\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{Statistiques \`a deux variables}
\newcommand{\Cl}{TST2S}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2.5cm, tmargin=2cm}

\setcounter{NumLecon}{2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


\setcounter{NumLecon}{1}
\debutCha{larmes.eps}{Larmes}{Man Ray}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{
Man Ray, né Emmanuel Rudzitsky en 1890, à Philadelphie, est un peintre, 
photographe et réalisateur de films, acteur du dadaïsme à New York, puis du surréalisme à Paris. \\
Sa carrière commence à New York, avec son ami proche Marcel Duchamp. Ils forment la branche américaine du mouvement 
Dada. Après quelques expériences artistiques infructueuses, Man Ray conclut que « Dada ne peut pas vivre à New York ».\\
En 1921 Man Ray arrive à Paris où il rencontre divers surréalistes. 
Il s'installe dans le quartier du Montparnasse, rencontre 
et tombe amoureux de la chanteuse française et modèle Kiki de Montparnasse. Man Ray révolutionne l'art photographique. \\
Avec notamment Max Ernst, Joan Miró et Pablo Picasso, il présente ses oeuvres à la première exposition surréaliste 
de la galerie Pierre à Paris en 1925.
En 1928, il tourne son troisième film Les Mystères du château de Dé.\\
En 1940, après la défaite de la France, Man Ray s'embarque pour les États-Unis 
en compagnie du couple Dalí et du cinéaste René Clair.  
A Hollywood, il reçoit des propositions d'exposition, rencontre une femme, Juliet, et décide de se remettre 
à peindre.\\
Man Ray est mort le 18 novembre 1976, à Paris. 
Inhumé au cimetière du Montparnasse), on peut lire sur sa tombe son épitaphe : « Unconcerned, but not indifferent » (« Détaché, mais pas indifférent »).
  }{0.7}{0.8}

\TITRE{violon_Ingres.eps}{1}


\begin{abstract}
Dans ce chapitre vous allez étudier les statistiques portant sur deux caractères simultanément, afin d'étudier leur lien, par le calcul et graphiquement.\\
Cela sera l'occasion pour vous de réviser ce que vous avez appris les années précédentes sur les droites.
\end{abstract}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Fréquences conditionnnelles}
\Act{Activité p 40
}

Sur une population, on peut étudier plusieurs caractères simultanément (quantitatifs ou qualitatifs), notamment pour voir s'il existe des liens entre eux.\\
Nous nous contenterons dans ce chapitre d'étudier simultanément deux caractères, notés généralement $A$ et $B$, et prenant respectivement les valeurs $A_1$, $A_2$, $\dots$ , $A_n$ et
$B_1$, $B_2$, $\dots$, $B_m$.\\
Dans ce type d'étude, on utilise souvent un tableau à double entrée, car il s'agit d'un moyen pratique pour visualiser l'ensemble 
des résultats d'une enquête.

\Expl{On peut étudier le sexe et la taille des élèves de cette classe, la taille et le poids, l'âge et le lieu d'habitation ...}

\Defc{
La fréquence conditionnelle de $A_i$ par rapport à $B_j$ (aussi appelée fréquence de $A_i$ sachant $B_j$), notée $f_{B_j}(A_i)$ 
est la fréquence de $A_i$ dans la population réduite à celle de $B_j$.\\
On a donc : 
$$f_{B_j}(A_i)=\dfrac{\text{Effectif de } A_i \text{ et } B_j}{\text{Effectif de } B_j}$$
}

\Rq{
Dans un tableau à double entrée, il s'agit de diviser l'effectif écrit dans la case \og $A_i$ et $B_j$ \fg \, par 
l'effectif écrit dans la case \og Total de $B_j$ \fg. 
}

\Expl{
Application p 41
}

\Exos{1-2-5-6-8-10 p 48 à 50 + 40 p 61}

\section{Série statistique à deux variables}

\subsection{Série statistique}
\Act{Activité p 42}

Cette fois, on réalise simultanément $N$ observations de deux caractères quantitatifs $x$ et $y$ sur les individus d'une population.\\
Généralement, les valeurs observées sont consignées dans un tableau de données.

\Defc{
On appelle série statistique à deux variables $x$ et $y$ l'ensemble des $N$ couples $(x_1;y_1)$, $(x_2;y_2)$, $\dots$ , $(x_N;y_N)$, où $x_1$ et $y_1$, 
$x_2$ et $y_2$, $\dots$, $x_N$ et $y_N$ sont les valeurs observées de $x$ et $y$
}

\Expl{cf p 42}

\subsection{Nuage de point ; Point moyen}
On munit le plan d'un repère. On considère une série statistique $(x_1;y_1)$, $(x_2;y_2)$, $\dots$ , $(x_N;y_N)$,
à deux variables $x$ et $y$. 

\Defc{
Le nuage de points de cette série est l'ensemble des $N$ points du plan, de coordonnées $(x_1;y_1)$, $(x_2;y_2)$, $\dots$ , $(x_N;y_N)$.\\
On note $\bar{x}$ la moyenne des $N$ abscisses et $\bar{y}$ la moyenne des $N$ ordonnées.\\
Le point moyen du nuage est le point $G$ du plan de coordonnées $(\bar{x} ; \bar{y})$.
}

\Expl{cf p 42}

\Exos{Application p 43 + 14 p 51 + 16-17-20 p 52}

\section{Ajustement d'un nuage de points}
\Act{Activité p 44}

Le plan est rapporté à un repère. On considère une série statistique $(x_1;y_1)$, $(x_2;y_2)$, $\dots$ , $(x_N;y_N)$, à deux variables $x$ et $y$.\\
L'objectif est de rechercher un lien éventuel entre les variables $x$ et $y$, de manière graphique.

\subsection{Principe d'une méthode graphique}
La forme d'un nuage de points peut suggérer le tracé d'une courbe usuelle simple, \og approchant au plus près \fg\, 
tous les points de ce nuage.\\
Cela revient à considérer que la variable $y$ peut s'exprimer de façon approchée en fonction de la variable $x$ sous la forme $y=f(x)$,
équation de cette courbe d'ajustement.

\Expl{cf p 44}

\subsection{Ajustement affine}

Lorsque les points du nuage de la série statistique sont approximativement alignés, on peut recherche une droite \og approchant au plus près \fg\, 
tous les points de ce nuage.\\
La variable $y$ peut alors s'exprimer de façon approchée en fonction de la variable $x$ sous la forme $y=mx+p$, équation de cette
droite d'ajustement.\\
Ainsi on estime qu'il existe un lien affine entre $x$ et $y$.

La fonction affine $f$ correspondante, définie par $f(x)=mx+p$, est un ajustement affine de la série statistique.

\Cadre[Méthodes]{
\begin{itemize}
  \item On peut tracer la droite d'un ajustement au jugé. Par lecture graphique, on peut alors déterminer une équation réduite approximative de cette droite.\\
En général, on fera passer cette droite par le point moyen de la série.
 \item Parfois on nous donne l'équation de la droite à tracer, ou alors deux points de la droite, et on n'a donc plus de choix.
\end{itemize}
}

\Expl{cf p 44}

\Rq{Un ajustement permet d'obtenir, dans certaines conditions, des estimations de valeurs de la variable $x$ ou de la variable $y$.}

\Exos{
Application p 45 + 23-24-26 à 29 p 53 + Annales
}

\newpage
\section{Rappels nécessaires sur les droites}

\subsection{Tracer une droite d'\'equation donn\'ee}
\Act{
Le plan est muni d'un rep\`ere orthonormal $\left( O ; \vec i ; \vec j \right)$. \\
On appelle $d$ la droite d'\'equation $y=1.5x-2$. 
\begin{enumerate} 
 \item \textbf{\'Etude de $d$}
	\begin{enumerate}
	\item Parmi les couples suivants, indiquer ceux qui appartiennent \`a l'ensemble $d$ :
	$$ (1;1) \qquad ; \qquad (0;-2)  \qquad ; \qquad \left(\dfrac{2}{3}; 1\right) \qquad ; \qquad (1.5;0.25)$$
	\item Combien de points appartiennent en fait \`a $d$ ?
	\item Quel est son coefficient directeur ? Son ordonn\'ee \`a l'origine ?
	\end{enumerate}
 \item \textbf{Repr\'esentation graphique de la droite $d$}
	\begin{enumerate}
	\begin{multicols}{2}
 \item Combien de points sont nécessaires et suffisants pour construire la droite $d$ ?
	 \item Remplir le tableau ci-contre en choisissant $x$ arbitrairement et calculer la valeur correspondante de $y$.\\
		\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.3\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
		\hline $x$ & $y$ \\ \hline &  \\ \hline & \\ \hline & \\ \hline & \\ \hline
		\end{tabularx} 
		\end{center}
	\end{multicols}
	\item Choisir deux points parmi ceux qui pr\'ec\`edent qui appartiennent \`a la droite $d$, et la repr\'esenter graphiquement
dans le repère (unit\'e $=1$ cm).
	\item Faire appara\^itre sur le graphique l'ordonn\'ee \`a l'origine de la droite $d$ et son coefficient directeur.
	\end{enumerate}
 \item \textbf{Droites particuli\`eres } \\
Représenter dans le repère précédent les droites ci-dessous puis en donner une équation :
	\begin{itemize}
	\item $d_1$ parall\`ele \`a l'axe des abscisses, passant par le point $A(2;3)$ 
	\item $d_2$ parall\`ele \`a l'axe des ordonn\'ees, passant par le point $A$.
	\item $d_3$ parall\`ele \`a $d$ et passant par l'origine du rep\`ere.
	\end{itemize}
\end{enumerate}
}

\Thc{
Toute droite \textbf{non parall\`ele \`a l'axe des ordonn\'ees} admet une \'equation du type $y=mx+p$.\newline
Cette \'equation est appel\'ee \textit{\'equation r\'eduite} de la droite. Elle est unique.\newline
$m$ est le coefficient directeur et $p$ l'ordonn\'ee \`a l'origine.\newline
Une droite parall\`ele \`a l'axe des ordonn\'ees a pour \'equation $x=c$.
}
\Expls{
Soient les droites $D_1$, $D_2$, $D_3$ et $D_4$ d'\'equations respectives:
$$ D_1 : y=-3+5x \qquad ; \qquad D_2 : y=-\dfrac{4}{5}x-\dfrac{1}{3} \qquad ; \qquad D_3 : y=-5x \qquad ; \qquad  D_4: x=5 $$
}

\Cadre[Tracer la repr\'esentation graphique de la droite d'\'equation $y=mx+p$]{
\begin{enumerate}
 \item \textbf{A l'aide des coordonnées de deux points de la droite}
\begin{enumerate}
 \item On trouve les coordonnées de \textbf{deux} points distincts de la droite :
\begin{itemize}
	\item Soit en choisissant une valeur de $x$ au hasard et en calculant la valeur de $y$ correspondante dans l'\'equation donn\'ee, 
puis en proc\`edant de m\^eme pour un second point \\
\textit{Astuce : Choisir des $x$ assez éloignés pour plus de précision graphique.}
	\item Soit en utilisant la table de valeurs d'une calculatrice (entrer en Y1 la fonction $f(x)=mx+p$).
	\end{itemize}
\item On place ces points et on les relie en prolongeant.
\end{enumerate}
\item \textbf{A l'aide du coefficient directeur et de l'ordonnée à l'origine de la droite}
	\begin{enumerate}
	\item On place sur l'axe des ordonn\'ees le point d'ordonn\'ee $p$,
	\item On construit un deuxi\`eme point en utilisant $m$ : on part du point d\'ej\`a plac\'e,  on avance de 1 unit\'e horizontalement et
on se d\'eplace de $m$ unit\'e(s) verticalement.\\
\textit{Astuce : On répète ce processus plusieurs fois de suite, pour avoir des points plus éloignés à relier 
et donc plus de précision graphique.}
 \item On  relie les points trouvés en prolongeant.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\Rqs{ 
\item Si la droite a une \'equation du type $x=c$, elle est parall\`ele \`a l'axe des ordonn\'ees (verticale) et passe par n'importe quel point 
d'abscisse $c$, par exemple le point de coordonn\'ees $(c;0)$
\item Si $m=\dfrac{b}{a}$, pour être précis, on avance de $a$ unit\'e(s) horizontalement et on se d\'eplace de $b$ unit\'e(s) verticalement.
}


%\newpage
\input{Repere1.tex}

\Exop{
Dans le plan muni un rep\`ere orthonormal $\left( O ; \vec i ; \vec j \right)$, construire en variant les m\'ethodes les droites suivantes :
$$ D_1 : y=-x+7 \qquad ; \qquad D_2 : y=3x-4 \qquad ; \qquad D_3 : y=-\cfrac{5}{2}x+7  \qquad ; \qquad  D_4: x=3 $$
$$D_5 : y=-4 \qquad ; \qquad D_6 : y=x $$
}


\Ptec{
Deux droites du plan non parall\`eles \`a l'axe des ordonn\'ees, sont parall\`eles entre elles si et seulement si elles ont m\^eme coefficient directeur.
}
\Expl{
Les droites d'\'equations r\'eduites $y=345x-4$ et $y=345x+79$ sont parall\`eles.
}

\subsection{Trouver l'\'equation r\'eduite d'une droite}

\Cadre[D\'eterminer graphiquement l'\'equation r\'eduite $y=mx+p$ d'une droite ]{
\begin{enumerate}
 \item L'ordonn\'ee \`a l'origine $p$ est l'ordonn\'ee du point d'intersection de la droite et de l'axe des ordonn\'ees
 \item Pour le coefficient directeur $m$ : 
\begin{itemize}
 \item On choisit deux points distincts de la droite (\`a coordonn\'ees enti\`eres pour faciliter les calculs).\\
Appelons $A$ le point d'abscisse la plus petite (le plus à gauche) et $B$ l'autre.
\item On compte le nombre $a$ d'unit\'es horizontales de $A$ vers $B$ (en avancant)
\item On compte le nombre $b$ d'unit\'es verticales de $A$ vers $B$ (en tenant compte dans le signe de $b$ du fait de monter ou de descendre) 
\item Le coefficient directeur de la droite est le nombre $m=\dfrac{b}{a}$
\end{itemize}
\item On conclut en donnant l'équation de la droite, dans laquelle on a remplacé $m$ et $p$ par les valeurs trouvées.
\end{enumerate}
}

\Cadre[D\'eterminer par le calcul l'\'equation r\'eduite $y=mx+p$ d'une droite ]{
\begin{enumerate}
 \item On commence par chercher le coefficient directeur $m$ : 
\begin{itemize}
 \item On choisit deux points distincts $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$  de la droite (\`a coordonn\'ees enti\`eres pour faciliter les calculs)
$$m=\dfrac{y_A-y_B}{x_A-x_B}$$ 
\end{itemize}
 \item Ensuite on trouve l'ordonnée à l'origine en résolvant une équation :
 \begin{itemize}
  \item On choisit l'un des points de la droite (à coordonnées entières pour faciliter les calculs), par exemple le point $A(x_A;y_A)$ précédent.
 \item Dans l'équation générale de la droite $y=mx+p$, on remplace $m$ par la valeur trouvée dans la première étape, $x$ par la valeur $x_A$ et $y$ par la valeur $y_A$.
 \item Il ne reste plus qu'une inconnue dans l'équation, il s'agit de $p$, que l'on trouve en résolvant cette équation.
 \end{itemize}
\item On conclut en donnant l'équation de la droite, dans laquelle on a remplacé $m$ et $p$ par les valeurs trouvées.
\end{enumerate}
}



\Exop{
D\'eterminer une \'equation de chacune des droites repr\'esent\'ees ci-dessous:}
\begin{center}
\vspace{-6mm}
\psset{xunit=0.55cm , yunit=0.55cm}
\begin{pspicture*}(-8.1,-8.1)(8.1,8.1)
\def\xmin{-8} \def\xmax{8} \def\ymin{-8} \def\ymax{8}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-8.1,-8.1)(8.1,8.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=1pt, gridcolor=black, griddots=4, subgridwidth=1pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-8,-8)(8,8)
%\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{5.5}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-8}{8}{\F}
\def\G{0.5 x mul 3.5 add}
\psplot[linecolor=green,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-8}{8}{\G}
\def\H{0 2 3 div x mul sub 7 3 div add}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-8}{8}{\H}
\def\I{3 x mul 5 sub}
\psplot[linecolor=magenta,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-8}{8}{\I}
\psline[linestyle=solid,linecolor=black](-3,-8)(-3,8)
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\end{pspicture*}\vspace{-2mm}
\end{center}

\Exop{
Donner les \'equations r\'eduites des droites passant par $A$ et de coefficient directeur $m$ telles que :
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
 \item $A$ confondu avec l'origine du rep\`ere et $m=\dfrac{1}{3}$
 \item $A(1;2)$ et $m=-3$
 \item $A(2;1)$ et $m=5$
 \item $A(1;3)$ et $m=0$
\end{itemize}
\end{multicols}
\textit{On pourra les tracer pour s'aider.}
}

\Exop{
Soit $d$ une droite de coeffidient directeur \'egal \`a $5$. Trouver les \'equations r\'eduites des parall\`eles \`a $d$ :
\begin{itemize}
 \item passant par l'origine $O$ du rep\`ere;
 \item d'ordonn\'ee \`a l'origine \'egale \`a 3;
 \item passant par le point $A(2;-3)$.
\end{itemize}
}
\Exop{Lire les \'equations r\'eduites des droites des exercices $6-7-8-78-95-99$ p $101$.}


\end{document}
