-3)\qquad f'(-1) \qquad f'(0) \qquad f'(2) \qquad f'(4)\qquad f'(6)\qquad f'(9)$$}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-5,-5.5)(10.5,4.5) 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=3](0,0)(-5,-5)(10,5) 
\psaxes{->}(0,0)(-5,-5.5)(10,5) 
\psaxes(0,0)(-5,-3)(9,5) 
\HermiteDDL(-5,1,1,1)(-3,2,-2,1)(-1,-2,3,1)(0,2,1,1)(2,1,0,1)(4,0,0.666,3)(6,-2,-2,1)(9,2,0.5,1)(10,-1,-4,0) 
\uput[ur](7.6,-1.7){$\mathscr C_f$}
\end{pspicture*} 
\end{center} 

\Exop{La représentation graphique $\mathscr C_f$ d'une fonction $f$ est donnée ci-dessous. En chacun des points indiqués, $\mathscr C_f$ admet une tangente qui est tracée.\newline
Lisez, en vous servant du quadrillage, les nombres dérivés :
$$ f'(-3)\qquad f'(-1)\qquad f'(2) \qquad f'(3) \qquad f'(5)$$}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-5,-5.5)(10.5,4.5) 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=3](0,0)(-5,-5)(10,5) 
\psaxes{->}(0,0)(-5,-5.5)(10,5) 
\psaxes(0,0)(-5,-3)(9,5) 
\HermiteDDL(-5,3,2,0)(-3,-2,-1,1)(-1,1,-2,1)(2,-4,3,1)(3,4,0.333,1)(5,-1,0,1)(10,-3,-4,0) 
 \uput[ur](2,1){$\mathscr C_f$}
\end{pspicture*} 
\end{center} 

\Exop{La représentation graphique $\mathscr C_f$ d'une fonction $f$ est donnée ci-dessous. En chacun des points indiqués, $\mathscr C_f$ admet une tangente qui est tracée.\newline
Lisez, en vous servant du quadrillage, les nombres dérivés :
$$ f'(-3)\qquad f'(-1)\qquad f'(2) \qquad f'(3) $$}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-5,-1.5)(5.5,6.5) 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=3](0,0)(-5,-1)(5,6) 
\psaxes{->}(0,0)(-5,-1.5)(5,6) 
\psaxes(0,0)(-5,1)(4,7) 
\HermiteDDL(-5,1,-2,0)(-3,5,1,1)(-1,0,3,1)(2,2,0,1)(3,5,1.333,1)(5,-1,1,0)
 \uput[ur](2,1){$\mathscr C_f$}
\end{pspicture*} 
\end{center} 


\subsection{Fonctions D\'eriv\'ees}

\Act{On donne la courbe $\mathscr C$ représentative de la fonction carré $f : x \longmapsto x^2$.}
\begin{center}
 \psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-1)(3,5)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-1} \def\ymax{5}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=3](0,0)(-3,-1)(3,5)
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 2 exp}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-5}{5}{\F}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item Soit $A$ un point de $\mathscr C$, d'abscisse $a$. Que représente $f'(a)$ pour la tangente à $\mathscr C$
 en $A$ ?
 \item D\'eterminer graphiquement $f'(2)$ o\`u $f(x)=x^2$, puis $f'(0.5)$, $f'(0)$, $f'(-1)$. 
\item Conjecturer une formule pour déterminer par le calcul le nombre dérivé de la fonction carré en un point d'abscisse donnée.
 \item On désigne par $f'$ la fonction qui, à tout nombre réel $x$, associe le nombre dérivé de $f$ en $x$.\\
Ainsi, pour tout nombre réel $x$, on a $f'(x)=2x$.
\begin{enumerate}
 \item Calculer $f'(-4)$, $f'(0)$, $f'(10)$ et $f'\left(\dfrac23\right)$.
 \item Résoudre dans $\R$ l'équation $f'(x)=-2$.\\
Donner une interprétation graphique du résultat obtenu. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\Defc{On dit qu'une fonction $f$ est d\'erivable sur un intervalle $I$ lorsque $f$ admet pour tout $x\in I$ un nombre d\'eriv\'e $f'(x)$.\newline
On appelle alors \textbf{fonction d\'eriv\'ee} la fonction not\'ee $f'$, qui a un nombre $x\in I$ associe le nombre $f'(x)$ 
c'est-\`a-dire le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $x$.}

\subsection{Dérivées des fonctions de r\'ef\'erences}

\Act{
\begin{enumerate}
 \item Soit $f$ la fonction constante égale à $5$ sur $\R$. 
\begin{enumerate}
 \item Quelle est l'allure de sa courbe représentative ?
 \item Quelle est le coefficient directeur de la tangente en $3$ ? en $-2$ ? en $0$ ?
 \item En déduire sa fonction dérivée.
 \item Conjecturer la fonction dérivée d'une fonction constante dans le cas général.
\end{enumerate}
\item Mêmes questions pour la fonction affine $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = 3x+1$
\end{enumerate}
}

 Le tableau suivant est admis et \`a conna\^itre absolument par coeur :
\begin{table}[h]
\center
\caption{Tableau des d\'eriv\'ees des fonctions de r\'ef\'erences}
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{4cm}|>{\centering}p{4cm}|>{\centering}p{4cm}|}
\hline
\multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $f(x)$} & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {$f'(x)$} & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {Domaine de d\'erivabilit\'e} \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $k$ (constante) & 0 & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $x$ & 1 & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $ax+b$ (affine) & $a$ & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $x^2$ (carr\'ee) & $2x$ & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $x^3$ (cube) & $3x^2$ & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $x^n$ (puissance) & $nx^{n-1}$ & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $\dfrac{1}{x}$ (inverse) & $-\dfrac{1}{x^2}$ & $\R\textbackslash\{0\}$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $\sqrt{x}$ (racine) & $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ & $\R^+$ \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
\newline
\Expl{\begin{enumerate}
       \item Si $f(x)=3$ alors $f'(x)=0$ \textit{[formule 1]} : en effet si $f$ est une fonction constante, sa courbe est confondue avec sa tangente de pente nulle.
\item Si $f(x)=x^4$ alors $f'(x)=4x^3$ \textit{[Formule 6]}
      \end{enumerate}
}

\Exop{On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur $\R$ o\`u $f(x)=x^3$
\begin{enumerate}
 \item Tracer la courbe repr\'esentative $C_f$ de la fonction $f$.
\item On admet que $f'(x)=3x^2$ (cette formule est \`a conna\^itre par coeur)
\begin{enumerate}
 \item Calculer $f'(0)$ ; $f'(2)$ et $f'(-1)$.
 \item Tracer les tangentes de $f$ en $0$ ; $2$ et $-1$ 
\item Trouver l'\'equation r\'eduite de chacune.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exos{4-7-8-9-11-14 p 101}

\section{Propriétés}

\subsection{Op\'erations sur les fonctions d\'erivables }
\Act{p96
}
 Le tableau suivant est admis et \`a conna\^itre absolument par coeur. \newline
$u$ et $v$ sont deux fonctions d\'erivables sur un intervalle I et $k$ est un nombre r\'eel.\newline
Remarquons que les fonctions ci-dessous sont d\'erivables sur I.

\begin{table}[h]
\center
\caption{Op\'erations sur les d\'eriv\'ees}
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{5cm}|>{\centering}p{7cm}|}
\hline
\multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-2ex]{0pt}{6ex} Fonctions} & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {D\'eriv\'ees} \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $ku$ & $ku'$ \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $u+v$ & $u'+v'$  \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $u- v$ & $u'-v'$  \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
\Expl{\begin{enumerate}
       \item Si $f(x)=2x+3+x^2$ alors $f'(x)=(2x+3)'+(x^2)'=2+2x$ \textit{[formule 2]}
\item Si $f(x)=5x^3$ alors $f'(x)=5\times(x^3)'=5\times3x^2=15x^2$ \textit{[formule 1]}
      \end{enumerate}
}


\Exos{16 \`a 49 p 102
}

\subsection{Sens de variation et extrema}

\Act{
p98}

Consid\'erons une fonction $f$ d\'erivable sur un intervalle I.\newline

\Thc{\textbf{Admis}
\begin{enumerate}
 \item Si pour tout $x\in I$ on a $f'(x)>0$, la fonction $f$ est strictement croissante sur I, et r\'eciproquement.
\item Si pour tout $x\in I$ on a $f'(x)<0$, la fonction $f$ est strictement d\'ecroissante sur I, et r\'eciproquement.
\item Si pour tout $x\in I$ on a $f'(x)=0$, la fonction $f$ est constante sur I, et r\'eciproquement.
\end{enumerate}
}

\Att{
Ne pas confondre le signe de la fonction et le signe de sa dérivée !
}

Rappelons que le but de ce chapitre est entre autre de pouvoir dresser le tableau de variation d'une fonction sans pour autant conna\^itre sa repr\'esentation graphique. Or pour l'instant nous avons besoin de conna\^itre sa courbe afin de lire le nombre d\'eriv\'ee. Aussi nous allons voir dans la prochaine partie que nous pouvons calculer un nombre d\'eriv\'ee sans conna\^itre la repr\'esentation graphique de la fonction.

\Expls{
Voici les tableaux de variation de la fonction carré et de la fonction inverse, trouvés à partir de leur fonction dérivée.
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
Fonction carr\'e\\
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1,Signe de la dérivée $2x$/1.5,Variations de $x^2$/2, Signe de $x^2$/1.5}{$-\infty$,$0$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+ / ,  - /$0$ ,  + / }
\tkzTabLine{,+,z,+}
\end{tikzpicture}\\

Fonction inverse\\
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1,Signe de la dérivée $-\frac{1}{x^2}$/1.5,Variations de $\dfrac{1}{x}$/2,Signe de $\dfrac{1}{x}$/1.5}{$-\infty$,$0$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,d,-}
\tkzTabVar{+ / , -D+/ , - / }
\tkzTabLine{,-,d,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{multicols}
}

\Ptec{
Soit $x_0$ appartenant \`a $I$, distinct des extr\'emit\'es de $I$
\begin{itemize}
\item Si $f$ a un extremum local en $x_0$, alors $f'(x_0)=0$ 
\item Si $f'(x_0)=0$ et si $f'$ change de signe en $x_0$, alors $f$ a un extremum local en $x_0$
\end{itemize}
Dans les deux cas, cet extremum vaut $f(x_0)$.
}

\Expls{
La fonction carr\'e admet un minimum en $0$, la fonction cube n'admet pas d'extremum.}

\Rq{Les extremums locaux sont \`a rechercher \`a partir des nombrres o\`u la d\'eriv\'ee s'annule.
}

\Exos[Intervalle]{
50 \`a 67 p 103 + 78 \`a 81 p 106 (Position de la courbe par rapport \`a sa tangente)
}


\section{Rappels utiles sur les tableaux de signes}

\subsection{Signe de $ax+b$}

\Act{
\begin{enumerate}
 \item Etude du signe de $2x-3$ :
 \begin{itemize}
  \item Tracer \`a la calculatrice la repr\'esentation graphique de la fonction $f(x)=2x+3$
  \item R\'esumer le signe de l'expression $2x+3$ dans ce tableau :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1,Signe de $2x+3$/1.5}{$-\infty$,$\dots$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,,z,}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\item M\^emes questions pour les expression $-3x-4$, $4x-5$,$-\dfrac{2}{3}x+8$.
\item Conjecturer un tableau g\'en\'eral pour le signe de $ax+b$ avec $a \neq 0$  (on distinguera deux cas).
\end{enumerate}
}

\Ptec[Signe d'une fonction affine]{
Soit $f$ la fonction affine d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$ avec $a \neq 0$. \\
Alors $f(x)=0$ pour $x=-\dfrac{b}{a}$ \quad et 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=4]{$x$/1,Signe de $ax+b$/1.2}{$-\infty$,$-\dfrac{b}{a}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,\text{Signe Opposé de } $a$,z,\text{Signe de }$a$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

\Rq{On retiendra que la fonction est du signe de $a$ à \textbf{droite} du 0 (du signe opposé sinon).}

%\Exop{\'Etablir le tableau de signe des expressions $5x-3$, $-x+1$ et $\dfrac{1}{2}x+4$}

\subsection{Signe d'un produit du type $(ax+b)(cx+d)$}
Gr\^ace \`a la r\`egle des signes dans une multiplication, on peut trouver le signe du produit d'expressions du type $ax+b$. 
On utlise pour cela un tableau de signes, afin d'\^etre plus rapide.

\Act{Etudions le signe des certaines fonctions.
\begin{enumerate}
 \item La fonction $l$ définie sur $\R$ par $l(x)=35x^2+38x+8$ :
\begin{enumerate}
 \item Donner graphiquement le tableau de signes de $l$ (grâce à la calculatrice).
 \item Vérifier que pour tout $x\in \R$ on a $l(x)=(5x+4)(7x+2)$
 \item Résoudre $l(x)=0$.
  \item En déduire le tableau de signes exact de $l$.
\end{enumerate}
 \item Soient les fonctions $m$ et $n$ définies sur $\R$ par $m(x)=-2x+1$ et $n(x)=-6x-2$.
\begin{enumerate}
 \item Etablir le tableau de signes des fonctions $m$ et $n$
 \item Etablir graphiquement le tableau de signe de la fonction $p$ définie sur $\R$ par \\
$p(x)=(-2x+1)(-6x-2)$.
 \item Comment retrouver ce résultat par le calcul ?
 \item Etablir graphiquement le tableau de signe de la fonction $r$ définie sur $\R$ par $r(x)=\dfrac{-2x+1}{-6x-2}$.
 \item Comment retrouver ce résultat par le calcul ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Cadre[Signe d'un produit (ou d'un quotient)]{
Gr\^ace \`a la r\`egle des signes dans une multiplication (ou une division), 
on peut trouver le signe d'un produit (ou d'un quotient) d'expressions du type $ax+b$.\\
Pour cela, on commence par résoudre l'équation produt nul (ou le dénominateur égal à 0, ainsi que le numérateur) , puis on utlise 
un grand tableau de signes.\\
Sur la dernière ligne, on trouve le signe du produit (ou du quotient) en appliquant la règle des signes.
}
\Att{
\begin{itemize}
 \item On ne peut pas appliquer cette règle pour une addition d'expressions, car on n'a pas de règle de signes dans 
ce cas là !
% \item $(ax+b)(cx+d)$ est positif quand $ax+b$ et $cx+d$ sont tous les deux positifs certes, 
%mais aussi quand ils sont tous les deux négatifs !\\
%Ceci est long à écrire, lors d'une résolution classique. Le tableau de signe s'avère alors rapide et efficace pour trouver 
%le signe de ce type d'expressions.
\item On notera que $0$ multiplié par n'importe quoi donne $0$. \\
Par contre, n'importe quoi divisé par $0$ donne une valeur interdite !
\end{itemize}
}

\Expls{
\begin{enumerate}
 \item On souhaite résoudre $(2x+1)(-x+2)\leq 0$. On commence par résoudre : 
$$(2x+1)(-x+2)=0 \iff 2x+1 =0 \quad \text{ou } \quad -x+2 = 0 \iff x=-\dfrac12 \quad x=2$$
On établit le tableau de signe de cette expression :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3]{$x$/1,Signe de $2x+1$/0.7, Signe de $-x+2$/0.7, Signe de $(2x+1)(-x+2)$/1.2}{$-\infty$,$-\dfrac{1}2$,$2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,0,+,t,+}
\tkzTabLine{,+,t,+,z,-}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Conclusion : $(2x+1)(-x+2)=0 \text{  ssi } x\in \left\{-\dfrac12 ; 2 \right\}$
$$(2x+1)(-x+2)>0 \text{ ssi } x\in\left]-\dfrac12 ; 2\right[ \qquad \text{et} \qquad 
 (2x+1)(-x+2)<0 \text{ ssi } x\in \left]-\infty ; -\dfrac12 \right[ \cup \Bigg] 2 ; + \infty \Bigg[$$
L'ensemble des solutions de l'in\'equation $(2x+1)(-x+2)\leq 0$ est donc $S=\left]-\infty ; -\dfrac12 \right] \cup \Bigg[ 2 ; + \infty \Bigg[$
 \item Résoudre $Q(x)=\dfrac{2x+1}{-x+2} \leq 0$.\\
On sait que $2x+1=0 \iff x=-\dfrac12$ \qquad et on sait  que $-x+2=0 \iff x=2$ (valeur interdite). \\
On a donc le tableau de signes suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3]{$x$/1,Signe de $2x+1$/0.7, Signe de $-x+2$/0.7, Signe de $\dfrac{2x+1}{-x+2}$/1.2}{$-\infty$,$\dfrac{1}2$,$2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,0,+,t,+}
\tkzTabLine{,+,t,+,z,-}
\tkzTabLine{,-,z,+,d,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}
L'ensemble des solutions de l'in\'equation $Q(x)\leq 0$ est donc $S=\left]-\infty ; -\dfrac12 \right] \cup \Bigg] 2 ; + \infty \Bigg[$
\end{enumerate}
}


\Exop{Etablir les tableaux de signes des expressions suivantes :
$$ (3x+4)(-2x+1)  \qquad \qquad x^2-6x  \qquad\qquad x^2-9 \qquad\qquad \dfrac{-x+5}{-4-2x} \qquad \qquad 3x(x^2+1)  \qquad \qquad -2(x-5)^2$$}

\Exos[Intervalle]{Applications (Type BAC) : 102-103-104-105-107-108 p 114}



\end{document}